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三角函数的图像与性质知识点及习题


三角函数的图象与性质 基础梳理 1.三角函数的图象和性质 函数 性质 定义域

y=sin x

y=cos x

y=tan x
π {x|x≠kπ + ,k∈Z} 2

R

R

图象

值域

[-1,1

]

[-1,1] 对称轴:

R

π 对称轴: x=kπ + 2 对称性 (k∈Z); 对称中心:(kπ ,0)(k∈Z)

x=kπ (k∈Z)___;
对称中心: π _(kπ + ,0) 2 (k∈Z)__

?kπ ? 对 称 中 心 : _ ? ,0? ? 2 ?
(k∈Z)

周期 单调增区间 [2kπ

2π _

2π 单调增区间

π

π - 2

, 2kπ



[2kπ - π , 2kπ ] (k∈Z); 单调减区间 [2kπ , 2kπ + 单调增区间_ π π (kπ - , kπ + )(k∈Z) 2 2

单调性

π ](k∈Z); 2 单调减区间 [2kπ + (k∈Z) π 3π , 2kπ + ] 2 2

π ](k∈Z)_

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

2.一般地对于函数 f(x),如果存在一个非零的常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有 f(x+T) =f(x),那么函数 f(x)就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期,把所有周期中存在的最小正数,叫 做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期) 对函数周期性概念的理解 周期性是函数的整体性质,要求对于函数整个定义域范围的每一个 x 值都满足 f(x+T)=f(x),其中 T 是

-1-

不为零的常数.如果只有个别的 x 值满足 f(x+T)=f(x), 或找到哪怕只有一个 x 值不满足 f(x+T)=f(x), 都不能说 T 是函数 f(x)的周期. 函数 y=Asin(ω x+φ )和 y=Acos(ω x+φ )的最小正周期为 2π |ω | ,

y=tan(ω x+φ )的最小正周期为
3..求三角函数值域(最值)的方法: (1)利用 sin x、cos x 的有界性; 关于正、余弦函数的有界性

π |ω |

.

由于正余弦函数的值域都是[-1,1],因此对于? x∈R,恒有-1≤sin x≤1,-1≤cos x≤1,所以 1 叫 做 y=sin x,y=cos x 的上确界,-1 叫做 y=sin x,y=cos x 的下确界. (2)形式复杂的函数应化为 y=Asin(ω x+φ )+k 的形式逐步分析 ω x+φ 的范围,根据正弦函数单调性 写出函数的值域;含参数的最值问题,要讨论参数对最值的影响. (3)换元法:把 sin x 或 cos x 看作一个整体,可化为求函数在区间上的值域(最值)问题. 利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性,如:y=sin x-4sin x+5,令 t=sin x(|t|≤1), 则 y=(t-2) +1≥1,解法错误. 5.求三角函数的单调区间时,应先把函数式化成形如 y=Asin(ω x+φ ) (ω >0)的形式,再根据基本三角 函数的单调区间, 求出 x 所在的区间.应特别注意, 应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增 区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意 x 系数的正负号) ( 同角基本关系式 倒数关系 商的关系 平方关系
2 2

tan ? ? cot ? ? 1 sin ? ? csc ? ? 1 cos ? ? sec ? ? 1
同角基本关系式 倒数关系

sin ? sec ? ? tan ? ? cos ? csc ? cos ? csc ? ? cot ? ? sin ? sec ?
商的关系

sin ? ? cos ? ? 1 1 ? tan ? ? sec ? 1 ? cot ? ? csc ?
平方关系
2 2 2 2

2

2

tan ? ? cot ? ? 1 sin ? ? csc ? ? 1 cos ? ? sec ? ? 1

sin ? sec ? ? tan ? ? cos ? csc ? cos ? csc ? ? cot ? ? sin ? sec ?
万能公式

sin ? ? cos ? ? 1 1 ? tan ? ? sec ? 1 ? cot ? ? csc ?
2 2 2 2

2

2

诱导公式;奇变偶不变,符号看象限 两角和与差的三角函数公式

-2-

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
tan(? ? ? ) ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? ? tan ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? ? tan ?

sin ? ?

