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2015世纪金榜理科数学(广东版)课时提升作业(二十二) 3.7


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课时提升作业(二十二)
正弦定理和余弦定理 (45 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1.在△ABC 中,A=错误!未找到引用源。,BC=3,AB=错误!未找到引用源。,则 C= ( ) B.错误

!未找到引用 100 分)

A.错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。 源。 C.错误!未找到引用源。

D.错误!未找到引用源。

2.(2014 · 莆 田 模 拟 ) 在 △ ABC 中 , 内 角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c, 若 b=2ccosA,c=2bcosA,则△ABC 的形状为 ( A.直角三角形 C.等边三角形 B.锐角三角形 D.等腰直角三角形 )

3.(2014·唐山模拟)若△ABC 的内角 A,B,C 满足 6sinA=4sinB=3sinC,则 cosB= ( A.错误!未找到引用源。 未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 )

C. 错 误 !

D.错误!未找到引用源。 )

4.边长为 5,7,8 的三角形的最大角与最小角的和是 ( A.90° B.120° C.135° D.150°

5.(2013·天津高考)在△ABC 中,∠ABC=错误!未找到引用源。,AB=错误!未找
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到引用源。,BC=3,则 sin∠BAC=( A.错误!未找到引用源。 到引用源。

) B.错误!未找到引用源。 C.错误!未找

D.错误!未找到引用源。

6.(2014·梅州模拟)已知△ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别为 a,b,c,若 a=c=错 误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。,且∠A=75°,则 b=( A.2 B.4+2 错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。-错误!未找 )

C.4-2 错误!未找到引用源。 到引用源。

7.若△ABC 的内角 A,B,C 所对的边 a,b,c 满足(a+b)2-c2=4,且 C=60°,则 ab 的值 为( ) B.8-4 错误!未找到引用源。

A.错误!未找到引用源。 C.1

D.错误!未找到引用源。

8.(2014·宿州模拟)在△ABC 中,A=120°,b=1,面积为错误!未找到引用源。, 则错误!未找到引用源。= ( A.错误!未找到引用源。 未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 )

C.2 错误!

D.4 错误!未找到引用源。

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 9.在△ABC 中,若 a=2,b+c=7,cosB=-错误!未找到引用源。,则 b= .

10. 在 △ ABC 中 ,D 为 边 BC 的 中 点 ,AB=2,AC=1, ∠ BAD=30 ° , 则 AD 的 长 度 为 .

11.(2014·咸阳模拟)有一解三角形的题目因纸张破损有一个条件不清,具体如
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下:在△ABC 中,已知 a=错误!未找到引用源。,2cos2 错误!未找到引用源。=(错 误!未找到引用源。-1)cosB,c= (答案提示:A=60°,请将条件补充完整) 12.(能力挑战题)(2014·惠州模拟)在锐角△ABC 中,BC=1,B=2A,则错误!未找到 引用源。的值等于 ,AC 的取值范围为 . ,求角 A.

三、解答题(13 题 12 分,14~15 题各 14 分) 13.(2014 · 中 山 模 拟 ) 已 知 a=(sin( 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 +x),cos( π -x)),b=(cosx,-sinx),函数 f(x)=a·b. (1)求函数 f(x)的最小正周期. (2)在△ABC 中,已知 A 为锐角,f(A)=1,BC=2,B=错误!未找到引用源。,求 AC 边 的长. 14.(2014 · 台 州 模 拟 ) 在 △ ABC 中 ,A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c, 且 满 足 (a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sinC,试判断△ABC 的形状. 15.(2014·佛山模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 b2+c2-a2=bc. (1)求角 A 的大小. (2)若 b=2,且△ABC 的面积为 S=2 错误!未找到引用源。,求 a 的值.

