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上海市普陀区2013高三数学一模(文理)


2012 学年第一学期普陀区高三数学质量调研卷
2013.1 考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚,并在规定的区域贴上条形码; 2.本试卷共有 23 道题,满分 150 分.考 试时间 120 分钟. 一、填空题: (本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果, 每个空格填对得 4 分,否则一律得零

分. 1. 不等式 | 2 ? x |? 1 的解为 .

2. 函数 y ? sin 2 x ? cos 2 x 的最小正周期 T ?

.

3. 若集合 A ? {x |

6 ? 1} ,集合 B ? {?1 , 0 , 1 , 2 , 3} ,则 A ? B ? x?5

. (结

4. 【理科】 如图, 正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中, 直线 BD1 与平面 BCC1 B1 所成的角的大小为 果用反三角函数值表示). 【文科】正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中,异面直线 B1C 与 C1 D 所成的角的大小为 .
A1
B1
D1

C1

A B
(第 4 题 图) (第 4 题图)
C

D

5.【理科】若函数 f ( x) ? a ? log3 x 的图像经过点 (1, 1) ,则 f 【文科】若函数 f ( x) ? 1 ? log3 x ,则 f
?1

?1

(?8) ?

.

(?8) ?

. .

6. 若等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a2 ? a4 ? 14 , S7 ? 70 ,则数列 {an } 的通项公式为

7. 在一个袋内装有同样大小、质地的五个球,编号分别为1、2、3、4、5,若从袋中任意取两个,则编号 的和是奇数的概率为 (结果用最简分数表示).

8. 在 (2 x ?
2

1 10 ) 的二项展开式中,常数项等于 x

.

9. 若函数 f ( x) ? A sin(2 x ? ? ) ( A ? 0 , ?

?
2

?? ?

?
2

)的部分图像如右图,则 f (0) ?

.

y
2

??? ??? ? ? 10. 在 △ ABC 中,若 AB ? AC ? 2 , AB ? BC ? ?7 ,则 AB ?

O
.

?
3

x

(第 9 题图)

11. 【理科】若函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 10) ? 2 f ( x ? 9) ,且 f (0) ? 1 ,则 f (?10) ? 【文科】若函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 10) ? 2 f ( x ? 9) ,且 f (0) ? 1 ,则 f (10) ? .

.

12. 【理科】 若 C(? 3,0) 、 D( 3,0) , M 是椭圆 为 . 【文科】若 F1 、 F2 是椭圆 最小值为 .

1 1 x2 ? y 2 ? 1 上的动点,则 的最小值 ? 4 MC MD

1 1 x2 ? y 2 ? 1 的左、右两个焦点, M 是椭圆上的动点,则 的 ? 4 MF1 MF2

13. 三棱锥 S ? ABC 中, E 、 F 、 G 、 H 分别为 SA 、 AC 、 BC 、 SB 的中点,则截面 EFGH 将三棱 锥 S ? ABC 分成两部分的体积之比为 .

S
E A F

H

B

G
(第 13 题图)

C

14. 已知函数 f ( x) ? ? 是 .

? x ? 1, 0 ? x ? 1 ? ,设 a ? b ? 0 ,若 f (a) ? f (b) ,则 b ? f (a) 的取值范围 1 2x ? , x ? 1 ? 2 ?

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应

编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.已知函数 y ? f (x) ( x ? R ),则“ f (1) ? f (2) ”是“函数 y ? f (x) 在 R 上是增函数”的(



A .充分非必要条件; C .充要条件;

B .必要非充分条件; D .非充分非必要条件.

16.【理科】双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1 ( a 2 ? ? ? b2 )的焦点坐标为( 2 a ?? b ??



A . (? a 2 ? b 2 ,0) ;

B . (? a 2 ? b2 ,0) ; D . (0,? a 2 ? b 2 ) .


C . (? a 2 ? b2 ? 2? ,0) ;
【文科】双曲线

x2 y2 ? ? 1 ( 7 ? ? ? 9 )的焦点坐标为( 9?? 7??
B . (? 2 ,0) ;

A . (?4,0) ;

C . (0,?4) ;

D . (0,? 2 ) .

17.已知 a ? 0 , b ? 0 ,若 lim

a n ?1 ? b n ?1 ? 5 ,则 a ? b 的值不可能是( ... n ?? a n ? b n
B .8 ;



A .7 ;

C .9 ;

D .10 .

