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汕头市2015届高三理科数学考前猜题1


汕头 2015 年高考理科数学预测卷(1)
一.选择题(每小题 5 分,共 40 分)
1.设集合 A ? ?x | ?2 ? x ? 2? , B ? ?x | x ? N? ,则 A A. ?x | 0 ? x ? 2? 2.当 m ? 1 时,复数 z ? A.第一象限 B. ?1? C. ?0,1?

B?(



D. ??1,0,1? )

m?i 在复平面内对应的点位于( 1 ? 2i
C.第三象限

B.第二象限

D.第四象限 )

3.已知等边三角形 ?ABC 的边长为 a ,则 AB ? BC ? (
2 A. ? a

1 2

B. ?

3 2 a 2

2 C. a

1 2

D.

3 2 a 2


4.下列函数中在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( A. y ? ? x B. y ?

1 x

C. y ? x3

D. y ? 3x )

5.某几何体的三视图如图 5-1 所示,若这个几何体的体积为 24 ,则 h ? ( A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
[来源:学科网]

h
4 正视图 4 4 侧视图

图 5-1 俯视图 6.某一考场有 64 个试室,试室编号为 001-064,现根据试室号,采用系统抽样法,抽 取 8 个试室进行监控抽查,已抽看了 005,021 试室号,则下列可能被抽到的试室号是 ( ) A.029,051 B.036,052 C.037,053 D.045,054 )

7.执行如右图 7-1 所示程序框图,则其结果输出 S 为( A. 0 B.

3 3

C. 3

D.

4 3 3

开始

n ? 1, S ? 0
n ? 2015
否 是

S ? S ? tan

n? 3

输出 S 结束

n ? n ?1
图 7-1

2 ? a ba ,b ? ?a ? 8. 对于实数 a 和 b ,定义运算“ ? ” : a ?b ? ? 2 ,设 ? ?b ? ab, a ? b

f ? x ? ? ? 2x ?1? ? ? x ?1? ,且关于 x 的方程 f ? x ? ? m ? 0 ? m ? R ? 恰有三个互不相等的
实数根 x1 , x2 , x3 ,则 x1 ? x2 ? x3 的取值范围是( A. ? )

? 1? 3 ? ? 4 ,0? ? ? ?

B. ? 0,

? 1? 3 ? ? ? 4 ? ? ?

C. ?

? 1? 3 5 ? 3 ? ? 4 , 4 ? ? ? ?

D. ? ?

? 5? 3 ? ,0? ? ? 4 ?

二.填空题( 每小题 5 分,共 30 分) (一)必做题(9~13 题)
9.不等式 x ?1 ? x ? 2 ? 2 的解集为_________.

? y ? 2x ? 2 ? 10.已知变量 x 、 y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 2 ,且 z ? x ? y ? 1 的最小值为_______. ? y?0 ?
11.已知曲线 y ? x ? ln ? x ?1? 在点 P ? 0,0? 处切线与直线 ax ? y ? 2 ? 0 平行,则实数

a ? _______.
a 12.若 ?an ? 是等差数列,且 a1 ? a5 ? a6 ? 3 ,则数列 2 n 的前 7 项积 T7 ? ________.

? ?

?2 ? 13.二项展开式 ? ? x 2 ? 中,含 x 项的系数为 ?x ?

5

. (用数字作答)

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题)
14. (坐标系与参数方程选做题)曲线 C : ?

? x ? ?2 ? t ( t 为参数) ,若以点 O ? 0,0? 为极点, ?y ? t


x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则该曲 线的极坐标方程是

15. (几何证明选讲选做题)如图, AB 是圆 O 的直径, AE 是圆内接 ?ACD 的高,若

?DAE ? 25? ,则 ?BAC ?
A



O C B 图 15-1 E D

三.解答题(共 6 小题,共 80 分)
16. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? 2sin ? 2 x ?

? ?

??

?? x ? R? . 6?

(1)求 f ?

?? ? ? 的值; ?4?

(2)若 ?ABC 中, A ?

?
4

,f?

