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2.1数列的概念


1 2

22

23

… 263
1
2 4 8

国王要给多少麦粒?
陛下赏小 人几粒麦就 你想得到 搞定。 OK 什么样的 赏赐?

?

我们班学号从小到大排成一列数: 1,2,3,4,… ,58

> 1984年到2008年我国共参加了7次奥运会,

15,5,16,16,28,32,51

从一点到另一点 (来回)

-1,1,-1,1,-1…

曰:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.” 你能用一列数来表达 这句话的含义吗?

1 1 1 1 1, , , , , ? 2 4 8 16

庄 子

63 … 2 1 2 1,2,3,4, … ,58

22

23

( 1) ( 2) ( 3) ( 4)

15,5,16,16,28,32 ?1,1, ?1,1, ? 1,1,... 1 1 1 1 … , , , 2 4 8 16

( 5)

共同特点
1.都是一列数;

2.有一定的次序

定 义


数列的有关概念
数列:按一定次序排列起来的一列数

数列中的每一个数都叫做这个数列的项, 各项依次叫做这个数列的第1项a1 (或首项),第2项a2 ,… ,第n项an …
(1)数列的一般形式可写成 :

表 示

(2)数列也可简记为:?an ?
其中an是数列的第n项.

a1, a2 , a3 ,?, an ,?

1.an和{an}有什么区别?

?an?表示一个数列. 注意:a n 表示第 n 项,
如数列

1 1 1, , , 2 3

1, 2, 3, · · · ,n ,· · · 可简记为: n



1 , , n

?1 ? … 可简记为: ? ? ?n ?

??

这是数列吗?

(1)我们班所有同学的身高.

× 1°无次序 ×

(2)李宇春,周笔畅,张靓颖,何洁,纪敏佳.

2°不是一些数

1. “1,2,3,4,5,6”与“6,5,4,3, 2,1”是同一数列(×) 因为数列元素是有序的 2. “1,2,2,3,3,3”不是数列( × ) 3.集合{4,5,6,7,8,9,10}与数列 4,5,6,7,8,9,10 相同( × )

2.数列{an}与数集有何区别?
区别1:数列中的数可以重复出现,而数集中的数 不允许重复出现. 例如 数列: 1,-1,1,-1,… 数列: 2, 2, 2, 2, 2, … 区别2:数列中的项有一定的次序,而集合中的元 素没有顺序. 例如 数列:1,2,3,4, 5 和 数列:5, 4, 3, 2, 1 表示不同的数列. 区别3:数列中的项一定是数,而集合中的元素不 一定是数.

我们所列举的数列中,它 们的项数有什么不同吗?

序号

123

n

项an a1 a2 a3

? ? ?

?

an

观察这种“序号”与“项”之 间的对应关系,你联想到了什么?

数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an能用n的一个 表达式来表示,那么这个表达式就叫做这 个数列的通项公式.
1.外观: an = n ①等式 2.内含: ②左:

a =8 a
n

n

n=

2n

a

n

③右: 含n的表达式
n

①数列的通项公式揭示了第n项

a 与项的序号n的关系。 a 的过程.
n

②求数列的通项公式可看作求第n项

序号n 1 2 3 4

……64
……

(自变量)

项 an a 1

a2 a3 a4

an

(函数值)

数列是按照项的序号排列的一列函数值

函数与数列的联系
从映射、函数的观点看,数列可以看作是一个 定义域为正整数集 N* (或它的有限子集 {1 , 2 , …,n } )的函数,当自变量从小到大依次 取值时对应的一列函数值,通项公式即相应的 函数解析式,即数列是特殊的函数.

an 1

a n=

1 n

的图象
这些点是 孤立的!

1 2 1 4

O

1 2 3 4 5 6 7

n

an
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

数列图象

an=n的图象
数列图象是一 些孤立的点

O

1 2 3 4 5 6 7

n

数列的分类
1.按照数列中项数的有限与无限分类 ①有穷数列;②无穷数列. 2.按照数列中的项与项的大小关系分类 ①若an+1>an,对任意的正整数n都成立, 则{an}称为递增数列; ②若an+1<an,对任意的正整数n都成立, 则{an}称为递减数列; ③若an+1=an,对任意的正整数n都成立, 则{an}称为常数数列. ④摆动数列

数列分类
63 … 2 有穷数列 递增数列 1 2 1,2,3,4, … ,52 有穷数列 递增数列

22

23

15,5,16,16,28,32 有穷数列 摆动数列

1 2

1


1


1


4

8

16



无穷数列 递减数列 无穷数列 常数列

2, 2, 2, 2, 2 …

1, -1, 1, -1, 1, …

无穷数列 摆动数列

口答
1.课本例1及28页练习A2,3题的解题方法?

