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河南省南阳市2014-2015学年高二上学期期中质量评估数学(理)试题


高二数学(理)参考答案与评分标准
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) 1 C 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. ? 2,3? 14. 1 ? 2 B 3 B 4 B 5 A 6 C 7 A 8 C 9 B 10 C 11 D 12 A

2 2 3

15.

20( 6 ? 2)

16. n ? 2

n

17.解: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差 d . 因为 a3 ? ?6,a6 ? 0 , 所以 ?

?a1 ? 2d ? ?6, ?a1 ? 5d ? 0.

解得 a1 ? ?10,d ? 2 . ------------5 分

所以 an ? ?10 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ?12 . (Ⅱ)设等比数列 {bn } 的公比为 q . 因为 b2 ? a1 ? a 2 ?a3 ? ?24,b1 ? ?8 , 所以 ?8q ? ?24 ,即 q ? 3 . 所以 {bn } 的前 n 项和公式为 Sn ?
2

b1 (1 ? q n ) ? 4(1 ? 3n ) .-----------10 分 1? q

18. 解: (Ⅰ) f ( x) ? 2 x ? bx ? c ,不等式 f ( x) ? 0 的解集是 ? 0,5? ,
2 所以 2 x ? bx ? c ? 0 的解集是 ? 0,5? , 2 所以 0和5 是方程 2 x ? bx ? c ? 0 的两个根,

由韦达定理知, ?

b c ? 5, ? 0,? b ? ?10, c ? 0, 2 2
------------5 分

f ( x) ? 2 x2 ?10 x .

(Ⅱ) f ( x) ? t ? 2 恒成立等价于错误!未找到引用源。恒成立,

设 g ( x) ? 2 x

2

?10 x ? t ? 2 ,则 g ( x) 的最大值小于或等于 0

则由二次函数的图象可知错误!未找到引用源。在区间错误!未找到引用源。为减函数, 所以错误!未找到引用源。 ,所以 t ? ?10 . 19. 解:(Ⅰ)证明:∵A、B、C 成等差数列,∴B=60 , 又?ABC 的面积为 3 ,∴ ∴a、2、c 成等比数列 (Ⅱ)在?ABC 中,根据余弦定理,得 b =a +c -2accos60
2 2 2 2 2 0 0

-----------12 分

1 ac sin 60 0 ? 3 ,∴ac=4 2
--------------------------4 分

=a +c -ac≥2ac-ac=ac=4,∴b≥2, 当且仅当 a=c 时,等号成立 ----------------8 分 ∴?ABC 的周长 L=a+b+c≥ 2 ac ? b = 4 ? b .当且仅当 a=c 时,等号成立 ∴ L ? 4 ? 2 ? 6 , 当且仅当 a=c 时,等号成立 ∴?ABC 周长的最小值为 6, 因为 a=c,B=60 ,此时?ABC 为等边三角形.
0

-----------------12 分

20.解:由题意得, x ?

50 300 ,y ? v2 v1

∵ 30 ? v1 ? 100,, 4 ? v2 ? 20 ∴ 3 ? x ? 10,

5 25 ? y? 2 2

由题设中的限制条件得 9 ? x ? y ? 14

? 9 ? x ? y ? 14 ? ? 于是得约束条件 ? 3 ? x ? 10 ? 5 ? y ? 25 ? 2 ? 2
目标函数 p ? 100 ? 3(5 ? x) ? 2(8 ? y) ? 131? 3x ? 2 y 做出可行域(如图) , (没有图扣2分) 当 z ? 3 x ? 2 y, 即y ? ? ………6分

3 z x ? 平行移动到过(10,4)点时纵截距最大,此时 p 最小. 2 2

所以当 x ? 10, y ? 4 ,即 v1 ? 30, v2 ? 12.5 时, pmin ? 93 元 21. (Ⅰ)由正弦定理,得 sin C sin A ? 3sin A cos C , 因为 sin A ? 0 ,解得 tan C ? 3 , C ? (Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)得 sin

……12分

?
3



……… 4 分

?
3

? sin(

2? ? 2 A) ? 3sin 2 A , 3



3 3 1 ? cos 2 A ? sin 2 A ? 3sin 2 A . 2 2 2

3 5 (1 ? cos 2 A) ? sin 2 A 2 2

3 cos2 A ? 5sin A cos A
若 cos A ? 0 ,则 A ?

