当前位置:首页 >> 数学 >>

江苏省苏州市四市五区2016届上学期期中考试数学试题及参考答案


四市五区 2015—2016 学年第一学期高三期中调研试卷


注意事项:



2015.11

1.本试卷共 4 页。满分 160 分,考试时间 120 分钟。 2.请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题纸上,在本试卷上答题无效。 3.答题前,务必将自己的姓名、学校、准考证号写在

答题纸的密封线内。

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请把答案直接填写在答卷纸 相应的 ... 位置) 1.设集合 A ? ? x ?1 ? x ? 2? , B ? ? x 0 ? x ? 4? ,则 A ? B ?
2 2.函数的 y ? ln x ? x ? 2 定义域是





?

?



. ▲ .
x 2

3.已知 sin ? ?

? 1 ,且 ? ? ( , ? ) ,则 tan ? = 2 4

4.定义在 R 上的奇函数 f ? x ? ,当 x ? 0 时, f ? x ? ? 2 ? x ,则 f ? ?1? ? f ? 0? ? f ? 3? = 5.函数 y ? 3 sin x ? cos x ? 2 ? x ? 0 ? 的值域是 ▲ . ▲ .





6.等差数列 ?an ? 中,前 n 项和为 Sn ,若 S4 ? 8a1 , a4 ? 4 ? a2 ,则 S10 ? 7.设函数 f ( x) ? ?

?2 x ? 4, x ? 0 ?? x ? 3, x ? 0

,若 f (a) ? f (1) ,则实数 a 的取值范围是





8.等比数列 {an } 的公比大于 1, a5 ? a1 ? 15, a4 ? a2 ? 6 ,则 a3 ? 9.将函数 y ? sin ? 2 x ?



? ?

??

?? ? ? 的图象向右平移 ? ? 0 ? ? ? ? 个单位后,得到函数 f ? x ? 的图象,若函数 6? 2? ?
▲ .

f ? x ? 是偶函数,则 ? 的值等于
10.已知函数 f ? x ? ? ax ?

b ? a ,? R , b ? 0 ? 的图象在点 P ?1, f ?1?? 处的切线与直线 x ? 2 y ?1 ? 0 垂直, x

且函数 f ? x ? 在区间 ? , ?? ? 上是单调递增,则 b 的最大值等于

?1 ?2

? ?



11.已知 f ? m? ? ? 3m ?1? a ? b ? 2m ,当 m ? ?0,1? 时, f ? m? ? 1 恒成立,则 a ? b 的最大值是 ▲ 12. ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,若 tan A ? 2 tan B, a ? b ?
2 2



1 c ,则 c ? 3



1

13.已知 x ? y ? 1, y ? 0, x ? 0 ,则

1 x 的最小值为 ? 2x y ?1



14.设 f ? ? x ? 和 g? ? x ? 分别是函数 f ? x ? 和 g ? x ? 的导函数,若 f ? ? x ? ? g? ? x ? ? 0 在区间 I 上恒成立,则称 函数 f ? x ? 和 g ? x ? 在区间 I 上单调性相反。若函数 f ? x ? ?

1 3 x ? 2ax 与函数 g ? x ? ? x2 ? 2bx 在开区间 3

? a, b?? a ? 0? 上单调性相反,则 b ? a 的最大值等于



二、解答题(本大题共 6 个小题,共 9 0 分,请在答卷纸指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤)
15.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 2 cos

?x
2

( 3 cos

?x
2

? sin

?x
2

) ?? ? 0 ? 的最小正周期为 2? .

(1)求函数 f ? x ? 的表达式; (2)设 ? ? ? 0,

? ?

??

6 ? ,且 f (? ) ? 3 ? 5 ,求 cos ? 的值; 2?

16.(本小题满分 14 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 2Sn ? an?1 ? 2n?1 ? 1 ,且 a1 , a2 ? 5, a3 成等差数列。 (1)求 a1 , a2 的值;
n (2)求证:数列 an ? 2 是等比数列,并求数列 ?an ? 的通项公式。

?

?

