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河南省卢氏一中2012届高考数学二轮专题训练:《不等式》


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一、选择题

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河南省卢氏一中 2012 届高考数学二轮专题训练: 《不等式》

1. R 上定义运算 a*b=a(1-b), 在 则满足(x-2)*(x+2)>0 的实数 x 的取值范围为( A.(0,2) C.(-∞,-2)∪(1,+∞) B.(-2,1)


[: ]

)

D.(-1,2)

解析:根据定义:(x-2)*(x+2)=(x-2)· [1-(x+2)]=-(x-2)(x+1)>0,即(x-2)(x+ 1)<0.解得-1<x<2,所以所求实数 x 的取值范围为(-1,2). 答案:D 2.若函数 f(x)=x+ A.1+ 2 C.3 1 (x>2)在 x=a 处取最小值,则 a=( x-2 B.1+ 3 D.4 1 +2≥2 x-2 1 ?x-2?× +2=4,当且仅 x-2 )

解析:当 x>2 时,x-2>0,f(x)=(x-2)+ 当 x-2=

1 (x>2),即 x=3 时取等号,即当 f(x)取得最小值时,x=3,即 a=3. x-2

答案:C 3.(2011· 天津高考)设变量 x,y 满足约束条件( )

?x≥1, ? ?x+y-4≤0, ?x-3y+4≤0, ?
A.-4 4 C. 3

则目标函数 z=3x-y 的最大值为

B.0 D.4
[:]

解析:根据约束条件可作出可行域,如图所示,∵z=3x-y,∴y=3x-z.∴目标函数 所在直线由图中虚线位置向下平移时,z 逐渐变大,当经过点 A(2,2)时,z 取得最大值.即 zmax=3×2-2=4. 答案:D
?2ex 1,x<2, ? 4.已知 f(x)=? 则不等式 f(x)>2 的解集为( 2 ? ?log3?x -1?,x≥2,


)

A.(1,2)∪(3,+∞) C.(1,2)∪( 10,+∞) 解析:∵f(x)>2,
?x<2, ?x≥2, ? ? ∴? x-1 或? 2 ? ? ?2e >2 ?log3?x -1?>2,

B.( 10,+∞) D.(1,2)

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? ?x≥2, ?x<2, 即? 或? ? ?x>1 ?x<- 10或x> 10.

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∴1<x<2 或 x> 10. 答案:C

[:]

5.(2011· 枣庄模拟)已知 a、b、c 都是正实数,且满足 log9(9a+b)=log3 ab,则使 4a +b≥c 恒成立的 c 的取值范围是( 4 A.[ ,2) 3 C.[2,23) )

B.[0,22) D.(0,25]

解析:因为 a、b 都是正数,log9(9a+b)=log3 ab,所以 log3(9a+b)=log3(ab),故 9a 36a b 9 1 9 1 +b=ab,即b+a=1,所以 4a+b=(4a+b)(b+a)=13+ b +a≥13+2 36a b b ·=25,当且 a

36a b 5 仅当 = ,即 b=6a(a= ,b=15)时等号成立.而 c>0,所以要使 4a+b≥c 恒成立,则 0 b a 2 <c≤25. 答案:D

?y≤x+2, ? 6.(2011· 淄博模拟)在直角坐标平面上,不等式组?y≥0, ?0≤x≤t, ?
5 积为 ,则 t 的值为( 2 A.- 3或 3 C.1 )
[ :]

所表示的平面区域的面

B.-5 或 1 D. 3

?y≤x+2, ? 解析:不等式组?y≥0, ?0≤x≤t, ?

所表示的平面区域如图中阴影部

? ?y=x+2 分所示.由? 解得交点 B(t,t+2),在 y=x+2 中,令 x=0 得 y=2,即直线 y=x ? ?x=t

?2+t+2?×t 5 +2 与 y 轴的交点为 C(0,2),由平面区域的面积 S= = ,得 t2+4t-5=0,解得 2 2 t=1 或 t=-5(不合题意,舍去). 答案:C 二、填空题 7.(2011· 皖南八校联考)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x)=x2+2x(x≥0),若 f(3 -a2)>f(2a),则实数 a 的取值范围是________. 解析:依题意得,函数 f(x)=x2+2x 在[0,+∞)上是增函数,又因为 f(x)是 R 上的奇
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即实数 a 的取值范围是(-3,1). 答案:(-3,1)

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函数, 所以函数 f(x)是 R 上的增函数, 要使 f(3-a2)>f(2a), 只需 3-a2>2a.由此解得-3<a<1,

8.(2011· 南昌模拟)已知 a,b 为正数,且直线 2x-(b-3)y+6=0 与直线 bx+ay-5=0 互相垂直,则 2a+3b 的最小值为________. b a 2 3 2 3 解析:依题意得 2b-a(b-3)=0,即 + =1,2a+3b=(2a+3b)( + )=13+6( + )≥ a b a b a b 13+6×2 b a b a a×b=25,当且仅当a=b,即 a=b=5 时取等号,因此 2a+3b 的最小值是 25.