?B ? ? 8 ? ? ? ,求 ?2 6? 5

?C ? ? f ? ? ?. ? 2 12 ?

17. (本小题满分 12 分)甲、乙两人进行五局三胜制羽毛球决赛,除第五局两人获胜的机会 相等外,其余各局甲获胜的概率都是

2 ,记 X 为比赛的局数,每局比赛结果相互独立. 3

(1)试求甲 3: 0 获胜的概率,乙 3 : 2 获胜的概率; (2)求 X 的分布列及数学期望值 E ? X ? .

18. (本小题满分 14 分)如图 18-1 平面 AEFD ? 平面 BCFE ,其中 AEFD 为正方形,

BCFE 为直角梯形, BE / / CF , BE ? EF , BE ? EF ?
(1)求证: AB / / 平面 CDF ; (2)求二面角 B ? AC ? D 的余弦值大小.

1 CF . 2

19. (本小题满分 14 分)已知数列 ?an ? 对任意的 n ? N ,都有
*

a13 ? a23 ?

? an 3 ? ? a1 ? a2 ?

? an ? 且 an ? 0 .
2

(1)求 a1 , a2 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (3)若 bn ?

1 3
an?1

?2

,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ?

1 . 4

20. (本小题满分 14 分)已知直线 3x ? y ? 3 ? 0 经过椭圆 C : 的右焦点和上顶点. (1)求椭圆 C 的标准方程;

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2

(2)过点 ? 0, ?2 ? 的直线 l 与椭圆 C 交于不同的 A 、 B 两点,若 ?AOB 为钝角,求直线 l 斜 率 k 的取值范围; (3) 过椭圆 C 上异于其顶点的任一点 P 作圆 O :x2 ? y 2 ? 2 的两条切线, 切点分别为 M , N ( M , N 不在坐标轴上) , 若直线 MN 在 x 轴、y 轴上的截距分别为 m 、n , 证明: 为定值.

1 1 ? 2 2 4m 3n

21. (本小题满分 14 分)定义在 R 的奇函数 f ? x ? ? ax ? bx ? cx ? d ? a, b, c, d ? R ? 有极
3 2

小值为 f ?1? ? ?4 . (1)求 f ? x ? 的解析式; (2)若曲线 y ? f ? x ? 有三条不同的切线 l1 , l2 , l3 相交于点 ? m, 4? ,求实数 m 的取值范 围.

一、选择题:CBACBCAD 二.填空题( 每小题 5 分,共 30 分)
9、 【答案】 ? ? 12. 【答案】 2

? 3 ? , ?? ? ? 2 ?
7

10. 【答案】 ?1

11. 【答案】 2 【解析】

13. 【答案】 80

14. 【答案】 ? ? ?4sin ?

15. 【答案】 ?BAC ? 25

三.解答题(共 6 小题,共 80 分)
16. 【答案】 (1) 3 ; (2) 【解析】 试题分析: (1)依题直接代入可得 f ?

7 2 . 5

?? ? ? ? ?? (2)由 ? ? 2sin ? 2 ? ? ? ? 3 ; 4 6? ?4? ?

4 3 ?B ? ? 8 f ? ? ? ? 可得 cos B ? ,从而可得 sin B ? 1 ? cos 2 B ? ,因为 5 5 ?2 6? 5

? 3? ?C ? ? ? B ,由两角差公式可 f ? ? ? ? 2sin C ,又 A ? B ? C ? ? 且 A ? 所以 C ? 4 4 ? 2 12 ?
求得 sin C ? sin ?

3? 3? 7 2 ? 3? ? . ? B ? ? sin cos B ? cos sin B ? 4 4 10 ? 4 ? 2? 3 ?? ? ? ? ?? ? 2? ? 3. ? ? 2sin ? 2 ? ? ? ? 2sin 4 6? 3 2 ?4? ?

试题解析: ( 1)依题 f ?

(2)依题 f ?

4 ? ?? 8 ?B ? ? ? ? ? ? 2sin ? B ? ? ? ? 2cos B ? ,所以 cos B ? ,故 5 3 6? 5 ?2 6? ? 3 , 5

sin B ? 1 ? cos 2 B ?

