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南充高中2015年素质技能邀请赛数学试题


南充高中 2015 年素质技能邀请赛

数学试题
(考试时间:100 分钟 试卷总分:150 分)

第Ⅰ卷(选择.填空题)
一、选择题(每小题 4 分,共计 40 分.下列各题只有一个正确的选项,请将正确选项的 番号填入答题卷的相应位置) (1).下列物体中,是同一物体的为( )

A. (1)与(

2)
x y

B. (1)与(3)
z

C. (1)与(4)

D. (2)与(3)

(2).已知 2 ? 3,2 ? 6,2 ? 12, 则 x, y, z 的大小关系为( A. x ? y ? z B. x ? y ? z

) D. 2 y ? x ? z

C. 2 y ? x ? z

(3). 掷一枚硬币,其正面朝上与反面朝上的可能性相同,如果将此硬币抛掷了两次,则 至少有一次是正面朝上的概率为( ) A.

2 3

B.

3 4
?

C.

1 4

D.

1 2


(4). 函数 y ? x x ? (4 cos30 ) x ? 2 的图像与 x 轴交点的个数为( A.1 个 B.2 个 C .3 个 D.4 个

(5).已知:如图 1,点 G 是 BC 的中点,点 H 在 AF 上,动点 P 以每秒 2cm 的速度沿图 1 的 边 线 运动 , 运 动路 径为 : G ? C ? D ? E ? F ? H , 相 应 的 △ ABP 的 面 积

y(cm2 )关于运动时间 t (s) 的函数图象如图 2,若 AB ? 6cm ,则下列四个结论中正确的
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个数有(


2

①图 1 中的 BC 长是 8cm, ②图 2 中的 M 点表示第 4 秒时 y 的值为 24cm , ③图 1 中的 CD 长是 4cm, ④图 2 中的 N 点表示第 12 秒时 y 的值为 18cm .
2

y(cm2 )
A H D B G 图1 B.2 个 C 第 5 题图 C .3 个 D.4 个
?

F E

M
N

O 2 4 7 12
图2

t (s)

A.1 个

A
O

(6).如图,点 O 是 △ ABC 的内切圆的圆心,若∠BAC ? 80 , 则 ∠BOC ? ( A. 130
?


?

B. 100

C. 50

?

D. 65

?

B

C
第 6 题图

(7).函数 y ?

m 与 y ? mx ? m ? m ? 0? 在同一平面直角坐标系中的图象可能是( x



y

y

y

y

O
O

x

O

x

x

O

x

A.

B.

C.

D.

( 8). 设

f ( x) 是 一 个 函 数 , 使 得 对 所 有 整 数 x 和 y 都 有 ①


f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? 6 xy ? 1 和② f ( x) ? f (? x) 成立,则 f (3) 等于(
A.26 B.27 C.52 D.53

(9).某商场经销一种商品,由于现进货价格比原进货价格低了 6.4% ,使得利润率增加了 南充高中 2015 年素质技能邀请赛数学试题 2 / 11

8 个百分点,则现经销这种商品的利润率为( A.23% B.25% C.27%

) D.29%

(10). 十名选手参加象棋比赛,其中每两名恰好比赛一局,赛后统计,第一名选手胜 第二名选手胜 x2局,负y2局; x1局,负y1局; ?? 第十名选手胜 x10局,负y10局.(整个 比赛无平局)记

M ? x1 ? x2 ??? x10 , N ? y1 ? y2 ??? y10 .
A. M ? N B. M ? N C. M ? N

2

2

2

2

2

2

则(



D. M、N 的大小关系不确定

二、填空题(每小题 5 分,共计 50 分,请将你的答案填到答题卷的相应位置处)

(11)

1927 ? 2015 1927 ? 2015 1927 ? 2015 ? ?? ? ? _____________________ 2 2 1927 ? 1927 1928 ? 1928 2014 ? 2014 2

(12)多项式 2 x 2 ? 4 xy ? 5 y 2 ?12y ? 13 的最小值是 ______________________ (13)分解因式: x 2 ? 2xy ? 8 y 2 ? x ?14y ? 6 ? ______________________ ( 14 ) 由 方 程 x ?1 ? y ?1 ? 1 确 定 的 曲 线 所 围 成 的 图 形 的 面 积 为 _____________________ ( 15 )关于 x 的方程 x ? 2 ? x ? 7 ? k 有且仅有两个相异实根,则 k 的取值范围是 ______________________ (16) 设 19 ? 8 3 的整数部分为 m , 小数部分为 n , 则m? n?