(代数法)

口答
2. 写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别 是下列各数: 3.课本28页练习A1题:
( 1) 2, 0, 2, 0; (2) -1, 1, -1, 1; 如何寻找通项公式?

1 1 1 ( 3) 1,- ,,- ; 2 3 4 2 4 6 8 (4)- , ? , ? , ? ; 3 15 35 63

观察法

观察法
找出不变量和变化的量。 具体地说就是:

(一)将个别破坏规律的数还原; (二)“化整为零,各个击破”即将一个数分 为几部分来研究。

口答:课本28页练习B1,3题:
口答:课本31页习题A5,6B1,2,3题:

通项公式的优点:①简明、全面地概括了项数与项的关系; ②可以通过通项公式求出任意项的值

3.根据下列各组数,写出它的一个通项公式
n ?1 2 3 4 5 (1) , , , ,? a n ? n 1 2 3 4 1 1 1 1 (?1) n (2) ? , ,? , ,? a n ? 2n 2 ?1 2 ? 2 2 ? 3 2 ? 4 ?0, n为 偶 数 1 1 ? an ? ? 1 (3)1,0, ,0, ,? ? n , n为 奇 数 ? 3 5 n a ? 2 ? 10 ?9 (4)11,191 ,1991 ,19991 ,? n

口答

4.根据下列各组数,写出它的一个通项公式 (1)9,99,999,9999, … (2)1,11,111,1111,… (3)2,22,222,2222, … (4)1,22,333,4444, … (5)0.9,0.99,0.999,0.999, … (6)0.2,0.22,0.222,0.2222, …

口答

口答
课本27页例3

(2)说明证明数列单调性和函数单
调性的不同之处.

你还会其他方法判断吗?
课本27页思考与讨论

1 .若an=an-1-3,则{an}是单调递_______数列

∵an-an-1=-3<0 ∴{an}是递减
an?1 1 2.已知数列{an }满足a1 ? 0, ? , 则{an }是 an 2
A.递增数列
C.摆动数列

B.递减数列
D.不确定

例已知{an}的前 n项和Sn=n2+n-2 ,求an. 若数列的前n项和记为Sn,即 Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an

{
Sn-1

∴当n≥2时,有an=Sn-Sn-1
(n ? 1) ?S1 即an ? ? ?S n ? S n?1 (n ? 2)

例已知{an}的前 n项和Sn=n2+n-2 ,求an.
解:当n≥2时,an=Sn-Sn-1 =n2+n-2-(n-1)2-(n-1) +2

=2n 当n=1时,a1=0

?0 ? an ? ? ?2n

(n ? 1)

(n ? 2)

1.若Sn=n2-1,求an 2.若Sn=2n2-3n,求an ? 0 (n ? 1) an ? ? a = 4 n ? 5 n ? 2 n ? 1 ( n ? 2)

你知道吗?

8 5

3

2

1

1,2,3,5,8,13,21…

思考
1,1,2,3,5,8,13,21…
你能找出该数列的规律吗?
你能写出通项公式吗?

若不能,该怎样表述项之间的关系呢?

? ? ? ? ?

a1=4 a2=5=a1+1 a3=6=a2+1 ………… an=an-1+1 (2≤n≤7)

定义:已知数列{an}的第1项(或前几 项),

且任意一项an与前一项an-1(或前几项)间的关 系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫做数 列的递推公式

通项公式与递推公式的异同

1.数列?an ?中, a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? nan ? n(n ? 1)(n ? 2), 求an .

2.已知 an ? n ? 1 ? n 2 ,求证:{an}是单增的

2.已知

2 , an ? n ? 1 ? n 求证:{an}是单增的

证 明:

? (n ? 1) ? 1 ? (n ? 1) ??(n ? 1) ? 1 ? (n ? 1) ??n ? 1 ? n ? ? ?n ? 1 ? n ??n ? 1 ? n ??(n ? 1) ? (n ? 1) ?
2 2 2 2 2

a n?1 ? ? an

( n ? 1) ? 1 ? ( n ? 1) 2 n ? 1? n2

?

n ? 1 ? n2 (n ? 1) ? 1 ? (1 ? n) 2
2

?1

而an ? n ? 1 ? n ? 0 ∴an+1>an,即{an}是单增的

小 结
1、数列的有关概念
2、求数列的通项公式


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,其中 an 是数列的第 n 项 3.数列的分类: 1)根据数列项数的多少分: 有穷数列:项数有限的数列.例如数列 1,2,3,4,5,6.是有穷数列 无穷数列:项数无限...
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