∵ A ? B ? C ? ? 即 C ? ? ? ? A ? B ? ,又 A ? ∴ C? 又f?

?
4



3? ?B, 4

? ?? ?C ? ? ? ? 3? ? ? ? ? 2sin ? C ? ? ? ? 2sin C ? 2sin ? ? B? , 6 6? ? 2 12 ? ? ? 4 ?

∵ sin ?

3? 3? 2 4 2 3 7 2 ? 3? ? , ? B ? ? sin cos B ? cos sin B ? ? ? ? ? 4 4 2 5 2 5 10 ? 4 ?

∴ f?

7 2 7 2 ?C ? ? , ? ? ? 2? = 10 5 ? 2 12 ?

考点:1.三角函数求值;2.同角基本关系式及诱导公式应用;3.两角差公式求值. 17. 【答案】 (1) 【解析】 试题分析: (1)依题 3 : 0 获胜即前三局甲连胜,所以其获胜概率为

8 76 ; (2) . 27 27 2 2 2 8 ? ? = ;乙 3 3 3 27

3 : 2 获胜即前 4 局甲乙各胜任意 2 局,第五局乙胜,所以其获胜概率为

?1? C ? ? ? 3?
2 4

2

?2? 1 4 (2) 依题 X 的可能取值为 3 ,4 ,5 ,则 X ? 3 即甲或乙 3 : 0 ?? ? ? ? ; ? 3 ? 2 27
8 1 9 ? ? ,同理 X ? 4 即甲或乙 3 :1 获胜,所以 27 27 27
2

2

获胜,所以 P ? X ? 3? ?
2 2 3

?2? 1 2 ? 1 ? 2 1 10 , X ? 5时 P ? X ? 4? ? C ? ? ? ? ? C32 ? ? ? ? ? ?3? 3 3 ? 3 ? 3 3 27
2? 2? P ? X ? 5? ? C4 ? ? ? 3? 2

?1? 1 2 ?1? ? ? ? ? ? C4 ? ? ? 3? 2 ? 3?

2

2

? 2? 1 8 从而可得其分布列及数学期 ?? ? ? ? , ? 3 ? 2 27

2

望值. 试题解析: (1)记甲 3 : 0 获胜为 A 事件,乙 3 : 2 获胜为事件,则

2 2 2 8 2 ?1? P ? A? ? ? ? = ; P ? B ? ? C4 ? ? 3 3 3 27 ? 3?
所以甲 3 : 0 获胜的概率为

2

?2? 1 4 , ?? ? ? ? ? 3 ? 2 27

2

8 4 ,乙 3 : 2 获胜的概率为 ; 27 27

(2)依题 X 的可能取值为 3 , 4 , 5 ,则 每种可能取值可分甲赢或乙赢两种情况,其概率如下

?1? 1 ?2? 1 2 ? 1 ? 2 1 10 , P ? X ? 3? ? P ? A? ? ? ? ? , P ? X ? 4? ? C32 ? ? ? ? ? C32 ? ? ? ? ? ? 3? 3 ?3? 3 3 ? 3 ? 3 3 27 8 ? 2? ?1? 1 , P ? X ? 5? ? C ? ? ? ? ? ? ? P ? B ? ? 27 ? 3? ? 3? 2
2 4 2 2

3

2

2

所以 X 的分布列为:

X

3

4

5

P? X ?

10 27 1 10 8 107 ? 5? ? 所以 E ? X ? ? 3 ? ? 4 ? . 3 27 27 27

1 3

8 27

考点:1.独立事件的概率;2.随机变量的概率分布;3.随机变量的数学期望值. 18. 【答案】 (1)见解析; (2) ? 【解析】 试题分析: (1)取 CF 中点 H ,连接 BH , DH ,则可证得 ABHD 是平行四边形,故

15 . 5

AB / / DH ,从而可证 AB / / 平面 CDF ; (2)以 E 为原点, EB 为 x 轴, EF 为 y 轴,
EA 为 z 轴,建立空间直角坐标系 E ? xyz ,分别求得二面角 B ? AC ? D 两个半平面的
法向量 m ? ?1, ?1,1? , n ? ?1,0, 2? ,进而可得二面角的余弦值大小. 试题解析: (1)如图 18-2,取 CF 中点 H ,连接 BH , DH ,则 ∵ BE / / CF , BE ? EF ?