18.如图,四边形 ABCD 是正方形,延长 CD 至 E ,使得 DE ? CD .若动点 P 从点 A 出发,沿正方形的 边按逆时针方向运动一周回到 A 点,其中 AP ? ? AB ? ? AE ,下列判断正确的是( ..

??? ?

??? ?

??? ?



A .满足 ? ? ? ? 2 的点 P 必为 BC 的中点. B .满足 ? ? ? ? 1 的点 P 有且只有一个.

E

D

C
P

C . ? ? ? 的最大值为 3.
D . ? ? ? 的最小值不存在.

A

B

(第 18 题图)

三、解答题: (本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写 出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本大题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 如图, 某种水箱用的 “浮球” 是由两个半球和一个圆柱筒组成. 已知球的直径是 6 cm , , 圆柱筒长 2 cm . (1)这种“浮球”的体积是多少 cm (结果精确到 0.1)? (2)要在这样 2500 个“浮球”表面涂一层胶质,如果每平方米需要涂胶 100 克,共需胶多少?
3

2cm

20. (本题满分 14 分)本大题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知动点 A( x, y) 到点 F (2,0) 和直线 x ? ?2 的距离相等. (1)求动点 A 的轨迹方程; (2)记点 K (?2,0) ,若 AK ?
(第 19 题图)

y

6cm

2 AF ,求△ AFK 的面积.

K ?2

O

F 2

x

(第 20 题图)

21.(本题满分 14 分) 本大题共有 2 小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分. 已知 a 、 b 、 c 是 △ ABC 中 ? A 、 ? B 、 ?C 的对边, a ? 4 3 , b ? 6 , cos A ? ? . (1)求 c ; (2)求 cos( 2 B ?

1 3

?
4

) 的值.

22.(本题满分 16 分) 本大题共有 3 小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分 ,第 3 小题满分 6 分. 【 理 科 】 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 点 An 满 足 OA ? (0, 1), 且 An An?1 ? (1, 1) 点 Bn 满 足 ; 1

????

???????

??????? ???? 2 n * ,且 Bn Bn ?1 ? (3 ? ( ) , 0) ,其中 n ? N . OB1 ? (3, 0) 3 ???? ? (1)求 OA2 的坐标,并证明点 An 在直线 y ? x ? 1 上; ..
(2)记四边形 An Bn Bn ?1 An ?1 的面积为 an ,求 an 的表达式; (3)对于(2)中的 an ,是否存在最小的正整数 P ,使得对任意 n ? N 都有 a n ? P 成立?若存在,求 P
*

的值;若不存在,请说明理由. 【文科】 f (x ) 和 g (x) 都是定义在集合 M 上的函数,对于任意的 x ? M , 都有 f ( g ( x)) ? g ( f ( x)) 成 立,称函数 f (x ) 与 g (x) 在 M 上互为“ H 函数”. (1)若函数 f ( x) ? ax ? b , g ( x) ? m x ? n , f (x ) 与 g (x) 互为“ H 函数”.证明: f (n) ? g (b) .
2 (2)若集合 M ? [?2,2] ,函数 f ( x) ? x , g ( x) ? cos x ,判断函数 f (x ) 与 g (x) 在 M 上是否互为“ H

函数” ,并说明理由. (3)函数 f ( x) ? a x ( a ? 0且a ? 1), g ( x) ? x ? 1 在集合 M 上互为“ H 函数”,求 a 的取值范围及集合

M.
23.(本题满分 18 分) 本大题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分 ,第 3 小题满分 8 分. 【理科】设函数 f (x ) 和 g (x) 都是定义在集合 M 上的函数,对于任意的 x ? M ,都有

f ( g ( x)) ? g ( f ( x)) 成立,称函数 f (x) 与 g (x) 在 M 上互为“ H 函数”.
(1)函数 f ( x) ? 2 x 与 g ( x) ? sin x 在 M 上互为“ H 函数” ,求集合 M ; (2)若函数 f ( x) ? a x ( a ? 0且a ? 1)与 g ( x) ? x ? 1 在集合 M 上互为“ H 函数”.求证: a ? 1 ;
* (3)函数 f ( x) ? x ? 2 与 g (x) 在集合 M ? {x | x ? ?1 且 x ? 2k ? 3 , k ? N } 上互为“ H 函数” ,当

0 ? x ? 1 时, g ( x) ? log2 ( x ? 1) ,且 g (x) 在 (?1,1) 上是偶函数.求函数 g (x) 在集合 M 上的解析式.
【文科】 在平面直角坐标系 xOy 中, An 满足 OA ? (0,1) , An An ?1 ? (1,1) ; Bn 满足 OB ? (3,0) , 点 且 点 1 1 且 Bn Bn ?1 ? (3 ? ( ) ,0) ,其中 n ? N * .
n

(1)求 OA2 的坐标,并证明点 An 在直线 y ? x ? 1 上; .. (2)记四边形 An Bn Bn ?1 An ?1 的面积为 an ,求 an 的表达式; (3)对于(2)中的 an ,是否存在最小的正整数 P ,使得对任意 n ? N 都有 a n ? P 成立?若存在,求 P
*

???? ?