17.(本题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? x ? 2ax ? 1。
2

(1)若函数 g ? x ? ? log a ? ? f ? x? ? a? ? ? a ? 0, a ? 1? 的定义域是 R ,求实数 a 的取值范围; (2)当 x ? 0 时,恒有不等式

f ? x? ? ln x 成立,求实数 a 的取值范围。 x

2

18.(本小题满分 16 分) 如图,在海岸线 l 一侧 C 处有一个美丽的小岛,某旅游公司为方便游客,在 l 上设立了 A,B 两个报 名点,满足 A,B,C 中任意两点间的距离为 10 km.公司拟按以下思路运作:先将 A,B 两处游客分别乘车 集中到 AB 之间的中转点 D 处(点 D 异于 A,B 两点),然后乘同一艘轮游轮前往 C 岛.据统计,每批游客 A 处需发车 2 辆,B 处需发车 4 辆,每辆汽车每千米耗费 2 a 元,游轮每千米耗费 12a 元.(其中 a 是正常 数)设∠CDA=α,每批游客从各自报名点到 C 岛所需运输成本为 S 元. (1) 写出 S 关于 α 的函数表达式,并指出 α 的取值范围; (2) 问:中转点 D 距离 A 处多远时,S 最小?

19.(本小题满分 16 分) 设函数 f ( x) ? x | x ? 1| ?m , g ( x) ? ln x . (1)当 m ? 1 时,求函数 y ? f ( x) 在 [0, m] 上的最大值; (2)记函数 p( x) ? f ( x) ? g ( x) ,若函数 p ( x) 有零点,求实数 m 的取值范围.

20.(本小题满分 16 分) 已知数列 {an } 的奇数项是公差为 d1 的等差数列, 偶数项是公差为 d2 的等差数列,Sn 是数列 {an } 的前

n 项和, a1 ? 1 , a2 ? 2 .
(1)若 S5 ? 16 , a4 ? a5 ,求 a10 ; (2)已知 S15 ? 15a8 ,且对任意 n ? N ,有 an ? an?1 恒成立,求证:数列 {an } 是等差数列;
*

(3)若 d1 ? 3d2 ( d1 ? 0 ),且存在正整数 m, n ( m ? n ),使得 am ? an .求当 d1 最大时,数列 {an } 的 通项公式.

3

2015—2016 学年第一学期高三期中调研测试试卷





(附加)

2015.11

注意事项: 1.本试卷共 2 页.满分 40 分,考试时间 30 分钟. 2.请在答题卡上的指定位置作答,在本试卷上作答无效. 3.答题前,请务必将自己的姓名、学校、考试证号填写在答题卡的规定位置. 21. 【选做题】 本题包括 A、 B、 C、 D 四小题, 请选定其中两题, 并在相应的答题区域内作答. 若 ................... 多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.(几何证明选讲) (本小题满分 10 分) 如图,已知AB为圆O的直径,BC切圆O于点B,AC交圆O于点P,E为线段BC的中点.求证: OP⊥PE.
A

O P

B

E

C

B.(矩阵与变换选做题)

?a 0 ? 设曲线 2 x2 ? 2 xy ? y 2 ? 1在矩阵 A ? ? ? ( a ? 0 )对应的变换作用下得到的曲线为 ?b 1?

x2 ? y 2 ? 1.求实数 a , b 的值.

C.(坐标系与参数方程选做题)

? x ? t ? 1, ? x ? a sin ? , 在直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1 : ? ( t 为参数)与曲线 C2 : ? (? ? y ? 1 ? 2t ? y ? 3cos ?
为参数, a ? 0 )有一个公共点在 x 轴上, P(m, n) 为曲线 C2 上任一点,求 m ? n 的取值范围. D.(不等式选做题)
4

1 1 1 设 a, b, c 均为正数,且 a ? b ? c ? 1 ,证明: ? ? ? 9 . a b c

【必做题】第 22、23 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应 ....... 写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分 10 分) 如图,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直, AB ? 2 , AF ? 1 , M 是 线段 EF 的中点. (1))求二面角 A ? DF ? B 的大小; (2)试在线段 AC 上确定一点 P ,使 PF 与 BC 所成的角是 60o .

E

M C F B

D

A

23.(本小题满分 10 分) 设 f ? x, n ? ? ?1 ? x ? , n ? N ? .
n

(1)求 f ? x,6? 的展开式中系数最大的项;
0 n?1 1 n ?2 2 n?3 n?1 0 n ?1 (2) n ? N ? ,化简 Cn 4 ? Cn 4 ? Cn 4 ? L ? Cn 4 ? Cn 4 ; 1 2 3 n (3)求证: Cn ? 2Cn ? 3Cn ? L nCn ? n ? 2n?1 .

5

2015—2016 学年第一学期高三期中调研试卷





2015.11

注意事项: 1.本试卷共 4 页。满分 160 分,考试时间 120 分钟。 2.请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题纸上,在本试卷上答题无效。 3.答题前,务必将自己的姓名、学校、准考证号写在答题纸的密封线内。 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请把答案直接填写在答卷纸 相应的 ... 位置) 1.设集合 A ? ? x ?1 ? x ? 2? , B ? ? x 0 ? x ? 4? ,则 A ? B ? 2.函数的 y ? ln ? x 2 ? x ? 2 ? 定义域是 ▲ ▲ . . ▲ .