1 的值为_____________ n

(17)边长分别为 6,8,10 的三角形的内心与外心的距离为_____________ (18)某书店举办图书展销,购书者可享受如下优惠: (i)凡一次性购书不超过 50 元,不予折扣; (ii)凡一次性购书超过 50 元,但不超过 200 元,按标价给予九折优惠; (iii)凡一次性购书超过 200 元,其中 200 元按第(ii)条给予优惠,超过 200 元的 部分给予八折优惠. 某同学两次购书, 分别付款 81 元和 126 元.如果他购买同样的书而只去一次, 则可以少付 ___________________元.

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k k 图像上的点, Q 是双曲线 y ? 在第四象限这 x x k 一分支上的动点,过点 Q 作直线,使其与双曲线 y ? 只有 x
(19)已知 P(?2,3) 是反比例函数 y ? 一个公共点,且与 x 轴、 y 轴分别交于点 C、D , 另一直线

3 x ? 6 与 x 轴 、 y 轴 分 别 交 于 点 A、B . 则 四 边 形 2 ABC D面积的最小值为____________________ y?
第 20 题图

( 20 ) 如 图 , 四 个 阴 影 部 分 三 角 形 的 面 积 都 为 1 , 则 ?A B C 的 面 积 等 于 ____________________

第Ⅱ卷(解答题)
三、解答题: (本大题共 5 个小题,每小题 12 分,共 60 分,解答应写出必要的说明,证明过 程和推演步骤)

(21).半径为

5 的 ? O 中,直径 AB 的不同侧有定点 C 和动点 P .已知 BC : CA ? 4 : 3 , 2

AB 上运动,过点 C 作 CP 的垂线,与 PB 的延长线交于点 Q . 点P在?
(1)当点 P 运动到与点 C 关于直径 AB 对称时,求 CQ 的长;

C A

Q B

D P



第 21 题图

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(2)当点 P 运动到什么位置时, CQ 取到最大值,并求出此时 CQ 的长.

C A B


(备用图)

(22).设边长为 2 a 的正方形的中心 A 在直线 l 上, 它的一组对边垂直于直线 l , 半径为 r 的 O d ? O 的圆心 O 在直线 l 上运动 ,点 , 间距离为 . A .. (1)如图①,当 r ? a 时,根据 d 与 a , r 之间关系,将 ? O 与正方形的公共点个数填 入下表:

d , a , r 之间关系 d ?a?r d ?a?r a?r ? d ? a?r d ? a?r d ? a?r

公共点的个数

A
第 22 题图①

O

l

所以,当 r ? a 时, ? O 与正方形的公共点个数可能有__________个; (2)如图②,当 r ? a 时,根据 d 与 a , r 之间关系,将 ? O 与正方形的公共点个数填 入下表:

d , a , r 之间关系 d ?a?r d ?a?r a≤d ? a?r d?a

公共点的个数

A
第 22 题图②

O

l

所以,当 r ? a 时, ? O 与正方形的公共点个数可能有__________个; (3)就 r ? a 的情形,请你仿照“当 ??时, ? O 与正方形的公共点个数可能有______ 个”的形式,至少给出一个关于“ ? O 与正方形的公共点个数”的正确结论.

