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【步步高】(四川专用)2014届高三数学大一轮复习 5.3平面向量的数量积课件 理 新人教A版


数学

川(理)

§5.3 平面向量的数量积
第五章 平面向量

基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源 1.向量的数量积是一个 实数
两个向量的数量积是一 个数量, 这个数量的大小 与两个向量的长度及其 夹角的余弦值有关, 在运

1.平面向量的

数量积 已知两个非零向量 a 和 b,它们的夹角
|a||b|cos θ 叫做 a 和 b 的 为 θ,则数量__________

a· b=|a||b|cos θ 数量积(或内积), 记作_______________
规定: 零向量与任一向量的数量积为 0 . 两个非零向量 a 与 b 垂直的充要条件是
a· b=0 ,两个非零向量 a 与 b 平行的 ________ a· b=± |a||b| . 充要条件是___________

用向量的数量积解题时, 一定要注意两向量夹角 的范围.

基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源 1.向量的数量积是一个 实数
两个向量的数量积是一 个数量, 这个数量的大小 与两个向量的长度及其

2.平面向量数量积的几何意义 数量积 a· b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的
|b|cos θ 的乘积. 方向上的投影________

3.平面向量数量积的重要性质

夹角的余弦值有关, 在运

|a|cos θ ; (1)e· a=a· e=________
a· b=0 ; (2)非零向量 a,b,a⊥b?________

用向量的数量积解题时, 一定要注意两向量夹角 的范围.

基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源
2.a· b>0 是两个向量 a,b 夹角为锐角的必要不 充分条件. 因为若 〈a, b〉=0,则 a· b>0,而 a,b 夹角不是锐角; 另外还要注意区分 → → △ABC 中, AB、 BC的 夹角与角 B 的关系.

|a||b| ; (3)当 a 与 b 同向时,a· b=_____ -|a||b| , 当 a 与 b 反向时,a· b=_______
a· a ; a2 ,|a|=______ a· a=__ a· b |a||b| ; (4)cos θ=______

(5)|a· b|___ ≤ |a||b|. 4.平面向量数量积满足的运算律
b· a (交换律); (1)a· b=_____

λ(a· b) =______ a· (λb) (λ 为实数);3.计算数量积时利用数 (2)(λa)· b=______

a· c+b· c . (3)(a+b)· c=__________

量积的几何意义是一 种重要方法.

基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源
2.a· b>0 是两个向量 a,b 夹角为锐角的必要不 充分条件. 因为若 〈a, b〉=0,则 a· b>0,而 a,b 夹角不是锐角; 另外还要注意区分

5.平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a· b = x1x2+y1y2 ,由此得到
2 2 x + y (1)若 a=(x,y),则|a| = 或|a| 2 2 x + y = .

2

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A、B 两 → → △ABC 中, AB、 BC的 → 点间的距离|AB|=|AB|= 夹角与角 B 的关系. 2 2 ?x1-x2? +?y1-y2? . 3.计算数量积时利用数 (3)设两个非零向量 a,b,a=(x1,y1), 量积的几何意义是一 种重要方法. b=(x2,y2),则 a⊥b? x1x2+y1y2=0 .

基础知识·自主学习
基础自测

题号
1 2 3 4 5

答案
-3 2

解析

3 2
65 5

D C

题型分类·深度剖析
题型一 平面向量的数量积的运算
思维启迪 解析 答案 探究提高

【例 1】 (1)在 Rt△ABC 中,∠C → → =90° ,AC=4,则AB· AC等于 ( A. -16 B. -8 )

C. 8 D. 16

(2)若向量 a=(1,1),b=(2,5),c =(3,x),满足条件(8a-b)· c= 30,则 x 等于 A.6 B.5 C.4 ( ) D.3

题型分类·深度剖析
题型一 平面向量的数量积的运算
思维启迪 解析 答案 探究提高

【例 1】 (1)在 Rt△ABC 中,∠C → → =90° ,AC=4,则AB· AC等于 ( A. -16 B. -8 )

(1)由于 ∠C = 90° ,因此选向量 → → CA,CB为基底. (2)先算出 8a-b, 再由向量的数 量积列出方程,从而求出 x.

