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浙江专用2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.2同角三角函数基本关系及诱导公式


(浙江专用)2018 版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角 形 4.2 同角三角函数基本关系及诱导公式教师用书

1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin α +cos α =1. sin α (2)商数关系: =tan α . cos α 2.各角的终边与角 α 的终边的关系 角 2kπ +α (k∈Z) π +α -α
2 2

图示

与角 α 终边的关系 角

相同 π -α

关于原点对称 π -α 2

关于 x 轴对称 π +α 2

图示

与角 α 终边的关系 3.六组诱导公式 组数 角 一

关于 y 轴对称

关于直线 y=x 对称

二 π +α

三 -α -

四 π -α

五 π -α 2

六 π +α 2

2kπ +α (k∈Z) 正弦 sin_α

-sin_α sin_α

sin_α

cos_α

cos_α -

余弦

cos_α

-cos_α

cos_α

-cos_α

sin_α sin_α

1

- 正切 tan_α tan_α tan_α -tan_α 函数名改变 口诀 【知识拓展】 1.诱导公式的记忆口诀:奇变偶不变,符号看象限. 2.同角三角函数基本关系式的常用变形: (sin α ±cos α ) =1±2sin α cos α ; (sin α +cos α ) +(sin α -cos α ) =2; (sin α +cos α ) -(sin α -cos α ) =4sin α cos α . 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“?”) (1)若 α ,β 为锐角,则 sin α +cos β =1.( ? ) sin α (2)若 α ∈R,则 tan α = 恒成立.( ? ) cos α (3)sin(π +α )=-sin α 成立的条件是 α 为锐角.( ? ) (4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指 偶数倍,变与不变指函数名称的变化.( √ ) π 的奇数倍和 2
2 2 2 2 2 2 2

函数名不变符号看象限 符号看象限

5 1.(2015?福建)若 sin α =- ,且 α 为第四象限角,则 tan α 的值等于( 13 12 12 5 5 A. B.- C. D.- 5 5 12 12 答案 D 5 12 解析 ∵sin α =- ,且 α 为第四象限角,∴cos α = , 13 13 sin α 5 ∴tan α = =- ,故选 D. cos α 12 2.(2016?临安中学模拟)计算:sin A.-1 C.0 11 10 π +cos π 等于( 6 3 )

)

B.1 1 3 D. - 2 2
2

答案 A 解析 ∵sin cos 11 5 5π 1 π =sin(π + π )=-sin =- , 6 6 6 2

10 4π 4π 1 π =cos(2π + )=cos =- , 3 3 3 2 11 10 π +cos π =-1. 6 3 )

∴sin

1 3.(2016?绍兴柯桥区二模)已知 sin α +cos α = ,α ∈(0,π ),则 tan α 等于( 5 4 A.- 3 4 C. 3 答案 A 1 24 解析 由 sin α +cos α = ,得 2sin α cos α =- , 5 25 49 2 ∴(sin α -cos α ) = , 25 又 α ∈(0,π ),sin α >0,cos α <0, 7 ∴sin α -cos α = , 5 4 3 4 ∴sin α = ,cos α =- ,故 tan α =- . 5 5 3 π ? ?2cos x,x≤2 000, 3 4.已知函数 f(x)=? ? ?x-18,x>2 000, 答案 -1 解析 ∵f(f(2 018))=f(2 018-18)=f(2 000), 2 000π 2 ∴f(2 000)=2cos =2cos π =-1. 3 3 3 B.- 4 3 D. 4

则 f(f(2 018))=________.

题型一 同角三角函数关系式的应用 1 5π 3π 例 1 (1)已知 sin α cos α = ,且 <α < ,则 cos α -sin α 的值为( 8 4 2 A.- 3 2 B. 3 2 )

3

3 C.- 4
2 2

3 D. 4

(2)化简:(1+tan α )(1-sin α )=________. 答案 (1)B (2)1 5π 3π 解析 (1)∵ <α < , 4 2 ∴cos α <0,sin α <0 且 cos α >sin α , ∴cos α -sin α >0. 1 3 2 又(cos α -sin α ) =1-2sin α cos α =1-2? = , 8 4 ∴cos α -sin α = 3 . 2
2

sin α 2 2 2 (2)(1+tan α )(1-sin α )=(1+ 2 )?cos α cos α cos α +sin α 2 = ?cos α =1. 2 cos α sin α 2 2 思维升华 (1)利用 sin α +cos α =1 可以实现角 α 的正弦、余弦的互化,利用 = cos α tan α 可以实现角 α 的弦切互化. (2)应用公式时注意方程思想的应用:对于 sin α +cos α ,sin α cos α ,sin α -cos α 这三个式子,利用(sin α ±cos α ) =1±2sin α cos α ,可以知一求二. (3)注意公式逆用及变形应用:1=sin α +cos α ,sin α =1-cos α ,cos α =1-sin α . 已知 sin α -cos α = 2,α ∈(0,π ),则 tan α 等于( A.-1 C. 2 2 B.- D.1 2 2 )
2 2 2 2 2 2 2 2 2