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答案解析
1.【解析】选 C.由正弦定理,得 sinC=错误!未找到引用源。=错误!未找到引 用源。, 又 BC=3,AB=错误!未找到引用源。,所以 A>C,则 C 为锐角, 所以 C=错误!未找到引用源。. 【误区警示】本题容易由 sinC=错误!未找到引用源。得 sinC=错误!未找到引 用源。,没有利用 BC>AB 判断 A>C,就得出 C=错误!未找到引用源。或错误!未 找到引用源。.从而导致增解. 2. 【 解 析 】 选 C. 由 正 弦 定 理 , 得 sinB=2sinCcosA,sinC=2sinBcosA, 即 sin(A+C)=2sinCcosA=sinAcosC+cosAsinC, 即 sinAcosC-cosAsinC=0, 所 以

sin(A-C)=0,A=C,同理可得 A=B,所以三角形为等边三角形. 3.【解析】选 D.由 6sinA=4sinB=3sinC,得 sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶4. 设角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 则由正弦定理知 a∶b∶c=2∶3∶4, 令 a=2k,b=3k,c=4k(k>0), 则 cosB=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 【加固训练】(2014·泉州模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a=1,c=4 错误!未找到引用源。,B=45°,则 sinC 等于 A.错误!未找到引用源。 到引用源。 ( ) C.错误!未找