C. 8 D. 16

(2)若向量 a=(1,1),b=(2,5),c =(3,x),满足条件(8a-b)· c= 30,则 x 等于 A.6 B.5 C.4 ( ) D.3

题型分类·深度剖析
题型一 平面向量的数量积的运算
思维启迪 解析 答案 探究提高

【例 1】 (1)在 Rt△ABC 中,∠C → → =90° ,AC=4,则AB· AC等于 ( A. -16 B. -8 )

→ → → → → (1) AB· AC=(CB-CA)· (-CA) → → →2 =-CB· CA+CA =16.
(2)∵a=(1,1),b=(2,5),

C. 8 D. 16

(2)若向量 a=(1,1),b=(2,5),c =(3,x),满足条件(8a-b)· c= 30,则 x 等于 A.6 B.5 C.4 ( ) D.3

∴8a-b=(8,8)-(2,5)=(6,3).
又∵(8a-b)· c=30, ∴(6,3)· (3,x)=18+3x=30.
∴x=4.

题型分类·深度剖析
题型一 平面向量的数量积的运算
思维启迪 解析 答案 探究提高

【例 1】 (1)在 Rt△ABC 中,∠C → → =90° ,AC=4,则AB· AC等于 ( D ) A. -16 B. -8 C. 8 D. 16

→ → → → → (1) AB· AC=(CB-CA)· (-CA) → → →2 =-CB· CA+CA =16.

(2)∵a=(1,1),b=(2,5), ∴8a-b=(8,8)-(2,5)=(6,3).

(2)若向量 a=(1,1),b=(2,5),c =(3,x),满足条件(8a-b)· c= 30,则 x 等于 A.6 B.5 C.4 ( C ) D.3

又∵(8a-b)· c=30,∴(6,3)· (3, x)=18+3x=30.

∴x=4.

题型分类·深度剖析
题型一 平面向量的数量积的运算
思维启迪 解析 答案 探究提高

【例 1】 (1)在 Rt△ABC 中,∠C → → =90° ,AC=4,则AB· AC等于 ( D ) A. -16 B. -8 C. 8 D. 16

求两个向量的数量积有三种方 法: 利用定义; 利用向量的坐标 运算;利用数量积的几何意 义. 本题从不同角度创造性地解 题,充分利用了已知条件.

(2)若向量 a=(1,1),b=(2,5),c =(3,x),满足条件(8a-b)· c= 30,则 x 等于 A.6 B.5 C.4 ( C ) D.3

题型分类·深度剖析
变式训练 1 (2012· 北京)已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB → → → → 边上的动点,则DE· CB的值为___;DE· DC的最大值为___.
解析 方法一 以射线 AB,AD 为 x 轴,y 轴的正方

向建立平面直角坐标系,则 A(0,0),B(1,0),C(1,1), → → D(0,1), 则 E(t,0), t?[0,1] , 则DE=(t, -1),CB=(0, → → -1),所以DE· CB=(t,-1)· (0,-1)=1.

→ → → 因为DC=(1,0),所以DE· DC=(t,-1)· (1,0)=t≤1, → → 故DE· DC的最大值为 1.

题型分类·深度剖析
变式训练 1 (2012· 北京)已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB → → → → 1 . 1 ;DE· 边上的动点,则DE· CB的值为___ DC的最大值为___
方法二 → → 由图知, 无论 E 点在哪个位置, DE在CB方

→ → → 向上的投影都是 CB=1,∴DE· CB=|CB|· 1=1,当 → → E 运动到 B 点时, DE 在 DC 方向上的投影最大即为 DC = 1 , → → → ∴(DE· DC)max=|DC|· 1=1.

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

向量的夹角与向量的模
已知 |a| = 4 , |b|= 3 , (2a -
思维启迪 解析 探究提高

3b)· (2a+b)=61, (1)求 a 与 b 的夹角 θ; (2)求|a+b|; → → (3)若AB=a,BC=b,求△ABC 的 面积.

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

向量的夹角与向量的模
已知 |a| = 4 , |b|= 3 , (2a -
思维启迪 解析 探究提高

3b)· (2a+b)=61, (1)求 a 与 b 的夹角 θ; (2)求|a+b|; → → (3)若AB=a,BC=b,求△ABC 的 面积.

运用数量积的定义和|a|= a· a.