2 tan(? / 2) 1 ? tan 2(? / 2) 1 ? tan 2(? / 2) 1 ? tan 2(? / 2) 2 tan(? / 2) 1 ? tan 2(? / 2)

cos ? ?

tan ? ?

tan(? ? ? ) ?

二倍角的正弦、余弦和正切公式

三倍角的正弦、余弦和正切公式

sin 2? ? 2sin ? cos ? cos 2? ? cos 2? ? sin 2? ? 2 cos 2? ? 1 ? 1 ? 2sin 2?
tan 2? ? ? 2 tan ? 1 ? tan 2?

sin 3? ? 3sin ? ? 4sin 3? cos 3? ? 4 cos 3? ? 3cos ? . 3 tan ? ? tan 3? tan 3? ? ? 1 ? 3 tan 2?
三角函数的积化和差公式

三角函数的和差化积公式

sin ? ? sin ? ? 2sin

? ??

2 2 ? ?? ? ?? sin ? ? sin ? ? 2 cos ? sin 2 2 ? ?? ? ?? cos ? ? cos ? ? 2 cos ? cos 2 2 ? ?? ? ?? cos ? ? cos ? ? ?2sin ? sin 2 2

? cos

? ??

1 ?sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )? 2 1 cos ? ? sin ? ? ?sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? 2 1 cos ? ? cos ? ? ? cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? 2 1 sin ? ? sin ? ? ? ?cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? 2 sin ? ? cos ? ?

化 asinα ±bcosα 为一个角的一个三角函数的形式(辅助角的三角函数的公式)

a sin x ? b cos x ? a 2 ? b2 sin( x ? ? )
其中 ? 角所在的象限由 a 、 b 的符号确定, ? 角的值由 tan ? ?

b 确定 a

【点评】求三角函数的最值问题,主要有以下几种题型及对应解法.

b a 2 2 (2)y=asin x+bsinxcosx+ccos x 型,可通过降次整理化为 y=Asin2x+Bcos2x+C. 2 (3)y=asin x+bcosx+c 型,可换元转化为二次函数. (4)sinxcosx 与 sinx±cosx 同时存在型,可换元转化. asinx+b acosx+b (5)y= (或 y= )型,可用分离常数法或由|sinx|≤1(或|cosx|≤1)来解决,也可化 csinx+d ccosx+d
(1)y=asinx+bcosx 型,可引用辅角化为 y= a +b sin(x+φ )(其中 tanφ = ).
2 2

为真分式去求解. asinx+b (6)y= 型,可用斜率公式来解决 ccosx+d
-3-

三角函数的图像与性质热身练习:

? π? 1.函数 y=cos?x+ ?,x∈R( 3? ?
A.是奇函数 C.是偶函数 2.函数 y=tan?

).

B.既不是奇函数也不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数

?π -x?的定义域为( ? ?4 ?
,k∈Z?
? ? ? ?

).
? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? π ? A.?x?x≠kπ - 4 ? ? ? ? ? π ? C.?x?x≠kπ + 4 ? ? ?

? ? π ? B.?x?x≠2kπ - ,k∈Z 4 ? ? ?

? ? ? ? π ? ,k∈Z? D.?x?x≠2kπ + 4 ? ? ? ? ?

,k∈Z?

π 3.函数 y=sin(2x+ )的图象的对称轴方程可能是( ) 3 π π π π A.x=- B.x=- C.x= D.x= 6 12 6 12 ? π? 4.y=sin?x- ?的图象的一个对称中心是( ). 4? ? A.(-π ,0)

? 3π ? B.?- ,0? ? 4 ? ? π ? B.?- ,0? ? 2 ?

C.?

?3π ,0? ? ? 2 ? ?3π ,2π ? ? ? 2 ?

D.?

?π ,0? ? ?2 ?
( )

5.下列区间是函数 y=2|cos x|的单调递减区间的是 A.(0,π ) C.?

π? ? D.?-π ,- ? 2? ?