? 1 3.已知 sin ? ? ,且 ? ? ( , ? ) ,则 tan ? = 2 4

4.定义在 R 上的奇函数 f ? x ? ,当 x ? 0 时, f ? x ? ? 2 x ? x 2 ,则 f ? ?1? ? f ? 0? ? f ?3? ? ▲ . 5.函数 y ? 3 sin x ? cos x ? 2 ? x ? 0 ? 的值域是 ▲ . ▲ ▲ . .

6.等差数列 ?an ? 中,前 n 项和为 Sn ,若 S4 ? 8a1 , a4 ? 4 ? a2 ,则 S10 ?

?2 x ? 4, x ? 0 7.设函数 f ( x) ? ? ,若 f (a) ? f (1) ,则实数 a 的取值范围是 ?? x ? 3, x ? 0
8.等比数列 {an } 的公比大于 1, a5 ? a1 ? 15, a4 ? a2 ? 6 ,则 a3 ? ▲

?? ?? ? ? 9.将函数 y ? sin ? 2 x ? ? 的图象向右平移 ? ? 0 ? ? ? ? 个单位后,得到函数 f ? x ? 的图象, 6? 2? ? ?
若函数 f ? x ? 是偶函数,则 ? 的值等于 10. 已知函数 f ? x ? ? ax ? ▲ .

b ? a,? R, b ? 0 ? 的图象在点 P ?1, f ?1?? 处的切线与直线 x ? 2 y ?1 ? 0 垂 x

?1 ? 直,且函数 f ? x ? 在区间 ? , ?? ? 上是单调递增,则 b 的最大值等于 ▲ . ?2 ?

11.已知 f ? m? ? ?3m ?1? a ? b ? 2m ,当 m ? ?0,1? 时, f ? m? ? 1 恒成立,则 a ? b 的最大值是 ▲ .
1 3

12. ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,若 tan A ? 2tan B, a 2 ? b 2 ? c ,则 c ? ▲ .

6

13.已知 x ? y ? 1, y ? 0, x ? 0 ,则

1 x 的最小值为 ? 2x y ?1



14.设 f ? ? x ? 和 g? ? x ? 分别是函数 f ? x ? 和 g ? x ? 的导函数,若 f ? ? x ? ? g? ? x ? ? 0 在区间 I 上恒成
1 立,则称函数 f ? x ? 和 g ? x ? 在区间 I 上单调性相反。若函数 f ? x ? ? x3 ? 2ax 与函数 3

g ? x ? ? x2 ? 2bx 在开区间 ? a, b?? a ? 0? 上单调性相反,则 b ? a 的最大值等于



二、解答题(本大题共 6 个小题,共 9 0 分,请在答卷纸指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤) 15.(本题满分 14 分) ?x ?x ?x ( 3 cos ? sin ) ?? ? 0 ? 的最小正周期为 2? . 已知函数 f ( x) ? 2 cos 2 2 2 (1)求函数 f ? x ? 的表达式;
6 ? ?? (2)设 ? ? ? 0, ? ,且 f (? ) ? 3 ? ,求 cos ? 的值; 5 ? 2?

16.(本小题满分 14 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 2Sn ? an?1 ? 2n?1 ? 1,且 a1 , a2 ? 5, a3 成等差数列。 (1)求 a1 , a2 的值; (2)求证:数列 ?an ? 2 n ? 是等比数列,并求数列 ?an ? 的通项公式。

17.(本题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? x2 ? 2ax ? 1。 (1)若函数 g ? x ? ? log a ? ? f ? x? ? a? ? ? a ? 0, a ? 1? 的定义域是 R ,求实数 a 的取值范围; (2)当 x ? 0 时,恒有不等式
f ? x? ? ln x 成立,求实数 a 的取值范围。 x

7

18.(本小题满分 16 分)
如图,在海岸线 l 一侧 C 处有一个美丽的小岛,某旅游公司为方便游客,在 l 上设立了 A,B 两个报 名点,满足 A,B,C 中任意两点间的距离为 10 km.公司拟按以下思路运作:先将 A,B 两处游客分别乘车 集中到 AB 之间的中转点 D 处(点 D 异于 A,B 两点),然后乘同一艘轮游轮前往 C 岛.据统计,每批游客 A 处需发车 2 辆,B 处需发车 4 辆,每辆汽车每千米耗费 2 a 元,游轮每千米耗费 12a 元.(其中 a 是正常 数)设∠CDA=α,每批游客从各自报名点到 C 岛所需运输成本为 S 元. (1) 写出 S 关于 α 的函数表达式,并指出 α 的取值范围; (2) 问:中转点 D 距离 A 处多远时,S 最小?