答案 A

?sin α -cos α = 2, 解析 由? 2 ?sin α +cos2α =1,
消去 sin α 得 2cos α +2 2cos α +1=0, 即( 2cos α +1) =0, ∴cos α =- 2 . 2
2 2

又 α ∈(0,π ),

4

3π ∴α = , 4 3π ∴tan α =tan =-1. 4 题型二 诱导公式的应用 3 sin?2π -x??cos? π +x? 2 21π 例 2 (1)(2016?杭州模拟)已知 f(x)= ,则 f(- )= 11 4 cos?3π -x??sin? π -x? 2 ________. sin?kπ +α ? cos?kπ +α ? (2)已知 A= + (k∈Z),则 A 的值构成的集合是( sin α cos α A.{1,-1,2,-2} C.{2,-2} 答案 (1)-1 (2)C -sin x?sin x 2 解析 (1)f(x)= =-tan x, -cos x??-cos x? B.{-1,1} D.{1,-1,0,2,-2} )

f(-

21π 21π 2 23 )=-tan (- )=-tan π =-1. 4 4 4

sin α cos α (2)当 k 为偶数时,A= + =2; sin α cos α -sin α cos α 当 k 为奇数时,A= - =-2. sin α cos α ∴A 的值构成的集合是{2,-2}. 思维升华 (1)诱导公式的两个应用 ①求值:负化正,大化小,化到锐角为终了. ②化简:统一角,统一名,同角名少为终了. (2)含 2π 整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知,在计算含有 2π 的整数倍的三角函数式中可直接将 2π 的整数 倍去掉后再进行运算,如 cos(5π -α )=cos(π -α )=-cos α . 3π tan?π +α ?cos?2π +α ?sin?α - ? 2 (1)化简: =________. cos?-α -3π ?sin?-3π -α ? (2)(2016?南京模拟)已知角 α 终边上一点 P(-4,3),则 π cos? +α ??sin?-π -α ? 2 的值为________. 11π 9π cos? -α ??sin? +α ? 2 2
5

3 答案 (1)-1 (2)- 4 π tan α cos α sin[-2π +?α + ?] 2 解析 (1)原式= cos?3π +α ?[-sin?3π +α ?] π tan α cos α sin? +α ? 2 tan α cos α cos α = = ?-cos α ?sin α ?-cos α ?sin α tan α cos α sin α cos α =- =- ? =-1. sin α cos α sin α ?-sin α ?sin α (2)原式= =tan α , ?-sin α ?cos α 3 根据三角函数的定义得 tan α =- . 4 题型三 同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用 例 3 (1)已知 α 为锐角, 且有 2tan(π -α )-3cos( +β )-1=0,则 sin α 的值是( 3 5 A. 5 3 10 C. 10 答案 C π 解析 2tan(π -α )-3cos( +β )+5=0 化简为 2 -2tan α +3sin β +5=0,① tan(π +α )+6sin(π +β )-1=0 化简为 tan α -6sin β -1=0.② 由①②消去 sin β ,解得 tan α =3. 又 α 为锐角,根据 sin α +cos α =1, 3 10 解得 sin α = . 10 1 (2)已知-π <x<0,sin(π +x)-cos x=- . 5 ①求 sin x-cos x 的值; sin 2x+2sin x ②求 的值. 1-tan x 1 解 ①由已知,得 sin x+cos x= , 5
2 2 2

π +β )+5=0, tan(π +α )+6sin(π 2

) 3 7 B. 7 1 D. 3

6

1 2 2 sin x+2sin xcos x+cos x= , 25 24 整理得 2sin xcos x=- . 25 49 2 ∵(sin x-cos x) =1-2sin xcos x= . 25 由-π <x<0,知 sin x<0, 又 sin x+cos x>0, ∴cos x>0,sin x-cos x<0, 7 故 sin x-cos x=- . 5 sin 2x+2sin x 2sin x?cos x+sin x? ② = 1-tan x sin x 1- cos x 2sin xcos x?cos x+sin x? = cos x-sin x 24 1 - ? 25 5 24 = =- . 7 175 5 引申探究 本题(2)中若将条件“-π <x<0”改为“0<x<π ”,求 sin x-cos x 的值. 24 解 若 0<x<π ,又 2sin xcos x=- , 25 ∴sin x>0,cos x<0, 7 ∴sin x-cos x>0,故 sin x-cos x= . 5 思维升华 (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时,关键是寻求条件、结论
2

间的联系,灵活使用公式进行变形. (2)注意角的范围对三角函数符号的影响.

