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2012年普通高等学校招生全国统一考试广东卷A数学理科含答案word


2012 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)A 数学(理科) 本试卷共 21 题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 参考公式:主体的体积公式 V=Sh,其中 S 为柱体的底面积,h 为柱体的高。 锥体的体积公式为 V ?

1 sh ,其中 S 为锥体的底面积,h 为锥体的高。 3

一 、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。

5 ? 6i = i A. 6 ? 5i B. 6 ? 5i C. ?6 ? 5i 2.设集合 U={1,2,3,4,5,6}, M={1,2,4 } 则 CU M ?
1.设 i 为虚数单位,则复数 A.U B.{1,3,5} C.{3,5,6} D.{2,4,6}

D. ?6 ? 5i

3.若向量 BA =(2,3) , CA =(4,7) ,则 BC = A. (-2,-4) B.(2,4) C.(6,10) D.(-6,-10) 4.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是 A. y ? ln( x ? 2) B. y ? ? x ? 1

?1? C.y= ? ? ?2?

x

D. y ? x ?

1 x

?y ? 2 ? 5.已知变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 z=3x+y 的最 ?x ? y ? 1 ?
大值为 A.12 B.11 C.3 D. ? 1 6.某几何体的三视图如图 1 所示,它的体积为 A.12π B.45π C.57π D.81π 7.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个 位数为 0 的概率是 A.

4 9

B.

1 3

C.

2 9

D.

1 9

8.对任意两个非零的平面向量 ? 和 ? , 定义 ? 夹角 ? ? (0, A.

??

? ?? . 若平面向量 a , b 满足 a ? b ? 0 ,a 与 b 的 ? ??

?

1 2

?n ? ) ,且 a b 和 b a 都在集合 ? n ? Z ? 中,则 a b = 4 ?2 ? 3 5 B.1 C. D. 2 2

二、填空题:本大题共 7 小题,考生答 6 小题,每小题 5 分, 满分 30 分。 (一)必做题(9-13 题) 9.不等式 x ? 2 ? x ? 1的解集为_____。

1 6 ) 的展开式中 x 3 的系数为______。 (用数字作答) x 11. 已知递增的等差数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , a3 ? a22 ? 4 ,则
10. ( x ?
2

an ? ____。
12.曲线 y ? x ? x ? 3 在点(1,3)处的切线方程为 。 13.执行如图 2 所示的程序框图,若输入 n 的值为 8,则输出 s 的值为 。
3

(二)选做题(14-15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 和 C2 的参数方程分别为 ? x ? 2 cos ? ? ? ?x ? t (? 为参数) ,则曲线 C1 与 C2 的 (t为参数) 和 ? ? ? ? ?y ? t ? y ? 2 sin ? 交点坐标为_______。 15.(几何证明选讲选做题)如图 3,圆 O 的半径为 1,A、B、C 是圆周上的三点,满足∠ABC=30° ,过点 A 做圆 O 的切线与 OC 的延长线交于点 P,则 PA=_____________。 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答须写出文字说明、 证明过程和演算步骤。 16.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? 2 cos(? x ? (1)求 ? 的值;

?
6

)(其中? ? 0, x ? R ) 的最小正周期为 10? .

(2)设 ? , ? ? 0,

求 cos(? ? ? ) 的值。

5 6 5 16 ? ?? , f(5 ? ? ? ) ? ? , (5 f ?? ) ? ? , ? ? 3 5 6 17 ? 2?

17. (本小题满分 13 分)某班 50 位学生期中考试数学成绩的频 率分布直方图如图 4 所示,其中成绩分组区间是:

?40,50? ,?50,60? ,?60,70? ,?70,80? ,?80,90? ,?90,100?

(1)求图中 x 的值; (2)从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人,该 2 人中成 绩在 90 分以上(含 90 分)的人数记为 ? ,求 ? 的数学期望。 18.(本小题满分 13 分) 如图 5 所示, 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 为矩形, PA⊥ 平面 ABCD,点 E 在线段 PC 上,PC⊥平面 BDE。 (1) 证明:BD⊥平面 PAC; (2) 若 PA=1,AD=2,求二面角 B-PC-A 的正切值。 19. (本小题满分 14 分)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn,满足

2Sn ? an?1 ? 2n?1 ? 1, n ? N ?, 且 a1, a2 ? 5, a3 成等差数列。
(1) 求 a1 的值; (2) 求数列 ?an ? 的通项公式; (3) 证明:对一切正整数 n,有

1 1 ? ? a1 a2

?