19.(本小题满分 16 分) 设函数 f ( x) ? x | x ? 1| ?m , g ( x) ? ln x . (1)当 m ? 1 时,求函数 y ? f ( x) 在 [0, m] 上的最大值; (2)记函数 p( x) ? f ( x) ? g ( x) ,若函数 p( x) 有零点,求实数 m 的取值范围.

20.(本小题满分 16 分) 已知数列 {an } 的奇数项是公差为 d1 的等差数列,偶数项是公差为 d2 的等差数列, Sn 是数 列 {an } 的前 n 项和, a1 ? 1 , a2 ? 2 . (1)若 S5 ? 16 , a4 ? a5 ,求 a10 ; (2)已知 S15 ? 15a8 ,且对任意 n ? N * ,有 an ? an?1 恒成立,求证:数列 {an } 是等差数列; (3)若 d1 ? 3d2 ( d1 ? 0 ),且存在正整数 m, n ( m ? n ),使得 am ? an .求当 d1 最大时,数 列 {an } 的通项公式.

高三数学参考答案
8

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.

?x | 0 ? x ? 2? ;

2. ? ??, ?1? ? ? 2, ??? ; 3. ?

15 ; 4. ?2 ; 5. ? ?4,0? ; 6.120 ; 15

7. a ? ?1 或 a ? 1 ;8.4; 9. 提示:
π 6

? 2 7 5 1 ;10. ; 11. ; 12.1; 13. ; 14. 3 3 4 2 3
π 6 π 2

9. f ( x) ? sin(2 x ? 2? ? ) . f (0) ? ?1 ? 2? ? ? ? kπ .
b b 10. f ?( x) ? a ? 2 , f ?(1) ? a ? b ? 2 . f ( x) ? (b ? 2)( x ? b ? 2 ) . x x

∵ b ? 0 ,∴ 11. ?

b 1 2 ? ?0?b? . b?2 2 3

? f (0) ? 1, ??a ? b ? 1, 以下线性规划. ?? ? f (1) ? 1 ?2a ? b ? 3.
2

1 2 ? 3a 2 ? 3b 2 ? c 2 . ? 2 2 2 2 2 b ?c ?a a ?c ?b 1 x ? 的最小值. y ? 1 ),求 13.原题 ? 已知 x ? y ? 2 ( x ? 0, 2x y

12. tan A ? 2tan B ?

b) ( a ? 0 )上恒成立 14.原题 ? ( x 2 ? 2a)(2x ? 2b) ? 0 在 (a , b) ( a ? 0 )上恒成立 ? ( x ? b)( x ? 2a )( x ? 2a ) ? 0 在 (a , b) ( a ? 0 )上恒成立 ? x ? 2a ? 0 在 ( a ,

? 0 ? a ? b ? 2a .

二、解答题 (本大题共 6 个小题,共 9 0 分) 15.(本题满分 14 分) 解: (1) f ( x) ? 2 cos

?x
2

( 3 cos

?x
2

? sin

?x
2

) ? 2 3 cos 2

?x
2

? 2 cos

?x
2

sin

?x
2

? 3 ? 1? c o ?sx ? ?
=

s ?ixn…………………………………………2 分
…………………………………………4 分
2? ? 2? , ? ? 1 .………………6 分

?? ? 3 ? 2sin ? ? x ? ? 3? ?

因为函数 f ? x ? 的最小正周期为 2? ,所以
?f

?

? x? ?

?? ? 3 ? 2 s i?n x ? ? 3? ?

……………7 分

9

(2)

6 由 f (? ) ? 3 ? , 5

?? 3 ? 得 sin ? ? ? ? ? ? 3? 5 ?

? ? ? ?? ?? 4 ? ?? ? Q ? ? ? 0, ? , ?? ? ? ? ? , ? , ? cos ? ? ? ? ? …………9 分 3 ? 3 6? 3? 5 ? 2? ?

? ? ?c o ? s ? co s ? ?? 3 ?
4 1 ? 3 ? ? ? ? ? ? ?? 5 2 ? 5 ?
第(2)题另解:

?? ? ? ? ? ? ? c?o ?s ? ? 3? 3 ? ?

?

? ? ? c o s? ? ?s i n ? ? 3 3 ? ?