?π ? 3 ? π? 已知 sin? +α ?= ,α ∈?0, ?,则 sin(π +α )等于( 2 2? ? ? 5 ?
3 A. 5 4 C. 5 答案 D 3 B.- 5 4 D.- 5

)

?π ? 3 解析 由已知 sin? +α ?= , ?2 ? 5
7

3 得 cos α = , 5

? π? ∵α ∈?0, ?, 2? ?
4 ∴sin α = , 5 4 ∴sin(π +α )=-sin α =- . 5

7.分类讨论思想在三角函数中的应用

? 5π sin? +α 2 5 ? 2 典例 (1)已知 sin α = ,则 tan(α +π )+ 5 ? 5π cos? -α ? 2
(2)(2016?湛江模拟)已知 k∈Z,化简: sin?kπ -α ?cos[?k-1?π -α ] =________. sin[?k+1?π +α ]cos?kπ +α ? 思想方法指导

? ? ? =________. ? ? ?

(1)在利用同角三角函数基本关系式中的平方关系时,要根据角的范围对开

方结果进行讨论. (2)利用诱导公式化简时要对题中整数 k 是奇数或偶数进行讨论. 2 5 解析 (1)∵sin α = >0, 5 ∴α 为第一或第二象限角.

?5π ? sin? +α ? cos α ? 2 ? tan(α +π )+ =tan α + 5 π sin α ? ? cos? -α ? ? 2 ?
sin α cos α 1 = + = . cos α sin α sin α cos α ①当 α 是第一象限角时,cos α = 1-sin α = 1 5 原式= = . sin α cos α 2 ②当 α 是第二象限角时,cos α =- 1-sin α =- 1 5 原式= =- . sin α cos α 2 5 5 综上①②知,原式= 或- . 2 2
2 2

5 , 5

5 , 5

8

(2)当 k=2n(n∈Z)时, sin?2nπ -α ?cos[?2n-1?π -α ] 原式= sin[?2n+1?π +α ]cos?2nπ +α ? sin?-α ??cos?-π -α ? = sin?π +α ??cos α -sin α ?-cos α ? = =-1; -sin α ?cos α 当 k=2n+1(n∈Z)时, sin[?2n+1?π -α ]?cos[?2n+1-1?π -α ] 原式= sin[?2n+1+1?π +α ]?cos[?2n+1?π +α ] sin?π -α ??cos α = sin α ?cos?π +α ? sin α ?cos α = =-1. sin α ?-cos α ? 综上,原式=-1. 5 5 答案 (1) 或- (2)-1 2 2

4 1.(2016?宁波模拟)已知 cos α = ,α ∈(0,π ),则 tan α 的值等于( 5 4 A. 3 4 C.- 3 答案 B 解析 ∵α ∈(0,π ), ∴sin α = 1-cos α =
2

)

3 B. 4 3 D.- 4

4 2 3 1-? ? = , 5 5

sin α 3 由 tan α = ,得 tan α = . cos α 4 3 π 3π π 2.已知 tan(α -π )= ,且 α ∈( , ),则 sin(α + )等于( 4 2 2 2 4 A. 5 3 C. 5 答案 B 4 B.- 5 3 D.- 5 )

9

3 3 3π 解析 由 tan(α -π )= ,得 tan α = ,∴α ∈(π , ), 4 4 2 3 ? ?tan α = , 4 由? ? ?sin2α +cos2α =1 4 得 cos α =- , 5 π 4 而 sin(α + )=cos α =- . 2 5 3.若角 α 的终边落在第三象限,则 2sin α 1-cos α A.3 C.1 答案 B 解析 由角 α 的终边落在第三象限, 得 sin α <0,cos α <0, cos α 2sin α cos α 2sin α 故原式= + = + =-1-2 |cos α | |sin α | -cos α -sin α =-3. π 4.若 sin(π -α )=-2sin( +α ),则 sin α ?cos α 的值等于( 2 2 A.- 5 2 2 C. 或- 5 5 答案 A π 解析 由 sin(π -α )=-2sin( +α ),可得 sin α =-2cos α ,则 tan α =-2,sin 2 sin α ?cos α tan α 2 α ?cos α = = =- . 2 2 2 sin α +cos α 1+tan α 5 5.已知函数 f(x)=asin(π x+α )+bcos(π x+β ),且 f(4)=3,则 f(2 017)的值为( A.-1 C.3 答案 D 解析 ∵f(4)=asin(4π +α )+bcos(4π +β ) B.1 D.-3 ) 1 B.- 5 2 D. 5 )
2

