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微积分与定积分


龙文教育一对一个性化辅导教案
学生 科目 课题
教学 重点 教学 难点 教学 目标
对相关知识的掌握程度

杨晓玥 数学

学校 教师

广雅中学 年级 曾义

高二
2016-3-27

次数 时段

第4次

17-19

日期

微积分与定积分

能准确快速的写出解答过程

能对所学的知识有一个系统的认识 课前热身:

教 学 步 骤 及 教 学 内 容
一、内容讲解: 1、例题讲解 2、课堂小结 三、课堂小结: 四、作业布置:

管理人员签字:

日期:







作 业 布 置

1、学生上次作业评价: ○ 好 备注: 2、本次课后作业:见学案

○ 较好

○ 一般

○ 差

课 堂 小 结

家长签字:

日期:







微积分与定积分
知识点一:最优问题:利润最大问题 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤是: (1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关 系 y=f(x); (2)求函数的导数 f′(x),解方程 f′(x)=0; (3)比较函数在区间端点和使 f′(x)=0 的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.

例 1、某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y(单位:千克)与销售价格 x(单位:元/ a 千克)满足关系式 y= +10(x-6)2.其中 3<x<6,a 为常数.已知销售价格为 5 元/千克时,每日可售出 x-3 该商品 11 千克. (1)求 a 的值; (2)若该商品的成本为 3 元/千克, 试确定销售价格 x 的值, 使商场每日销售该商品所获得的利润最大.

变式探究 甲方是一农场,乙方是一工厂.由于乙方生产需占用甲方的资源,因此甲方有权向乙 方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入. 在乙方不赔付甲方的情况下, 乙方的年利润 x(元)与年产量 t(吨) 满足函数关系 x=2 000 t.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方 s 元(以下称 s 为赔付价格). 将乙方的年利 润 ω(元)表示为年产量 t(吨)的函数,并求出乙方获得最大利润的年产量.

随堂自测 1.以长为 10 的线段 AB 为直径作半圆,则它的内接矩形面积的最大值为( A.10 B.15 C.25 D.50 )

2.某工厂要围建一个面积为 512 平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边需要砌新的 墙壁,若使砌壁所用的材料最省,堆料场的长和宽应分别为(单位:米)( A.32,16 B.30,15 C.40,20 D.36,18 )

1 3.已知某生产厂家的年利润 y(单位:万元)与年产量 x(单位:万件)的函数关系式为 y=- x3+81x-234, 3 则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( A.13 万件 B.11 万件 ) D.7 万件

C.9 万件

知识点二:曲边梯形的面积 1.曲边梯形的概念 如图,我们把由直线 x=a,x=b(a≠b),y=0 和曲线 y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形.

2.求曲边梯形面积的步骤 求直线 x=0,x=1,y=0 和曲线 y=f(x)所围成的曲边梯形的面积 S 的步骤如下: 1? ?1 2? (1)分割:在区间[0,1]上等间隔地插入 n-1 个点,将它等分成 n 个小区间:? ?0,n?,?n,n?,…,

?n-1,1?,记第 i 个区间为?i-1, i ?(i=1,2,…,n),其长度为 Δx= i -i-1=1.分别过上述 n-1 个分点 n n n ? n ? ? n n?
作 x 轴的垂线,把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形,它们的面积记作 ΔS1,ΔS2,…,ΔSn.显然,S=

?
i ?1

n

si.

(2)近似代替:当 n 很大,即 Δx 很小时,在区间?

i-1 i ? ? n ,n?上,可以认为函数 f(x)的值变化很小,近似

i-1 i-1? 地等于一个常数,不妨认为它近似地等于左端点 处的函数值 f? n ? n ?.从图形上看,就是用平行于 x 轴 的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边.这样,在区间? 则有 ΔSi=ΔSi′=f? i-1? ? n ?Δx(i=1,2,…,n).① i-1 i ? ? n ,n?上,用小矩形的面积 ΔSi′近似地代替 ΔSi,

(3)求和:由①,则所有小矩形的面积 Sn 为 Sn=

?
i ?1

n

S′i=

?
i ?1

n

?i-1?Δx. ? n ?

(4)取极限:当 n 趋向于无穷大,即 Δx 趋向于 0 时,Sn 趋向于 S,从而有 S=li mSn=li m
n→∞ n→∞

?
i ?1

n

1 ?i-1? f n? n ?