?

……… s i n 12 分 3

3 ? 4 3 3 …………………………………………14 分 ? 2 10

? ? ?? 3 ?sin ? ? ? ? ? ? , 3? 5 ?1 0 0 c 2 o?s? ? ? ?sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 ?

s0 ? 60 ? 3? co? s ? 1c1o ?

3 3? 4 . 10

?? 3 3?4 因为 ? ? ? . ? 0, ? ,所以 cos ? ? 0 ,故 cos ? ?
? 2?
10

16.(本小题满分 14 分) 解:(1)由已知,得 2a1 ? a2 ? 3 1 , ○ 2 ○ ……………………………2 分 3 ○ 3分

2 ? a1 ? a2 ? ? a3 ? 7

又因为 a1 , a2 ? 5, a3 成等差数列,所以 a1 ? a3 ? 2a2 ? 10 解○ 1 ,○ 2 ,○ 3 ,得 (2) 由已知,

a1 ? 1, a2 ? 5 ……………………………………………………5 分

n ? N * 时, 2 ? Sn?1 ? Sn ? ? an?2 ? an?1 ? 2n?2 ? 2n?1

即 an?2 ? 3an?1 ? 2n?1 , 即 an?1 ? 3an ? 2n ? n ? 2? , ………………………………………7 分

由(1)得, a2 ? 3a1 ? 2 ?an?1 ? 3an ? 2n ? n ? N *? ………………………9 分 从而有
an ?1 ? 2n ?1 ? 3an ? 2n ? 2n ?1 ? 3an ? 3 ? 2n ? 3 ? an ? 2n ? ………11 分

又 a1 ? 2 ? 0 ,

?an ? 2n ? 0 , ?

an?1 ? 2n?1 ?3 an ? 2n

? 数列 ?an ? 2 n ? 是等比数列,且公比为 3 。.………………………12 分
10

n ?1 n , ?an ? 2n ? ? a1 ? 2 ? 3 ?? 3

即 an ? 3n ? 2n .………………14 分

注: (1) 不说明 a2 ? 3a1 ? 2 ,就得?an?1 ? 3an ? 2n ? n ? N *? ,扣 1 分. (2) 仅有 an ?1 ? 2n ?1 ? 3 ? an ? 2n ? ,就得到数列 ?an ? 2 n ? 是等比数列,扣 1 分. 17.(本题满分 14 分) 解: (1)由题意得,对任意 x ? R ,恒有 f ? x ? ? a ? 0 ,即 x2 ? 2ax ? 1 ? a ? 0 ,……2 分 于是, ? ? 4a2 ? 4 ?1? a ? ? 0 , 即 a2 ? a ?1 ? 0 , 解得,
1? 5 1? 5 ,……………………………………3 分 ?a? 2 2

……………………………………3 分

? 1? 5 ? 又因为 a ? 0, a ? 1 ,所以实数 a 的取值范围是 ? 0,1? ? ? ?1, 2 ? ? …………………5 分 ? ?

(3) 当 x ? 0 时,不等式 即 2a ? x ? 设 g ? x? ? x ?

f ? x? 1 ? ln x 等价于 x ? 2a ? ? ln x , x x

1 ? ln x ,……………………………………7 分 x

1 1 1 x2 ? x ?1 ? ln x ,则 g ? ? x ? ? 1 ? 2 ? ? ………………9 分 x x x x2

令 g? ? x ? ? 0 ,得 x ?

1? 5 , 2

当0 ? x ?

1? 5 时, g? ? x ? ? 0, g ? x ? 单调减, 2

当x?

1? 5 时, g? ? x ? ? 0, g ? x ? 单调减增,………………………11 分 2 1? 5 o 时, 2

故当 x ?

? 1? 5 ? 1? 5 g ? x ?min ? g ? ? 5 ? ln ……………………13 分 ? ? 2 ? 2 ? ?

? 2a ? 5 ? ln

1? 5 , 2
11

? 5 1 1? 5 ? 所以实数 a 的取值范围是 ? ? ??, 2 ? 2 ln 2 ? ? ………………14 分 ? ?

18.(本小题满分 16 分)
π 2π 解:(1) 由题知在△ACD 中,∠CAD= ,∠CDA=α,AC=10,∠ACD= -α. 3 3 CD AD 10 由正弦定理知 = = ,……………………………..2 分 π 2π sin α ? -α? sin sin 3 ?3 ? 5 3 即 CD= , sin α 2π ? 10sin? ? 3 -α? AD= ,……………………………………..3 分 sin α

所以 S=4aAD+8aBD+12aCD= (12CD-4AD+80)a 2π ? 60 3-40sin? ? 3 -α? =[ ]a+80a…………………………………………..5 分 sin α =[20 3 3-cos α 2? ?? ]a+60a ? ? ? ? sin α 3 ?3

? ? . ………………..6 分 ?