1 3 ? . an 2

x2 y 2 20.(本小题满分 14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 a b 2 ,且椭圆 C 上的点到 Q(0,2)的距离的最大值为 3. e? 3
(1)求椭圆 C 的方程; (2)在椭圆 C 上,是否存在点 M(m,n)使得直线 l:mx+ny=1 与圆 O:x2+y2=1 相交于不同的两点 A、 B,且△OAB 的面积最大?若存在,求出点 M 的坐标及相对应的△OAB 的面积;若不存在,请说明 理由。 21.(本小题满分 14 分)
2 设 a<1,集合 A ? x ? R x ? 0 , B ? x ? R 2 x ? 3(1 ? a ) x ? 6a ? 0 , D ? A

?

?

?

?

B.

(1)求集合 D(用区间表示) ; (2)求函数 f ( x) ? 2 x ? 3(1 ? a) x ? 6ax 在 D 内的极值点。
3 2

2012 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)A 数学(理科)答案 一 、选择题: 题号 答案 二、填空题: 9. (??, 1 ] 1 D 2 C 3 A 4 A 5 B 6 C 7 D 8 C

2

10. 20 14. (1,1)

11. 2n-1 15.

12. y=2x+1

13. 8

3

三、解答题: 16.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? 2 cos(? x ? (1)求 ? 的值;

?
6

)(其中? ? 0, x ? R ) 的最小正周期为 10? .

5 6 5 16 ? ?? , f (5? ? ? ) ? ? , f (5 ? ? ? ) ? ,求 cos(? ? ? ) 的值。 ? ? 3 5 6 17 ? 2? 2? 1 ? 10? , ? ? ; 解析: (1)最小正周期为 ? 5 5 ? ? 6 ? 3 (2) f (5? ? ? ) ? 2 cos(? ? ? ) ? ? ,即 cos(? ? ) ? ? , 3 3 6 5 2 5 3 4 ? ?? 得 sin ? ? ,又 ? ? ? 0, ? ,得 cos ? ? ; 5 5 ? 2?
(2)设 ? , ? ? 0, 同理, cos ? ?

8 15 , sin ? ? , 17 17

所以 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ?

13 . 105

17. (本小题满分 13 分)某班 50 位学生期中考试数学成绩的 频率分布直方图如图 4 所示,其中成绩分组区间是:

?40,50? ,?50,60? ,?60,70? ,?70,80? ,?80,90? ,?90,100?
(1)求图中 x 的值; (2) 从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人, 该 2 人中成 绩在 90 分以上(含 90 分)的人数记为 ? ,求 ? 的数学期望。 解析: (1)由 0.006 ?10 ? 3 ? 0.01?10 ? 0.054 ?10 ? 10 x ? 1 ,得 x=0.018; (2)成绩在区间 ?80,90? 的学生有 0.018 ?10 ? 50 ? 9 人, 成绩在区间[90,100]的学生有 0.006 ?10 ? 50 ? 3 人, 成绩不低 于 80 分的学生共 12 人, ? ? 0,1, 2 ,

P(? ? 0) ? P(? ? 2) ?
E (? ) ? 0 ?

C92 6 ? 2 C12 11 C32 1 , ? 2 C12 22



P(? ? 1) ?

1 1 C9 C3 9 ? 2 C12 22



6 9 1 1 ? 1? ? 2 ? ? . 11 22 22 2

18.(本小题满分 13 分) 如图 5 所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,点 E 在线段 PC 上,PC⊥ 平面 BDE。 (3) 证明:BD⊥平面 PAC; (4) 若 PA=1,AD=2,求二面角 B-PC-A 的正切值。 解析: (1)PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥BD, ∵PC⊥平面 BDE,∴PC⊥BD, ∴BD⊥平面 PAC; (2)设 AC

BD ? O ,连 OE,∵PC⊥平面 BDE,∴PC⊥BE,PC⊥OE,

所以∠BEO是二面角 B-PC-A 的平面角; 由(1)知 BD⊥AC,又四边形 ABCD 为矩形,所以四边形 ABCD 是菱形, ∴AB=AD=2, AC ? 2 2 , BO ? 2 , PC ? 3 ,

PA ? AC ? 2 2 ,∴点O到PC的距离为 2 , PC 3 3 二面角 B-PC-A 的正切 tan ?BEO ? BO ? 3 . OE
∵点A到PC的距离为 19.(本小题满分 14 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn, 满足 2Sn ? an?1 ? 2n?1 ? 1, n ? N ?, 且 a1, a2 ? 5, a3 成等差数列。 (4) 求 a1 的值; (5) 求数列 ?an ? 的通项公式; (6) 证明:对一切正整数 n,有

1 1 ? ? a1 a2

?