π π 6. 已知函数 f(x)=sin(2x+φ ), 其中 φ 为实数, 若 f(x)≤|f( )|对任意 x∈R 恒成立, 且 f( )>f(π ), 6 2 则 f(x)的单调递增区间是( ) π π π A.[kπ - ,kπ + ](k∈Z) B.[kπ ,kπ + ](k∈Z) 3 6 2 π 2π π C.[kπ + ,kπ + ](k∈Z) D.[kπ - ,kπ ](k∈Z) 6 3 2 ?x π ? 7.函数 f(x)= 3cos? - ?x∈R 的最小正周期为________. ?2 4 ?

? π? 8..y=2-3cos?x+ ?的最大值为________,此时 x=_____________. 4? ?
9.函数 y=(sinx-a) +1,当 sinx=1 时,y 取最大值;当 sinx=a 时,y 取最小值,则实数______ π π 2 10.函数 f(x)=sin x+ 3sinxcosx 在区间[ , ]上的最大值是 . 4 2 题型一 与三角函数有关的函数定义域问题 例1 求下列函数的定义域: (2)y= sin x-cos x.
2

(1)y=lgsin(cos x);

-4-

变式训练 1 (1)求函数 y ?

lg(2sin x ? 1) ? ? tan x ? 1 的定义域; x ? cos( ? ) 2 8

(2)求函数 y ?

2 ? log 1 x ? tan x 的定义域.
2

题型二、三角函数的五点法作图及图象变换 π 例 2 已知函数 f(x)=4cosxsin(x+ )-1. 6 (1)用五点法作出 f(x)在一个周期内的简图; (2)该函数图象可由 y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移变换与伸缩变换得到?

题型三 三角函数图象与解析式的相互转化 π 例 3 函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(x∈R,A>0,ω >0,0<φ < )的部分图象如图所示. 2 (1)求 f(x)的解析式; π 2 (2)设 g(x)=[f(x- )] ,求函数 g(x)在 12 π π x∈[- , ]上的最大值,并确定此时 x 的值. 6 3 . (

例 4 若方程 3sinx+cosx=a 在[0,2π ]上有两个不同的实数根 x1,x2,求 a 的取值范围,并求此时

x1+x2 的值.

π 例 4 已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ ),x∈R(其中 A>0,ω >0,0<φ < )的图象与 x 轴的交点中, 2 π 2π 相邻两个交点之间的距离为 ,且图象上一个最低点为 M( ,-2). 2 3 (1)求 f(x)的解析式; π 1 (2)将函数 f(x)的图象向右平移 个单位后,再将所得图象上各点的横坐标缩小到原来的 ,纵坐标 12 2 不变,得到 y=g(x)的图象,求函数 y=g(x)的解析式,并求满足 g(x)≥ 2且 x∈[0,π ]的实数 x 的取 值范围.

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题型四 、三角函数的奇偶性与周期性及应用 π 例 1 已知函数 f(x)=sin(ω x+φ ),其中 ω >0,|φ |< . 2 π 3π (1)若 cos cosφ -sin sinφ =0,求 φ 的值; 4 4 π (2)在(1)的条件下, 若函数 f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 , 求函数 f(x)的解析式; 3 并求最小正实数 m,使得函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位后所对应的函数是偶函数.

题型五 三角函数的单调性与周期性 例2 写出下列函数的单调区间及周期:

π? ? (1)y=sin?-2x+ ?;(2)y=|tan x|. 3? ?

? π? (2)已知函数 f(x)=4cos xsin?x+ ?-1. 6? ?
①求 f(x)的最小正周期;

? π π? ②求 f(x)在区间?- , ?上的最大值和最小值. ? 6 4?

题型六、三角函数的对称性与单调性及应用 例 2 已知向量 m =( 3sin2x-1,cosx), n =(1,2cosx),设函数 f(x)= m ? n ,x∈R. (1)求函数 f(x)图象的对称轴方程; (2)求函数 f(x)的单调递增区间.

题型七 三角函数的对称性与奇偶性 π? ? 例 3 (1)已知 f(x)=sin x+ 3cos x(x∈R),函数 y=f(x+φ ) ?|φ |≤ ?的图象关于直线 x=0 对称, 2? ? 则 φ 的值为________. (2)如果函数 y=3cos(2x+φ )的图象关于点?