即为曲边梯形的面积. 求曲边梯形的面积. 例 1、在求由 x=a,x=b(a<b),y=f(x)[f(x)≥0]及 y=0 围成的曲边梯形的面积 S 时,在区间[a,b] 上等间隔地插入 n-1 个分点,分别过这些分点作 x 轴的垂线,把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形,下列说 法中正确的个数是( )

①n 个小曲边梯形的面积和等于 S; ②n 个小曲边梯形的面积和小于 S; ③n 个小曲边梯形的面积和大于 S; ④n 个小曲边梯形的面积和与 S 之间的大小关系无法确定. A.1 B.2 C.3 D.4

变式探究 1 求直线 x=1,x=2,y=0 与曲线 y=x3 所围成的曲边梯形的面积.

求变速运动物体的路程

例: 已知某正电核在某电场中做匀变速直线运动, 在时刻 t 的速度为 v(t)=t2(单位: m/s), 求它在 0≤t≤1 这段时间运动的路程是多少?

随堂自测 1.函数 f(x)=x2 在区间? A.f(x)的值变化很小 B.f(x)的值变化很大 C.f(x)的值不变化 D.当 n 很大时,f(x)的值变化很小 i-1 i ? ? n ,n?上( )

知识点三:定积分 考点一 利用定积分的定义求定积分 定积分的概念 如果函数 f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 a=x0<x1<…<xi-1<xi<…<xn=b,将区间[a,b]等分成 n 个小区间,在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点 ξi(i=1,2,…,n),作和式

?
i ?1

n

(ξi)· Δx=

?
i ?1

n

b-a f(ξi),当 n

n→∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数 f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作 即

?

a

b

f(x)dx,

?

a

b

f(x)dx=li m
n→∞

?
i ?1

n

b-a f(ξi),这里,a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间, n

函数 f(x)叫做被积函数,x 叫做积分变量,f(x)dx 叫做被积式.

定积分的几何意义

从几何上看,如果在区间[a,b]上函数 f(x)连续且恒有 f(x)≥0,那么定积分 a,x=b,y=0 和曲线 y=f(x)所围成的曲边梯形的面积,这就是定积分 定积分

?

a

b

f(x)dx 表示由直线 x=

?

a

b

f(x)dx 的几何意义.

?

a

b

f(x)dx 是介于 x 轴、函数 f(x)的图象以及直线 x=a,x=b 之间的各部分面积的代数和,在

x 轴上方的取正号,在 x 轴下方的取负号.

例 1 利用定义求定积分

?

3

0

x2dx.

变式探究 1 利用定积分的定义,计算

?

2

1

(3x+2)dx 的值.

考点二 利用定积分的几何意义求定积分 例2

?

2

0

2 ( 4 ? ( x ? 2) -x)dx=________.

变式探究 2 利用定积分的几何意义求: (1)

?

1

0

1-x2dx;

(2)

?

3

-2

16+6x-x2dx.

考点三 定积分性质的应用

例 3 利用定积分的性质,表示由曲线 y=x-2,x=y2 所围成的平面区域的面积.

知识点四:微积分 知识点一 微积分基本定理 一般地,如果 f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且 F′(x)=f(x),那么

?

a

b

f(x)dx=

F(b)-F(a).这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼茨公式. 为了方便,我们常常把 F(b)-F(a)记为 F(x)|b a ,即

?

a

b

f(x)dx=F(x)|b a =F(b)-F(a).

【练习 1】 A.-2ln2 【练习 2】

?

4

2

1 dx =( x
B.2ln2

) C.-ln2 ) D.ln2

??
2 ?

?

(1+cosx)dx=(

2

A.π

B.2

C.π-2 D.π+2

考点一 利用微积分基本定理求定积分 例 1 求下列定积分: (1)

?

2

1

(x2+2x+3)dx;

(2)

??
?

0

(cosx-ex)dx;

(3)

?

?

? 2

0

x sin2 dx. 2

变式探究 1 计算下列定积分: (1)

?

1

0

(x -2x)dx;

3

(2)

?

?

2 0

(x+dosx)dx;

(3)

?

2

1

1 dx . x( x ? 1)

考点二 定积分的综合应用 例 2 已知 f(x)是二次函数,其图象过点(1,0),且 f′(0)=2,

?

1

0

f(x)dx=0,求 f(x)的解析式.

随堂自测 1.下列积分值等于 1 的是( A. ) C.

? ?

1

0 1

xdx

B.

?

1

0

(x+1)dx

?

1

0

1dx

D.

?

1

0

1 dx 2

2.

0

(ex+2x)dx 等于(

) C.e ) 5 C.ln2- 8 17 D.ln2- 8 D.e+1

A.1 3. ( ?
1

B.e-1

?

2

1 x

1 1 ? 3 )dx =( 2 x x
7 B.ln2- 2

7 A.ln2+ 8

4.计算下列定积分 (1) ( x ?
2

?

3

1 2 ) dx x

(2)

?

?

2 0

(3x+sinx)dx;

(3)

?

? 4 ? 6

cos2xdx.


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