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高三数学第一轮复习椭圆.ppt


第1课时

椭圆

基础知识梳理
1.椭圆的定义 平面内动点P到两个定点F1,F2的距 离的和等于常数2a,当 2a>|F1F2| 时,动 点P的轨迹是椭圆;当 2a=|F1F2| 时,轨 迹为线段F1F2;当2a<|F1F2|时,轨迹不 存在.

基础知识梳理
2.椭圆的标准方程与几何性质

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基础知识梳理
范围 顶点坐标 对称轴 对称中心 焦点坐标 离心率 |y|≤a,|x|≤b |x|≤a,|y|≤b (±a,0),(0,±b) (0,±a),(±b,0) x轴、y轴 x轴、y轴 坐标原点O 坐标原点O (±c,0)
c e= a

(0,±c)
c e= a

基础知识梳理
椭圆的离心率的大小与椭圆的扁 平程度有怎样的关系? 【思考·提示】 离心率越接近 1,椭圆越扁,离心率越接近0,椭圆 就越接近于圆.

三基能力强化
1.已知两定点A(-1,0), B(1,0),点M满足|MA|+|MB|=2,则 点M的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.线段 D.直线 答案:C

三基能力强化
2.若△ABC的两个顶点坐标分 别为A(-4,0)、B(4,0),△ABC的周长 为18,则顶点C的轨迹方程为( )
x2 y2 y2 x2 A. + =1(y≠0) B. + =1(y≠0) 25 9 25 9 x2 y2 y2 x2 C. + =1(y≠0) D. + =1(y≠0) 16 9 16 9

答案:A

三基能力强化
x2 y2 3.已知椭圆 + =1 的焦点 2 m 1 在 y 轴上,且离心率为 ,则 m 的 2 值是( ) 2 4 A. B. 3 3 5 8 C. D. 3 3
答案:D

答案:+=1

三基能力强化

4.(教材习题改编)已知椭圆中 心在原点,一个焦点为 F(-2 3, 0),且长轴长是短轴长的 2 倍,则 该椭圆的标准方程是________.
x2 y2 答案: + =1 16 4

三基能力强化
5 . (2009 年高考上海卷改编 ) x2 y2 已知 F1、F2 是椭圆 C: 2+ 2=1(a a b >b>0)的两个焦点, P 为椭圆 C 上 → → 一点,且PF1⊥PF2.若△PF1F2 的面 积为 16,则 b=________.
答案:4

课堂互动讲练
考点一 求椭圆的标准方程

求椭圆方程,若中心和对称轴已 知,则只求a、b即可,而a、b、c有关 系式a2=b2+c2,由方程的思想,还须 列出两个关于a、b、c的关系式,即可 求出a、b,解决问题的关键是:列方 程(组),解方程(组),求待定系数.

课堂互动讲练
例1 求满足下列各条件的椭圆的标准 方程: (1)长轴长是短轴长的3倍且经过 点A(3,0); (2)短轴一个端点与两焦点组成一 个正三角形,且焦点到同侧顶点的距 离为 3;

课堂互动讲练
【思路点拨】 由已知条件设出 椭圆的标准方程,解方程(组),用待 定系数法求解,应注意处理椭圆焦点 位置不确定时的情况.

课堂互动讲练
【解】 (1)若椭圆的焦点在 x 轴上,设方程为 x2 y2 2+ 2= 1(a>b>0), a b ∵椭圆过点 A(3,0), 9 ∴ 2= 1,a=3, a ∵2a=3· 2b, ∴b= 1, x2 2 ∴方程为 + y =1. 9

课堂互动讲练
若椭圆的焦点在 y 轴上,设椭圆方程为 y2 x2 2+ 2= 1(a>b>0), a b ∵椭圆过点 A(3,0), 02 9 ∴ 2+ 2=1, a b ∴b=3,又 2a=3· 2b, ∴a=9, y2 x2 ∴方程为 + = 1. 81 9 2 2 2 x y x 2 综上所述,椭圆方程为 + y = 1 或 + =1. 9 81 9

课堂互动讲练
?a= 2c (2)由已知? , ?a- c= 3 ?a= 2 3, ∴? ?c= 3,

x2 ∴ 所 求 椭 圆 的 标 准 方 程为 12 2 2 2 y x y + = 1 或 + =1. 9 9 12

从而 b2=9,

课堂互动讲练
【名师点评】 一般求已知曲线类型的 曲线方程问题,通常用待定系数法,可采用 “先定形,后定式,再定量”的步骤:(1)定形 ——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的 位置;(2)定式——根据“形”设方程的形式, 注意曲线方程的应用,如当椭圆的焦点不确 定在哪个坐标轴上时,可设方程为mx2+ny2 =1(m>0,n>0);(3)定量——由题设中的 条件找到“式”中待定系数的等量关系,通过 解方程(组)得到量的大小.