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

向量的夹角与向量的模
已知 |a| = 4 , |b|= 3 , (2a -
思维启迪 解析 探究提高

3b)· (2a+b)=61, (1)求 a 与 b 的夹角 θ; (2)求|a+b|;



(1)∵(2a-3b)· (2a+b)=61,

∴4|a|2-4a· b-3|b|2=61.
又|a|=4, |b|=3, ∴64-4a· b-27

=61,∴a· b=-6. → → (3)若AB=a,BC=b,求△ABC 的 -6 1 a· b ∴cos θ=|a||b|= =-2. 4×3 面积. 2π 又 0≤θ≤π,∴θ= . 3 (2)可先平方转化为向量的数量积.

|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a· b+|b|2

=42+2×(-6)+32=13,

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

向量的夹角与向量的模
已知 |a| = 4 , |b|= 3 , (2a -
思维启迪 解析 探究提高

3b)· (2a+b)=61, (1)求 a 与 b 的夹角 θ;

∴|a+b|= 13.

2π → → (3)∵ AB 与 BC 的 夹 角 θ = , 3 (2)求|a+b|; 2π π ∴∠ABC=π- 3 =3. → → (3)若AB=a,BC=b,求△ABC 的 → → 又|AB|=|a|=4,|BC|=|b|=3, 面积. 1 → → 1 ∴S△ABC = | AB || BC |sin∠ABC = 2 2 3 ×4×3× 2 =3 3.

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

向量的夹角与向量的模
已知 |a| = 4 , |b|= 3 , (2a -
思维启迪 解析 探究提高

3b)· (2a+b)=61, (1)求 a 与 b 的夹角 θ; (2)求|a+b|; → → (3)若AB=a,BC=b,求△ABC 的 面积.

(1)在数量积的基本运算中,经常 用到数量积的定义、模、夹角等 公式,尤其对 |a|= a· a 要引起足 (2)要注意向量运算律与实数运算 律的区别和联系.在向量的运算 中,灵活运用运算律,达到简化 运算的目的.

够重视, 它是求距离常用的公式.

题型分类·深度剖析
变式训练 2 (1)已知向量 a、b 满足|a|=1,|b|=4,且 a· b=2,则 ( C ) π C. 3 C.2 π D. 2 (C ) D.4 a 与 b 的夹角为 π π A. B. 6 4 A.1 B. 2

(2)已知向量 a=(1, 3),b=(-1,0),则|a+2b|等于

a· b 1 解析 (1)∵cos〈a,b〉= = , |a||b| 2 π ∴〈a,b〉= . 3 (2)|a+2b|2=a2+4a· b+4b2=4-4×1+4=4,
∴|a+2b|=2.

题型分类·深度剖析
题型三 向量数量积的综合应用
思维启迪 解析

探究提高

【例 3】 已知 a=(cos α,sin α),b =(cos β,sin β)(0<α<β<π). (1)求证: a+b 与 a-b 互相垂直; (2)若 ka+b 与 a-kb 的模相等, 求 β-α.(其中 k 为非零实数)

题型分类·深度剖析
题型三 向量数量积的综合应用
思维启迪 解析

探究提高

【例 3】 已知 a=(cos α,sin α),b =(cos β,sin β)(0<α<β<π). (1)求证: a+b 与 a-b 互相垂直; (2)若 ka+b 与 a-kb 的模相等, 求 β-α.(其中 k 为非零实数)
(1)证明两向量互相垂直,转化为计 算这两个向量的数量积问题,数量 积为零即得证. (2)由模相等,列等式、化简.

题型分类·深度剖析
题型三 向量数量积的综合应用
思维启迪 解析

探究提高

【例 3】 已知 a=(cos α,sin α),b (1) 证明 =(cos β,sin β)(0<α<β<π).

∵(a + b)· (a - b) = a2 - b2

=|a|2-|b|2

2 2 2 2 (1)求证: a+b 与 a-b 互相垂直; =(cos α+sin α)-(cos β+sin β)=0,

(2)若 ka+b 与 a-kb 的模相等, 求 β-α.(其中 k 为非零实数)

∴a+b 与 a-b 互相垂直.

(2)解

ka+b=(kcos α+cos β,

ksin α+sin β),
a-kb=(cos α-kcos β,sin α-ksin β),
|ka+b|= k2+2kcos?β-α?+1,

题型分类·深度剖析
题型三 向量数量积的综合应用
思维启迪 解析

探究提高

【例 3】 已知 a=(cos α,sin α),b =(cos β,sin β)(0<α<β<π).

|a-kb|= 1-2kcos?β-α?+k2.

(1)求证: a+b 与 a-b 互相垂直; ∵|ka + b|= |a - kb|, ∴2kcos(β - α) =-2kcos(β-α). (2)若 ka+b 与 a-kb 的模相等, 求 β-α.(其中 k 为非零实数)

又 k≠0,∴cos(β-α)=0.
∵0<α<β<π,∴0<β-α<π, π ∴β-α=2.