?4π ,0?中心对称,那么|φ |的最小值为( ? ? 3 ?
-6-

)

A .

π 6

B.

π 4

C.

π 3

D.

π 2

变式训练 3

5π (1)已知函数 f(x)=sinx+acos x 的图象的一条对称轴是 x= ,则函数 g(x)=asin x+ 3 ) B. 2 3 3 C. 4 3 D. 2 6 3

cos x 的最大值是 ( 2 2 A. 3

π (2)若函数 f(x)=asin ω x+bcos ω x (0<ω <5,ab≠0)的图象的一条对称轴方程是 x= ,函数 f′(x) 4ω 的图象的一个对称中心是? 题型八

?π ,0?,则 f(x)的最小正周期是________. ? ?8 ?

三角函数的值域与最值的求法及应用 2 2sinxcos x 例 3(1)求函数 y= 的值域; 1+sinx (2)求函数 y=sinxcosx+sinx+cosx 的最值; (3)若函数 f(x)=

1 ? cos 2 x 4sin( ? x) 2

?

-asin ·cos(π - )的最大值为 2,试确定常数 a 的值. 2 2

x

x

. π 2 例 4 已知函数 f(x)=sin2x+acos x(a∈R,a 为常数),且 是函数 y=f(x)的一个零点. 4 (1)求 a 的值,并求函数 f(x)的最小正周期; π (2)当 x∈[0, ]时,求函数 f(x)的最大值和最小值及相应的 x 的值. 2

-7-

三角函数的图象与性质练习一 一、选择题 1.对于函数 f(x)=2sinxcosx,下列选项正确的是( ) π π A.f(x)在( , )上是递增的 B.f(x)的图象关于原点对称 4 2 C.f(x)的最小正周期为 2π D.f(x)的最大值为 2 【解析】f(x)=sin2x π π f(x)在( , )上是递减的,A 错; f(x)的最小正周期为 π ,C 错; 4 2 f(x)的最大值为 1,D 错;选 B. π π 2.若 α 、β ∈(- , ),那么“α <β ”是“tanα <tanβ ”的( ) 2 2 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 π π 【解析】α 、β ∈(- , ),tanx 在此区间上单调递增. 2 2 当 α <β 时,tanα <tanβ ;当 tanα <tanβ 时,α <β .故选 C. π π 3.已知函数 f(x)=sin(ω x+φ )(ω >0,|φ |< )的最小正周期为 π ,将该函数的图象向左平移 个单位 2 6 后,得到的图象对应的函数为奇函数,则 f(x)的图象( ) π 5π A.关于点( ,0)对称 B.关于直线 x= 对称 12 12 5π π C.关于点( ,0)对称 D.关于直线 x= 对称 12 12 【解析】由已知得 ω =2,则 f(x)=sin(2x+φ ) π π 设平移后的函数为 g(x),则 g(x)=sin(2x+ +φ )(|φ |< )且为奇函数 3 2 π π ∴φ =- ,f(x)=sin(2x- ) 3 3 5π ∴图象关于直线 x= 对称,选 B. 12 π 4. 已知 f(x)=sinx, x∈R, g(x)的图象与 f(x)的图象关于点( , 0)对称, 则在区间[0,2π ]上满足 f(x)≤g(x) 4 的 x 的取值范围是( ) π 3π 3π 7π π 3π 3π 3π A.[ , ] B.[ , ] C.[ , ] D.[ , ] 4 4 4 4 2 2 4 2 π π 【解析】设(x,y)为 g(x)的图象上任意一点,则其关于点( ,0)对称的点为( -x,-y), 4 2 π 由题意知该点必在 f(x)的图象上.∴-y=sin( -x), 2 π 即 g(x)=-sin( -x)=-cosx,由已知得 sinx≤-cosx? sinx+cosx 2 π 3π 7π = 2sin(x+ )≤0 又 x∈[0,2π ] ∴ ≤x≤ . 4 4 4

