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《算术平均数和几何平均数》课例点评


《算术平均数和几何平均数》课例点评 北京市永乐店中学
一、教学目标: (一)数学知识点: 1.重要不等式:若 a,b∈R,那么 a 2 +b 2 2ab(当且仅当 a=b 时,取“=”号)

李龙强

均值不等式:若

(当且仅当 a=b 时,取“=”号)

2.算术平均数、几何平均数及它们之间的关系。 (二)能力训练要求: 1.学会推导并灵活运用“重要不等式和均值不等式”这个两个重要定理及其它们各自的变 型形式; 2.理解均值不等式的几何意义,并牢固掌握定理中的“=”成立的条件; 3.通过“拆分、配凑”构建适合不等式的模式求最值,归纳小结“重要不等式和均值不等 式”所适用的环境。 (三)德育渗透目标: 数学来源于实际又服务于实际,学生学习的目的在于应用。在教学过程中,通过给学生创设 一个应用实际问题的情境,激发学生的认知兴趣,引入主题。在教学过程中通过例题的不断 变式帮助学生掌握公式的结构特点,并能灵活运用公式的适当变型,提高学生的分析问题、 解决问题和自我归纳小结的能力,进一步加强学生的实践能力,渗透数学的思想方法,激励 学生去取得成功,并享受数学中特有的美。 (四)重点和难点: 重点:重要不等式和均值不等式的理解和应用 难点:重要不等式和均值不等式变型的灵活应用;拆分、配凑构建不等式的模式 关键:“一定,二正,三相等” 二、教学过程: 引例:某城市为控制用水,计划提高水价,现有甲、乙、丙三种方案: 甲方案:先提价 a%,再提价 b%;乙方案:先提价 b%,再提价 a%;

丙方案:分两次都提价 1.重要不等式:

%,则哪一种方案提价最多?(a,b>0)

如果 a,b∈R,那么 a 2 +b 2 ≥2ab ( 当且仅当 a=b 时,取“=”号 ) 证明: 例 1.已知 a,b∈R,求证:a 2 +b 2 +c 2 ≥ab+bc+ca 变式:设 a,b∈R,a 2 +2b 2 =6 的最大值。 2.均值不等式:

若 证明:

(当且仅当 a=b 时,取“=”号)

语言表述: 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 例 2.已知 a,b,c,d 都是正数,求证:(ab+cd)(ac+bd)≥4adcd 例 3.已知 x,y 都是正数,求证: ( 1)如果积 xy 是定值 p,那么当 x=y 时,和 x+y 有最小值 ;

( 2)如果和 x+y 是定值 S,那么当 x=y 时,积 xy 有最大值



例 3.若 x∈(0,4],当

为何值

有最小值,最小值为多少?

变式一:求

的最大值。

变式二:已知

,求函数

的最大值。

变式三:求

内的最小值。

思考题:提示:画出 例 4.若

(x>0)的草图,结合图像求解; 求 xy 的最大值。

变式一:已知

,则 xy 的最小值是。

变式二:设

求 y=x(1-3x)的最大值。

课堂练习: P11 练习:1、2、3 能力提高题:(附加题) 1.已知在△ABC 中,AB=1,BC=2,则∠C 的取值范围是(A)

A.

;B.

;C.

;D.

2.若正数 a,b 满足 ab=a+b+3,则 a+b 的取值范围是(B) A. ;B. ;C. ;D.

反思小结: 1.重要不等式和均值不等式及其各自的等价变型形式; 2.均值不等式及其三要素:“一正,二定,三相等”; 作业: 45 分钟基础巩固:1--6 能力提升:8、9、11 思考题: 求证:

高中数学《算术平均数和几何平均数》多媒体教学教师小结: 李龙强 公开课题目《算术平均数和几何平均数》。这是高二数学开章内容,由于本人在高三任职, 故到高一借了一个班开公开课。

总的来说,自己对这节课不是很满意,或许是角度不一样,要求的程度也不一样吧。路在脚 下,用心走好。 先说说这节课的优势: 备课很用心, 引入切合实际让学生学会关注这个社会并对出现的现象 进行合理的分析;知识点讲完后立即检测学生的学习效果,能让他们及时把握,达到活学活 用的效果;一题三变或一题四变的方式,层层相扣,式式递进,使学生的学生达到举一反三 的效果,增强学生对知识点灵活使用的层度;上课思路清晰,能自由调动课堂气氛,适当的 给学生以鼓励和赞许,增强他们学习的信心。 这节课的不足之处:这节课语速过快,留给学生自由发挥的空间较少,由于借班上课,课堂 不是很活跃,最后的总结有些仓促。其他同事的意见都很中肯:引入有点沉重,虽与实际联 系紧密但演算过程繁杂, 如果用一个简单的例子给他们会节省时间, 为后面自由发挥留出空 间,声音稍小。 以上意见,自己会虚心接受,或许教了高三的缘故,讲课速度快,想要面面俱到就必会在题 目中变式很多,帮学生归纳小结的地方很多,所以让他们自由发挥的空间相对就少了。这些 一定在今后的教学中改正。 高中数学《算术平均数和几何平均数》多媒体教学教师评语 1.评议者:善于激励学生,课堂气氛融洽,热烈;语速语调音量有待加强;板书设计有待加 强;建议由学生进行适当板书后,根据学生的错误讲评;“=”成立的条件在不等式的证明 中可不另外强调;创设的例题、习题应让学生有出现错误的机会. 2.评议者:语言教态优:教学设计好,通过实例引入,提出本节课重点,能让学生容易接 受,然后通过例子说明应用,非常好,是进行变式题的设计,让学生前面有问题解决,调动 学生学习的积极性。可多用多媒体辅助教学,提高效率. 3.评议者:教学过程流畅,对重、难点把握准确,能较好地完成教学目标。教师课堂驾驭能 力强,语言表达流利,不足是声音偏小,语调流于平淡. 4.评议者:重点把握到位,难点辨析透彻,在一定程度上体现了“四主”教学原则;师生 之间互动,但学生思考时间太少,同时课堂容量太大,对于高一学生,能否达到教学目标还 有一定距离。


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