(2) S′=20 3

1-3cos α · a,…………………………………..……………..8 分 sin2α

1 令 S′=0 得 cos α= ……………………………………………………..10 分 3 1 当 cos α> 时,S′<0; 3 1 当 cos α< 时,S′>0,………………………………..12 分 3

1 所以当 cos α= 时,S 取得最小值,…………………………………………………..14 分 3 5 3cos α+5sin α 2 2 5 6 此时 sin α= ,AD= =5+ ,…………………..15 分 3 sin α 4 20+5 6 所以中转点 C 距 A 处 km 时,运输成本 S 最小.……………………..16 分 4

19.(本小题满分 16 分) 解:(1)当 x ? [0,1] 时,
1 1 f ( x) ? x(1 ? x) ? m ? ? x 2 ? x ? m ? ?( x ? ) 2 ? m ? , 2 4 1 1 当 x ? 时, f ( x ) max ? m ? .………………..2 分 2 4 1 1 当 x ? (1, m] 时, f ( x) ? x( x ? 1) ? m ? x 2 ? x ? m ? ( x ? ) 2 ? m ? , 2 4

因为函数 y ? f ( x) 在 (1, m] 上单调递增,所以 f ( x)max ? f (m) ? m2 .…………..4 分 由 m2 ? m ?
1 1 1? 2 得 m2 ? m ? ? 0 ,又 m ? 1 ,所以 m ? .………………..6 分 4 4 2
12

所以当 m ?

1? 2 时, f ( x)max ? m2 ; 2

当1 ? m ?

1 1? 2 时, f ( x ) max ? m ? .………………..8 分 4 2

(2)函数 p( x) 有零点, 即方程 f ( x) ? g ( x) ? x | x ?1| ? ln x ? m ? 0 有解, 即 m ? ln x ? x | x ?1| 有解.令 h( x) ? ln x ? x | x ? 1| , 当 x ? (0,1] 时, h( x) ? x2 ? x ? ln x . 因为 h '( x) ? 2 x ?
1 ? 1 ? 2 2 ? 1 ? 0 ,………………..10 分 x

所以函数 h( x) 在 (0,1] 上是增函数,所以 h( x) ? h(1) ? 0 .………………..11 分 当 x ? (1, ??) 时, h( x) ? ? x2 ? x ? ln x .
1 ?2 x 2 ? x ? 1 ( x ? 1)(2 x ? 1) ?? ? 0 ,……..12 分 因为 h '( x) ? ?2 x ? ? 1 ? x x x

所以函数 h( x) 在 (1, ??) 上是减函数,所以 h( x) ? h(1) ? 0 .………………..14 分 所以方程 m ? ln x ? x | x ?1| 有解时 m ? 0 . 即函数 p( x) 有零点时实数的取值范围是 ? ??,0? .………………..16 分 20.(本小题满分 16 分) (1)解:由题意,得

a1 ? 1, a2 ? 2, a3 ? a1 ? d1 ? 1 ? d1 , a4 ? a2 ? d2 ? 2 ? d2 , a5 ? a3 ? d1 ? 1 ? 2d1 ...2 分
因为 S5 ? 16, a4 ? a5 ,
所以 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 7 ? 3d1 ? d2 ? 16, 2 ? d2 ? 1 ? 2d1 .

所以 d1 ? 2, d2 ? 3 ,…………………………………………………..4 分 所以 a10 ? 2 ? 4d2 ? 14 .……………………………..5 分 (2)证明:当 n 为偶数时,因为 an ? an?1 恒成立,
n n n 即 2 ? ( ? 1)d 2 ? 1 ? d1 , (d 2 ? d1 ) ? 1 ? d 2 ? 0 恒成立, 2 2 2
13

? d2 ? d1 ? 0 且 d2 ? 1 .……………………………………………………7 分
当 n 为奇数时,因为 an ? an?1 恒成立, 即1 ?
n ?1 n ?1 d1 ? 2 ? ( ? 1) d 2 , (1 ? n)(d1 ? d2 ) ? 2 ? 0 恒成立, 2 2

? d1 ? d2 ? 0 ,于是有 d1 ? d 2 .……………………………………………………9 分

Q S15 ? 15a8 ,? 8 ?