课堂互动讲练
考点二 椭圆的定义

由椭圆的定义可知在平面内与两 个定点F1,F2的距离之和等于常数(大 于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.可以 将椭圆上的点到两个焦点的距离进行 转化,从而解决有关线段长度的问 题.一般地,遇到与焦点距离有关的 问题时,首先应考虑用定义来解题.

课堂互动讲练
例2 一动圆与已知圆O1:(x+3)2+y2 =1外切,与圆O2:(x-3)2+y2=81内 切,试求动圆圆心的轨迹方程. 【思路点拨】 两圆相切,圆心 之间的距离与两圆半径有关,据此可 以找到动圆圆心满足的条件.

课堂互动讲练
【解】 两定圆的圆心和半径分 别是O1(-3,0),r1=1, O2(3,0),r2=9. 设动圆圆心为M(x,y),半径为 R, 则由题设条件,可知 |MO1|=1+R,|MO2|=9-R, ∴|MO1|+|MO2|=10,

课堂互动讲练
由椭圆的定义知:M在以O1、O2为焦点 的椭圆上,且 a=5,c=3,b2=a2-c2=25-9=16,
x2 y2 故动圆圆心的轨迹方程为 + =1. 25 16

课堂互动讲练
【名师点评】 不明确椭圆定义 或不能将题目所给信息有效转化为椭 圆定义.

课堂互动讲练
考点三
椭圆的性质及应用

主要问题有两类,一类根据椭圆 方程研究椭圆的几何性质,另一类根 据椭圆几何性质,综合其他知识求椭 圆方程或者研究其他问题,这一类利 用性质是关键.

课堂互动讲练
例3
x2 y2 椭圆 2 + 2 = 1(a>b>0) 的两个焦 a b 点为 F1(-c,0)、F2(c,0),M 是椭圆上 → → 一点,满足F1M· F2M= 0.求离心率 e 的取值范围.

【思路点拨】 设M(x,y),由 题意将x表示为关于e的不等式,根据 椭圆上的点的取值范围得到关于e的不 等式,即可得.

课堂互动讲练
→ 【解】 设点 M 的坐标为 (x, y),则F1M= (x → → → + c, y),F2M= (x- c, y).由F1M· F2M=0, 得 x2- c2+ y2=0,即 y2= c2-x2. ① 2 x 2 2 又由点 M 在椭圆上得 y =b (1- 2), a 2 x 代入①得 b2(1- 2)= c2-x2, a 2 a 所以 x2=a2(2- 2), c

课堂互动讲练
∵0≤x2≤a2 , ∴0≤a2(2 -

a2 2 2 )≤ a , c

a2 1 即 0≤2- 2 ≤1,0≤2- 2≤1, c e 2 解得 ≤e≤1 ,又 ∵0<e<1 , 2 2 ∴ ≤e<1. 2

课堂互动讲练
【思维总结】 椭圆的几何性质 主要是围绕椭圆中的“六点”(两个焦 点、四个顶点),“两线”(两条对称轴 ),“两形”(中心、焦点以及短轴端点 构成的三角形、椭圆上一点和两焦点 构成的三角形),“两围”(x的范围,y 的范围). 而本题易忽略y的范围而不对y的 取值进行讨论.

课堂互动讲练
互动探究
在例 3 中当离心率 e 取得最小值 时,点 N(0,3)到椭圆上的点的最远距离为 5 2,求此时椭圆的方程. 2 解:当离心率 e 取最小值 时, 2 c 2 2 = ?c= a,a2- b2= c2?a2- b2 2 a 2 1 2 = a ?a2= 2b2, 2 x2 y2 ∴椭圆方程可表示为 2+ 2=1, 2b b

课堂互动讲练
设点H(x,y)是椭圆上的一点,则 |HN|2=x2+(y-3)2 =(2b2-2y2)+(y-3)2 =-(y+3)2+2b2+18(-b≤y≤b). ①若0<b<3,则-b>-3, 当y=-b时,|HN|2有最大值b2+6b+9.

课堂互动讲练
由题意知: b2+6b+9=50, b=5 2 -3,这与 0<b<3 矛盾. ②若b≥3,则-b≤-3, 当y=-3时, |HN|2有最大值2b2+18, 由题意知:2b2+18=50,∴b2= 16,符合条件.

x2 y2 ∴所求椭圆方程为 + = 1. 32 16

课堂互动讲练
考点四 直线与椭圆

在讨论直线与椭圆位置关系时,先 联立直线与椭圆组成的方程组,然后消 去x(或y),得到关于y(或x)的方程,这时 方程一定为一元二次方程,接下来利用 判别式大于零、等于零、小于零判断直 线与椭圆相交、相切、相离,相交时注 意根与系数的关系x1+x2=
x1+x2 B B - ,而 =- 恰为弦的中点. 2 A 2A

课堂互动讲练
例4
(解题示范)(本题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点 (0,- 3), (0, 3)的距离之 和等于 4,设点 P 的轨迹为 C. (1)写出 C 的方程; (2)设直线 y=kx+1 与 C 交于 A, → → B 两点,则 k 为何值时OA⊥OB?此 时|A B |的值是多少?



