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2015高考题分类线性规划(附答案详解)


2015 高考题分类线性规划(附答案详解)
? x?0 ? 1. (安徽 11)若 x , y 满足约束条件: ? x ? 2 y ? 3 ;则 x ? y 的取值范围为 _____ ?2 x ? y ? 3 ?
【解析】 x ? y 的取值范围为 _____ [?3, 0] 约束条件对应 ?ABC 边际及内的区域: A(0,3), B(0, ), C (1,1) 则 t ? x ? y ?[?3,0]

3 2

2. 北京 2.设不等式组 ?

?0 ? x ? 2, ,表示平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个点,则此 ?0 ? y ? 2

点到坐标原点的距离大于 2 的概率是 (A)

? 4

(B)

? ?2
2

(C)

? 6

(D)

4 ?? 4

【解析】题目中 ?

?0 ? x ? 2 表示的区域如图正方形所示,而动点 D ?0 ? y ? 2

可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分,因此

1 2 ? 2 ? ? ? 22 4 ?? 4 ,故选 D。 P? ? 2? 2 4
【答案】D

?x ? y ? 3 ? 0 ? 3.福建 9.若直线 y ? 2 上存在点 ( x, y ) 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则实数 m 的最大值 ?x ? m ?
x

为(

) A.

1 2

B.1

C.

3 2

D.2

考点:线性规划。 难度:中。 分析:本题考查的知识点为含参的线性规划,需要画出可行域的图形,含参的直线要能画 出大致图像。

解答:可行域如下:

(0,3)

y ? 2x (m,3 ? m)
(3,0)

3 (0, - ) 2
?x ? y ? 3 ? 0 ? 所以,若直线 y ? 2 x 上存在点 ( x, y ) 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 , ?x ? m ?
m 则 3 ? m ? 2 ,即 m ? 1 。

? y?2 ? 4.广东 5. 已知变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ,则 z ? 3x ? y 的最大值为( ? x ? y ?1 ?
( A) 12
【解析】选 B

)

( B) 1 1

(C ) ?

( D) ??
5 3 2 2

约束条件对应 ?ABC 边际及内的区域: A(2, 2), B(3, 2), C ( , ) 则 z ? 3x ? y ? [8,11]

b, c 满足: 5c ? 3a ≤ b ≤ 4c ? a , c ln b ≥ a ? c ln c , 5.江苏 14( .2012 年江苏省 5 分) 已知正数 a ,


b 的取值范围是 ▲ . a

【答案】 ? e, 7? 。 【考点】可行域。

c ln b ≥a ?c lnc 可化为: 【解析】条件 5c ? 3a ≤ b ≤ 4c ? a ,

? a b ?3 ? ? ? 5 ? c c ?a b ? ? ?4 。 ?c c a ?b ? ? ec ?c


a b =x,y = ,则题目转化为: c c

?3 x ? y ? 5 ?x ? y ? 4 y ? 已知 x ,求 的取值范围。 ,y 满足 ? x x ?y ? e ? x > 0,y > 0 ?
作出( x 。求出 y =e x 的切 ,y )所在平面区域(如图) 线的斜率 e ,设过切点 P ? x0,y0 ? 的切线为 y =ex ? m ? m ? 0? , 则

y0 ex0 ? m m = =e ? ,要使它最小,须 m =0 。 x0 x0 x0



y 的最小值在 P ? x0,y0 ? 处,为 e 。此时,点 P ? x0,y0 ? 在 y =e x 上 A, B 之间。 x

? y =4 ? x ?5 y =20 ? 5 x y 当( x ?? ? y =7 x ? =7 , ,y )对应点 C 时, ? x ? y =5 ? 3x ?4 y =20 ? 12 x
∴ ∴

y 的最大值在 C 处,为 7。 x

y b 的取值范围为 ? e, 7? ,即 的取值范围是 ? e, 7? 。 a x

6.江西 8.某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过 50 计,投入资金不超过 54 万元, 假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 年产量/亩 黄瓜 韭菜 4吨 6吨 年种植成本/亩 1.2 万元 0.9 万元 每吨售价 0.55 万元 0.3 万元

为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入 总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植 面积(单位:亩)分别为( ) A.50,0 B.30,20 C.20,30 D.0,50 8.B 【解析】本题考查线性规划知识在实际问题中的应用,同时考查了数学建模的思想方 法以及实践能力.设黄瓜和韭菜的种植面积分别为 x,y 亩,总利润为 z 万元,则目标函数为

? x ? y ? 50, ?1.2 x ? 0.9 y ? 54, ? z ? (0.55 ? 4 x ? 1.2 x) ? (0.3 ? 6 y ? 0.9 y) ? x ? 0.9 y . 线性约束条件为 ? ? x ? 0, ? ? y ? 0.
? x ? y ? 50, ? x ? y ? 50, ?4 x ? 3 y ? 180, ?4 x ? 3 y ? 180, ? ? 即 ? 作出不等式组 ? 表示的可行域 ,易求得点 x ? 0, x ? 0, ? ? ? ? y ? 0. ? ?y ? 0

A? 0,50? , B ?30, 20? , C ? 0, 45? .

