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2012年全国各地高中数学竞赛试题(不含答案)


2012 年高中数学竞赛试题 2012 年北京市高中数学初赛(高一) ...................................................................... 2 2012 年北京市高中数学复赛(高一) ...............................................................

....... 4 2012 年湖北省高中数学预赛(高一) ...................................................................... 5 2012 年湖北省高中数学预赛(高二) ...................................................................... 6 2012 年福建省高中数学预赛(高一) ...................................................................... 7

2012 年河南省高中数学预赛(高一) ...................................................................... 9 2012 年江苏高中数学竞赛(初赛) ........................................................................ 11 2012 年上海市高中数学竞赛(新知杯) ................................................................ 12 2012 年四川省高中数学预赛 .................................................................................... 13 2012 年陕西省高中数学预赛 .................................................................................... 15 2012 年河北省高中数学预赛 .................................................................................... 17 2012 年甘肃省高中数学预赛 .................................................................................... 19 2012 年安徽省高中数学预赛 .................................................................................... 20 2012 年山东省高中数学预赛 .................................................................................... 21 2012 年浙江省高中数学预赛 .................................................................................... 23

2012 年北京市高中数学初赛(高一)
一、 选择题(满分 36 分=6× 6 分)
2 + , > 0
1. ( ) = ?5, = 0,则(?2) + (0) + (1) + (3)的值为

2,

<0

(A)8

(B)11 (C)13

1 4

(D)15

1 2

2. 一个锐角的正弦和余弦恰是二次三项式2 + + 的不同的两个根,则, , 之间的关系是
(A)2 = 2 ? 4
(C)2 = 2 ? 2
∈ [?4, ?2]上的最小值为

(B)2 = 2 + 4

(D)2 = 2 + 2

3. 定义域为 R 的函数()满足( + 2) = 3(),当 ∈ [0,2]时,( ) = 2 ? 2,则( )在

(A)? 19 (B)? 13(C)13 (D)19 4. 定义在正整数集+上的函数,对于每一个 ∈ +和无理数 = 3.14159265358 ?满足
2 的末位数字,(的小数点后第 位数字 ≠ 0 时)
() = ?

3.

(的小数点后第位数字 = 0 时)

若函数的值域记为 M,则(A)1 ? (B)5 ? (C)6 ? (D)9 ?
5. 如图,在△ABC 中,∠ = 30° , ∠ = 90° ,以 C 为圆心,CB 为半径作圆交 AB 边于 M,交 AC 边于 N,P
为 CM 与 BN 的交点.若 = 1,则 △ C

N

(A)18(B)√38(C)14(D)√34
6. 定义在(?1,1) 上的函数 () 满足 () ? ( ) =

P B M

A

(1??),且当 ∈ (?1,0)时,() > 0.若 = ?14? + ?15? , = ?16? , = (0);则, , 的

大小关系为
(A) > > (B) > > (C) > > (D) > >
二、 填空题(满分 64 分=8× 8 分)

1.

求 log2 sin 3 + log2 tan 6 + log2 cos 4 的值.

2.

已知() 是四次多项式,且满足() = 1 , =

1,2,3,4,5,求 (6)的值 .
3. 若[]表示不超过 x 的最大整数,求满足方程 [lg2] + [lg5] = 2012 的自然数 n 的值 .

4. 如图,半径为 1 的两个等圆相交,? 等于 △ 在两圆的公共部分作一内接正方形 ABCD.如果圆心距1等于 1,试求正 方形 ABCD 的面积.

A

B

O1
D

O
C

5. 求

12
2 1 2 1 ?1× 2012+

+

32
2 1 2 3 ?3× 2012+

+

52
2 1 2 5 ?5× 2012+

+

72
2 1 2 7 ?7× 2012+

+?+
2
×2012

2

×2012

2

×2012

2

×2012

20112

2

1

2

的值.
D C

2011 ?2011× 2012+

2

×2012

在单位正方形 ABCD 中,分别以 A,B,C,D 四点为圆 心, 6. 以 1 为半径画弧,如图所示,交点为 M,N,L,K,求阴影部分 的面积. 7.
8.

已知二次函数 () 满足 (?10) = 9, (?6) = 7, (2) = ?9,求 (100)的值 .