题型分类·深度剖析
题型三 向量数量积的综合应用
思维启迪 解析

探究提高

【例 3】 已知 a=(cos α,sin α),b (1)当向量 a 与 b 是坐标形式给出时, =(cos β,sin β)(0<α<β<π). (1)求证: a+b 与 a-b 互相垂直; (2)若 ka+b 与 a-kb 的模相等, 求 β-α.(其中 k 为非零实数)
若证明 a⊥b,则只需证明 a· b=0? x1x2+y1y2=0. (2)当向量 a,b 是非坐标形式时,要把 a,b 用已知的不共线向量作为基底来 表示且不共线的向量要知道其模与夹 角,从而进行运算证明 a· b=0. (3)数量积的运算中, a· b = 0 ? a⊥ b 中, 是对非零向量而言的, 若 a=0, 虽然有 a· b=0,但不能说 a⊥b.

题型分类·深度剖析
变式训练 3 已知平面向量 a=( (1)证明:a⊥b; (2)若存在不同时为零的实数 k 和 t,使 c=a+(t2-3)b,d=-ka+tb, 且 c⊥d,试求函数关系式 k=f(t). 1 3 (1)证明 ∵a· b= 3×2-1× 2 =0, ∴a⊥b. (2)解 ∵c=a+(t2-3)b,d=-ka+tb,且 c⊥d,
∴c· d=[a+(t2-3)b]· (-ka+tb) =-ka2+t(t2-3)b2+[t-k(t2-3)]a· b=0,
?1 3,-1),b=? ?2, ?

3? ? . 2? ?

又 a2=|a|2=4,b2=|b|2=1,a· b=0, ∴c· d=-4k+t3-3t=0, t3-3t ∴k=f(t)= 4 (t≠0).

题型分类·深度剖析
审题路线图 3.三审图形抓特点
典例:(4 分)如图所示,把两块斜边长相等的直角三角板拼在 → → → 一起,若AD=xAB+yAC,则 x=________,y=________.

审 题 路 线 图

解 析

温 馨 提 醒

题型分类·深度剖析
审题路线图 3.三审图形抓特点
典例:(4 分)如图所示,把两块斜边长相等的直角三角板拼在 → → → 一起,若AD=xAB+yAC,则 x=________,y=________.

审 题 路 线 图
图形有一副三角板构成 ↓(注意一副三角板的特点) 令|AB|=1,|AC|=1 ↓(一副三角板的两斜边等长)

解 析

温 馨 提 醒

|DE|=|BC|= 2 ↓(非等腰三角板的特点)

|BD|=|DE|sin 60° = 2×

3 6 = 2 2

↓(注意∠ABD=45° +90° =135° )

题型分类·深度剖析
审题路线图 3.三审图形抓特点
典例:(4 分)如图所示,把两块斜边长相等的直角三角板拼在 → → → 一起,若AD=xAB+yAC,则 x=________,y=________.

审 题 路 线 图
→ → AD在AB上的投影即为 x

解 析

温 馨 提 醒

6 2 3 ↓x=|AB|+|BD|cos 45° =1+ × =1+ 2 2 2
→ → ↓AD在AC上的投影即为 y 6 2 3 ↓y=|BD|· sin 45° =2×2=2.

题型分类·深度剖析
审题路线图 3.三审图形抓特点
典例:(4 分)如图所示,把两块斜边长相等的直角三角板拼在 → → → 一起,若AD=xAB+yAC,则 x=________,y=________.

审 题 路 线 图

解析 方法一

温 馨 提 醒 解 析 → → → → 结合图形特点, 设向量AB, AC为单位向量, 由AD=xAB

→ → → → +yAC知,x,y 分别为AD在AB,AC上的投影.又|BC|=|DE|= 2, 6 → → ∴|BD|=|DE|· sin 60° =2. → → ∴AD在AB上的投影
6 6 2 3 x=1+ 2 cos 45° =1+ 2 × 2 =1+ 2 , 6 3 → → AD在AC上的投影 y= 2 sin 45° =2.

题型分类·深度剖析
审题路线图 3.三审图形抓特点
典例:(4 分)如图所示,把两块斜边长相等的直角三角板拼在 3 3 → → → 1 + 一起,若AD=xAB+yAC,则 x=________ 2 2 ,y=________.