3π 及 α ∈(π , ), 2

cos α 1-sin α
2



的值为(

) B.-3 D.-1

10

=asin α +bcos β =3, ∴f(2 017)=asin(2 017π +α )+bcos(2 017π +β ) =asin(π +α )+bcos(π +β ) =-asin α -bcos β =-3. *6.(2016?揭阳模拟)若 sin θ ,cos θ 是方程 4x +2mx+m=0 的两根,则 m 的值为( A.1+ 5 C.1± 5 答案 B 解析 由题意知 sin θ +cos θ =- ,sin θ cos θ = , 2 4 又(sin θ +cos θ ) =1+2sin θ cos θ , ∴ =1+ , 4 2 解得 m=1± 5,又 Δ =4m -16m≥0, ∴m≤0 或 m≥4,∴m=1- 5. π 3 π 7.已知 α 为钝角,sin( +α )= ,则 sin( -α )=_____________________________. 4 4 4 答案 - 7 4
2 2 2

)

B.1- 5 D.-1- 5

m

m

m2

m

π 7 解析 因为 α 为钝角,所以 cos( +α )=- , 4 4 π π π π 7 所以 sin( -α )=cos[ -( -α )]=cos( +α )=- . 4 2 4 4 4 8.若 f(cos x)=cos 2x,则 f(sin 15°)=________. 答案 - 3 2 3 . 2

解析 f(sin 15°)=f(cos 75°)=cos 150°=cos(180°-30°)=-cos 30°=-

9.已知角 θ 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴正半轴重合,终边在直线 2x-y=0 上,则 3π sin? +θ ?+cos?π -θ ? 2 =________. π sin? -θ ?-sin?π -θ ? 2 答案 2 解析 由题意可得 tan θ =2,

11

-cos θ -cos θ -2 原式= = =2. cos θ -sin θ 1-tan θ 10.(2016?宁波模拟)已知 α 为第二象限角,则 cos α 答案 0 解析 原式=cos α =cos α sin α +cos α +sin α 2 cos α
2 2

1+tan α +sin α

2

1 1+ 2 =________. tan α

sin α +cos α 2 sin α

2

2

1 1 +sin α , |cos α | |sin α |

因为 α 是第二象限角,所以 sin α >0,cos α <0, 所以 cos α 1 1 +sin α =-1+1=0,即原式等于 0. |cos α | |sin α |

11.已知 sin(3π +α )=2sin? sin α -4cos α (1) ; 5sin α +2cos α (2)sin α +sin 2α .
2

?3π +α ?,求下列各式的值: ? ? 2 ?

解 由已知得 sin α =2cos α . 2cos α -4cos α 1 (1)原式= =- . 5?2cos α +2cos α 6 sin α +2sin α cos α (2)原式= 2 2 sin α +cos α sin α +sin α 8 = = . 1 5 2 2 sin α + sin α 4 1 12.已知在△ABC 中,sin A+cos A= . 5 (1)求 sin Acos A 的值; (2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形; (3)求 tan A 的值. 1 2 解 (1)∵(sin A+cos A) = , 25 1 ∴1+2sin Acos A= , 25 12 ∴sin Acos A=- . 25 (2)∵sin Acos A<0, 又 0<A<π ,∴cos A<0,
2 2 2

12

∴A 为钝角, ∴△ABC 为钝角三角形. 49 2 (3)(sin A-cos A) =1-2sin Acos A= . 25 又 sin A-cos A>0, 7 ∴sin A-cos A= , 5 4 3 ∴sin A= ,cos A=- , 5 5 4 故 tan A=- . 3 cos ?nπ +x??sin ?nπ -x? *13.已知 f(x)= (n∈Z). 2 cos [?2n+1?π -x] (1)化简 f(x)的表达式; π 503π (2)求 f( )+f( )的值. 2 014 1 007 解 (1)当 n 为偶数,即 n=2k(k∈Z)时,
2 2

f(x)=
2

cos ?2kπ +x??sin ?2kπ -x? 2 cos [?2?2k+1?π -x]
2 2 2

2

2

cos x?sin ?-x? cos x??-sin x? = = 2 2 cos ?π -x? ?-cos x? =sin x; 当 n 为奇数,即 n=2k+1(k∈Z)时,
2

f(x)=
2

cos [?2k+1?π +x]?sin [?2k+1?π -x] 2 cos {[2??2k+1?+1]π -x}
2

2

2

cos [2kπ +?π +x?]?sin [2kπ +?π -x?] = 2 cos [2??2k+1?π +?π -x?] cos ?π +x??sin ?π -x? ?-cos x? sin x 2 = = =sin x, 2 2 cos ?π -x? ?-cos x? 综上得 f(x)=sin x. (2)由(1)得 f( =sin =sin =sin
2 2 2 2 2 2

π 503π )+f( ) 2 014 1 007

π 21 006π +sin 2 014 2 014 π π 2 π +sin ( - ) 2 014 2 2 014 π 2 π +cos =1. 2 014 2 014

2

2

13


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