1 CF , 2

∴ BE / /HF ,即是正方形; ∴ BE / /EF ,又 AEFD 为正方形, ∴ AD/ /EF ,故 AD/ /BH , ∴ ABHD 是平行四边形,故 AB / / DH , 又 DH ? 平面 CDF ,且 AB ? 平面 CDF , ∴ AB / / 平面 CDF , A D

E B

F H 图 18-2 C

(2) 因为平面 AEFD ? 平面 BCFE , 且 AEFD 为正方形, 故可得 AE ? 平

面 BCFE ,所以可以 E 为原点, EB 为 x 轴, EF 为 y 轴, EA 为 z 轴,建立如图所以 的空间直角坐标系 E ? xyz ,设 BE ? EF ?

1 CF ? a ,则 A? 0,0, a ? , B ? a,0,0? , 2

C ? 2a, a,0? , D ? 0, a, a ? ,所以 AB ? ? a,0, ?a ? , AC ? ? 2a, a, ?a ? , AD ? ? 0, a,0 ? ,
z A D

y E B x F C

图 18-3

设平面 ABC 的一个法向量为 m ? ? x1 , y1 , z1 ? ,则

? m AB ? 0 ? ax1 ? az1 ? 0 ? ,即 ? ,取 x1 ? 1 ,解得 y1 ? ?1, z1 ? 1, ? 2 ax ? ay ? az ? 0 m AC ? 0 ? 1 1 1 ? ?
∴ m ? ?1, ?1,1? ,同理设平面 ACD 的一个法向量为 n ? ? x2 , y2 , z2 ? ,可解 得 n ? ?1,0, 2? , 设二面角 B ? AC ? D 的平面角为 ? ?

?? ? ? ? ? ? ? ,那么 ?2 ?
?? 15 , 5

cos ? ? ?

mn m?n

??

1?1 ? ? ?1? ? 0 ? 1? 2 12 ? ? ?1? ? 12 ? 12 ? 02 ? 22
2

∴ 二面角 B ? AC ? D 的余弦值为 ?

15 . 5

考点:1.线面平行的位置关系证明;2.二面角余弦值的大小.
* 19. 【答案】 (1) a1 ? 1 , a2 ? 2 ; (2) an ? n n ? N ; (3)见解析.

?

?

【解析】 试题分析: (1) 当 n ? 1, 2 代入 a1 ? a2 ?
3 3

? an3 ? (a1 ? a2 ?

? an )2 且 an ? 0 可直接求得

a1 , a2 的值;

3 3 (2)由 a1 ? a2 ?

? an3 ? ? a1 ? a2 ?

? an ? 得
2

a13 ? a23 ?

? an 3 ? an ?13 ? ? a1 ? a2 ?

? an ? an ?1 ? ,两式作差化简得
2

又 an ? 0 , 所以 an?1 ? an ? 1 , 所以数列 ?an ? 是等差数列, 故 an ? n ; an?12 ? an2 ? an?1 ? an , (3)由(2)得 bn ?

Tn ? b1 ? b2 ? b3
1? 1 1 ? ? 1? 2? 2?3 3

1 1 1 ? n ?1 ? , 3 ? 2 3 ? 2 2 ? 3n 1 1 1 1 ? ? ? ? ? bn ? 1 2 3 2?3 2?3 2?3 2 ? 3n
an?1

?

1 ? 1? 1? 1 ? ?1 ? n ? ? . n ? 3 ? 4? 3 ? 4

考点:1.由递推关系求项值及 an ;2.等比数列的前 n 项和公式;3.放缩法证不等式.

20. 【答案】 (1)

x2 y 2 2 3 1 1 2 3 ? ? 1; (2) ? ; (3)见解析. ?k ?? 或 ?k? 4 3 3 2 2 3

【解析】 试题分析 : (1)依题椭圆的右焦点为 ?1,0 ? ,上顶点为 0, 3 ,故 c ? 1 , b ? 3 ,

?