8? 7 7?6 d1 ? 14 ? d 2 ? 30 ? 45d 2 , 2 2

? d1 ? d2 ? 2 , an ? n ,所以数列 {an } 是等差数列.………………………………11 分
(3)解:若 d1 ? 3d2 ( d1 ? 0 ),且存在正整数 m, n ( m ? n ),使得 am ? an , 由题意得,在 m, n 中必然一个是奇数,一个是偶数,不妨设 m 为奇数, n 为偶数.
m ?1 n d1 ? 2 ? ( ? 1)d 2 ,………………………………………13 分 2 2 6 因为 d1 ? 3d2 ,所以 d1 ? , 3m ? n ? 1

因为 am ? an ,所以 1 ?

因为 m 为奇数, n 为偶数,所以 3m ? n ? 1 的最小正值为 2,此时 d1 ? 3, d2 ? 1,…………15 分
1 ?3 n ? , n为奇数 ? ?2 2 所以数列 {an } 的通项公式为 an ? ? .……………………………16 分 ? 1 n ? 1, n为偶数 ? ?2

21.【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作 .................. 答 .若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . A.(几何证明选讲, 本题满分 10 分) 解:连BP,因为AB是圆O的直径,所以∠APB=90° ,从而∠BPC=90° . ……..2分 在△BPC中,因为E是边BC的中点,所以BE=EC,从而BE=EP,因此∠1=∠3.……….4 分 又因为B、P为圆O上的点,所以OB=OP,从而∠2=∠4.……………………….6分 因为BC切圆O于点B,所以∠ABC=90° ,即∠1+∠2=90° ,……………………….8分 从而∠3+∠4=90° ,于是∠OPE=90° .所以OP⊥PE.……………………….10分
14

B.(矩阵与变换选做题) 解:(1)设曲线 2 x2 ? 2 xy ? y 2 ? 1上任一点 P( x, y) 在矩阵 A 对应变换下的像是 P '( x ', y ') ,则

?a 0 ? ? x ? ?ax ? ? x ' ? ?b 1? ? y ? ? ?bx ? y ? ? ? y '? ,…………………………………………………………2 分 ? ?? ? ? ? ? ? ?ax ? x ' 所以 ? .…………………………………………………………………………………5 ?bx ? y ? y '
分 因为 x '2 ? y '2 ? 1 ,所以 (ax)2 ? (bx ? y)2 ? 1,即 (a2 ? b2 ) x2 ? 2bxy ? y 2 ? 1 ,………7.分
?a 2 ? b2 ? 2 所以 ? ,由于 a ? 0 ,得 a ? b ? 1 .………………………………………………10 分 ? 2b ? 2

C.(坐标系与参数方程选做题)

? x ? t ? 1, 3 解:曲线 C1 : ? 的直角坐标方程为 y ? 3 ? 2 x ,与 x 轴交点为 ( , 0) ,…………2 分 2 ? y ? 1 ? 2t ? x ? a sin ? , x2 y 2 ? 1, 曲线 C2 : ? 的直角坐标方程为 2 ? a 9 ? y ? 3cos ?
与 x 轴交点为 (?a,0),(a,0) ,………………………………………4 分 由 a ? 0 ,曲线 C1 与曲线 C2 有一个公共点在 x 轴上,所以 a ?
3 .………………6 分 2

? 所以 2m ? n ? 3sin ? ? 3cos ? ? 3 2 sin(? ? ) ,…………………………8 分 4
? 所以 m ? n 的取值范围为 ? ?-3 2,3 2 ? .…………………………10 分

D.(不等式选做题)

15

1 1 1 b?c a?c a?b ? ? ? 1? ?1? ?1? …………………………4 分 a b c a b c b a c a c b ? 3 ? ? ? ? ? ? .……………………………………………8 分 a b a c b c ? 3? 2? 2? 2 ? 9 当且仅当 a ? b ? c 时等号成立 ……………………………………………10 分 uuu r uur uur 22.解:(1)以 CD, CB, CE 为正交基底,建立空间直角坐标系,则 E(0, 01), , D( 2,0, 0) ,

解:

F

?

uuu r uu u r 2, 2,1 , B(0,2,0) , A( 2, 2,0), BD ? ( 2, ? 2,0) , BF ? ( 2,0,1) .