审 题 路 线 图 温 馨 提 醒 解 析 → → → → → → 方法二 ∵AD=xAB+yAC,又AD=AB+BD, → → → → → → → ∴AB+BD=xAB+yAC,∴BD=(x-1) AB+yAC. → → → → → 又AC⊥AB,∴BD· AB=(x-1) AB2. → → → 设|AB|=1,则由题意|DE|=|BC|= 2. 6 → → → 又∠BED=60° ,∴|BD|= 2 .显然BD与AB的夹角为 45° . → → → ∴由BD· AB=(x-1) AB2, 6 3 2 得 2 ×1×cos 45° =(x-1)×1 .∴x= 2 +1. 3 → → → 同理,在BD=(x-1) AB+yAC两边取数量积可得 y= 2 .

题型分类·深度剖析
审题路线图 3.三审图形抓特点
典例:(4 分)如图所示,把两块斜边长相等的直角三角板拼在 3 3 → → → 1 + 一起,若AD=xAB+yAC,则 x=________ 2 2 ,y=________.

审 题 路 线 图

解 析

温 馨 提 醒

突破本题的关键是,要抓住图形的特点 (图形由一副三角板构成 ).根 据图形的特点,利用向量分解的几何意义,求解方便快捷.方法二是 原试题所给答案,较方法一略显繁杂.

思想方法·感悟提高

1.计算数量积的三种方法:定义、坐标运算、数量 积的几何意义,要灵活选用,和图形有关的不要

方 法 与 技 巧

忽略数量积几何意义的应用.

2.求向量模的常用方法:利用公式|a|2=a2,将模的 运算转化为向量的数量积的运算.

3. 利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求 参数或最值问题常用的方法与技巧.

思想方法·感悟提高

1. (1)0 与实数 0 的区别: 0a=0≠0, a+(-a)=0≠0, a· 0

失 误 与 防 范

=0≠0;(2)0 的方向是任意的,并非没有方向,0 与 任何向量平行,我们只定义了非零向量的垂直关系.
2.a· b=0 不能推出 a=0 或 b=0,因为 a· b=0 时,有 可能 a⊥b.

3.a· b=a· c(a≠0)不能推出 b=c,即消去律不成立.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1.(2012· 辽宁)已知向量 a=(1,-1),b=(2,x),若 a· b=1,则 x 等于 A.-1 1 B.- 2 1 C. 2 D.1 ( )

解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1.(2012· 辽宁)已知向量 a=(1,-1),b=(2,x),若 a· b=1,则 x 等于 A.-1 1 B.- 2 1 C. 2 D.1 ( D )

解 析
a· b=(1,-1)· (2,x)=2-x=1?x=1.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2.(2012· 重庆)设 x,y?R,向量 a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4), 且 a⊥c,b∥c,则|a+b|等于 A. 5 B. 10 C.2 5 D.10 ( )

解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2.(2012· 重庆)设 x,y?R,向量 a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4), 且 a⊥c,b∥c,则|a+b|等于 A. 5 B. 10 C.2 5 D.10 ( B )

解 析
∵a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),

由 a⊥c 得 a· c=0,即 2x-4=0,∴x=2. 由 b∥c,得 1×(-4)-2y=0,∴y=-2. ∴a=(2,1),b=(1,-2).
∴a+b=(3,-1),∴|a+b|= 32+?-1?2= 10.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

3.已知向量 a=(1,2),b=(2,-3).若向量 c 满足(c+a)∥b,c⊥ (a+b),则 c 等于 ?7 7? ? 7 7? A.?9,3? B.?-3,-9? ? ? ? ?
?7 7? C.?3,9? ? ?

( ? 7 7? D.?-9,-3? ? ?

)

解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

3.已知向量 a=(1,2),b=(2,-3).若向量 c 满足(c+a)∥b,c⊥ (a+b),则 c 等于 ?7 7? ? 7 7? A.?9,3? B.?-3,-9? ? ? ? ?
?7 7? C.?3,9? ? ?

( B ) ? 7 7? D.?-9,-3? ? ?

解 析
设 c=(x,y),则 c+a=(x+1,y+2),

又(c+a)∥b,∴2(y+2)+3(x+1)=0.



又 c⊥(a+b),∴(x,y)· (3,-1)=3x-y=0.
7 7 联立①②解得 x=-9,y=-3.



