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2013届高考理科数学第一轮总复习课件14


第六章 不等式
第 讲
(第二课时)

1

题型4

用分析法证不等式

( a - b) 2 a ? b ( a - b) 2 ? - ab ? . ? 1. 已知a>b>0,求证: 8a 2 8b 2 2

? 证明:欲证 ? 只需证

/>( a - b) a ? b ( a - b) ? - ab ? 8a 2 8b

成立,

( a - b) 2 ( a - b) 2 ? a ? b - 2 ab ? , 4a 4b

2

? 只需证 ? 只需证 ? 只需证 ? 即证

a -b 2 a -b 2 2 ( ) ?( a - b ) ?( ) , 2 a 2 b a -b a -b a? b a? b ? a - b ? 即证 , ?1? , 2 a 2 b 2 a 2 b b a 1? ? 2?1 ? , a b 只需证 b a b a ?1? . ?1? a b a b

3

b ? 因为a>b>0,所以 成立, ?1 a ? ? 从而,有 a b 2 2 ( a - b) a ? b ( a - b) ? 点评:分析法采用的是从结论开始,探寻结论成立的充分条件, ? - ab ? . 一步步逆推到已知,注意用分析法证题时书写证明过程时的格式. 8a 2 8b

4

若 a、b、c 是不全相等的正数,请用分析法 证明: a+b b+c c+a lg 2 +lg 2 +lg 2 >lga+lgb+lgc.

5

a+b b+c c+a 证明: 要证 lg 2 +lg 2 +lg 2 >lga+lgb +lgc 成立. a+b b+c c+a 即证 lg( 2 · 2 · 2 )>lg(abc)成立, a+b b+c c+a 只需证明 2 · 2 · 2 >abc 成立.

6

a+b b+c c+a 因为 2 ≥ ab>0, 2 ≥ bc>0, 2 ≥ ca>0, a+b b+c c+a 所以 2 · 2 · 2 ≥abc>0(*)成立. 又因为 a、b、c 是不全相等的正数.所以(*)式等号 不成立, 所以原不等式成立.

7

? 2. 设n∈N*,求证: ? 证明: 2(

题型5

用放缩法证不等式

1 1 1 n ? 1 -1)?1 ? ? ??? ?2 n. 2 3 n
1 1 1 (1)1 ? ? ?? ? 2 3 n 1 1 1 1 ? 2( ? ? ?? ? ) 2 2 2 2 3 2 n 1 1 1 ? 2(1 ? ? ??? ) 1? 2 2? 3 n -1 ? n ? 2[1 ? ( 2 -1) ? ( 3 - 2) ? ? ? ( n - n -1)] ? 2 n;
8

? ? 综合(1)(2)知,原不等式成立. ? 2[( 2 -1) ? ( 3 - 2) ? ? ? ( n ? 1 - n )] ? 点评:对分式求和型的不等式,如果不能直接用裂项方式相消求和,则 一般根据式子的特点进行适当放缩,放缩时注意分母的放大与缩小对分 ? 2( n ? 1 -1). 式值大小及对式子求和变形的影响.

1 1 1 1 1 1 1 (2)1 ? ? ?? ? ? 2( ? ? ??? ) 2 2 2 2 3 2 3 n 2 n 1 1 1 ? 2( ? ?? ? ) 1? 2 2 ? 3 n ? n ?1

9

? 若n∈N,且n≥2,求证: ? 1 1 1 1 1 ? 证明:当n≥2时, ? 2 ? 2 ??? 2 3 n ? 即 2 n ?1 2 ? 所以

? 1.
2

? 又

? 故原不等式成立. 1

1 1 1 1 1 ? 2? - . n n ?1 n n -1 n

n(n -1) ? n ? n(n ? 1),

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ?? ? 2 ? ( - ) ? ( - ) ?? ? ( )? . 2 2 3 n 2 3 3 4 n n ?1 2 n ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ? 2 ? (1- ) ? ( - ) ? ? ? ( - ) ? 1- ? 1. 2 2 3 n 2 2 3 n -1 n n

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参 考 题
? ? ?

用函数单调性证不等式 1 已知函数f(x)=lg( -1),x∈(0, ),若x1,x2∈(0, 1 ),且x1≠x2. 求证: [f(x1)+f(x2)]> x 1 2 证明:因为 2 1 x1 ? x2 f( ). 2 2
1 1 2 ( -1)( -1) - ( -1) 2 x1 x2 x1 ? x2 ( x1 - x2 ) 2 (1- x1 - x2 ) 1 1 1 4 4 ? - - ? ? ? 0, 2 2 x1 x2 x1 x2 ( x1 ? x2 ) x1 ? x2 x1 x2 ( x1 ? x2 )
11

题型

? 又因为y=lgx为增函数,
? 所以 ?

?

1 1 2 故原不等式成立. -1)( lg[( -1)] ? lg( -1)2 , x1 x2 x1 ? x2 点评:利用函数的单调性证不等关系,一般先根据要证式子的
特点构造相应的函数,然后证明或说明这个函数的单调性,再 根据单调性质得到所要证明的结论.

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? 1. 分析法的思维是逆向思维,它能增大思维的发散量,克 服思维定势的消极影响,有利于发展求异思维.证题时应注 意书写格式. ? 2. 放缩是一种证题技巧,要想用好它,必须有目标,目 标可以从要证的结论中考察.

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