1 3 ? . an 2

解析: (1) 2a1 ? 2S1 ? a2 ? 22 ?1 , a2 ? 2a1 ? 3 , ∵ 2Sn ? an?1 ? 2n?1 ? 1, n ? N ? ,∴当 n ? 2 时, 2Sn?1 ? an ? 2n ? 1, ∴ 2an ? 2(Sn ? Sn?1 ) ? an?1 ? an ? 2n?1 ? 2n (n ? 2) ,即 an?1 ? 3an ? 2n (n ? 2) , ∴ a3 ? 3a2 ? 4 ? 6a1 ? 13 ,由 a1, a2 ? 5, a3 成等差数列,得 a1 ? a3 ? 2(a2 ? 5) , 解得 a1 ? 1 ;

an ?1 3 an a ? ? 1(n ? 2) ,设 bn ? n (n ? 2) ,则 n ?1 n 2 22 2n a 3 3 13 bn ?1 ? bn ? 1(n ? 2) ,得 bn ?1 ? 2 ? (bn ? 2)(n ? 2) ,又 b2 ? 2 ? 2 ? 2 ? , 2 2 4 4 3 n ? 2 13 3 n ? 2 13 3 ? ( ) (n ? 2) , bn ? ( ) n ? 2 ? 2(n ? 2) , ∴ bn ? 2 ? (b2 ? 2)( ) 2 4 2 4 2
(2)由 an?1 ? 3an ? 2n (n ? 2) ,得 ∴ an ? 13 ? 3n?2 ? 2 ? 2n (n ? 2) ,综上知 an ? ? (3) 下面用数学归纳法证明: an ? 13 ? 3 ①当 n=2 时,5>4,不等式成立; ②假设当 n=k 时, 5 ? 3 由①②可知, 5 ? 3
n ?2 k ?2

n ?1 ? 1, . n?2 n ?13 ? 3 ? 2 ? 2 , n ? 2

n?2

? 2 ? 2n ? 3n?1 (n ? 2) ,即要证 5 ? 3n?2 ? 2n (n ? 2) .

? 2k ( k ? 2) ,则

5 ? 3k ?1?2 ? 3 ? 5 ? 3k ?2 ? 3 ? 2k ? 2k ?1 ,即假设当 n=k+1时, ,不等式成立;

? 2n (n ? 2) 恒成立,即 an ? 13 ? 3n?2 ? 2 ? 2n ? 3n?1 (n ? 2) ;



1 1 1 ? ? n ?1 (n ? 2) ,当 n ? 2 时, n?2 n an 13 ? 3 ? 2 ? 2 3

1 1? n 1 3 ? 3 (1 ? 1 ) ? 3 , ? n ?1 ? 1 2 3 3n 2 1? 3 1 3 1 1 当 n=1时, ? 1 ?? ,综上所述:对一切正整数 n,有 ? ? a1 a2 a1 2 1 1 ? ? a1 a2 1 1 ? ? 1? ? an 3
20.(本小题满分 14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1:

?

1 3 ? . an 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 a 2 b2

e?

2 ,且椭圆 C 上的点到 Q(0,2)的距离的最大值为 3. 3

(1)求椭圆 C 的方程; (2)在椭圆 C 上,是否存在点 M(m,n)使得直线 l:mx+ny=1 与圆 O:x2+y2=1 相交于不同的两点 A、 B,且△OAB 的面积最大?若存在,求出点 M 的坐标及相对应的△OAB 的面积;若不存在,请说明 理由。 解析: (1)由题意可设 a ? 3k (k ? 0) , c ? 设P(x,y)是椭圆 C1 上任意一点,则

2k ,则 b ? k ,

x2 y2 ? ? 1, 3k 2 k 2

| PQ |2 ? x2 ? ( y ? 2)2 ? (3k 2 ? 3 y2 ) ? ( y ? 2)2 ? ?2( y ? 1)2 ? 3k 2 ? 6 ,
又 | PQ |2 ? 32 ? 9 , y ? [?b, b] 即 y ? [?k , k ] , ∴?