平移直线 z ? x ? 0.9 y ,可知当直线 z ? x ? 0.9 y 经过点 B ? 30, 20? ,即 x ? 30, y ? 20 时,z 取得最大 值,且 zmax ? 48 (万元).故选 B. 【点评】解答线性规划应用题的一般步骤可归纳为: (1)审题——仔细阅读,明确有哪些限制条件,目标函数是什么? (2)转化——设元.写出约束条件和目标函数; (3)求解——关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系; (4)作答——就应用题提出的问题作出回答. 体现考纲中要求会从实际问题中抽象出二元线性规划.来年需要注意简单的线性规划求最值 问题.

? x -y ? 10 ? 7 辽宁 8. 设变量 x ,y 满足 ?0 ? x +y ? 20 ,则 2 x +3 y 的最大 ?0 ? y ? 15 ?
值为 A.20 B.35 C.45 D.55 【命题意图】本题主要考查简单线性规划,是中档题. 【解析】 作出可行域如图中阴影部分所示, 由图知目标函数过 点 A ? 5,15? 时, 2 x +3 y 的最大值为 55,故选 D.

?x ? y ?1 ? 0 ? ? 8. 全国卷大 纲 版 13 .若 x , y 满足 约束条件 ? x ? y ? 3 ? 0 , 则 z ? 3 x ? y 的最小值 为 ? ? ?x ? 3y ? 3 ? 0
。 答案: ?1 【命 题意图】本试题考查了线性规划最优解的求解的运用。常规题型,只要正确作图,表 示出区域,然后借助于直线平移法得到最值。 【解析】利用不等式组,作出可行域,可知区域表示的为三角形,当目标函数过点 (3, 0) 时, 目标函数最大 ,当目标函数过点 (0,1) 时最小为 ?1 。

]

9 山东 解析:作出可行域,直线 3x ? y ? 0 ,将直线平移至点 (2,0) 处有最大值, 点 ( ,3) 处有最小值,即 ?

1 2

3 ? z ? 6 .答案应选 A。 2

10 陕西 14. 设函数 f ( x) ? ?

?ln x, x ? 0 , D 是由 x 轴和曲线 y ? f ( x) 及该曲线在点 ??2 x ? 1, x ? 0


(1, 0) 处的切线所围成的封闭区域,则 z ? x ? 2 y 在 D 上的最大值为
【答案】2
' 【解析】当 x ? 2 时, f ? x ? ?

1 ' , f ?1? ? 1 ,∴曲线在点 (1, 0) 处的切线为 y ? x ? 1 x

则根据题意可画出可行域 D 如右图: 目标函数 y ?

1 1 x? z, 2 2

当 x ? 0 , y ? ?1 时,z 取得最大值 2 11 四川 9、某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、B 原 料 2 千克;生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克, B 原料 1 千克。每桶甲产品的利润是 300 元,每桶乙产品的利润是 400 元。公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗 A 、B 原 料都不超过 12 千克。通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可 获得的最大利润是( ) A、1800 元 B、2400 元 C、2800 元 D、3100 元 [答案]C [解析]设公司每天生产甲种产品 X 桶,乙种产品 Y 桶,公司共可获得 利润为 Z 元/天,则由 已知,得 Z=300X+400Y

? X ? 2Y ? 12 ?2 X ? Y ? 12 ? 且? ?X ? 0 ? ?Y ? 0
画可行域如图所示, 目标函数 Z=300X+400Y 可变形为 Y= ?

3 z x? 4 400

这是随 Z 变化的一族平行直线

解方程组 ?

