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河南省卢氏一中2012届高考数学二轮专题训练:《解析几何》


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河南省卢氏一中 2012 届高考数学二轮专题训练《解析几何》 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.(2011· 北京高考)已知集合 P={x|x2≤1},M={a}.若 P∪M=P,则 a 的取值范围是 ( A.(-∞,-1] C.[-1,1] B.[1,+

∞) D.(-∞,-1]∪[1,+∞) )

解析:因为 P∪M=P,所以 M?P,即 a∈P,得 a2≤1,解得-1≤a≤1,所以 a 的取 值范围是[-1,1]. 答案:C 2. (2011· 北京西城模拟)设向量 a=(1, sinθ), b=(3sinθ, 且 a∥b, cos2θ 等于( 1), 则 A.- 2 C. 3 1 3 B.- 1 D. 3 2 3 )

1 解析:∵a∥b,∴1=3sin2θ.即 sin2θ= . 3 2 1 ∴cos2θ=1-2sin2θ=1- = . 3 3 答案:D 3. (2011· 烟台模拟)等比数列{an}中, 3=6, a 前三项和 S3=?34xdx, 则公比 q 的值为(

?0

)

A.1 1 C.1 或- 2

B.-

1 2

1 D.-1 或- 2

解析:因为 S3=2x2|x=3-2x2|x=0=18, 6 6 所以q+ 2+6=18, q 化简得 2q2-q-1=0, 1 解得 q=1 或 q=- . 2 答案:C 4.(2011· 南昌二模)一个几何体的三视图如图所示,这个几何体的体积是( )

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[ : ]

25 A. π 3 C.3+ 16 π 3

34 B. π 3 16 D.12+ π 3

解析:由三视图知该几何体为一个半球和一个正四棱柱的组合体.体积 V=V 半球+V 正
四棱柱

1 4 1 4 16 = × πr3+Sh= × π×23+2×2×3= π+12. 2 3 2 3 3 答案:D 5.(2011· 合肥模拟)已知双曲线的渐近线是 2x- 3y=0 和 2x+ 3y=0,且过点(6,6),

则双曲线的标准方程是( x y A. - =1 3 4 x2 y2 C. - =1 9 12
2 2

) y 2 x2 B. - =1 4 3 y2 x2 D. - =1 16 12

解析:依题意,设所求双曲线方程是(2x- 3y)(2x+ 3y)=m(m≠0),即 4x2-3y2=m, x2 y2 则有 4×62-3×62=m,m=36,因此所求双曲线方程是 4x2-3y2=36,即 - =1. 9 12 答案:C x2 y2 6.抛物线 y2=8x 的焦点到双曲线 - =1 的渐近线的距离为( 12 4 A.1 C. 3 3 B. 3 D. 3 6 )

x2 y2 3 解析: 由题意可知, 抛物线 y2=8x 的焦点为(2,0), 双曲线 - =1 的渐近线为 y=± 12 4 3 |2×?± 3?| x,所以焦点到双曲线的渐近线的距离为 =1. 3+9 答案:A 7.已知 P 为抛物线 y2=4x 上一个动点,Q 为圆 x2+(y-4)2=1 上一个动点,那么点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( A.5 C. 17-1
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)

B.8 D. 5+2

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解析:抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0),圆 x2+(y-4)2=1 的圆心为 C(0,4),设点 P 到抛 物线的准线距离为 d, 根据抛物线的定义有 d=|PF|, ∴|PQ|+d=|PQ|+|PF|≥(|PC|-1)+|PF| ≥|CF|-1= 17-1. 答案:C x2 y2 8.(2011· 杭州模拟)已知双曲线 C: 2- 2=1(a,b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过 a b F2 作双曲线 C 的一条渐近线的垂线,垂足为 H,若 F2H 的中点 M 在双曲线 C 上,则双曲 线 C 的离心率为( A. 2 C.2 ) B. 3 D.3

b 解析:如图,OH:y= x, a a HF2:y=- (x-c), b

?y=ax, 由? a ?y=-b?x-c?,
b a2 ab 解得 H( , ), c c a2+c2 ab 所以 HF2 的中点为 M( , ), 2c 2c 代入双曲线方程整理得:c2=2a2,所以 e= 2. 答案:A 1 9.若函数 f(x)=-beax 的图像在 x=0 处的切线 l 与圆 C:x2+y2=1 相离,则 P(a,b) 与圆 C 的位置关系是( A.在圆外 C.在圆上 a 解析:由 f′(x)=-beax, a ∴k=f′(0)=- . b a 1 切线 l 的方程为 y+b=-bx. 即 ax+by+1=0,又 l 与⊙C 相离. ∴ 1 2 2 2>1,点 P 与圆心的距离 d= a +b <1. a +b
2

