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向量的坐标表示与数量积


向量的坐标表示与数量积
知识点梳理
1.平面向量基本定理 如果 e1,e2 是同一平面内的两个________向量,那么对于这一平面内的任意向量 a,__________一对实数λ 1,λ2 使 a=λ1e1+λ2e2.其中,不共线的向量 e1,e2 叫作表示这一平面内所有向量的一组________. 2.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法及数乘 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a+b=______________,a-b=____________,λa=________________. (2)向量的模 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB =__________________, AB =________________.

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3.平面向量共线的坐标表示 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中 b≠0,则 a∥b?a= ? b?________________. 4.向量数量积的定义 已知两个非零向量 a 和 b,它们的夹角为 θ,我们把数量________________叫作 a 与 b 的数量积(或内积),记作 a· b, 并规定零向量与任一向量的数量积都为 0. 5.向量数量积的性质 设 a,b 都是非零向量,e 是单位向量,θ 是 a 与 b 的夹角. (1)e· a=a· e ; (2)a⊥b?a·b=________; (3) cos ? =________;

(4)|a·b|≤|a|·|b|.

(5)当 a 与 b 同向时,a· b=________;当 a 与 b 反向时,a·b=________;特殊地,a· a=|a|2 或|a|= a·a. 6.向量数量积的运算律 (1)交换律:a· b=b· a. (2)分配律:(a+b)· c=________.

(3)数乘结合律:(λa)· b=λ(a· b)=a· (λb).

7.平面向量数量积的坐标表示 (1)若非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a· b=___________,故 a⊥b?____________. (2)设 a=(x,y),则|a|=________________. a·b x1x2+y1y2 (3)若两个非零向量 a=(x1,y1)与向量 b=(x2,y2)的夹角为 θ,则 cos θ = = . 2 |a||b| x1 +y12· x22+y22

基础巩固
→ 1. 已知AB=(-2,-5),B(3,-7),则点 A 的坐标为____________.

→ 2.已知 A(m,2),B(2,n),若BA=(3,4),则 m=________,n=________.

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3.已知向量 a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)∥c,则 m=________. 4.已知向量 a=(1,1),b=(2,x),若 a+b 与 4b-2a 平行,则实数 x 为______ 5.下列向量组能够作为基底的序号是________. ①(2,1),(-4,-2);②(0,1),(1,2);③(1,4),(2,5). → → 6.已知OA=a,OB=b,C 为线段 AB 上距 A 较近的一个三等分点,D 为线段 CB 上距 C 较近的一个三等分点, → → 若用 a,b 表示OD,则OD=____________.

7.设 a=(2,-1),b=(3,-2),则(3a-b)· (a-2b)=________.

8.已知向量 a 和 b 的夹角为 60° ,|a|=3,|b|=4,则(2a-b)· a 等于________

9. 已知向量 a,b 满足|a|=1,|b|=4,且 a· b=2,则 a 与 b 的夹角为________.

10.若两个平面向量 a=(1,2)与 b 的夹角是 180°,且|b|=3 5,则 b 的坐标是________.

→ → 11. 在△ABC 中,∠C=90°,AB=(k,1),AC=(2,3),则 k 的值是________.

12.设 a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若 b⊥c,则实数 k 的值等于________.

13.给出下列结论,其中正确结论的个数为________. ①(a· b)· c=a· (b· c); ②若 a· b=0,则 a=0 或 b=0;

③若向量 a,b,c 满足 a· b=a· c(a≠0),则有 b=c.

→ → 14.已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则AE·BD=________.