?

r 面 ADF 的法向量 t ? (1,0,0) ,………………………………………………………2分
r uuu r r uuu r r 设面 DFB 法向量 n ? (a, b, c) ,则 n ? BD ? 0 , n ? BF ? 0 ,

r ? ? 2a ? 2b ? 0, 所以 ? 令 a ? 1 ,得 b ? 1, c ? ? 2 ,所以 n ? (1,1, ? 2) .…………..4分 ? ? 2a ? c ? 0. ? 设二面角 A ? DF ? B 的大小为 ? ( 0 ? ? ? ) 2 r r 1 从而 cos ? ? cos ? n, t ? ? ,? ? ? 60? , 2
故二面角 A ? DF ? B 的大小为 60o .…………………..6分

uu u r uur (3)依题意,设 P(a, a,0) ( 0 ? a ? 2 ),则 PF ? ( 2 ? a, 2 ? a,1) , CB ? (0, 2,0) . uu u r uur 因为 ? PF , CB ?? 60o ,所以 cos 60o ?
2( 2 ? a) 2 ? 2( 2 ? a) 2 ? 1 ? 1 2 ,解得 a ? ,…..9 分 2 2

所以点 P 应在线段 AC 的中点处.……………………………………………….10 分
3 3 23.解:(1)展开式中系数最大的项是第四项为 Cn x ? 20x3 ;……………………………….3


0 n?1 1 n ?2 2 n?3 n?1 0 n ?1 (2) Cn 4 ? Cn 4 ? Cn 4 ? L ? Cn 4 ? Cn 4

?

1 0 n 1 5n 1 n ?1 2 n?2 n ?1 n n ? ? C 4 ? C 4 ? C 4 ? L ? C 4 ? C ? (4 ? 1) ? ;……………………7 分 n n n n n ? 4? 4 4

k k ?1 (3)因为 kCn ? nCn ?1 ,
1 2 3 n 0 1 2 n ?1 n ?1 ? 2Cn ? 3Cn ? L ? nCn ? n ? Cn 所以 Cn .………10 分 ?1 ? Cn ?1 ? Cn ?1 ? L Cn ?1 ? ? n ? 2

16


相关文章:
江苏省苏州市四市五区2016届上学期期中考试数学试题及参考答案
江苏省苏州市四市五区2016届上学期期中考试数学试题及参考答案_数学_高中教育_教育专区。四市五区 2015—2016 学年第一学期高三期中调研试卷 数注意事项: 学 2015...
江苏省苏州市四市五区2016届高三上学期期中数学试题(含附加题)
江苏省苏州市四市五区2016届高三上学期期中数学试题(含附加题)_数学_高中教育_...an .求当 d1 最大时,数列 {an } 的通项公式. 高三数学参考答案 8 一、...
苏州市四市五区2016届上学期期中试题及参考答案
苏州市四市五区2016届上学期期中试题及参考答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。苏州市四市五区2016届上学期期中试题及参考答案 ...
江苏省苏州市四市五区2016届高三上学期期中考试数学试题(含附加题)
江苏省苏州市四市五区2016届高三上学期期中考试数学试题(含附加题)_数学_高中...an .求当 d1 最 大时,数列 {an } 的通项公式. 高三数学参考答案一、填空...
江苏省苏州市四市五区2016届高三上学期期中数学试题(含附加题)
江苏省苏州市四市五区2016届高三上学期期中数学试题(含附加题)_数学_初中教育_教育专区。2015—2016 学年第一学期高三期中调研试卷 数 注意事项: 学 1.本试卷共...
高三数学-苏州市四市五区2016届高三上学期期中考试数学试题(含附加题)
高三数学-苏州市四市五区2016届高三上学期期中考试数学试题(含附加题)_数学_...an .求当 d1 最大时,数列 {an } 的通项公式. 高三数学参考答案一、填空...
江苏省苏州市2016届高三上学期期中考试数学试题(WORD版,含答案)
江苏省苏州市2016届高三上学期期中考试数学试题(WORD版,含答案)_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 苏州市第一学期高三期中调研试卷数学一、填空题: 1.设集合 A...
江苏苏州市四市五区2015-2016学年第一学期高三期中调研测试
江苏苏州市四市五区2015-2016学年第一学期高三期中...本试卷分为第一卷(选择题)和第二卷(非选择题),...英语参考答案第一部分:听力理解 (共两节,满分 15 ...
苏州市2016届高三上学期期末数学调研试卷参考答案
苏州市2016届高三上学期期末数学调研试卷参考答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高清扫描,课直接打印 文档贡献者 xuyiweiwei 贡献于2016-01-17 相关文档推荐 ...
更多相关标签:
江苏省苏州市2016高三 | 江苏省苏州市 | 江苏省苏州市姑苏区 | 江苏省 苏州市 园区 | 江苏省苏州市相城区 | 江苏省苏州市高新区 | 江苏省苏州市区号 | 江苏省苏州市吴江区 |