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2014届高三数学《考前指导》1填空题


2014 届高三数学《考前指导》
专题一 填空题的解法 一、 知识归纳
数学填空题是一种只要求写出结果,不要求写出解答过程的客观性试题,解答填空题时,由 于不反映过程,只要求结果,故对正确性的要求比解答题更高、更严格, 《考试说明》中对解答 填空题提出的基本要求是“正确、合理、迅速”.为此在解填空题时要做到:快——运算要快, 力戒小题大作;稳——变形要稳,不可操之过急;全——答案要全,力避残缺不齐;活——解 题要活,不要生搬硬套;细——审题要细,不能粗心大意. 数学填空题, 绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题, 应答时必 须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断。解题时,要有合理的分析和判断,要求推 理、运算的每一步骤都正确无误,还要求将答案表达得准确、完整。合情推理、优化思路、少算 1 多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求。 . 二、方法讲解 3 题型 1: .直接求解法 这是解填空题的基本方法,它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、 性质、公式等知识,通过变形、推理、运算等过程,直接得到结果。 5 例 1.设集合 A={-1,1,3 },B={ a +2, a 2+4},A∩B={3} , 则实数 a = 例 2. 已知向量 a ? ,若 k a ? 2b 与 a 垂直,则实数 k 等于______________; ( 1, 1 ), b? (2, ? 3) 题型 2: 特例法 当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时,可以 把题中变化的不定量用特殊值(或特殊函数,或特殊角,特殊数列,图形特殊位置,特殊点, 特殊方程,特殊模型等)代替,即可以得到正确结果。 例 3.设 a>b>1,则 log a b、 log b a、 log ab b 的大小关系是______________; 例 4.在 ? ABC 中,如果 a、b、c 成等差数列,则 例 5.椭圆

cos A ? cos C ? 1 ? cos A cos C

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1 、F2 ,点 P 为其上的动点,当 ?F1 PF2 为钝角时,点 P 横坐 9 4

标的取值范围是_______________________; 题型 3: 数形结合法 对于一些含有几何背景的填空题,若能数中思形,以形助数,则往往可 以简捷地解决问题,得出正确的结果。 例 6.若函数 f ( x) ? a| x ? b|?2 在[0, ? ?) 上为增函数,则实数 a、b 的取值范围是_______; 例 7.已知向量 a = (cos? , sin ? ) ,向量 b = ( 3,?1) ,则|2 a - b |的最大值是 题型 4: 等价转化法 通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉” ,将问题等价地转化成便于解决的 问题,从而得出正确的结果。 例 8.二次函数 y ? ax ? bx ? c( x ? R ) 的部分对应值如下表,则不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解 集是_______________; x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
2

?

?

?

?

2

y

6

0

-4

-6

-6

-4

0

6

例 9. 不论 k 为何实数,直线 y ? kx ? 1 与曲线 x 2 ? y 2 ? 2ax ? a 2 ? 2a ? 4 ? 0 恒有交点,则 实数 a 的取值范围是 。 题型 5: 特征分析法 根据题设条件的特征如数值特征、结构特征、位置特征等,进行观察、 分析,从而得出正确的结论.

f (1) ? f (2) ? f ( ) ? f (3) ? f ( ) ? f (4) ? f ( ) =______。 例 10.已知函数f(x)?,那么 2
例 11.定义映射 f : A ? B ,其中 A ? {(m, n) m, n ? R} , B ? R ,已知对所有的有序正整数 对 (m, n) 满足下述条件: ① f (m,1) ? 1 ;②若 n ? m , f (m, n) ? 0 ;③ f (m ? 1, n) ? n[ f (m, n) ? f (m, n ? 1)] , 则 f (2, 2) ? ___, f (n, 2) ? ___. 题型 6: 归纳猜想法 认真分析,仔细观察,归纳,发现共同特征,大胆猜想,据此预测它的变化规律。 例 12 设 {a n } 是首项为 1 的正项数列,且 ( n ? 1)a n ?1 ? na n ? a n ?1a n ? 0 (n=1,2,3,??) ,
2 2

x2 1? x

1 2

1 3

1 4

则它的通项公式是 a n ? ________________。

题型 7: 多选型填空题 例 13.若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基量” 。 {a n } 是公比为 q 的无穷等比数 列,下列“基量”为_________组; (1) S1 与S 2 ; (2) a 2 与S 3 ; (3) a 1 与a n ; (4)q 与 a n (n 为大于 1 的整数, S n 为 {a n } 的 前 n 项和) 题型 8: 探索型填空题 例 14.若两个长方体的长、宽、高分别为 5cm、4cm、3cm,把它们两个全等的面重合在一起组 成大长方体,则大长方体的对角线最大为________cm。 题型 9: 新定义型填空题 例 15.定义“等和数列” ,在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么 这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和。 已知数列 {a n } 是等和数列且 a 1 ? 2 ,公和为 5,那么 a 18 的值为_______,且这个数列前 21 项和 S 21 的值为_____________。 题型 10: 组合型填空题 例 16.?,? 是两个不同的平面,m、n 是平面 ?及? 之外的两条不同直线,给出四个论断: (1) (2) ??? , (3) n?? , (4) m?? 。以其中三个论断作为条件,余下一个论断为结论, m?n , 写出你认为正确的一个命题________ _;