重点剖析
由相等向量求参数值 例1. 已知向量 a=( x 2+ y 2, xy), b=(5,-2),若 a= b,求 x, y 的值

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练习 1:已知 a =(3,-1),b =(-1,2) ,c =(2,1)若 a = xb + yc (x,y∈R ),则 x+y =_____

拓展:平面向量基本定理的推论:a,b 不共线,λ1a+μ1b=λ2a+μ2b?λ 1=μ1,λ2=μ2. 例:已知 a,b 不共线,若 ma-b=a+nb(b≠0),则 m=________,n=________. 平面向量的坐标运算 例 2. 已知 A? ?2,4? , B ?3, ?1? , C ? ?3, ?4? ,且 CM ? 3CA, CN ? 2CB , 求 M 和 N 的坐标及向量 MN .

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练习 2: 已知 A ? ?1,1? , B ? 2, ?1? .若直线 AB 上的点 D 满足 AD ? ?2 BD ,则 D 点的坐标为________

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向量平行的坐标表示 例 3. 已知 A? ?1,0? , B ?3, ?1? , C ?1, 2? ,并且 AE ?

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? 1 ??? ? ??? ? ??? ? 1 ???? ??? AC , BF ? BC 求证: EF∥AB 3 3

练习 3: 已知 a=(1,0),b=(2,1),若向量 ka-b 与 a+3b 平行,则实数 k=________.

例 4. 在平面直角坐标系中,已知向量 a=(1,2),a-2b=(3,1),c=(x,3),若(2a+b)∥c,则 x=________.

1

? ??? ? ??? 练习 4: 点 A(-1,2),B(n-1,3),C(-2,n+1),D(2,2n+1),若向量 AB 与 CD 共线且同向,则 n 的值为_____

向量解决平面几何问题
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例 5. 如图,已知直角梯形 ABCD,AD⊥AB,AB=2AD=2CD,过点 C 作 CE⊥AB 于点 E,M 为 CE 的中点, 用向量的方法证明:(1)DE∥BC;(2)D,M,B 三点共线.

练习 5: 如图,在四边形 ABCD 中,AB=BC=CD=1,且∠B=90°,∠BCD=135°, → =a,AC → =b,则AD → =________(用 a,b 表示) 记向量AB

拓展(待定系数法): 例:如图所示,在 ? ABC 中,点 M 是 BC 的中点,点 N 在 AC 上,且 AN ? 2 NC ,AM 与 BN 交于点 P, 求 AP : PM 与 BP : PN 的值.

向量数量积的运算: 例 6. 在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,∠A=30° ,BC=1,D 为斜边 AB 的中点,则 AB? CD =_______

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CA . 练习 6:(1)正 ? ABC 的边长为 3,求 BC ?BA , BC ?
(2)已知向量 a=(-2,3),b=(1,5),求(2a-b) · (a+3b).

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两向量的夹角问题:
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例 7. 已知向量 a=(-2,-1),b=(t,1),且 a 与 b 的夹角为钝角,求实数 t 的取值范围。

练习 7:(1)已知 a=1,a+b= 1, 2 ,那么向量 a,b 的夹角为______。

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(2)已知向量 a=(λ,2λ),b=(3λ,2),如果 a 与 b 的夹角为锐角,则 λ 的取值范围是________.

数量积的几何意义: 例 8. 向量 a=(3,4)在向量 b=(1,0)方向上的投影为 ______ .

练习 8:若向量 a,b 满足|a|=3,且 a· b=-12,则向量 b 在向量 a 方向上的投影为________. 向量模的运算: 例 9. (1)已知向量 a,b 满足|a|=5,|b|=9,|a-b|=11,求|2a+b|; (2)已知 a=(3,2),b=(x,3),且(a+2b) · a=0,求|a+6b|。

练习 9:平面向量 a 与 b 的夹角为 60 , a=(2,0), |b|=1,则 |a+2b|= _____

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向量垂直的问题: 例 10. 已知 a= ? cos ? ,sin ? ? ,b= ? cos ? ,sin ? ? , ?? ? ? ? . 判断向量 a+b 与 a-b 是否互相垂直,并说明理由.

练习 10:已知 a 是平面内的单位向量,若向量 b 满足 b· (a-b)=0,求|b|的取值范围.

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