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(23) .取一副三角板按图①拼接,固定三角板 ADC ,将三角板 ABC 绕点 A 依顺时针 方向旋转一个大小为 ? 的角 (0? ? ? ≤ 45? ) 得到 △ ABC ? ,如图所示. 试问: (1)当 ? 为多少度时,能使得图②中 AB ∥ DC ? (2)当旋转至图③位置,此时 ? 又为多少度?图③中你能找出哪几对相似三角形,并求 其中一对的相似比; (3)连结 BD ,当 0 ? ? ≤ 45 时,探寻 ?DBC? ? ?CAC? ? ? BDC 值的大小变化情
? ?

况,并给出你的证明.

B B A A C D D D
图① 图②

A C





C?

图③

C?

(24) .如图,已知抛物线 C1 与坐标轴的交点依次

8) . 0) , B(?2, 0) , E (0, 是 A(?4,
(1)求抛物线 C1 关于原点对称的抛物线 C2 的解析 式; (2)设抛物线 C1 的顶点为 M ,抛物线 C2 与 x 轴 分别交于 C,D 两点(点 C 在点 D 的左侧) ,顶点 为 N ,四边形 MDNA 的面积为 S .若点 A ,点 D 南充高中 2015 年素质技能邀请赛数学试题 6 / 11 第 24 题图

同时以每秒 1 个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动;与此同时,点 M ,点 N 同 时以每秒 2 个单位的速度沿坚直方向分别向下、 向上运动, 直到点 A 与点 D 重合为止. 求 出四边形 MDNA 的面积 S 与运动时间 t 之间的关系式,并写出自变量 t 的取值范围; (3)当 t 为何值时,四边形 MDNA 的面积 S 有最大值,并求出此最大值; (4)在运动过程中,四边形 MDNA 能否形成矩形?若能,求出此时 t 的值;若不能,请 说明理由.

(25).如图, 直线 y ?

k x ? k 分别与 y 轴、 点B, 且 AB ? 5 . 一 x 轴的正半轴相交于点 A , 3

个圆心在坐标原点,半径为 1的圆,以 0.8 个单位/秒的速度向 y 轴正方向运动.设此动 圆圆心离开坐标原点的时间为 t ? t ≥ 0? (秒) . (1)求直线 AB 的解析式; (2)如图 1, t 为何值时,动圆与直线 AB 相切? (3)如图 2 ,若在圆开始运动的同时,一动点 P 从 B 点出发,沿 BA 方向以 1 个单位/ 秒的速度运动,设 t 秒时点 P 到动圆圆心 C 的距离为 s ,求 s 与 t 的关系式; (4)在(3)中,动点 P 自刚接触圆面起,经多长时间后离开了圆面?

图1 第 25 题图

图2

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答题卷

一、选择题答案:(每小题 4 分,共计 40 分) 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

二、填空题答案:(每小题 5 分,共计 50 分)

11.______________________ 13.______________________ 15._____________________ 17._____________________

12.______________________ 14.______________________ 16.______________________ 18.______________________

19._____________________ 20._____________________ 三、解答题: (本大题共 5 个小题,每小题 12 分,共 60 分,解答应写出必要的说明,证明过 程和推演步骤) (21 题) :C C Q



D P








(备用图)



第 21 题图

(22 题) : (1)

d , a , r 之间关系

公共点的个数

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A
第 22 题图①

8 / 11 O

l

d ?a?r d ?a?r a?r ? d ? a?r d ? a?r d ? a?r
所以,当 r ? a 时, ? O 与正方形的公共点个数可能有__________个;

(2)

d , a , r 之间关系 d ?a?r d ?a?r a≤d ? a?r d?a

公共点的个数

A
第 22 题图②

O

l

所以,当 r ? a 时, ? O 与正方形的公共点个数可能有__________个; (3)就 r ? a 的情形,请你仿照“当 ??时, ? O 与正方形的公共点个数可能有______ 个”的形式,至少给出一个关于“ ? O 与正方形的公共点个数”的正确结论. 解答:

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(23 题) :

B B A A C D D D
图① 图② 第 23 题图

A C





C?

图③

C?

(24 题) :

第 24 题图

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(25 题) :

图1 第 25 题图

图2

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