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吉林省长春市十一中2013届高三上学期期中考试 数学文


体验 探究 合作 展示 长春市十一高中 2012-2013 学年度高三上学期期中考试 数学(文科)试题
本试卷分第一部分(选择题)和第二部分(非选择题) ,满分 150 分,测试时间 120 分钟
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.
2 1.已知集合

A= x x ? x ? 6 ? 0 ,B= ?? 3,?2,?1,1,2,3?,则 A∩B 中元素的个数为(

?

?



A.2

B.3

C.4

D.5 ) D. ?

2.若 ? 是第四象限角,且 cos ? ? A.

4 5

B. ?
3

4 5

3 ,则 sin ? 等于( 5 3 C. 5


3 5

3.命题“ ?x ? R , x ? 0 ”的否定是( A. ?x ? R , x ? 0
3

B. ?x ? R , x ? 0
3

C. ?x ? R , x ? 0
3

D. ?x ? R , x ? 0
3

? x ? y ? 4 ? 0, ? 4.已知实数 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 0, 则 z ? 2 x ? y 的最小值是( ? x ? 3, ?
A. ? 4 B. ? 2 C.0 D.2 ) 5.设 S n 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,且 S8 ? S 3 ? 10 ,则 S11 的值是( A.12 B.18 6.下列函数中,值域为 R 的函数是( A. y ? x ? 1
2



C.22 ) B. y ? 2 D. y ?
x ?1

D.44

C. y ? lg( x ? 1)

x ?1 x ?1

sin 20? 1 ? cos40? 7.式子 的值为( cos50?
A.



1 2

B.

2 2

C. 2

D. 2

8.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 3n ? 1,则其通项公式 an =( A. 2 ? 3
n ?1

) D. 3
n

B. 3 ? 2

n ?1

C. 2

n

9.若向量 OA ? ( x ? 1,2) , OB ? (4, y) ,且 OA ? OB ,则 9 ? 3 的最小值为(
x y



A.12

B.2 3

C. 3 2

D.6

10.下列叙述中: ①在 ?ABC 中,若 cos A ? cos B ,则 A ? B ; ②若函数 f ( x ) 的导数为 f '( x) , f ( x0 ) 为 f ( x ) 的极值的充要条件是 f ?( x0 ) ? 0 ; ③函数 y ? sin(2 x ?

?
6

) 的图象可由函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移

? 个单位得到; 6

④在同一直角坐标系中, 函数 f ( x) ? sin x 的图象与函数 f ( x) ? x 的图象仅有三个公共点. 其中正确叙述的个数为( A.0 B.1 ) C.2 D.3

11 . 已 知 函 数 f ( x) ? x 2 ? 2 x , g ( x) ? ax ? 2(a ? 0) , 对 任 意 的 x1 ? ?? 1,2? , 都 存 在

x0 ? ?? 1,2? ,使得 g ( x1 ) ? f ( x0 ) ,则实数 a 的取值范围是(
A. ? 0, ? 2

) D. ?0,3?

? ?

1? ?

B.[

1 ,3] 2
x

C. ?3,???
x

?1? ?1? 12.已知函数 f ( x) ? lg x ? ? ? , g ( x) ? lg x ? ? ? 的零点分别为 x1 , x2 ,则有( ?2? ? 2?
A. x1 x2 ? 0 B. x1 x2 ? 1 C. x1 x2 ? 1 D. 0 ? x1 x2 ? 1



第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.曲线 y ? 2x 在点(1,2)处的切线斜率为
2 ?

. .

14.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,满足 an ? S n ? 1 (n ? N ) ,则通项 an = 15.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 4 sin
2

A? B 7 ? cos 2C ? ,且 2 2

a ? b ? 5 , c ? 7 ,则 ?ABC 的面积为



16.已知定义在 R 上的偶函数满足: f ( x ? 4) ? f ( x) ? f (2) ,且当 x ?[0,2]时, y ? f (x)

单调递减,给出以下四个命题: ① f (2) ? 0 ; ② x ? ?4 为函数 y ? f (x) 图象的一条对称轴; ③函数 y ? f (x) 在[8,10]上单调递增; ④若方程 f ( x) ? m 在 ?? 6,?2? 上的两根为 x1 , x2 ,则 x1 ? x2 ? ?8 . 上述命题中所有正确命题的序号为 . 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 设函数 f ( x) ? 2x ? 1 , g ( x) ? x ? 4 . (Ⅰ)解不等式 f ( x) ? 3 ; (Ⅱ)解不等式 f ( x) ? g ( x) ? 4 .

18. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 a3 ? 5 , S15 ? 225. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 3
an

? 2n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 sin x cos x ? cos 2 x( x ? R) . (Ⅰ)求 f (x) 的最小正周期和单调递增区间; (Ⅱ)若 ? 为锐角,且 f (? ?

?
8

)?

2 ,求 tan ? 的值. 3

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (ax ? x)e ,其中 e 是自然对数的底数, a ? R .
2 x

(Ⅰ)当 a ? 0 时,求不等式 f ( x) ? 0 的解集; (Ⅱ)当 a ? 0 时,求使方程 f ( x) ? x ? 2 在[ k , k ? 1 ]上有解的整数 k 的所有取值.

21. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2 6 , 椭圆 C 上任意一点到椭圆两个焦点的距 a2 b2

离之和为 6. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l : y ? kx ? 2 与椭圆 C 交于 A, B 两点,点 P (0,1) ,且 PA = PB ,求直线 l 的 方程. 22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

a( x ? 1) . x ?1

(Ⅰ)若函数 f (x) 在(0, ? ? )上为单调增函数,求 a 的取值范围; (Ⅱ)设 m , n ?(0, ? ? ) ,且 m ? n ,求证:

m?n m?n ? . ln m ? ln n 2

体验 探究 合作 展示 长春市十一高中 2012-2013 学年度高三上学期期中考试 数学(文科)试题参考答案
一、BBABC 二、13.4, 三、解答题 17.解: (Ⅰ) 2 x ? 1 ? 3 , ? 3 ? 2 x ? 1 ? 3 ,解集为 x ? 1 ? x ? 2 CBADB AD 14.

1 2n

15 .

3 3 2

16. ①②④

?

?

??4 分

1 ? ?? 3 x ? 5, ( x ? 2 ), ? 1 ? (Ⅱ) f ( x ) ? ? x ? 3, ( ? x ? 4), 2 ? ?3 x ? 5, ( x ? 4) ? ?

?? 3x ? 5 ? 4, ? 由? 1 ?x ? 2 ?

解得 x ?

1 ; 3

? x ? 3 ? 4, ? 由 ?1 ?2 ? x ? 4 ?

解得 1 ? x ? 4 ;

由?

?3x ? 5 ? 4, 解得 x ? 4 ?x ? 4

综上可知不等式 f ( x) ? 4 的解集为 ? x x ?

? ?

? 1 或x ? 1? .??10 分 3 ?

18.解: (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公差为 d ,由题意得

?a1 ? 2d ? 5, ? ? 15? 14 ?15a1 ? 2 d ? 225 ?
(Ⅱ)∵ bn ? 3
an

解得 ?

? a1 ? 1 ?d ? 2

∴ an ? 2n ? 1 。??6 分

? 2n ? 3 2 n ?1 ? 2n ?

1 n ? 9 ? 2n 3

∴ Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?

1 (9 ? 9 2 ? 9 3 ? ? ? 9 n ) ? 2(1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) 3
??12 分

=

3 3 1 9(1 ? 9 n ) ? ? n(n ? 1) = ? 9 n ? n(n ? 1) ? 8 8 3 1? 9

19. (Ⅰ)解: f ( x) ? 2 sin x cos x ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x = 2 sin( 2 x ?

?
4

)

则 f (x) 的最小正周期为 ? , 2k? ? 即单调递增区间为 ?k? ?

?
2

? 2x ?

?
4

? 2k? ?

?
2

,k ? Z

? ?

3? ?? , k? ? ?, k ? Z . 8 8?
∴ 2 sin(2? ?

??6 分

(Ⅱ)∵ f (? ? ∴ 2 cos ? ? 1 ?
2

?
8

)?

2 3

?
2

)?

1 2 , ∴ cos 2? ? 。 3 3

1 。 3

∵ ? 为锐角,即 0 ? ? ?

?
2

,∴ cos? ?

6 3

∴ sin ? ? 1 ? cos

2

? ?

3 。 3
??12 分
2

∴ tan? ?

sin ? 2 ? cos? 2
x

20.解: (Ⅰ)因为 e ? 0 ,所以 f ( x) ? 0 ,即 ax ? x ? 0 。

又因为 a ? 0 ,所以不等式可化为 x ( x ? 所以不等式 f ( x) ? 0 的解集为(0, ?