) B.在圆内 D.不能确定

∴点 P 在圆内.
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答案:B

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x2 y2 y2 10.(2011· 浙江高考)已知椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)与双曲线 C2:x2- =1 有公共 a b 4 的焦点,C2 的一条渐近线与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A、B 两点,若 C1 恰好将线段 AB 三等分,则( A.a2= C.b2= 13 2 1 2 ) B.a2=13 D.b2=2

解析:容易求得双曲线的渐近线为 y=± 2x,因线段 AB 被 C1 三等分,而 AB=2a,则 a 2 2a 2 ? ? ? ? 3 5 3 5 a 2a 第一象限内的等分点的坐标为( , ),代入椭圆方程得, 2 + 2 =1,又 a2- a b 3 5 3 5 1 b2=5,故 b2= . 2 答案:C 二、填空题(本大题共有 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11.已知圆 C 的圆心与抛物线 y2=4x 的焦点关于直线 y=x 对称.直线 4x-3y-2=0 与圆 C 相交于 A、B 两点,且|AB|=6,则圆 C 的方程为____________________. 解析:y2=4x,焦点 F(1,0), ∴圆心 O(0,1). 5 O 到 4x-3y-2=0 的距离 d= =1,则圆半径 r 满足 r2=12+32=10, 5 ∴圆 C 的方程为 x2+(y-1)2=10. 答案:x2+(y-1)2=10 x2 12.(2011· 浙江高考)设 F1,F2 分别为椭圆 +y2=1 的左,右焦点,点 A,B 在椭圆上, 3 若 F 1 A =5 F 2 B ,则点 A 的坐标是________. 解析:根据题意设 A 点坐标为(m,n),B 点坐标为(c,d).F1、F2 分别为椭圆的左、右 焦点,其坐标分别为(- 2,0),( 2,0),可得 F 1 A =(m+ 2,n), F 2 B =(c- 2,d).∵ ? ???? ???? ? m+6 2 n c2 2 F 1 A =5 F 2 B ,∴c= ,d= .∵点 A、B 都在椭圆上,∴ +d =1, 5 5 3 =1.解得 m=0,n=± 1,故点 A 坐标为(0,± 1). 答案:(0,± 1) y2 13.已知双曲线 x2- =1 的左顶点为 A1,右焦点为 F2,P 为双曲线右支上一点,则 3 m+6 2 2 ? 5 n +( )2 3 5
???? ???? ?
???? ???? ?

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???? ???? P1 A · F 2 的最小值为________. P

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解析:由题可知 A1(-1,0),F2(2,0),设 P(x,y)(x≥1),则 P F 1 =(-1-x,-y),PF2―
P →=(2-x, -y),P1 A · F 2 =(-1-x)(2-x)+y2=x2-x-2+y2=x2-x-2+3(x2-1)=4x2 ???? ???? 1 P -x-5,∵x≥1,函数 f(x)=4x2-x-5 的图像的对称轴为 x= ,∴当 x=1 时, P1 A · F 2 8 ???? ????

????

取最小值-2. 答案:-2 14.从圆(x-1)2+(y-1)2=1 外一点 P(2,3)向这个圆引切线,切点分别为 A、B,则点 P 到直线 AB 的距离为________. 解析:如图,圆心为 C(1,1),半径 r=1,则 CA⊥AP,且 PC⊥ AB 于 H , 故 |PH| 为 点 P 到 直 线 AB 的 距 离 . 又 |PC| = ?2-1?2+?3-1?2= 5,故切线长|PA|= |PC|2-r2= ? 5?2-12= |PA|2 2, Rt△PAC 中, 在 由射影定理可得|PA| =|PH|×|PC|, 故|PH|= |PC|
2