L

K

M

上底 BC=2,下底 AD=3 的梯形 ABCD 的对角线相交于
D,交 BC 分别于点 K,L,求 2 + 2 的值 .

点 O,彼此外切于点 O 的两个圆分别切直线 AD 于点 A 和

N A B

2012 年北京市高中数学复赛(高一) 一、 填空题(本题共 5 个小题,每小题 8 分,满分 40 分)
4?132+36
1. 函数 = (?3)(+2) 的图像与平行于 x 轴的直线
= 恰有一个交

A

点,则 c 能取到的所有值的乘积等于________. 2. 如图,锐角△ABC 内接于半径为 R 的⊙O,H 是△ABC 的垂心,
O
AO 的延长线与 BC 交于点 M,若 ⊥ , = 10, = 6,则

H B M C

OM=___________.
3. 二次函数 = 2 + + 的图像与 x 轴有两个交点 A 和 B,顶

点为 C,如果△ACB 恰是直角三角形,那么判别式的值是______. 4. 如图,半圆 O 的半径为 1, ⊥ 于 A, ⊥ 于 B, 且
= 2, = 3, P 是半圆上任意一点,则封闭图形 ABDPC 的面积

D

的最大值为___________. 5. 和为 111 的两个自然数 x 和 y,使得等式√
2
成立,满足这个条件的一组自然数(, )是_____________. + ? =0

C

2

P

二、 (本题满分 15 分)
A
如图,在△ABC 中,∠ = 90° , = 3, = 4 以 B 为中心,将△ABC

O

B

顺时针旋转,使点 A 落在 CB 延长线上的点1 处,
此时点 C 落在点 1 的位置.连接 1, 1 相交于 O,

A

C1 O D C B E A1

1 交 AB 于 D,1 交1 于 E,求四边形 BDOE 的面积. 三、 (本题满分 15 分) (1) 如果整数 、 和 满足关系式
2 + 2 = 22 ? 2,求证:144|.
(2) 试写出不定方程2 + 2 = 22 ? 2 的一组正整数解,并对这组正整数解验证
144|.

四、 (本题满分 15 分) 在边长都是正整数的三角形中,周长是 2009 的三角形与周长是 2012 的三角形哪一种数量 多?说明理由. 五、 (本题满分 15 分)
在锐角△ABC 中,O 是外心,I 是内心,连接 AI,BI 和 CI 的直线交△ABC 的外接圆分别于
点1,1 和1.求证:


=

2.



111

(其中 R 是外接圆的半径,r 是内切圆的半径)

2012 年湖北省高中数学预赛(高一) 一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分.直接将答案写在横线上.)
1 . 已知集合 = { | ≤ }, = { | > }, , ∈ ,且 ∩ ∩ = {1} ,则 +
=___________.

2.已知正项等比数列{}的公比 ≠ 1,且2, 4, 5 成等差数列,则1+4+7 =_________.
3+6+ 9

3.函数() = ?

+1
2+4+7

的值域为__________.
4 . 已知 3 sin2 + 2 sin2 = 1 ,3(sin + cos )2 ? 2(sin + cos )2
= 1 ,则 cos 2( +

) =_________.

5.已知数列 {}满足:1 为正整数,



+1 = ? 2

,

为偶数
3 + 1,

为奇数

如果1 + 2 + 3 = 29,则1 =_________.

6.在△ 中,角, , 的对边长, , 满足 +
7.在△ 中, = = 2, = 3.设是△ 的内心,若 =

= 2,且 = 2,则 sin =___________.

??????

??????

??????



+ ,则的

值为___________.
8.设1, 2, 3 是方程3 ? + 1 = 0 的三个根,则15 + 25 + 35 的值为____________.

二、解答题(本大题满分 56 分,第 9 题 16 分,第 10 题 20 分,第 11 题 20 分)
9 . 已知正项数列 {} 满足 ?+1 + +2 = 4?+1 + +12 + 3?+1 且
1 = 1, 2 = 8,求{}的通项公式.
10.已知正实数 , 满足2 + 2 = 1,且3 + 3 + 1 = ( + + 1)3,求的最小值.
11.设() = log( ? 2) + log( ? 3),其中 > 0 且 ≠ 1.若在区间[ + 3, + 4]上

() ≤ 1 恒成立,求的取值范围.


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