练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

→ → 4. 在△ABC 中, AB=3, AC=2, BC= 10, 则AB· AC等于( 3 2 2 3 A.- B.- C. D. 2 3 3 2

)

解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

→ → 4. 在△ABC 中, AB=3, AC=2, BC= 10, 则AB· AC等于( D ) 3 2 2 3 A.- B.- C. D. 2 3 3 2

解 析
→ → → → 由于AB· AC=|AB|· |AC|· cos∠BAC

1 →2 →2 →2 1 3 =2(|AB| +|AC| -|BC| )=2×(9+4-10)=2.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

5. (2012· 课标全国)已知向量 a, b 夹角为 45° , 且|a|=1, |2a-b|= 10, 则|b|=________.

解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

5. (2012· 课标全国)已知向量 a, b 夹角为 45° , 且|a|=1, |2a-b|= 10,

3 2 则|b|=________.

解 析
∵a,b 的夹角为 45° ,|a|=1,
2 ∴a· b=|a|· |b|cos 45° = 2 |b|, 2 |2a-b|2=4-4× 2 |b|+|b|2=10,∴|b|=3 2.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

6.(2012· 浙江)在△ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=3,BC=10, → → 则AB· AC=________.

解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

6.(2012· 浙江)在△ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=3,BC=10, → → -16 则AB· AC=________.

解 析
→ → → 如图所示,AB=AM+MB,
→ → → AC=AM+MC → → =AM-MB, → → → → → → ∴AB· AC=(AM+MB)· (AM-MB) → → 2 → → =AM 2-MB =|AM|2-|MB|2=9-25=-16.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

7.已知 a=(2,-1),b=(λ,3),若 a 与 b 的夹角为钝角,则 λ 的 取值范围是________________________.

解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

7.已知 a=(2,-1),b=(λ,3),若 a 与 b 的夹角为钝角,则 λ 的
? 3? (-∞,-6)∪?-6,2? ? ? 取值范围是________________________ .

解 析
3 由 a· b<0,即 2λ-3<0,解得 λ< ,由 a∥b 得: 2
3 6=-λ,即 λ=-6.因此 λ<2,且 λ≠-6.

练出高分

A组

专项基础训练

1 7 9 2 3 4 6 8 5 8.(10 分)已知 a=(1,2),b=(-2,n) (n>1),a 与 b 的夹角是 45° .

(1)求 b;(2)若 c 与 b 同向,且 a 与 c-a 垂直,求 c.

解 析

练出高分

A组

专项基础训练

1 7 9 2 3 4 6 8 5 8.(10 分)已知 a=(1,2),b=(-2,n) (n>1),a 与 b 的夹角是 45° .

(1)求 b;(2)若 c 与 b 同向,且 a 与 c-a 垂直,求 c.

解 析
(1)a· b=2n-2,|a|= 5,|b|= n2+4, 2n-2 2 2 ∴cos 45° = = , ∴ 3 n -16n-12=0, 5· n2+4 2 2 ∴n=6 或 n=- (舍),∴b=(-2,6). 3 (2)由(1)知,a· b=10,|a|2=5. 解
又 c 与 b 同向,故可设 c=λb (λ>0),(c-a)· a=0, 2 | a | 5 1 ∴λb· a-|a|2=0,∴λ=b· = a 10=2, 1 ∴c=2b=(-1,3).

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9.(12 分)设两个向量 e1、e2 满足|e1|=2,|e2|=1,e1、e2 的夹角为 60° ,若 向量 2te1+7e2 与向量 e1+te2 的夹角为钝角,求实数 t 的取值范围.

解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9.(12 分)设两个向量 e1、e2 满足|e1|=2,|e2|=1,e1、e2 的夹角为 60° ,若 向量 2te1+7e2 与向量 e1+te2 的夹角为钝角,求实数 t 的取值范围. 1 解 析 解 ∵e1· e2=|e1|· |e2|· cos 60° =2×1× =1, 2 ∴(2te1+7e2)· (e1+te2)
2 2 =2te2 + 7 t e + (2 t +7)e1· e2 1 2 =8t+7t+2t2+7=2t2+15t+7. 1 2 由已知得 2t +15t+7<0,解得-7<t<-2. 当向量 2te1+7e2 与向量 e1+te2 反向时, 设 2te1+7e2=λ(e1+te2),λ<0, ? ?2t=λ, 14 14 2 ? 则 ?2t =7?t=- 2 或 t= 2 (舍). ? λ t = 7 ? 14 14 1 故 t 的取值范围为(-7,- 2 )∪(- 2 ,-2).