22 4 5 = . 5 5 答案: 4 5 5

三、解答题(本大题共有 4 小题,共 50 分) 15.(本小题满分 12 分)(2011· 福建高考)已知直线 l:y=x+m,m∈R. (1)若以点 M(2,0)为圆心的圆与直线 l 相切于点 P,且点 P 在 y 轴上,求该圆的方程; (2)若直线 l 关于 x 轴对称的直线为 l′,问直线 l′与拋物线 C:x2=4y 是否相切?说 明理由. 解:(1)法一:依题意,点 P 的坐标为(0,m). 0-m 因为 MP⊥l,所以 ×1=-1, 2-0 解得 m=2, 即点 P 的坐标为(0,2). 从而圆的半径 r=|MP|= ?2-0?2+?0-2?2=2 2, 故所求圆的方程为(x-2)2+y2=8. 法二:设所求圆的半径为 r,则圆的方程可设为(x-2)2+y2=r2.
[ :] [: ]

?4+m =r , ? ?m=2, ?|2-0+m| 解得? =r, ?r=2 2. ? 2 ?
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2

2

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所以所求圆的方程为(x-2)2+y2=8. (2)因为直线 l 的方程为 y=x+m, 所以直线 l′的方程为 y=-x-m.
? ?y=-x-m, 由? 2 得 x2+4x+4m=0. ? ?x =4y,

Δ=42-4×4m=16(1-m). (1)当 m=1,即 Δ=0 时,直线 l′与拋物线 C 相切; (2)当 m≠1,即 Δ≠0 时,直线 l′与拋物线 C 不相切. 综上,当 m=1 时,直线 l′与拋物线 C 相切;当 m≠1 时,直线 l′与拋物线 C 不相 切.

16. (本小题满分 12 分)(2011· 北京高考)如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥平面 ABCD, 底面 ABCD 是菱形,AB=2,∠BAD=60° .

(1)求证:BD⊥平面 PAC; (2)若 PA=AB,求 PB 与 AC 所成角的余弦值; (3)当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时,求 PA 的长. 解:(1)证明:因为四边形 ABCD 是菱形, 所以 AC⊥BD. 又因为 PA⊥平面 ABCD,所以 PA⊥BD,又 AC∩PA=A, 所以 BD⊥平面 PAC. (2)设 AC∩BD=O. 因为∠BAD=60° ,PA=AB=2, 所以 BO=1,AO=CO= 3. 如图,以 O 为坐标原点,建立空间直角坐标系 O-xyz 则 P(0,- 3,2),A(0,- 3,0),B(1,0,0),C(0, 3,0),所 以 P B =(1, 3,-2), A C =(0,2 3,0).
??? ???? ? A PB · C 6 6 ? 设 PB 与 AC 所成的角为 θ,则 cosθ= ??? ???? = = | P B || A C | 2 2×2 3 4

??? ?

????

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∴PB 与 AC 所成角的余弦值为 (3)由(2)知 B C =(-1, 3,0) 设 P(0,- 3,t)(t>0), 则 B P =(-1,- 3,t),
??? ?

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6 . 4

????

设平面 PBC 的一个法向量 m=(x,y,z), 则 BC · m=0, B P · m=0,
????
??? ?

?-x+ 3y=0, 所以? ?-x- 3y+tz=0.
6 令 y= 3,则 x=3,z= . t 6 所以 m=(3, 3, t ). 6 同理,平面 PDC 的一个法向量 n=(-3, 3, t ). 因为平面 PBC⊥平面 PDC, 所以 m· n=0,即-6+ 解得 t= 6, 所以 PA= 6. y2 x2 17.(本小题满分 12 分)设 A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上的两点,已 a b x1 y1 x2 y2 3 知向量 m=( b , a ),n=( b , a ),若 m· n=0 且椭圆的离心率 e= ,短轴长为 2,O 为坐 2 标原点. (1)求椭圆的方程; (2)若直线 AB 的斜率存在且直线 AB 过椭圆的焦点 F(0,c)(c 为半焦距),求直线 AB 的 斜率 k 的值; (3)试问:△AOB 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由. a2-b2 c 3 解:(1)由题意知 2b=2,b=1,e= = = , a a 2 y2 则 a=2,c= 3.椭圆的方程为 +x2=1. 4 (2)由题意,设直线 AB 的方程为 y=kx+ 3, 36 =0. t2