?2x ? y ? 12 ?x ? 2y ? 12

?x ? 4 即 A(4,4) ? Z max ? 1200? 1600? 2800 ?? ?y ? 4

[点评]解决线性规划题目的常规步骤:一列(列出约束条件) 、二画(画出可行域) 、三作(作 目标函数变形式的平行线) 、四求(求出最优解). 1

? x, y ? 0 ? 12 新 课 标 (14) 设 x , y 满 足 约 束 条 件 : ? x ? y ? ?1 ; 则 z ? x ? 2 y 的 取 值 范 围 为 ? x? y ?3 ?
【解析】 z ? x ? 2 y 的取值范围为

[?3,3]

约束条件对应四边形 OABC 边际及内的区域: O(0,0), A(0,1), B(1, 2), C (3,0) 则 z ? x ? 2 y ?[?3,3] 13 浙江 21.(本小题满分 14 分)已知 a>0,b ? R,函数 f ? x ? ? 4ax3 ? 2bx ? a ? b . (Ⅰ)证明:当 0≤x≤1 时, (ⅰ)函数 f ? x ? 的最大值为|2a-b|﹢a; (ⅱ) f ? x ? +|2a-b|﹢a≥0; (Ⅱ) 若﹣1≤ f ? x ? ≤1 对 x ? [0,1]恒成立,求 a+b 的取值范围. 【解析】本题主要考察不等式,导数,单调性,线性规划等知识点及综合运用能力。 (Ⅰ) (ⅰ) f ? ? x ? ? 12ax2 ? 2b . 当 b≤0 时, f ? ? x ? ? 12ax 2 ? 2b >0 在 0≤x≤1 上恒成立, 此时 f ? x ? 的最大值为: f ?1? ? 4a ? 2b ? a ? b ? 3a ? b =|2a-b|﹢a; 当 b>0 时, f ? ? x ? ? 12ax 2 ? 2b 在 0≤x≤1 上的正负性不能判断, 此时 f ? x ? 的最大值为:
?b ? a,b ? 2a f max ? x ? ? max{ f (0),( f 1) } ? max{(b ? a),(3a ? b) }? ? =|2a-b|﹢a; b ? 2a ?3a ? b,

综上所述:函数 f ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值为|2a-b|﹢a; (ⅱ) 要证 f ? x ? +|2a-b|﹢a≥0,即证 g ? x ? =﹣ f ? x ? ≤|2a-b|﹢a. 亦即证 g ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值小于(或等于)|2a-b|﹢a,

∵ g ? x ? ? ?4ax3 ? 2bx ? a ? b ,∴令 g ? ? x ? ? ?12ax 2 ? 2b ? 0 ? x ? 当 b≤0 时, g ? ? x ? ? ?12ax 2 ? 2b <0 在 0≤x≤1 上恒成立, 此时 g ? x ? 的最大值 为: g ? 0? ? a ? b ? 3a ? b =|2a-b|﹢a; 当 b<0 时, g ? ? x ? ? ?12ax2 ? 2b 在 0≤x≤1 上的正负性不能判断,
g max ? x ? ? max{g ( b ),( g 1) } 6a

b . 6a

4 b ? max{ b ? a ? b,b ? 2a} 3 6a ?4 b b ? 6a ? a ? b, ? b ? ? 3 6a b ? 6a ?b ? 2a, ?

≤|2a-b|﹢a; 综上所述:函数 g ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值小于(或等于)|2a-b|﹢a. 即 f ? x ? +|2a-b|﹢a≥0 在 0≤x≤1 上恒成立. (Ⅱ)由(Ⅰ)知:函数 f ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值为|2a-b|﹢a, 且函数 f ? x ? 在 0≤x≤1 上的最小值比﹣(|2a-b|﹢a)要大. ∵﹣1≤ f ? x ? ≤1 对 x ? [0,1]恒成立, ∴|2a-b|﹢a≤1. 取 b 为纵轴,a 为横轴. 则可行域为: ? 作图如下: 由图易得:当目标函数为 z=a+b 过 P(1,2)时,有 zmax ? 3 . ∴所求 a+b 的取值范围为: (?1,3]. .
? b ? 2a ? b ? 2a 和? ,目标函数为 z=a+b. ? b ? a ? 1 ?3a ? b ? 1

【答案】(Ⅰ) 见解析;(Ⅱ) (?1, 3 ]. .

14





10













? 1 ? A ? ?( x, y) ( y ? x)( y ? ) ? 0? , B ? ( x, y) ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 ,则 A B 所表示的平 x ? ?

?

?

面图形的面积为 (A)

3 ? 4

(B) ?

3 5

(C) ?

4 7

(D)

? 2

【解析】选 D 由对称性:

y ? x, y ?

1 1 , ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 围成的面积与 y ? x, y ? , ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 x x
B 所表示的平面图形的面积为 y ? x,( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 1

围成的面积相等 得: A 围成的面积既

1 ? ?? R2 ? 2 2


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