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

→ → 1.(2012· 湖南)在△ABC 中,AB=2,AC=3,AB· BC=1,则 BC 等于 A. 3 B. 7 C.2 2 D. 23 ( )

解 析

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

→ → 1.(2012· 湖南)在△ABC 中,AB=2,AC=3,AB· BC=1,则 BC 等于 A. 3 B. 7 C.2 2 D. 23 ( A )

解 析
→ → ∵AB· BC=1,且 AB=2, → → → → ∴1=|AB||BC|cos(π-B),∴|AB||BC|cos B=-1.
在△ABC 中,|AC|2=|AB|2+|BC|2-2|AB||BC|cos B,
即 9=4+|BC|2-2×(-1).

∴|BC|= 3.

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

2.已知|a|=6,|b|=3,a· b=-12,则向量 a 在向量 b 方向上的投影是 ( A.-4 B. 4 C.-2 D.2 )

解 析

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

2.已知|a|=6,|b|=3,a· b=-12,则向量 a 在向量 b 方向上的投影是 ( A ) A.-4 B. 4 C.-2 D.2

解 析
a· b 为向量 b 的模与向量 a 在向量 b 方向上的投影的乘积, 得 a· b=|b||a|· cos〈a,b〉 ,即-12=3|a|· cos〈a,b〉 ,

∴|a|· cos〈a,b〉=-4.

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

3.(2012· 江西)在直角三角形 ABC 中,点 D 是斜边 AB 的中点,点 |PA|2+|PB|2 P 为线段 CD 的中点,则 等于 ( ) |PC|2 A.2 B. 4 C.5 D.10

解 析

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

3.(2012· 江西)在直角三角形 ABC 中,点 D 是斜边 AB 的中点,点 |PA|2+|PB|2 P 为线段 CD 的中点,则 等于 ( D ) |PC|2 A.2 B. 4 C.5 D.10

→2 → 2 →2 代入上式整理得|PA| +|PB| =10|CP| ,故所求值为 10.

→ → → → 2 →2 → → →2 ∵PA=CA-CP,∴|PA| =CA -2CP· CA+CP . → → → → 2 →2 → → →2 ∵PB=CB-CP,∴|PB| =CB -2CP· CB+CP . →2 → 2 ∴|PA| +|PB| →2 →2 → → → →2 =(CA +CB )-2CP· (CA+CB)+2CP →2 → → →2 =AB -2CP· 2CD+2CP . →2 →2 → → 又AB =16CP ,CD=2CP,

解 析

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

4.(2012· 安徽)设向量 a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m).若(a+c) ⊥b,则|a|=________.

解 析

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

4.(2012· 安徽)设向量 a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m).若(a+c)

2 ⊥b,则|a|=________.

解 析
利用向量数量积的坐标运算求解. a+c=(1,2m)+(2,m)=(3,3m).∵(a+c)⊥b, ∴(a+c)· b=(3,3m)· (m+1,1)=6m+3=0,
1 ∴m=-2.∴a=(1,-1),∴|a|= 2.

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

5. (2012· 江苏)如图, 在矩形 ABCD 中, AB= 2, BC=2, → → 点 E 为 BC 的中点, 点 F 在边 CD 上, 若AB· AF= 2, → → 则AE· BF的值是________.

解 析

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

5. (2012· 江苏)如图, 在矩形 ABCD 中, AB= 2, BC=2, → → 点 E 为 BC 的中点, 点 F 在边 CD 上, 若AB· AF= 2, → → 则AE· BF的值是________.
方法一 坐标法. 以 A 为坐标原点,AB,AD 所在直线为 x 轴,y 轴建立平面

解 析

直角坐标系,则 A(0,0),B( 2,0),E( 2,1),F(x,2). → → → → 故AB=( 2,0),AF=(x,2),AE=( 2,1),BF=(x- 2,2), → → ∴AB· AF=( 2,0)· (x,2)= 2x. → → → 又AB· AF= 2,∴x=1.∴BF=(1- 2,2).
→ → ∴AE· BF=( 2,1)· (1- 2,2)= 2-2+2= 2.

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

5. (2012· 江苏)如图, 在矩形 ABCD 中, AB= 2, BC=2, → → 点 E 为 BC 的中点, 点 F 在边 CD 上, 若AB· AF= 2, → → 则AE· BF的值是________.
→ → → → 方法二 用AB,BC表示AE,BF是关键. → → → → 设DF=xAB,则CF=(x-1) AB. → → → → → AB· AF=AB· (AD+DF) → → → →2 =AB· (AD+xAB)=xAB =2x, → → 又∵AB· AF= 2,∴2x= 2,

解 析

?→ 2 → → → → ? ? 2 ∴x= 2 .∴BF=BC+CF=BC+? -1? ?AB. ? 2 ?