B.错误!未找到引用源。

D.错误!未找到引用源。

【解析】选 B.根据余弦定理,得 b2=a2+c2-2ac·cosB=1+32-8=25,所以 b=5,根据
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正弦定理,得错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,代入数据得 sinC= 错误!未找到引用源。. 4.【解析】选 B.设 C 所对边长为 7, 因为 5<7<8,所以角 C 是处于最大角与最小角之间的角,cosC=错误!未找到引用 源。=错误!未找到引用源。, 因为 0°<C<180°,所以 C=60°,所以最大角与最小角之和为 180°-60°=120°. 5.【思路点拨】先由余弦定理求 AC 边长,然后根据正弦定理求值. 【解析】选 C.在△ABC 中,由余弦定理,得 AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos 错误!未找 到引用源。 =2+9-2×错误!未找到引用源。×3×错误!未找到引用源。=5,所以 AC=错误! 未找到引用源。, 由正弦定理得错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 即错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 所以 sin∠BAC=错误!未找到引用源。. 6.【解析】选 A.sinA=sin75°=sin(30°+45°) =sin30°cos45°+sin45°cos30°=错误!未找到引用源。, 由 a=c=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。可知,∠C=75°,所以∠ B=30 ° ,sinB= 错误!未找到引用源。 , 由正弦定理得 b= 错误!未找到引用 源。 ·sinB=错误!未找到引用源。×错误!未找到引用源。=2. 7. 【思路点拨】 由 C=60°利用余弦定理构造关于边的方程,与已知条件联立求解. 【解析】选 A.由(a+b)2-c2=4, 得 a2+b2-c2+2ab=4. ①
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由余弦定理得 a2+b2-c2=2abcosC=2abcos60°=ab, ② 将②代入①得 ab+2ab=4,即 ab=错误!未找到引用源。. 8.【解析】选 C.因为 A=120°,所以 sinA=错误!未找到引用源。,S=错误!未找 到引用源。×1×|AB|×sinA=错误!未找到引用源。,所以|AB|=4, 根据余弦定理,得|BC|2=|AC|2+|AB|2-2|AC||AB|cosA=21,所以|BC|=错误! 未找到 引用源。, 根据正弦定理可知错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=2 错误!未找 到引用源。. 9.【解析】因为 cosB=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=-错误! 未找到引用源。, 所以 c2-b2=-c-4,因为 c+b=7, 所以 7(c-b)=-c-4,所以 8c-7b=-4, 又因为 b+c=7,所以 c=3,b=4. 答案:4 10.【思路点拨】将中线延长一半构造平行四边形,将条件集中到一个三角形中 求解. 【解析】延长 AD 到 M,使得 DM=AD,连接 BM,MC,则四边形 ABMC 是平行四边形.在 △ ABM 中 , 由 余 弦 定 理 得 BM2=AB2+AM2-2AB · AM · cos ∠ BAM, 即 12=22+AM2-2·2·AM·cos30°,解得 AM=错误!未找到引用源。,所以 AD=错误! 未找到引用源。. 答案:错误!未找到引用源。
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11. 【解析】 由题知 1+cos(A+C)=(错误! 未找到引用源。 -1)cosB,所以 1-cosB=(错 误!未找到引用源。-1)cosB,解得 cosB=错误!未找到引用源。,所以 B=45°, 又 A=60°,所以 C=75°.根据正弦定理,得错误!未找到引用源。=错误!未找到 引用源。,解得 c=错误!未找到引用源。.故应填错误!未找到引用源。. 答案:错误!未找到引用源。 12.【解析】设 A=θ? B=2θ. 由正弦定理得错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 所以错误!未找到引用源。=1? 错误!未找到引用源。=2. 由锐角△ABC 得 0°<2θ<90°? 0°<θ<45°, 又 0°<180°-3θ<90°? 30°<θ<60°, 故 30°<θ<45°? 错误!未找到引用源。<cosθ<错误!未找到引用源。, 所以 AC=2cosθ∈(错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。). 答案:2 (错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。) 13.【解析】(1)由题设知 f(x)=sin 错误!未找到引用源。cosx -sinxcos(π-x), 所以 f(x)=cos2x+sinxcosx =错误!未找到引用源。sin 错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。, 所以函数 f(x)的最小正周期 T=π. (2)因为 f(A)=cos2A+sinAcosA=1, 所以 sinAcosA=1-cos2A=sin2A, 所以 sinA=cosA, 所以 A=错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,
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错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 则 AC=错误!未找到引用源。. 14.【解析】方法一:化成角的关系求解. 由条件可得, a2[sin(A-B)-sin(A+B)]=-b2[sin(A+B)+sin(A-B)]. 利用和差角公式展开,得 a2cosAsinB=b2sinAcosB, 由正弦定理,上式化为 sin2AcosAsinB =sin2BsinAcosB. 因为 sinAsinB≠0,所以 sinAcosA=sinBcosB, 即 sin2A=sin2B,因为 A,B 为三角形的内角, 所以 A=B,或 A+B=错误!未找到引用源。, 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 方法二:化为边的关系求解. 由条件(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sinC, 可得(a2+b2)(acosB-bcosA)=(a2-b2)c ?(a2+b2)错误!未找到引用源。=(a2-b2)c ? (a2+b2)(a2-b2)=(a2-b2)c2 ? a2+b2=c2 或 a=b. 故△ABC 为直角三角形或等腰三角形. 【方法技巧】判断三角形的形状的思路与依据 (1)思路:必须从研究三角形的边与边的关系,或角的关系入手,充分利用正弦定 理与余弦定理进行转化,即化边为角或化角为边,使边角统一.
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(2)判断依据: ①等腰三角形:a=b 或 A=B. ②直角三角形:b2+c2=a2 或 A=90°. ③钝角三角形:a2>b2+c2,A>90°. ④锐角三角形:若 a 为最大边,且满足 a2<b2+c2 或 A 为最大角,且 A<90°. 【加固训练】(2014·沈阳模拟)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC (1)求 A 的大小. (2)若 sinB+sinC=1,试判断△ABC 的形状. 【解析】(1)由已知,根据正弦定理得 2a2=(2b+c)b+(2c+b)c 即 a2=b2+c2+bc. 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA, 故 cosA=-错误!未找到引用源。,A=120°. (2)由(1)得 sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC, 变形得错误!未找到引用源。=(sinB+sinC)2-sinBsinC, 又 sinB+sinC=1,得 sinBsinC=错误!未找到引用源。, 上述两式联立得 sinB=sinC=错误!未找到引用源。, 因为 0°<B<90°,0°<C<90°, 故 B=C=30°,所以△ABC 是等腰的钝角三角形. 15.【解析】(1)因为 b2+c2-a2=bc. 所以错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,即 cosA=错误!未找到引用 源。, 又因为 0<A<π,所以 A=错误!未找到引用源。.
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(2)因为 S△ABC=错误!未找到引用源。bcsinA=错误!未找到引用源。bcsin 错误! 未找到引用源。=错误!未找到引用源。bc, 又 S△ABC=2 错误!未找到引用源。,b=2,所以 c=4, 由余弦定理,a2=b2+c2-2bccosA=22+42-2×2×4cos 错误!未找到引用源。=12,所 以 a=2 错误!未找到引用源。. 【加固训练】在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2b·cosA=c·cosA+a·cosC. (1)求角 A 的大小. (2)若 a=错误!未找到引用源。,b+c=4,求 bc 的值. 【解析】(1)由正弦定理,得 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(R 为△ABC 外接圆的半径), 则已知等式可化为 2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC, 即 2sinBcosA=sin(A+C)=sinB, 又 sinB≠0,所以 cosA=错误!未找到引用源。,A=60°. (2)(b+c)2=16,即 b2+c2+2bc=16(*), 又由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccosA,可得 b2+c2-bc=7,代入(*)式得 bc=3.

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