2 3

的值;若不存在,请说明理由.

2012 学年第一学期普陀区高三理科数学质量调研评分标准 一、填 空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每 个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 2. ?

1. [1,3]

3. {?1, 0}

arct an
4.【理科】

2 ? 2 ; 【文科】 60

5. 3

9

6.

an ? 3n ? 2

(n? N )
*

3 7. 5 3 [ ,2) 14. 4

8.180

9. ? 1

10.3

1 10 10 11. 理科】2 【文科】2 【

12.1

13. 1 : 1

二、选择题(本 大题满分 20 分)本 大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生 应在答题纸的相应 编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. B 16. B 17. D 18. C

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区 域内写 出必要的步骤.

4 4 V球 ? ?R 3 ? ? ? 27 ? 36? 3 3 cm3 ????2 分 19.【解】 (1) d ? 6cm , R ? 3cm ,
2 h ? 2 , V圆柱 ? ?R ? h ? ? ? 9 ? 2 ? 18? cm3 ????2 分

V ? V球 ? V圆柱 ? 36? ? 18? ? 54? ? 169 .6 cm3 ????2 分
(2)

S球表 ? 4?R 2 ? 4 ? ? ? 9 ? 36? cm2 ????2 分
S圆柱侧 ? 2?Rh ? 2 ? ? ? 3 ? 2 ? 12? cm2 ????2 分
S1 ? 36? ? 12? 48 ? 4? 2 4 m 10 10 S 2500 ? 2500 ? 48 ? ? 12? 2 m 10 4

1 个“浮球”的表面积

2500 个“浮球”的表面积的和

所用胶的质量为 100 ? 12? ? 1200? (克)????2 分 答:这种浮球的体积约为 169 .6 cm ;供需胶 1200 ? 克.
3

20.【解】 (1)由题意可知,动点 A 的轨迹为抛物线,其焦点为 F (2, 0) ,准线为 x ? ?2

p ?2 y 2 ? 2 px ,其中 2 设方程为 ,即 p ? 4 ??2 分
所以动点 A 的轨迹方程为 y ? 8x ??2 分
2

(2)过 A 作 AB ? l ,垂足为 B ,根据抛物线定义,可得 | AB |?| AF | ??2 分

y

B

A

K

F

由于 ???2 分

AK ? 2 AF

,所以 ?AFK 是等腰直角三角形

其中 | KF |? 4 ????2 分

所以

S ?AFK ?

1 ? 4? 4 ? 8 2 ????2 分

21.【解】 (1)在 △ ABC 中,由余弦定理得, a ? b ? c ? 2bc cos A ????2 分
2 2 2

1 48 ? 36 ? c 2 ? 2 ? c ? 6 ? (? ) 3 ????2 分
2 即 c ? 4c ? 12 ? 0 , (c ? 6)(c ? 2) ? 0 ,解得 c ? 2 ????2 分

1 2 2 cos A ? ? ? 0 sin A ? 3 3 ????2 分 (2)由 得 A 为钝角,所以
a b ? 在 △ ABC 中, 由正弦 定理,得 sin A sin B

b ? sin A sin B ? ? a 则

6?

2 2 3 ? 6 3 ????2 分 4 3

由于 B 为锐角,则

cos B ?

3 3 ??2 分
2 1 ?? 3 3

cos 2 B ? 1 ? 2 sin 2 B ? 1 ? 2 ?

sin 2B ? 2 sin B ? cos B ? 2 ?

6 3 2 2 ? ? 3 3 3

2 2 1 2 2 4? 2 (cos2 B ? sin 2 B) ? (? ? )? 4 2 2 3 3 6 ???2 分 所以 ???? ? A1 A2 ? (1,1), A1 A2 ? OA2 ? OA1 ,所以 OA2 ? (1,2)??2 分 22.【理科】 【解】 (1)由已知条件得,
cos( 2 B ? )?