1 )?0 a
??4 分

1 ) 。 a

x x (Ⅱ)当 a ? 0 时,方程 f ( x) ? x ? 2 ,即 xe ? x ? 2 ,由于 e ? 0 ,
x 所以 x ? 0 不是方程的解,所以原方程等价于 e ?

2 ?1 ? 0 x

令 h( x ) ? e ?
x

2 2 ? 1 ,因为 h / ( x) ? e x ? 2 ? 0 对于 x ?( ? ? ,0)∪(0, ? ? )恒成立, x x

所以函数 h(x) 在( ? ? ,0)和(0, ? ? )内是单调递增函数, 又 h(1) ? e ? 3 ? 0 , h(2) ? e ? 2 ? 0 , h( ?3) ? e
2
?3

?

1 ? 0 , h(?2) ? e ?2 ? 0 , 3

所以函数 h(x) 在区间[1,2]和[-3,-2]上分别有一个零点, 即方程 f ( x) ? x ? 2 有且只有两个实数根,且分别在区间[1,2]和[-3,-2]上,故 k ? 1 或

k ? ?3 。

??12 分

21.解: (Ⅰ)由已知 2a ? 6 , 2c ? 2 6 , 解得 所以 b ? a ? c ? 3 ,所以椭圆 C 的方程为
2 2 2

a ? 3,c ? 6 ,
??4 分

x2 y2 ? ? 1。 9 3

? x2 y2 ? 1, ? ? (Ⅱ)由 ? 9 3 ? y ? kx ? 2, ?

得 (1 ? 3k ) x ? 12kx ? 3 ? 0 ,
2 2

2 2 直线与椭圆有两个不同的交点,所以 ? ? 144k ? 12(1 ? 3k ) ? 0 解得 k ?
2

1 。 9

设 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y 2 )

12 k 3 , x1 x 2 ? , 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 12 k 4 ?? 计算 y1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ) ? 4 ? k ? , 2 1 ? 3k ? 4 1 ? 3k 2 6k 2 所以,A,B 中点坐标 E( ,? ) 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2
则 x1 ? x 2 ? 因为 PA = PB ,所以 PE⊥AB, k PE ? k AB ? ?1

2 ?1 1 ? 3k 2 所以 ? k ? ?1 6k 1 ? 3k 2 ?

解得 k ? ?1

经检验,符合题意,所以直线 l 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 或 x ? y ? 2 ? 0 。??12 分

1 a( x ? 1) ? a( x ? 1) ( x ? 1) 2 ? 2ax x 2 ? (2 ? 2a) x ? 1 22.解: (Ⅰ) f ( x) ? ? 。 ? ? x ( x ? 1) 2 x( x ? 1) 2 x( x ? 1) 2
/

因为 f (x) 在(0, ? ? )上为单调增函数,所以 f / ( x) ? 0 在(0, ? ? )上恒成立,即 (0,? ? ) 上恒成立, x ? 当 (0,? ? ) 由 x 2 ? (2 ? 2a) x ? 1 ? 0 时, x 2 ? (2 ? 2a) x ? 1 ? 0 在 得 2a ? 2 ? x ? 设 g ( x) ? x ?

1 。 x

1 1 1 1 , x ?(0, ? ? ) ,则 g ( x) ? x ? ? 2 x ? ? 2 ,当且仅当 ? x x x x x

即 x ? 1 时等号成立,所以 2a ? 2 ? 2 即 a ? 2 ,所以 a 的取值范围是 ?? ?,2? 。??6 分

m m m ?1 ?1 2( ? 1) m n (Ⅱ)不妨设 m ? n 。原不等式等价于不等式 n ,即 ln ? ,即 ? n m m 2 n ln ?1 n n m 2( ? 1) 2( x ? 1) m ,这个函数即为 a ? 2 时的函数 f (x) ,根据 ln ? n ? 0 。设 h( x) ? ln x ? m x ?1 n ?1 n m m ? 1 ,所以 h( ) ? h(1) ? 0 所以 (1)知这个函数在(1, ? ? )上是单调增函数,又 n n m 2( ? 1) m?n m?n m ? . ??12 分 ln ? n ? 0 ,所以 m ln m ? ln n 2 n ?1 n


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