知识正确、方法得当、结果规范、控制时间
总之,能够多角度思考问题,灵活选择方法,是快速准确地解数学填空题的关键。

减少填空题失分的检验方法 (1)回顾检验

1 且 ?? ? ? ? ? 的角 ? 的集合 _____ 2 2? 1 4? 1 2? 4? 错解:? cos 或 。 ? ? , cos ? ? , ?? ? 3 2 3 2 3 3
例 1.满足条件 cos ? ? ? 检验: (2)赋值检验
2

___。

例 2.已知数列{ a n }的前 n 项和为 Sn ? 3n ? 2 n ? 1 ,则通项公式 a n =_________; 错解:? a n ? Sn ? Sn ?1 ? 3n ? 2 n ? 1 ? [3(n ? 1) ? 2(n ? 1) ? 1]
2 2

? 6n ? 1,? an ? 6n ? 1
检验: (3)估算检验 例 3.不等式 1 ? 1gx ? 1 ? lg x 的解是___
2
3

_______;

错解:两边平方得 1 ? lg x ? (1 ? lg x ) ,即 lg x (lg x ? 3) ? 0 , 0 ? lg x ? 3 , 解得 1 ? x ? 10 ; 检验: (4)作图检验 例 4.函数 y ?|log 2 | x ? 1|| 的递增区间是___________; 错解:( 1, ? ? ) 检验: (5)多种检验 例 5.若

1 9 ? ? 1( x,y ? R ? ) ,则 x ? y 的最小值是_________。 x y

错解:? 1 ?

1 9 9 6 , xy ? 6 ? ?2 ? x y xy xy

? x ? y ? 2 xy ? 12
检验: (6)极端检验 例 6.已知关于 x 的不等式 ( a ? 4) x ? ( a ? 2) x ? 1 ? 0 的解集是空集,求实数 a 的取值范围 ________ __;
2 2

错解:由 ? ? ( a ? 2) ? 4( a ? 4) ? 0 ,解得 ? 2 ? a ?
2 2

6 。 5

检验: (7)静态检验 例 7.在正方体 ABCD—A1 B1 C1 D1 中,M、N 分别为棱 D1 D、BC 的中点,P 为棱 A1 B1 上的任 意一点,则直线 AM 与 PN 所成的角等于________ ; 错解:乱填一个角。

检验:

三、热身冲刺
2 2 1.求值 cos2 ? ? cos( = ? ? 1200) ? cos( ? ? 2400)

2.曲线 y ? x3 ? 3x2 ? 6 x ? 10 的切线中,斜率最小的切线方程是 3.已知函数 f ( x) ? x x ? 2 ,则不等式 f ( 2 ? x) ≤ f (1) 的解集为 4.已知点 A(4,1)点 B(-2,4) ,C(x,0)三点共线,则 x=___
???? ??? ? ??? ? ??? ? 5. ?ABC 的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为 H, OH ? m(OA ? OB ? OC) ,则实数 m= 。



6.点 m(a,b)在直线 3x+4y=15 上,则 a 2 ? b2 的最小值为
5 7 7.函数 y=f(x)在(0,2)上是一增函数,函数 y=f(x+2)是偶函数,则 (),( f 1 f ),( f )的 2 2

大小关系是

(用“<”号连接)

8.在平面几何里,有勾股定理: “设△ABC 的两边 AB,AC 互相垂直,则 AB2+AC2=BC2” 拓 展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得出的 正确结论是: “设三棱锥 A—BCD 的三个侧面 ABC、ACD、ADB 两两相互垂直, 则 . 9.平行六面体的各棱长都为 4,在其顶点 P 所在的三条棱上分别取 PA=1,PB=2,PC=3,则 棱锥 P-ABC 的体积与平行六面体的体积的比值为 10.设函数 f ( x) ? 1 x3 ? 1 ax 2 ? 2bx ? c .若当 x ? (0,1) 时,f ( x ) 取得极大值; x ? (1, 2) 时,f ( x ) 取得极小值,则
3 2

b?2 的取值范围 a ?1



11.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=x2,当 x>0 时,f(x+1)=f(x)+f(1), 且. 若直线 y=kx 与函数 y=f(x)的图象恰有 3 个不同的公共点,则实数 k 的值为 . 12.若关于 x 的方程 1 ? x 2 ? k ( x ? 2) 有两个不等的实根,则实数 k 的取值范围是 13.已知 m,n 是直线,α 、β 、γ 是平面,给出下列是命题: ①若α ⊥γ ,β ⊥γ ,则α ∥β ;②若 n⊥α ,n⊥β ,则α ∥β ; ③若α 内不共线的三点到β 的距离都相等,则α ∥β ; ④若 n α ,m α 且 n∥β ,m∥β ,则α ∥β ; ⑤若 m,n 为异面直线,n∈α ,n∥β ,m∈β ,m∥α ,则α ∥β ; 则其中正确的命题是 。 (把你认为正确的命题序号都填上) 。
D C

P

A

B

14. 如图, 有一圆柱形的开口容器 (下表面密封) , 其轴截面是边长为 2 的正方形, 第 14 P 是 BC 中点,现有一只蚂蚁位于外壁 A 处,内壁 P 处有一米粒,则这只蚂蚁取得米粒所需经过 题

的最短路程为______.


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