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

5. (2012· 江苏)如图, 在矩形 ABCD 中, AB= 2, BC=2, → → 点 E 为 BC 的中点, 点 F 在边 CD 上, 若AB· AF= 2, → → 2 则AE· BF的值是________ .
? 2 ?→ ? → → → → ? ?→ ? ? ? BC + AB ∴AE· BF=(AB+BE)· - 1 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? 2 ?→? ? → 1 → ?? → ? ? ? ?? AB =?AB+ BC??BC+? -1? ? ? 2 ?? ? ? 2 ? ?

解 析

? =? ? ?
? =? ? ?

?→ 1→2 2 ? 2 AB +2BC 2 -1? ?
? 1 2 ? -1?×2+2×4= 2. 2 ?

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

6.(2012· 上海)在矩形 ABCD 中,边 AB、AD 的长分别为 2、1,若 → → |BM| |CN| → → M、 N 分别是边 BC、 CD 上的点, 且满足 = , 则AM· AN → → |BC| |CD| 的取值范围是________.

解 析

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

6.(2012· 上海)在矩形 ABCD 中,边 AB、AD 的长分别为 2、1,若 → → |BM| |CN| → → M、 N 分别是边 BC、 CD 上的点, 且满足 = , 则AM· AN → → |BC| |CD| 的取值范围是________.
→ → → → 利用基向量法,把AM,AN都用AB,AD表示,再求数量积. → → |BM| |CN| 如图所示,设 = → → |BC| |CD| → → =λ(0≤λ≤1),则BM=λBC, → → → → → → CN=λCD,DN=CN-CD=(λ-1) CD, → → → → → → ∴AM· AN=(AB+BM)· (AD+DN)

解 析

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

6.(2012· 上海)在矩形 ABCD 中,边 AB、AD 的长分别为 2、1,若 → → |BM| |CN| → → M、 N 分别是边 BC、 CD 上的点, 且满足 = , 则AM· AN → → |BC| |CD| [1,4] . 的取值范围是________ → → → → 解 析 =(AB+λBC)· [AD+(λ-1) CD] → → → → =(λ-1) AB· CD+λBC· AD
=4(1-λ)+λ=4-3λ, → → ∴当 λ=0 时,AM· AN取得最大值 4; → → 当 λ=1 时,AM· AN取得最小值 1. → → ∴AM· AN?[1,4] .

练出高分

B组

专项能力提升

5 1 7 2 3 4 6 7.(13 分)设平面上有两个向量 a=(cos α,sin α) (0° ≤α<360° ), ? 1 3? ? b=?- , ? . 2? ? 2 ?

(1)求证:向量 a+b 与 a-b 垂直; (2)当向量 3a+b 与 a- 3b 的模相等时,求 α 的大小.

解 析

练出高分
1 2

B组

专项能力提升

5 7 3 4 6 7.(13 分)设平面上有两个向量 a=(cos α,sin α) (0° ≤α<360° ), ? 1 3? ? b=?- , ? . 2? ? 2 ?

(1)求证:向量 a+b 与 a-b 垂直; (2)当向量 3a+b 与 a- 3b 的模相等时,求 α 的大小.

解 析
∵(a+b)· (a-b)=a2-b2 ?1 3? 2 2 2 2 =|a| -|b| =(cos α+sin α)-?4+4?=0, ? ? 故向量 a+b 与 a-b 垂直. (1)证明
(2)解 由| 3a+b|=|a- 3b|,两边平方得

3|a|2+2 3a· b+|b|2=|a|2-2 3a· b+3|b|2,

练出高分
1 2

B组

专项能力提升

5 7 3 4 6 7.(13 分)设平面上有两个向量 a=(cos α,sin α) (0° ≤α<360° ), ? 1 3? ? b=?- , ? . 2? ? 2 ?

(1)求证:向量 a+b 与 a-b 垂直; (2)当向量 3a+b 与 a- 3b 的模相等时,求 α 的大小.

解 析
所以 2(|a|2-|b|2)+4 3a· b=0,而|a|=|b|,

3 α+ 2 · sin α=0, 即 cos(α+60° )=0,∴α+60° =k· 180° +90° , k?Z, 所以

? 1? a· b=0,即?-2?· cos ? ?

即 α=k· 180° +30° ,k?Z,
又 0° ≤α<360° ,则 α=30° 或 α=210° .


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