?

a ? b2 ? c2 ? 2 ,所以可求出椭圆标准方程为
y ? kx ? 2 ,设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 )

x2 y 2 ? ? 1; (2)由题可知直线 l 方程为 4 3

? y ? kx ? 2 1 ? 2 由 ? x2 y 2 消去 y 得: ? 4k 2 ? 3? x2 ? 16kx ? 4 ? 0 , ? ? 12k 2 ? 3 ? 0 即 k ? ,又 4 ?1 ? ? 3 ?4
x1 ? x2 ? 16k 4 且 x1 x2 ? ,所以 2 2 4k ? 3 4k ? 3

y1 y2 ? ? kx1 ? 2?? kx2 ? 2? ? k 2 x1x2 ? 2k ? x1 ? x2 ? ? 4 ,因为 ?AOB 为钝角,所以
OA ? OB ? 0 即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,所以
?12k 2 ? 16 4 ? 0 ,解得 k 2 ? .即可求出结果; (3) 2 3 4k ? 3
④,由④和圆 O :

由题可得以 OP 为直径的圆的方程为 x ? x ? x0 ? ? y ? y ? y0 ? ? 0

得m ? x2 ? y 2 ? 2 方程两式相减可得切点弦 MN 的方程为 x0 x ? y0 y ? 2 , 令 y ? 0 ,
2 2

2 , x0

? 2 ? ?2? ? ? ? ? 2 2 2 ? m ? ? ? n ? ? 1, 即 令 x ? 0得n ? , 所以 x0 ? ,y0 ? 又点 P 在椭圆 C 上, 所以 m n 4 3 y0
可证明结果. 试题解析: (1)依题椭圆的右焦点为 ?1,0 ? ,上顶点为 0, 3 , 故 c ? 1 , b ? 3 , a ? b2 ? c2 ? 2 , ∴ 可求出椭圆标准方程为

?

?

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

(2)设直线 l 方程为 y ? kx ? 2 ,设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 )

? y ? kx ? 2 ? 由 ? x2 y 2 得: (4k 2 ? 3) x2 ? 16kx ? 4 ? 0 , ?1 ? ? 3 ?4

1 , 4 16k 4 又 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? 2 2 4k ? 3 4k ? 3
2 ∵ ? ? 12k 2 ? 3 ? 0 ,∴ k ?

∵ ?AOB 为钝角,∴ OA ? OB ? 0 , 即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , ∴ x1 x2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? 0 , ∴ (1 ? k 2 ) x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 ,
2 ∴ (1 ? k ) ?

?12k 2 ? 16 4 16k ? 2 k ? ? 4 ? 0 ?0, ,即 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

2 ∴ k ?

4 2 3 2 3 , 解得 k ? ? 或k ? , 3 3 3

∴ 所求直线斜率的 取值 范围是 ? ??, ? (3)设点 P ? x0 , y0 ? ,则

? ? ?

2 3? ? 3 ? ?

?2 3 ? , ?? ? ? ? 3 ?. ? ?

以 OP 为直径的圆的方程为 x ? x ? x0 ? ? y ? y ? y0 ? ? 0

④,

④式与圆 O : x2 ? y 2 ? 2 方程两式相减可得切点弦 MN 的方程为 x0 x ? y0 y ? 2 , 令 y ? 0 ,得 m ? ∴ x0 ?

2 2 ,令 x ? 0 得 n ? , x0 y0

2 2 , y0 ? ,又点 P ? x0 , y0 ? 在椭圆 C 上, m n
2 2

? 2 ? ?2? ? ? ? ? ? m ? ? ? n ? ? 1,即 1 ? 1 ? 1 , ∴ 4m2 3n2 4 4 3


1 1 ? 2 为定值. 2 4m 3n

考点:1.椭圆的性质;2.直线与椭圆的位置关系. 21. 【答案】 (1) f ? x ? ? 2x ? 6x ; (2) m ? ? ??, ?1?
3

2? ? ? ?1, ? ? 3? ?

