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高中数学圆的方程(含圆系)典型题型归纳总结


高中数学圆的方程典型题型归纳总结
类型一:巧用圆系求圆的过程
在解析几何中,符合特定条件的某些圆构成一个圆系,一个圆系所具有的共同形式的 方程称为圆系方程。常用的圆系方程有如下几种: ⑴以 为圆心的同心圆系方程

倘若充分挖掘本题的几何关系

, 不难得出

在以

为直径的圆上。 而



好为直线与圆的交点,选取过直线与圆交点的圆系方程,可极大地简化运算过程。 解:过直线 与圆 的交点的圆系方程为:

,即

………………….① ⑵过直线 与圆 的交点的圆系方程

依题意, 在以

为直径的圆上, 则圆心 (

) 显然在直线

⑶过两圆 的圆系方程

和圆

的交点

上,则

,解之可得

又 此圆系方程中不包含圆 谨防漏解。 当 时,得到两圆公共弦所在直线方程 ,直接应用该圆系方程,必须检验圆 是否满足题意,

满足方程①,则



例 2: 求过两圆



的交点且面积最小的圆的方程。

解:圆



的公共弦方程为

,即

例 1:已知圆 标原点,若 ,求实数 的值。

与直线

相交于

两点, 为坐

过直线

与圆

的交点的圆系方程为

,即 分析:此题最易想到设出 ,由 得到 ,利
1

用设而不求的思想,联立方程,由根与系数关系得出关于

的方程,最后验证得解。

依题意,欲使所求圆面积最小,只需圆半径最小,则两圆的公共弦必为所求圆的 直径,圆心 必在公共弦所在直线 上。即 ,则

类型二:直线与圆的位置关系
例 5、若直线 y ? x ? m 与曲线 y ?

4 ? x 2 有且只有一个公共点,求实数 m 的取值范围.

代回圆系方程得所求圆方程 例 3:求证:m 为任意实数时,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5 恒过一定点 P,并 求 P 点坐标。 分析:不论 m 为何实数时,直线恒过定点,因此,这个定点就一定是直线系中任意 两直线的交点。 解:由原方程得 m(x+2y-1)-(x+y-5)=0,①
?x ? 2 y ? 1 ? 0 ?x ? 9 解得? ? ?y ? ?4 , 即 ?x ? y ? 5 ? 0

解:∵曲线 y ?

4 ? x 2 表示半圆 x 2 ? y 2 ? 4( y ? 0) ,∴利用数形结合法,可得实数 m 的取值范

围是 ? 2 ? m ? 2 或 m ? 2 2 . 变式练习:1.若直线 y=x+k 与曲线 x= 解析:利用数形结合. 答案:-1<k≤1 或 k=- 2

1 ? y 2 恰有一个公共点,则 k 的取值范围是___________.

例 6 圆 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 9 上到直线 3x ? 4 y ? 11 ? 0 的距离为 1 的点有几个? 分析:借助图形直观求解.或先求出直线 l1 、 l 2 的方程,从代数计算中寻找解答. 解法一:圆 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 9 的圆心为 O1 (3 , 3) ,半径 r ? 3 . 设圆心 O1 到直线 3x ? 4 y ? 11 ? 0 的距离为 d ,则 d ?

∴直线过定点 P(9,-4) 注:方程①可看作经过两直线交点的直线系。 例 4 已知圆 C: (x-1)2+(y-2)2=25,直线 l: (2m+1)x+(m+1)y-7m- 4=0(m∈R). (1)证明:不论 m 取什么实数,直线 l 与圆恒交于两点; (2)求直线被圆 C 截得的弦长最小时 l 的方程.
剖析:直线过定点,而该定点在圆内,此题便可解得. (1)证明:l 的方程(x+y-4)+m(2x+y-7)=0. 2x+y-7=0, x=3, ∵m∈R,∴ 得 x+y-4=0, y=1, 即 l 恒过定点 A(3,1). ∵圆心 C(1,2) ,|AC|= 5 <5(半径) , ∴点 A 在圆 C 内,从而直线 l 恒与圆 C 相交于两点. (2)解:弦长最小时,l⊥AC,由 kAC=-

3 ? 3 ? 4 ? 3 ? 11 32 ? 4 2

? 2 ? 3.

如图,在圆心 O1 同侧,与直线 3x ? 4 y ? 11 ? 0 平行且距离为 1 的直线 l1 与圆有两个交点,这 两个交点符合题意.

1 , 2

又 r ? d ? 3 ? 2 ? 1. ∴与直线 3x ? 4 y ? 11 ? 0 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意. ∴符合题意的点共有 3 个. 解法二: 符合题意的点是平行于直线 3x ? 4 y ? 11 ? 0 , 且与之距离为 1 的直线和圆的交点. 设
2

∴l 的方程为 2x-y-5=0. 评述:若定点 A 在圆外,要使直线与圆相交则需要什么条件呢?

思考讨论

所求直线为 3x ? 4 y ? m ? 0 ,则 d ?

m ? 11 32 ? 42

? 1,

的最大、最小值. 分析:(1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标,可考虑用圆的参数方程或数形结合解决. 解:(1)(法 1)由圆的标准方程 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 1 . 可设圆的参数方程为 ?

∴ m ? 11 ? ?5 ,即 m ? ?6 ,或 m ? ?16 ,也即

l1: 3x ? 4 y ? 6 ? 0 ,或 l2: 3x ? 4 y ? 16 ? 0 .
设圆 O1: ( x ? 3)2 ? ( y ? 3)2 ? 9 的圆心到直线 l1 、 l 2 的距离为 d1 、 d 2 ,则

? x ? 3 ? cos? , ( ? 是参数) . ? y ? 4 ? sin ? ,

d1 ?