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π π 5.已知函数 f(x)=3sin(ω x+φ ),g(x)=3cos(ω x+φ ),若对任意 x∈R,都有 f( +x)=f( -x), 3 3 π 则 g( )=____. 3 π π π π 【解析】由 f( +x)=f( -x),知 y=f(x)关于直线 x= 对称,∴sin(ω · +φ )=±1. 3 3 3 3 π π π 2 ∴g( )=3cos(ω · +φ )=3 1-sin ω · +φ =0. 3 3 3 πx π 6.设函数 f(x)=2sin( + ),若对任意 x∈R,都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立,则|x2-x1|的最小值 2 5 为____. 【解析】由“f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立”,可得 f(x1)、f(x2)分别是 f(x)的最小值、最大值. 2π ∴|x2-x1|的最小值为函数 f(x)的半周期,又 T= =4.∴|x2-x1|min=2. π 2 7.已知函数 f(x)=sinx+cosx,f′(x)是 f(x)的导函数. (1)求 f′(x)及函数 y=f′(x)的最小正周期; π 2 (2)当 x∈[0, ]时,求函数 F(x)=f(x)f′(x)+f (x)的值域. 2 π 【解析】(1)f′(x)=cosx-sinx=- 2sin(x- ) 4 ∴y=f′(x)的最小正周期为 T=2π . 2 2 (2)F(x)=cos x-sin x+1+2sinxcosx π =1+sin2x+cos2x=1+ 2sin(2x+ ) 4 π π π 5π π 2 ∵x∈[0, ],∴2x+ ∈[ , ] ∴sin(2x+ )∈[- ,1], 2 4 4 4 4 2 ∴函数 F(x)的值域为[0,1+ 2]. 8.设函数 f(x)=2cosx(sinx+cosx)-1,将函数 f(x)的图象向左平移 α 个单位,得到函数 y=g(x)的图 象. (1)求函数 f(x)的最小正周期; π (2)若 0<α < ,且 g(x)是偶函数,求 α 的值. 2 【解析】(1)∵f(x)=2sinxcosx+2cos x-1 π =sin2x+cos2x= 2sin(2x+ ), 4 2π ∴f(x)的最小正周期 T= =π . 2 π π (2)g(x)=f(x+α )= 2sin[2(x+α )+ ]= 2sin(2x+2α + ), 4 4 π g(x)是偶函数,则 g(0)=± 2= 2sin(2α + ), 4 π π kπ π ∴2α + =kπ + ,k∈Z.α = + (k∈Z), 4 2 2 8 π π ∵ 0<α < ,∴α = . 2 8
2

-9-

三角函数的图象与性质练习二 π? ? 1.函数 f(x)=sin?2x+ ?图象的对称轴方程可以为 3? ? 5π A.x= 12 π B.x= 3 π C.x= 6

( π D.x= 12

)

π π kπ π π 解析 令 2x+ =kπ + (k∈Z),得 x= + (k∈Z),令 k=0 得该函数的一条对称轴为 x= .本题 3 2 2 12 12 也可用代入验证法来解.答案 D

? π? 2.y=sin?x- ?的图象的一个对称中心是 4? ?
A.(-π ,0)

( C.?

)

? 3π ? B.?- ,0? ? 4 ?

?3π ,0? ? ? 2 ?

D.?

?π ,0? ? ?2 ?
( )

π 3.函数 y=3cos(x+φ )+2 的图象关于直线 x= 对称,则 φ 的可能取值是 4 A. 3π 4 3π B.- 4 π C. 4 D. π 2

二、填空题 4.函数 y=lg(sin x)+ 1 ? cos x- 的定义域为____ (2k? , 2k? ? ] (k∈Z)_________. 2 3

π 5.已知函数 f(x)=3sin(ω x- )(ω >0)和 g(x)=2cos(2x+φ )+1 的图象的对称轴完全相同.若 x∈[0, 6 π ? 3 ? ],则 f(x)的取值范围是____ ? ? ,3? ___________. 2 ? 2 ?

π? ? 4.函数 f(x)=2sin ω x(ω >0)在?0, ?上单调递增,且在这个区间上的最大值是 3,那么 4? ? ω 等于________. 解析 π? ? 因为 f(x)=2sin ω x(ω >0)在?0, ?上单调递增,且在这个区间上的最大值是 3, 4? ?