?

An An?1 ? (1,1),则 OAn?1 ? OAn ? (1, 1)



OAn ? ( xn , y n ) ,则 xn?1 ? xn ? 1 , y n?1 ? y n ? 1
xn ? 0 ? (n ? 1) ?1 ? n ? 1 ; yn ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n ???2 分

所以 即

An ? (n ? 1, n) 满足方程 y ? x ? 1 ,所以点 An 在直线 y ? x ? 1 上. ???1 分 An 在直线 y ? x ? 1 上也可以用数学归纳法证明.)

(证明

(2)由(1)得

An (n ? 1, n)

2 Bn Bn ?1 ? OB n ?1 ? OB n ? (3 ? ( ) n ,0) 3 ???1 分


Bn (u n , vn ) ,则 u1 ? 3 , v1 ? 0

vn?1 ? vn ? 0 ,所以 vn ? 0
2 2 u n ?1 ? u n ? 3 ? ( ) n u n ? 9(1 ? ( ) n ) 3 , 逐差累和得, 3 , 2 Bn (9(1 ? ( ) n ), 0) 3 所以 ???2 分

P ? ?1,0? 设直线 y ? x ? 1 与 x 轴的交点 ,则
an ? S?PAn?1Bn?1 ? S ?PAn Bn 1? ?2? ? ?10 ? 9 ? ? 2? ?3? ?
n ?1 n ? 1? ?2? ? ? ? n ? 1? ? ?10 ? 9 ? ? ? n 2? ?3? ? ? ? ? ?

2 ? 5 ? (n ? 2)( ) n ?1 * an 3 , n ? N ??2 分 2 ? 5 ? (n ? 2)( ) n ?1 * 3 ,n? N

a (3)由(2) n

n n ?1 n ?1 ? ?2? ? ? ? 2? ? 4?n? 2? an ?1 ? an ? ?5 ? ? n ? 1? ? ? ? ? ?5 ? ? n ? 2 ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 3? ?3? ? ? ?3? ? ? ? ? ? ? ?2 分

于是,

a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 , a5 ? a6 ? a7 ? ? ???2 分
16 16

a4 ? a5 ? 5 ? P?5 ?a ? 27 ,则 27 ,即最小的正整数 p 的值为 6 ,所以,存在最小 数列 n 中项的最大值为
* a ? p 成立.??2 分 的自然数 p ? 6 ,对一切 n ? N 都有 n

【文科】22. 【解】 (1)证明:函数 f (x ) 与 g (x) 互为“ H 函数“,则对于 ?x ? R , f ( g ( x)) ? g ( f ( x)) 恒 成立.即 a(mx ? n) ? b ? m(ax ? b) ? n 在 R 上恒成立??????2 分 化简得 amx? (an ? b) ? amx? (bm ? n) ??????2 分 所以当 an ? b ? bm ? n 时, f ( g ( x)) ? g ( f ( x)) ,即 f (n) ? g (b) ?1 分 (2)假设函数 f (x ) 与 g (x) 互为“ H 函数” ,则对于任意的 x ? M

f ( g ( x)) ? g ( f ( x)) 恒成立.即 cos x 2 ? cos2 x ,对于任意 x ?[?2,2] 恒成立?2 分.
当 x ? 0 时, cos 0 ? cos 0 ? 1 .
2 2 不妨取 x ? 1 ,则 cos1 ? cos1 ,所以 cos1 ? cos 1 ??????2 分

所以假设不成立,在集合 M 上,函数 f (x ) 与 g (x) 不是互为“ H 函数”???1 分. (3)由题意得, a
x ?1

? a x ? 1 ( a ? 0 且 a ? 1 )???2 分
x

变形得, a (a ? 1) ? 1 ,由于 a ? 0 且 a ? 1

ax ?

1 1 ?0 x a ? 1 ,因为 a ? 0 ,所以 a ? 1 ,即 a ? 1 ???2 分

此时

x ? ? loga (a ? 1) ,集合 M ? {x | x ? ? loga (a ? 1), a ? 1} ???2 分

23.【解】 (1)由 f ( g ( x) ? g ( f ( x)) 得 2 sin x ? sin 2 x 化简得, 2 sin x(1 ? cos x) ? 0 , sin x ? 0 或 cos x ? 1 ???2 分 解得 x ? k? 或 x ? 2k? , k ? Z ,即集合 M ? {x | x ? k? } k ? Z ???2 分 (若学生写出的答案是集合 M ? {x | x ? k? , k ? Z} 的非空子集,扣 1 分,以示区别。) (2)证明:由题意得, a
x
x ?1

? a x ? 1 ( a ? 0 且 a ? 1 )???2 分

变形得, a (a ? 1) ? 1 ,由于 a ? 0 且 a ? 1

ax ?