3? 3 ? 4 ? 3 ? 6 32 ? 42

? 3 , d2 ?

3 ? 3 ? 4 ? 3 ? 16 32 ? 42

则 d ? x 2 ? y 2 ? 9 ? 6 cos? ? cos2 ? ? 16 ? 8 sin ? ? sin 2 ?

? 1.

? 26 ? 6 cos? ? 8 sin ? ? 26 ? 10cos(? ? ? ) (其中 tan ? ?
所以 d max ? 26 ? 10 ? 36 , d min ? 26 ? 10 ? 16 .

4 ) . 3

∴ l1 与 O1 相切,与圆 O1 有一个公共点;l 2 与圆 O1 相交,与圆 O1 有两个公共点.即符合题意的 点共 3 个. 说明:对于本题,若不留心,则易发生以下误解: 设圆心 O1 到直线 3x ? 4 y ? 11 ? 0 的距离为 d ,则 d ? ∴圆 O1 到 3x ? 4 y ? 11 ? 0 距离为 1 的点有两个. 显然,上述误解中的 d 是圆心到直线 3x ? 4 y ? 11 ? 0 的距离,d ? r ,只能说明此直线与圆有 两个交点,而不能说明圆上有两点到此直线的距离为 1.

(法 2)圆上点到原点距离的最大值 d 1 等于圆心到原点的距离 d 1 加上半径 1, 圆上点到原点距离

'

3 ? 3 ? 4 ? 3 ? 11 32 ? 4 2

? 2 ? 3.

的最小值 d 2 等于圆心到原点的距离 d 1 减去半径 1. 所以 d1 ? 32 ? 42 ? 1 ? 6 .

'

d 2 ? 32 ? 42 ? 1 ? 4 .
所以 dmax ? 36 . d min ? 16 . (2) (法 1)由 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 1 得圆的参数方程: ? 则

类型三:圆中的最值问题
例 7:圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 14 ? 0 的最大距离与最小距离的差是
2 2 解 : ∵ 圆 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 18 的 圆 心 为 ( 2 , 2 ) ,半径 r ? 3 2 ,∴圆心到直线的距离

? x ? ?2 ? cos? , ? 是参数. ? y ? sin ? ,

y ? 2 sin ? ? 2 sin ? ? 2 ? ?t, .令 x ? 1 cos ? ? 3 cos ? ? 3

d?

10 2

得 sin ? ? t cos ? ? 2 ? 3t , 1 ? t 2 sin(? ? ? ) ? 2 ? 3t

? 5 2 ? r ,∴直线与圆相离,∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是

?

2 ? 3t 1? t2

? sin(? ? ? ) ? 1 ?

3? 3 3? 3 ?t ? . 4 4

(d ? r ) ? (d ? r ) ? 2r ? 6 2 .
例 8 小值. (1)已知圆 O1: ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 1 , P( x , y) 为圆 O 上的动点,求 d ? x 2 ? y 2 的最大、最

所以 tmax ?

3? 3 3? 3 , tmin ? . 4 4

y?2 (2)已知圆 O2: 的最大、最小值,求 x ? 2 y ( x ? 2) ? y ? 1 , P( x , y) 为圆上任一点.求 x ?1
2 2


3

y?2 3? 3 3? 3 的最大值为 ,最小值为 . x ?1 4 4

此时 x ? 2 y ? ?2 ? cos? ? 2 sin? ? ?2 ? 5 cos( ? ??) . 所以 x ? 2 y 的最大值为 ?2 ? 5 ,最小值为 ?2 ? 5 . (法 2)设 图所示,

即 m ? ?(1 ? cos? ? sin ? ) 恒成立. ∴只须 m 不小于 ?(1 ? cos? ? sin ? ) 的最大值. 设 u ? ?(sin ? ? cos ? ) ? 1 ? ? 2 sin(? ? ∴ umax ? 2 ?1 即 m ?

y?2 ? k ,则 kx ? y ? k ? 2 ? 0 .由于 P( x , y) 是圆上点,当直线与圆有交点时,如 x ?1

?
4

) ?1

2 ?1.

说明:在这种解法中,运用了圆上的点的参数设法.一般地,把圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 上的点 设为 (a ? r cos? , b ? r sin ? ) ( ? ?[0 , 2? ) ).采用这种设法一方面可减少参数的个数,另一方面可 以灵活地运用三角公式.从代数观点来看,这种做法的实质就是三角代换. 两条切线的斜率分别是最大、最小值. 由d ?

? 2k ? k ? 2 1? k
2

? 1 ,得 k ?

3? 3 . 4

所以

y?2 3? 3 3? 3 的最大值为 ,最小值为 . x ?1 4 4

令 x ? 2 y ? t ,同理两条切线在 x 轴上的截距分别是最大、最小值. 由d ?

?2?m 5

? 1 ,得 m ? ?2 ? 5 .

所以 x ? 2 y 的最大值为 ?2 ? 5 ,最小值为 ?2 ? 5 .
2 2 例 9、已知对于圆 x ? ( y ?1) ? 1上任一点 P( x , y) ,不等式 x ? y ? m ? 0 恒成立,求实数 m 的

取值范围.
2 2 设圆 x ? ( y ?1) ? 1上任一点 P(cos? , 1 ? sin ? ) ? ?[0 , 2? )

∴ x ? cos ? , y ? 1 ? sin ? ∵ x ? y ? m ? 0 恒成立 ∴ cos ? ? 1 ? sin ? ? m ? 0
4


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