π π π 4 所以 2sin ω = 3,且 0< ω < ,因此 ω = . 4 4 2 3 答案 4 3

π? ? 6.关于函数 f(x)=4sin?2x+ ? (x∈R),有下列命题: 3? ? π? ? ①由 f(x1)=f(x2)=0 可得 x1-x2 必是 π 的整数倍;②y=f(x)的表达式可改写为 y=4cos?2x- ?; 6? ?

- 10 -

π ? π ? ③y=f(x)的图象关于点?- ,0?对称;④y=f(x)的图象关于直线 x=- 对称. 6 ? 6 ? 其中正确命题的序号是___________.②③

解析 =

π? T ? 函数 f(x)=4sin?2x+ ?的最小正周期 T=π ,由相邻两个零点的横坐标间的距离是 3 2 ? ?

π 知①错. 2

π ?? ?π ? 利用诱导公式得 f(x)=4cos? -?2x+ ??= 3 ?? ?2 ? π? ?π ? ? 4cos? -2x?=4cos?2x- ?,知②正确. 6? ?6 ? ? 由 于 曲 线 f(x) 与 x 轴 的 每 个 交 点 都 是 它 的 对 称 中 心 , 将 x = - ? ? π? π? 4sin?2×?- ?+ ?=4sin 0=0, ? 6? 3? ? ? π ? 因此点?- ,0?是 f(x)图象的一个对称中心,故命题③正确.曲线 f(x)的对称轴必经过图象 ? 6 ? 的最高点或最低点,且与 y 轴平行,而 x=- 点,故直线 x=- 答案 ②③ π ? π ? 时 y=0,点?- ,0?不是最高点也不是最低 6 ? 6 ? π 代 入 得 f(x) = 6

π 不是图象的对称轴,因此命题④不正确. 6

三、解答题 7.设函数 f(x)=sin(2x+φ (1)求 φ ; (2)求函数 y=f(x)的单调增区间. 解 3π (1)- 4

)

π (-π <φ <0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线 x= . 8

3π ? ? (2)由(1)得:f(x)=sin?2x- ?, 4 ? ? π 3π π 令- +2kπ ≤2x- ≤ +2kπ ,k∈Z, 2 4 2 π 5π 可解得 +kπ ≤x≤ +kπ ,k∈Z, 8 8 因此 y=f(x)的单调增区间为
- 11 -

?π +kπ ,5π +kπ ?,k∈Z. ?8 ? 8 ? ?
π? π π ? 8.(1)求函数 y=2sin?2x+ ? (- <x< )的值域; 3 6 6 ? ? (2)求函数 y=2cos x+5sin x-4 的值域. 解 π? π π π 2π ? (1)∵- <x< ,∴0<2x+ < ,∴0<sin?2x+ ?≤1, 3? 6 6 3 3 ?
2

π? ? ∴y=2sin?2x+ ?的值域为(0,2]. 3? ? (2)y=2cos x+5sin x-4=2(1-sin x)+5sin x-4=-2sin x+5sin x-2 5?2 9 ? =-2?sin x- ? + . 4? 8 ? ∴当 sin x=1 时,ymax=1,当 sin x=-1 时,ymin=-9, ∴y=2cos x+5sin x-4 的值域为[-9,1].
2 2 2 2

三角函数的图象与性质练习三 一、选择题

? π? 1.定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数, 若 f(x)的最小正周期是 π , 且当 x∈?0, ? 时, f(x) 2? ?
=sin x,则 f ? 1 A.- 2

?5π ?的值为 ( ? ? 3 ?
B. 1 2

) C.- 3 2 D. 3 2 )

? π π? 2.已知函数 f(x)=2sin ω x(ω >0)在区间?- , ?上的最小值是-2,则 ω 的最小值等于( ? 3 4?
A. 2 3 B. 3 2 C.2 D.3 ( )