? 2, ?? ? .

【解析 】 试题分析: (1)由 f ? x ? 是 R 上的奇函数,易得 b ? d ? 0 ,又 y ? f ? x ? 有极小值为

f ?1? ? ?4 ,列方程可求得 a ? 2 , c ? ?6 ,故 f ? x ? ? 2x3 ? 6x ; (2)依题易得过曲线上
2 3 一点 ? x0 , y0 ? 的切线方程为 y ? 6 x0 ? 6 x ? 4 x0 ,又其切线过点 ? m, 4? ,则

?

?

4x03 ? 6mx02 ? 6m ? 4 ? 0 ??(*) ,故(*)有三个不同的解,令

g ? x0 ? ? 4x03 ? 6mx02 ? 6m ? 4 ,转化为一元三次函数的零点问题可求得 m 的取值范围.
试题解析: (1)∵ f ? x ? 是 R 上的奇函数, ∴ f ? ?x ? ? ? f ? x ? 即

a ? ? x ? ? b ? ? x ? ? c ? ? x ? ? d ? ? ? ax 3 ? bx 2 ? cx ? d ? ,
3 2

3 ∴ b ? 0 , d ? 0 ,故 f ? x ? ? ax ? cx ,

[来源:Z§xx§k.Com]

又 y ? f ? x ? 有极小值为 f ?1? ? ?4 ,且 f ' ? x ? ? 3ax ? c ,
2

∴ f ' ?1? ? 3a ? c ? 0 且 f ?1? ? a ? c ? ?4 ,解得 a ? 2 , c ? ?6 , ∴ f ? x ? ? 2x ? 6x ,
3

(2)设 ? x0 , y0 ? 为曲线上一点,由(1)知, f ' ? x0 ? ? 6x0 ? 6 ,则
2

y ? f ? x ? 在点 ? x0 , y0 ? 处的切线方程为 y ? y0 ? ? 6 x0 2 ? 6 ? ? x ? x0 ? 即
y ? ? 6 x0 2 ? 6 ? x ? 4 x03 ,
又切线都过点 ? m, 4? ,
2 3 ∴ 4 ? 6 x0 ? 6 m ? 4 x0 即 4x03 ? 6mx02 ? 6m ? 4 ? 0 ??(*) ,

?

?

依题(*)式中 x0 的有三个不同的解,即过点 ? m, 4? 的切线有三条, 令 g ? x0 ? ? 4x0 ? 6mx0 ? 6m ? 4 则
3 2

g ' ? x0 ? ? 12x02 ?12mx0 ,由 g ' ? x0 ? ? 0 ,得 x0 ? 0 或 m ,
若 m ? 0 时,显然(*)式只有一解,不满足题意,故 m ? 0 , 若 m ? 0 时,当 x0 ? R 变化时, g ' ? x0 ? 和 g ? x0 ? 变化如下表

x0

? ??,0?

0

? 0, m?

m

? m, ???

g ' ? x0 ?
g ? x0 ?

?

0
6m ? 4

?

0

?

?2m3 ? 6m ? 4

要使(*)有三个不同的解,由上表可知 g ? 0? ? 6m ? 4 ? 0 且 g ? m? ? ?2m3 ? 6m ? 4 ? 0 , 解得 m ? 2 , 若 m ? 0 时,当 x0 ? R 变化时, g ' ? x0 ? 和 g ? x0 ? 变化如下表

x0

? ??, m?
?

m
0

? m,0?
?

0
0

?0, ???
?

g ' ? x0 ? g ? x0 ?

?2m3 ? 6m ? 4

6m ? 4

要使(*)有三个不同的解,由上表可知 g ? m? ? ?2m3 ? 6m ? 4 ? 0 且 g ? 0? ? 6m ? 4 ? 0 , 解得 m ? ?

2 且 m ? ?1 , 3

综上可得, m ? ? ??, ?1?

2? ? ? ?1, ? ? 3? ?

? 2, ?? ? .

考点:1.导数的几何意义及极值;2.转化与化归思想;3.分类讨论思想.


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