? ?1? [?k , k ] ? ?1? [?k , k ] 或 ,解得 k=1, ? 2 2 2 2 2 ?| PQ | max ? 3k ? 6 ?| PQ | max ? ?2(?k ? 1) ? 3k ? 6

x2 ? y 2 ? 1. ∴椭圆 C 的方程为 3 (2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,S△OAB ?| OA || OB | sin ?AOB ? sin ?AOB ? 1 ,
仅当OA⊥OB时,最大S△OAB 最大,此时点O到 l 的距离为

2 1 2 ,即 , ? 2 2 m2 ? n 2

m2 ? n2 ? 1 , 得 m ? n ? 2 ,由点 M(m,n)在椭圆 C 上,得 3
2 2

∴m ?
2

3 1 6 2 , n 2 ? ,所以存在点 M 的坐标为 (? ,? ) ,使△OAB 的面积最大,为1. 2 2 2 2

21.(本小题满分 14 分)

2 设 a<1,集合 A ? x ? R x ? 0 , B ? x ? R 2 x ? 3(1 ? a ) x ? 6a ? 0 , D ? A

?

?

?

?

B.

(1)求集合 D(用区间表示) ; (2)求函数 f ( x) ? 2 x ? 3(1 ? a) x ? 6ax 在 D 内的极值点。
3 2

解析: (1)设 g ( x) ? 2 x ? 3(1 ? a) x ? 6a ,其对称轴为 x ?
2

3(1 ? a) , 4

判别式 ? ? 9(1 ? a ) ? 48a ? 3( a ? )( a ? 3) , g (0) ? 6a ,
2

1 3

①当 1 ? a ? 1 时, ? ? 0 ,B=R, D ? A

3

B ? (0, ??) ;

3(1 ? a) ? ? 3(1 ? a) ? ? ②当 a ? 1 时, ? ? 0 , g ( x) ? 0 的两根为 x1 ? , x2 ? ,

3

4

4

? 3(1 ? a) ?0 ? A 当? 即 a>0 时, 0 ? x1 ? x2 , B ? (??, x1 ) ( x2 , ??) , D ? (0, x1 ) ( x2 , ??) ; 4 ○ ? ? g (0) ? 6a ? 0 ? 3(1 ? a) ?0 ? B 当? 即 ?1 ? a ? 0 时, x1 ? 0 ? x2 , D ? ( x2 , ??) ; 4 ○ ? ? g (0) ? 6a ? 0
C 当 ○

3(1 ? a) ? 0 即 a ? ?1 时, g (0) ? 0 , x1 ? 0 ? x2 , D ? ( x2 , ??) ; 4

综上所述:当 1 ? a ? 1 时, D ? (0, ??) ;

3

当 0 ? a ? 1 时, D ? (0,

3

3(1 ? a) ? (3a ? 1)(a ? 1) 3(1 ? a) ? (3a ? 1)( a ? 1) ) ( , ??) , 4 4

当 a ? 0 时, D ? (

3(1 ? a) ? (3a ? 1)(a ? 1) , ??) . 4

2 (2) f '( x) ? 6x ? 6(1 ? a) x ? 6a ? 6( x ?1)( x ? a) ? 0 ? x ? 1 或 x ? a ,

1? D ? g (1) ? 3a ? 1 ? 0 ? a ?

1 , 3 a ? D ? g (a) ? ?a(a ? 3) ? 0 ? 0 ? a ? 3 ,

①若 a ? 0 ,则 1 ? D 且 a ? D ,函数 f ( x ) 在 D 内无极值点。 ②当 0 ? a ? 1 时, 1 ? D 且 a ? D , f ( x ) 在 D 内有极大值点 x ? a ,无极小值点。

3

1? D 且 a ? D , ③当 1 ? a ? 1 时, 由 f (')x 的图象知:f ( x ) 在 D 内有极大值点 x ? a , 极小值点 x ? 1 。

3


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