3.函数 f(x)=cos 2x+sin? A.非奇非偶函数 C.仅有最大值的偶函数 二、填空题

?5π +x?是 ? ? 2 ?
B.仅有最小值的奇函数 D.有最大值又有最小值的偶函数

π 4.设定义在区间(0, )上的函数 y=6cos x 的图象与 y=5tan x 的图象交于点 P,过点 P 作 x 轴的垂线, 2

- 12 -

2 垂足为 P1,直线 PP1 与函数 y=sin x 的图象交于点 P2,则线段 P1P2 的长为____ _______. 3 4 ? π? 5.函数 f(x) =2sin ω x(ω >0)在?0, ? 上单调递增,且在这个区间上的最大值是 3 ,那么 ω = ____ 4 3 ? ? _______. π ? π? 解析 因为 f(x)=2sin ω x(ω >0)在?0, ?上单调递增,且在这个区间上的最大值是 3,所以 2sin ω 4 4 ? ? π π 4 4 = 3,且 0< ω < ,因此 ω = .答案 4 2 3 3 6.给出下列命题:

?2 π ? ①函数 y=cos? x+ ?是奇函数; 2? ?3

3 ②存在实数 α ,使得 sin α +cos α = ; 2

5π ? π ? ③若 α 、 β 是第一象限角且 α <β , 则 tan α <tan β ; ④x= 是函数 y=sin?2x+ ?的一条对称轴; ⑤ 4 ? 8 ? π? ? ?π ? 函数 y=sin?2x+ ?的图象关于点? ,0?成中心对称图形. 3? ? ?12 ? 其中正确的序号为___________. 三、解答题 7.若函数 f(x)=sin ax-sin ax·cos ax (a>0)的图象与直线 y=m 相切,并且切点的横坐标依次成公差为 π 的等差数列. (1)求 m 的值; 2
2

? π? (2)若点 A(x0,y0)是 y=f(x)图象的对称中心,且 x0∈?0, ?,求点 A 的坐标. 2? ?
1 1 7.解 (1)f(x)= (1-cos 2ax)- sin 2ax 2 2 1 1 =- (sin 2ax+cos 2ax)+ 2 2 =- π? 1 2 ? sin?2ax+ ?+ . 4? 2 2 ?

∵y=f(x)的图象与 y=m 相切, ∴m 为 f(x)的最大值或最小值, 1+ 2 1- 2 即 m= 或 m= . 2 2 π π (2)∵切点的横坐标依次成公差为 的等差数列,∴f(x)的最小正周期为 . 2 2

T=

2π π = ,a>0,∴a=2, |2a| 2

- 13 -

即 f(x)=-

π? 1 2 ? sin?4x+ ?+ . 4? 2 2 ?

π? π kπ π ? 由题意知 sin?4x0+ ?=0,则 4x0+ =kπ (k∈Z),∴x0= - (k∈Z). 4? 4 4 16 ? 由 0≤



π π - ≤ (k∈Z)得 k=1 或 2, 4 16 2

因此点 A 的坐标为?

? 3 π ,1?,? 7 π ,1?. ? 2? 2? ?16 ? ?16 ?
三角函数的图象与性质练习四

一、选择题 1.函数 f(x)=2sin xcos x 是( A.最小正周期为 2 π 的奇函数 C.最小正周期为 π 的奇函数 ). B.最小正周期为 2 π 的偶函数 D.最小正周期为 π 的偶函数

解析 f(x)=2sin xcos x=sin 2x.∴f(x)是最小正周期为 π 的奇函数. 答案 C 2.函数 y=sin x+sin x-1 的值域为( A.[-1,1]
2

).

? 5 ? B.?- ,-1? ? 4 ?
2

? 5 ? C.?- ,1? ? 4 ?

5? ? D.?-1, ? 4? ?
2

解析 (数形结合法)y=sin x+sin x-1,令 sin x=t,则有 y=t +t-1,t∈[-1,1],画出函数图象如 1 图所示,从图象可以看出,当 t=- 及 t=1 时, 2

? 5 ? 2 函数取最值,代入 y=t +t-1 可得 y∈?- ,1?. ? 4 ?
答案 C

? π? ?π π ? 3.若函数 f(x)=sin ω x(ω >0)在区间?0, ?上单调递增,在区间? , ?上单调递减,则 ω =( 3? ? ?3 2?
A. 2 3 3 B. 2 C.2 D.3

).