课堂互动讲练
【思路点拨】

课堂互动讲练
【解】 (1)设 P(x, y), 由椭圆定义可知, 点 P 的轨迹 C 是以 (0,- 3), (0, 3)为焦 点,长半轴为 2 的椭圆,它的短半轴 b = 22- ( 3)2=1, 2 y 故曲线 C 的方程为 x2+ =1. 4分 4

课堂互动讲练
(2)设 A(x1, y1), B(x2, y2), ? 2 y2 ?x + = 1, 4 其坐标满足? ? ?y= kx+ 1, 消去 y 并整理,得(k2+4)x2+2kx-3=0, 2k 3 故 x1+x2=- 2 , x1x2=- 2 . 8分 k +4 k +4 → → 若OA⊥OB,则 x1x2+ y1y2= 0.

课堂互动讲练
而 y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+ 1,9 分 3 3k2 2k2 于是 x1x2+ y1y2=- 2 - 2 - 2 +1 k +4 k +4 k +4 -4k2+1 = 2 = 0, k +4 1 2 化简得-4k + 1=0,所以 k=± . 10 分 2 1 4 12 当 k= ± 时,x1+x2=? ,x1x2=- . 2 17 17

课堂互动讲练
→ |AB|= (x2-x1)2+ (y2- y1)2 = (1+k2)(x2- x1)2, 2 2 而 (x2-x1) = (x2+x1) - 4x1x2 3 2 4 12 4 ×13 = 2+ 4× = . 17 17 172 → 4 65 所以|AB|= . 12 分 17

课堂互动讲练
【名师点评】 (1)解析几何与向 量的结合是近几年高考的热点,解题 时应尽量将向量问题转化为非向量问 题; (2)涉及弦长问题时,一般不会求 方程组的解,而是利用两点间的距离 公式,借助根与系数关系,利用整体 代入的方法求解.

课堂互动讲练
高考检阅
(本题满分 12 分 )已知椭圆的两焦点为 3 F1(- 3,0),F2( 3,0),离心率 e= . 2

(1)求此椭圆的方程; (2)设直线l:y=x+m,若l与此椭 圆相交于P、Q两点,且|PQ|等于椭圆 的短轴长,求m的值.

课堂互动讲练
x2 y2 解:(1)设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0) a b c 3 则 c= 3, = ,∴a=2,b=1. 2分 a 2 x2 2 ∴所求椭圆方程为 + y =1. 4分 4

课堂互动讲练
?y= x+ m ? (2)由?x2 2 ? + y =1 ?4

消去 y 得关于 x 的方程:

5x2+ 8mx+4(m2- 1)= 0,则 Δ= 64m2-80(m2- 1)>0 得 m2<5(*) 设 P(x1, y1)、 Q(x2, y2),则 8 x1+ x2=- m, 5 4(m2-1) x1x2= , 8分 5

6分

课堂互动讲练
y1- y2= x1-x2 ∴|PQ|= (x1-x2)2+ (y1- y2)2 = 2(x1- x2)2 2 = 2[(x1+x2) - 4x1x2] 8 2 16 2 = 2[(- m) - (m - 1)]= 2. 5 5 15 2 ∴m = 满足(*) 8 30 ∴m= ± . 12 分 4

10 分

规律方法总结
1.椭圆的标准方程 (1)椭圆的标准方程在形式上可统 一为Ax2+By2=1,其中A、B是不等 的正常数.A>B>0时,焦点在y轴上; B>A>0时,焦点在x轴上.

规律方法总结
(2)椭圆的标准方程的求法 ①定义法:根据定义,直接求出a2, b2,写出椭圆方程. ②待定系数法. 步骤: ⅰ.定型:是指确定类型,确定椭圆的焦 点在x轴还是y轴上,从而设出相应的标准方 程的形式. ⅱ.计算:根据已知条件,建立关于a、 b、c的方程组,求出a2、b2,从而写出椭圆 的标准方程.

规律方法总结
2.直线与椭圆的位置关系 2 2 x y 把椭圆方程 2 + 2 = 1(a>b>0) 与直 a b 线方程 y=kx+b 联立消去 y,整理成形 如 Ax2+Bx+C=0 的形式, 对此一元二 次方程有: (1)Δ>0,直线与椭圆有两个公共 点P、Q,此时弦长求法: ①求P、Q两点的坐标,利用两点 间距离公式;

规律方法总结
②由根与系数关系得到弦长公式 |PQ|= (1+k2)[(xP+xQ)2-4xPxQ]. (2)Δ=0, 直线与椭圆有一个公共点. (3)Δ<0,直线与椭圆无公共点.


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