1 a ? 1 ???2 分

1 ?0 因为 a ? 0 ,所以 a ? 1 ,即 a ? 1 ???2 分
x

(3)当 ? 1 ? x ? 0 ,则 0 ? ? x ? 1 ,由于函数 g (x) 在 (?1,1) 上是偶函数 则 g ( x) ? g (? x) ? log2 (1 ? x) 所以当 ? 1 ? x ? 1 时, g ( x) ? log2 (1? | x |) ?????2 分 由于 f ( x) ? x ? 2 与函数 g (x) 在集合 M 上“ 互为 H 函数” 所以当 x ? M , f ( g ( x) ? g ( f ( x)) 恒成立,

g ( x) ? 2 ? g ( x ? 2) 对于任意的 x ? (2n ? 1,2n ? 1) ( n ? N )恒成立,
即 g ( x ? 2) ? g ( x) ? 2 ?????2 分 所以 g[ x ? 2(n ? 1) ? 2] ? g[ x ? 2(n ? 1)] ? 2 , 即 g ( x ? 2n) ? g[ x ? 2(n ? 1)] ? 2 所以 g ( x ? 2n) ? g ( x) ? 2n , 当 x ? (2n ? 1,2n ? 1) ( n ? N )时, x ? 2n ? (?1,1)

g ( x ? 2n) ? log2 (1? | x ? 2n |) ?????2 分
所以当 x ? M 时,[

g ( x) ? g[(x ? 2n) ? 2n] ? g ( x ? 2n) ? 2n ? log2 (1? | x ? 2n |) ? 2n ???2 分

???? ? A1 A2 ? (1,1), A1 A2 ? OA2 ? OA1 ,所以 OA2 ? (1,2)??2 分 【文科】23、 【解】 (1)由已知条件得,
An An?1 ? (1,1),则 OAn?1 ? OAn ? (1, 1)


OAn ? ( xn , y n ) ,则 xn?1 ? xn ? 1 , y n?1 ? y n ? 1
xn ? 0 ? (n ? 1) ?1 ? n ? 1 ; yn ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n ???2 分

所以 即

An ? (n ? 1, n) 满足方程 y ? x ? 1 ,所以点 An 在直线 y ? x ? 1 上. ???1 分 An 在直线 y ? x ? 1 上也可以用数学归纳法证明.)

(证明

(2)由(1)得

An (n ? 1, n)

2 Bn Bn ?1 ? OB n ?1 ? OB n ? (3 ? ( ) n ,0) 3 ???1 分


Bn (u n , vn ) ,则 u1 ? 3 , v1 ? 0

vn?1 ? vn ? 0 ,所以 vn ? 0
2 2 u n ?1 ? u n ? 3 ? ( ) n u n ? 9(1 ? ( ) n ) 3 , 逐差累和得, 3 , 2 Bn (9(1 ? ( ) n ), 0) 3 所以 ???2 分

P ? ?1,0? 设直线 y ? x ? 1 与 x 轴的交点 ,则
an ? S?PAn?1Bn?1 ? S ?PAn Bn 1? ?2? ? ?10 ? 9 ? ? 2? ?3? ?
n ?1 n ? 1? ?2? ? ? ? n ? 1? ? ?10 ? 9 ? ? ? n 2? ?3? ? ? ? ? ?

2 ? 5 ? (n ? 2)( ) n ?1 * an 3 , n ? N ??2 分 2 ? 5 ? (n ? 2)( ) n ?1 * 3 ,n? N

a (3)由(2) n

n n ?1 n ?1 ? ?2? ? ? ? 2? ? 4?n? 2? an ?1 ? an ? ?5 ? ? n ? 1? ? ? ? ? ?5 ? ? n ? 2 ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 3? ?3? ? ? ?3? ? ? ? ? ? ? ?2 分

于是,

a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 , a5 ? a6 ? a7 ? ? ???2 分
16 16

a4 ? a5 ? 5 ? P?5 ?a ? 27 ,则 27 ,即最小的正整数 p 的值为 6 ,所以,存在最小 数列 n 中项的最大值为
* a ? p 成立.??2 分 的自然数 p ? 6 ,对一切 n ? N 都有 n


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