……… 8 分

?
2



c ? 21 ? tan , b ? , b 3 3

1 7 3 ?ABC 的面积 S ? bc ? . 2 6
若 cos A ? 0 ,则 3 cos A ? 5sin A ,

cos A ?

5 7 21 ,sin A ? , 14 14

由正弦定理,得 a ? 1 .

sin B ? sin( A ? C ) ?

1 3 3 3 21 ? ABC 的面积 . S ? ac sin B ? 2 4 14 ,
7 3 3 3 或 . 6 4
……… 12 分

综上, ?ABC 的面积为

解法二:由 sin C ? sin( B ? A) ? 3sin 2 A ,得 sin( B ? A) ? sin( B ? A) ? 3sin 2 A , 整理,得 sin B cos A ? 3sin A cos A . 若 cos A ? 0 ,则 A ?

?
2



c ? 21 ? tan , b ? , b 3 3
……… 8 分

1 7 3 ?ABC 的面积 S ? bc ? . 2 6

若 cos A ? 0 ,则 sin B ? 3sin A , b ? 3a . 由余弦定理,得 c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C ,解得 a ? 1, b ? 3 .

?ABC 的面积 S ?

1 3 3 . ab sin C ? 2 4
7 3 3 3 或 . 6 4
……… 12 分

综上, ?ABC 的面积为

22. (Ⅰ)

n ?1 an?1 , n ? N ? ① 2 n ?a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ??? ? (n ? 1)an?1 ? an , n ? 2 ② 2 n ?1 n 3n n ?1 ①-②: nan ? an?1 ? an ,? an ? an?1 , 2 2 2 2 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ??? ? nan ?

………

2分

即 (n ? 1)an ?1 ? 3 ? nan ( n ? 2 ) ,又由①得 n=1 时, a1 ? a2 ? 1 ? 2a2 ? 2 ,
? n ? 2 时,数列 ?nan ? 是以 2 为首项,3 为公比的等比数列.

?nan ? 2 ? 3

n ?2

?1 , n ? 1 ? (n ? 2) ,故 an ? ? 2 n ? 2 ?3 ,n ? 2 ? ?n

………

4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知当 n ? 2 时, n2an ? 2n ? 3n?2 ,

?当 n ? 1 时, T1 ? 1 ;
当 n ? 2 时, Tn ? 1 ? 4 ? 30 ? 6 ? 31 ? ??? ? 2n ? 3n?2 ,①

3Tn ? 3 ? 4 ? 31 ? 6 ? 32 ? ??? ? 2(n ? 1) ? 3n?2 ? 2n ? 3n?1 ,②
①-②得, ?2Tn ? 2 ? 2(31 ? 32 ? ??? ? 3n?2 ) ? 2n ? 3n?1 = 2 ? 3 ? 3n ?1 ? 2n ? 3n ?1 = ?1 ? (1 ? 2n) ? 3n?1

?Tn ?

1 1 ? (n ? )3n?1 (n ? 2) ,又 T1 ? 1 也满足 2 2 1 1 ……… ?Tn ? ? (n ? )3n?1 (n ? N ? ) 2 2

8分

(Ⅲ) an ? ? n ? 1? ? ? ? ? 当 n ? 2 时, ? ?

an ,由(Ⅰ)可知: n ?1

2 ? 3n ?2 2 ? 3n ?2 ,令 f ? n ? ? , n ? n ? 1? n ? n ? 1?

f ? n ? 1? n ? n ? 1? 2 ? 3n?1 3n 则 ? ? ? ? 1, n?2 f ? n? n?2 ? n ? 1?? n ? 2? 2 ? 3
又 f ? n? ? 0 ,∴ f ? n ?1? ? f ? n? ∴当 n ? 2 时, f ? n ? 单增,∴ f ? n ? 的最小值是 f ? 2 ? ?

1 3

a a1 1 1 ? ,综上所述, n 的最小值是 n ?1 3 1?1 2 1 1 ∴ ? ? ,即 ? 的最小值是 ……… 12 分 3 3
而 n ? 1 时,


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