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高中数学第一章导数及其应用1.5定积分的概念知识梳理素材新人教A版选修2-2课件


定积分的概念知识梳理
1.定积分的概念 一般地,设函数 f ( x ) 在区间 [ a, b ]上连续,用分点

a = x 0 < x1 < x 2 < L < x i- 1 < x i < L < x n = b
将区间 [ a, b] 等分成 n 个小区间,每个小区间长度为 D x ( D x = 任取一点 xi (i = 1, 2, L ,n) ,作和式:

b- a ) ,在每个小区间 [x i- 1 ,x i ]上 n

Sn =

邋f (xi )D x =
i= 1

n

b- a f (xi ) n i= 1
? )时,上述和式 Sn 无限趋近于常数 S ,那么称该常数 S 为函

n

如果 D x 无限接近于 0 (亦即 n ?

数 f ( x ) 在区间 [ a, b] 上的定积分。记为: S =

òa

b

f (x ) dx ,其中 ò -

积分号, b -积分上限, a -

x) dx -被积式。 积分下限, f ( x ) -被积函数, x -积分变量, [ a, b] -积分区间, f (
说明: (1)定积分

dx 是一个常数,即 S òa f (x )

b

n

无限趋近的常数 S ( n ?

? 时)记为

òa

b

f (x ) dx

,而不是 Sn .

(2)用定义求定积分的一般方法是:①分割: n 等分区间 [a , b ];②近似代替:取点 xi ? ③求和:
b b- a f (xi ) ;④取极限: ò f (x ) dx = l i m ? n? a n i= 1
n

[xi- 1 ,xi ];

b- a f (xi ) ? n i
=1

n

(3)曲边图形面积: S = 2.定积分的几何意义

òa f (x )dx ;变速运动路程 S = ò

b

t2

t1

v( t) dt ;变力做功W =

òa

b

F (r) dr

从几何上看,如果在区间 [a, b ]上函数 f (x )连续且恒有 么定积分

f (x )? 0 ,那

òa f (x )dx 表示由直线
0 和曲线 y = f (x )所围成的曲边
梯形(如图中

b

x = a,x = b ( a ? b ),y

的阴影部分)的面积,这就是定积分 说明:一般情况下,定积分
b

òa f (x )dx 的几何意义。

b

dx 的几何意义是介于 x 轴、函数 f ( x) 的图形以及直线 òa f (x )

x = a ,x = b 之间各部分面积的代数和,在 x 轴上方的面积取正号,在 x 轴下方的面积去负号。
分析:一般的,设被积函数 y = f (x ),若 y = f (x )在 [ a, b] 上可取负值。 考察和式 f (x1 )D x +

f (x 2 )D x + L + f (xi ) D x + L + f (x n )D x
1

不妨设 f (x i ) ,f (x i+ 1 ) , L ,f (x n )< 0 于是和式即为 f (x1 )D x +

f (x 2 )Dx + L + f (x i- 1 ) D x - {[ - f (x i ) D x ]+ L + [ - f (x n )D x ] }

\

òa

b

f (x ) dx = 阴影 A 的面积—阴影 B 的面积(即 x 轴上方面积减 x 轴下方的面积)

思考:根据定积分的几何意义,你能用定积分表示图中阴影部分的面积 S 吗?

3.定积分的性质 根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质: 性质 1 性质 2 性质 3 性质 4 (1)

òa
a

b

kdx = k ( b - a);
b a

蝌kf (x )dx = k
b
1 2

b

; f (x ) dx (k 为常数)(定积分的线性性质)
b a

[f (x )? f (x ) ] dx 蝌 a

f1 (x ) dx ?

; ?a f (x )dx (定积分的线性性质)
2

b

蝌f (x )dx =
a
b a

b

c a
a b

f (x ) dx +

?c

b

f (x ) dx (其中a < c < b )(定积分对积分区间的可加性)

蝌f (x )dx = -

f (x ) dx ; (2)

òa f (x )dx = 0 ;
b a

a

说明:①推广:

蝌[f1 (x )北f2 (x ) L ? fm (x )]dx
a

b

f1 (x ) dx 北蝌 f2 (x ) dx
a

b

L?

b a

fm (x )

②推广:

f (x )dx = 蝌 a

b

c1 a

f (x )dx +

f (x )dx + L + 蝌 c
1

c2

b ck

f (x )dx

③性质解释:
y 性质 1 y=1 M O a P b N x y

性质 4
A C

B

O

a

b

x

S曲边梯形A M N B = S曲边梯形A M PC + S曲边梯形C PN B
2


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