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圆锥曲线定点定值问题


圆锥曲线综合性问题(阶段测试)
定值(定点、定直线)问题和存在性问题:
1.已知椭圆 C 的中心在坐标原点, 焦点在 x 轴上, 椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3,最小值为 1. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A, B 不是左右顶点) ,且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的

右顶点,求证:直线 l 过定点,并求出该 定点的坐标。 2.已知椭圆 C 的离心率 e ?

3 ,长轴的左右端点分别为 A1 ?? 2,0?, A2 ?2,0? 。 2

(1) 求椭圆 C 的方程; 设直线 x ? m y ? 1 与椭圆 C 交于 P、 两点, (2) Q 直线 A1P 与 A2Q 交于点 S。试问:当 m 变化时,点 S 是否恒在一条定直线上?若是,请写出这条直线方程, 并证明你的结论;若不是,请说明理由。 3.已知椭圆的焦点在 x 轴上,它的一个顶点恰好是抛物线 x 2 ? 4 y 的焦点,离心率

e?

2 ,过椭圆的右焦点 F 作与坐标轴不垂直的直线 l ,交椭圆于 A、B 两点。 5
(1)求椭圆的标准方程; (2)设点 M ?m,0? 是线段 OF 上的一个动点,且 ? MA? MB ? ? AB ,求 m 的取值范 围; (3)设点 C 是点 A 关于 x 轴的对称点,在 x 轴上是否存在一个定点 N,使得 C、B、 N 三点共线?若存在,求出定点 N 的坐标,若不存在,请说明理由。

? ?

?

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x2 ? y 2 ? 1 的左焦点为 F,O 为坐标原点。 4.:已知椭圆 2
(1)求过点 O、F,并且与椭圆的左准线 l 相切的圆的方程; (2)设过点 F 且不与坐标轴垂直交椭圆于 A、B 两点,线段:AB 的垂直平分线与 x 轴交 于点 G,求点 G 横坐标的取值范围.

x2 ? y2 ? 1 5.一条双曲线 2 的左、右顶点分别为 A1,A2,点 P?x1 , y1 ?, Q?x1 ,? y1 ? 是双曲线
上不同的两个动点。 (1)求直线 A1P 与 A2Q 交点的轨迹 E 的方程式; (2)过点 H(0, h)(h>1)的两条直线 l1 和 l2 与轨迹 E 都只有一个交点,且 ll⊥12 ,求 h 的值。

6.已知直线 l 过椭圆 E: x 2 ? 2 y 2 ? 2 的右焦点 F,且与 E 相交于 P,Q 两点.①设
? ? 1? ? ? ? ,求点 R 的轨迹方程;②若直线 l 的倾斜角为 60 ,求 OR ? ? OP? OQ ? (O 为原点) 2? ?

1 1 的值. ? PF QF
x2 y2 7.过椭圆 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 的左焦点 F 任作一条与两坐标轴都不垂直的弦 AB,若 a b
点 M 在 x 轴上, 且使得 MF 为?AMB 的一条内角平分线, 则称点 M 为该椭圆的 “左特征点” . (1)求椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的“左特征点”M 的坐标; 5 x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? 的“左特征点”M 是一个怎 a 2 b2

(2)试根据(1)中的结论猜测:椭圆 样的点?并证明你的结论.


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