?y=kx+ 3, ? 由?y2 得(k2+4)x2+2 3kx-1=0. 2 ? ? 4 +x =1,
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x1+x2= -2 3k -1 ,x1x2= 2 . 2 k +4 k +4

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由 m· n=0 得: x1x2 y1y2 1 + 2 =x1x2+ (kx1+ 3)(kx2+ 3) b2 a 4 k2 3k 3 =(1+ )x1x2+ (x1+x2)+ 4 4 4 = k2+4 3k -2 3k 3 1 (- 2 )+ · + =0, 4 4 k2+4 4 k +4
[:]

解得 k=± 2. (3)①当直线 AB 的斜率不存在时, 即 x1=x2,y1=-y2, y2 1 由 m· n=0,得 x2- =0, 1 4
2 即 y1=4x2, 1

又 A(x1,y1)在椭圆上,所以 |y1|= 2,

2 2 4x1 x1+ =1,所以|x1|=

4

2 , 2

1 所以△AOB= |x1|· 1-y2|=|x1|· 1|=1. |y |y 2 所以△AOB 的面积为定值. ②当直线 AB 的斜率存在时:设直线 AB 的方程为 y=kx+b,

?y=kx+b ? -2kb b2-4 由?y2 得(k2+4)x2+2kbx+b2-4=0,则 x1+x2= 2 ,x1x2= 2 , 2 k +4 k +4 ? 4 +x =1 ?
由 x1x2+ ?kx1+b??kx2+b? y1y2 =0,得 x1x2+ =0,整理得: 4 4

2b2-k2=4, |b| 4k2-4b2+16 4b2 1 |b| 1 所以 S△AOB= · |AB|= |b| ?x1+x2?2-4x1x2= = =1,所以 2 2 1+k2 2 2|b| k +4 △AOB 的面积为定值. x2 y2 18. (本小题满分 14 分)(2011· 淄博模拟)椭圆 G: 2+ 2=1(a>b>0)的两个焦点为 F1、 2, F a b 短轴两端点 B1、B2,已知 F1、F2、B1、B2 四点共圆,且点 N(0,3)到椭圆上的点最远距离为 5 2. (1)求此时椭圆 G 的方程; (2)设斜率为 k(k≠0)的直线 m 与椭圆 G 相交于不同的两点 E、F,Q 为 EF 的中点,问

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E、F 两点能否关于过点 P(0, 说明理由.

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3 )、Q 的直线对称?若能,求出 k 的取值范围;若不能,请 3

解:(1)根据椭圆的几何性质,线段 F1F2 与线段 B1B2 互相垂直平分, 故椭圆中心即为该四点外接圆的圆心.
[: ]

故该椭圆中 a= 2b= 2c,即椭圆方程可为 x2+2y2=2b2. 设 H(x,y)为椭圆上一点,则 |HN|2=x2+(y-3)2=-(y+3)2+2b2+18,其中-b≤y≤b, 若 0<b<3,则 y=-b 时,|HN|2 有最大值 b2+6b+9 由 b2+6b+9=50 得 b=-3± 2(舍去), 5 若 b≥3,当 y=-3 时,|HN|2 有最大值 2b2+18. 由 2b2+18=50 得 b2=16, x2 y2 ∴所求椭圆方程为 + =1. 32 16 (2)设 E(x1,y1),F(x2,y2),Q(x0,y0),

?32+16=1, 则由? x y ?32+16=1,
2 2 2 2

x2 1

y2 1

两式相减得

x0+2ky0=0.③ 又直线 PQ⊥直线 m, 1 3 ∴直线 PQ 方程为 y=- x+ k 3 1 3 将点 Q(x0,y0) 代入上式得,y0=-kx0+ ④ 3 2 3 3 由③④得 Q( k,- ),而 Q 点必在椭圆内部. 3 3
2 x0 y2 0 ∴ + <1. 32 16

47 由此得 k2< ,又 k≠0, 2 ∴- 94 94 <k<0 或 0<k< . 2 2 94 94 ,0)∪(0, )时,E、F 两点关于点 P、Q 的直线对称. 2 2

故当 k∈(-

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