答案:25 9.某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人,有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车和 7 辆 载重量为 6 吨的乙型卡车.某天需送往 A 地至少 72 吨的货物,派用的每辆车需满载且只运 送一次,派用的每辆甲型卡车需配 2 名工人,运送一次可得利润 450 元;派用的每辆乙型 卡车需配 1 名工人,运送一次可得利润 350 元.该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆 数,可得最大利润 z=________元.

?x+y≤12, ? 解析: 设派用甲型卡车 x 辆, 乙型卡车 y 辆, ?2x+y≤19, 则 ?0≤x≤8, ?0≤y≤7,
利润 z 最大,为 4 900 元. 答案:4 900 三、解答题 10.设集合 A={x|x2<4}, B={x|1< (1)求集合 A∩B; (2)若不等式 2x2+ax+b<0 的解集为 B,求 a,b 的值. 解:A={x|x2<4}={x|-2<x<2}, x-1 4 B={x|1< }={x| <0}={x|-3<x<1}, x+3 x+3 (1)A∩B={x|-2<x<1}; (2)因为 2x2+ax+b<0 的解集为 B={x|-3<x<1}, 所以-3 和 1 为 2x2+ax+b=0 的两根. 4 }. x+3

10x+6y≥72,

目标函数 z=450x+350y,画出可行域如图,当目标函数经过 A(7,5)时,

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?-2=-3+1, 故? b ?2=-3×1,
a

所以 a=4,b=-6.

11.(2011· 湖北高考)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般 情况下,大桥上的车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数.当桥 上的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆 /千米时,车流速度为 60 千米/小时.研究表明:当 20≤x≤200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (1)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆 /小时)f(x)=x· v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到 1 辆/小时) 解:(1)由题意:当 0≤x≤20 时,v(x)=60; 当 20≤x≤200 时,设 v(x)=ax+b,
?200a+b=0, ? 再由已知得? ? ?20a+b=60,

?a=-3, 解得? 200 ?b= 3 .
1 故函数 v(x)的表达式为

?60,0≤x≤20, ? v(x)=?1 ? ?3?200-x?,20<x≤200.
(2)依题意并由(1)可得

?60x,0≤x≤20, ? f(x)=?1 ?3x?200-x?,20<x≤200. ?
当 0≤x≤20 时,f(x)为增函数,故当 x=20 时,其最大值为 60×20=1200; 1 1 x+?200-x? 2 10 000 当 20<x≤200 时,f(x)= x(200-x)≤ [ ]= , 3 3 2 3 当且仅当 x=200-x,即 x=100 时,等号成立. 所以,当 x=100 时,f(x)在区间(20,200]上取得最大值 10 000 , 3

10 000 综上,当 x=100 时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值 ≈3 333,即当车流密度为 3 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3 333 辆/小时.
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1 1 12.已知函数 f(x)= x3+ ax2+bx. 3 2 (1)若 a=2b, 试问函数 f(x)能否在 x=-1 处取到极值?若有可能, 求出实数 a, 的值; b 否则说明理由. (2)若函数 f(x)在区间(-1,2),(2,3)内各有一个极值点,试求 w=a-4b 的取值范围. 解:(1)由题意 f′(x)=x2+ax+b, ∵a=2b,∴f′(x)=x2+2bx+b 若 f(x)在 x=-1 处取极值,则 f′(-1)=1-2b+b=0,即 b=1,此时 f′(x)=x2+2x +1=(x+1)2≥0, 函数 f(x)为单调递增函数,这与该函数能在 x=-1 处取极值矛盾, ∴该函数不能在 x=-1 处取得极值. 1 1 (2)∵函数 f(x)= x3+ ax2+bx 在区间(-1,2),(2,3)内分别有一个极值点, 3 2 ∴f′(x)=x2+ax+b=0 在(-1,2),(2,3)内分别有一个实根.
[ :]



?f′?-1?>0, ? ?f′?2?<0, ?f′?3?>0 ?

?

?1-a+b>0, ? ?4+2a+b<0, ?9+3a+b>0 ?

?

?b>a-1, ? ?b<-2a-4, ?b>-3a-9. ?

画出不等式表示的区域如图所示,

当目标函数 w=a-4b 过 N(-5,6)时, 对应的 w=-29; 当目标函数 w=a-4b 过 M(-2,-3)时, 对应的 w=10. 故 w=a-4b 的取值范围为-29<w<10.

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