解析 期 T= 答案

由题意知 f(x)的一条对称轴为 x= 4π 3 ,从而 ω = . 3 2 B

π ,和它相邻的一个对称中心为原点,则 f(x)的周 3

4.函数 f(x)=(1+ 3tan x)cos x 的最小正周期为(

).

- 14 -

A.2π

3π B. 2

C.π

π D. 2

? π? 解析 依题意,得 f(x)=cos x+ 3sin x=2sin?x+ ?.故最小正周期为 2π . 6? ?
答案 A

?π π ? 5.下列函数中,周期为 π ,且在? , ?上为减函数的是( ?4 2?
π? ? A.y=sin?2x+ ? 2? ?

). π? ? B.y=cos?2x+ ? 2? ?

? π? C.y=sin?x+ ? 2? ? 解析 答案

? π? D.y=cos?x+ ? 2? ?

?π π ? (筛选法)∵函数的周期为 π .∴排除 C、D,∵函数在? , ?上是减函数,∴排除 B. 2? ?4 A

【点评】 本题采用了筛选法,体现了筛选法的方便、快捷、准确性,在解选择题时应注意应 用. ? π? 6.已知函数 f(x)=sin?x- ?(x∈R),下面结论错误的是( 2? ?
A.函数 f(x)的最小正周期为 2π C.函数 f(x)的图象关于直线 x=0 对称 ).

? π? B.函数 f(x)在区间?0, ?上是增函数 2? ?
D.函数 f(x)是奇函数

解析

π? π? ? ? ∵y=sin?x- ?=-cos x,∴T=2π ,在?0, ?上是增函数,图象关于 y 轴对称, 2 2? ? ? ?

为偶函数. 答案 D

二、 填空题

7.y=-|sin(x+

π 3π π )|的单调增区间为___[kπ + ,kπ + ] (k∈Z)_____. 4 4 4

8.要得到 y ? 3 cos? 2 x ?

? ?

??

? ? 的图象,可以将函数 y = 3 sin2 x 的图象向左平移_ __单位. 8 4?

9. 若动直线 x ? a 与函数 f ( x) ? sin x 和 g ( x) ? cos x 的图像分别交于 M ,N 两点,则 MN 的最大值为 ____ 2 ____.

- 15 -

10 函数 f(x)=

sin x ? 1 ( 0 ? x ? 2? ) 的值域是_____[-1,0]___ __. 3 ? 2 cos x ? 2sin x
? ? ?? ? ?? ? ?? ?? ?? ? (? ? 0),f ? ? ? f ? ? ,且 f ( x) 在区间 ? , ? 有最小值,无最大值,则 3? ?6? ?3? ?6 3?

11.已知 f ( x) ? sin ? ? x ?

? =__________.

14 3

3 3? 5? 5? ) 上单调递增; ) 的图象的一条对称轴.其中正确命题的序号 间 [? , (3 ) x ? 是函数 y ? sin( 2 x ? 2 4 2
是 .

12、给出下面的 3 个命题: (1)函数 y ?| sin( 2 x ?

?

) | 的最小正周期是

? 3? ; (2)函数 y ? sin( x ? ) 在区 2 2

?π ? 13.若函数 f(x)=cos ω xcos? -ω x?(ω >0)的最小正周期为 π ,则 ω 的值为________. ?2 ? 解析 ∴ T=

f(x)=cos ω xcos? -ω x?=cos ω xsin ω x= sin 2ω x,
2π =π .∴ω =1. 2ω 答案 1

?π ?2

? ?

1 2

π? ? 14.函数 y=tan?2x+ ?的图象与 x 轴交点的坐标是______. 4? ?

解析

由 2x+

π kπ π =kπ ,k∈Z,得:x= - ,k∈Z, 4 2 8 答案 ?kπ π ? - ,0?(k∈Z) ? 8 ? 2 ?

?kπ π ? - ,0?(k∈Z). 故交点坐标为? 8 ? 2 ?

? ? π π ?? 15.已知函数 f(x)=sin(x+θ )+ 3cos(x+θ )?θ ∈?- , ??是偶函数,则 θ 的值为________. ? ? 2 2 ?? 解析 π? π ? (回顾检验法)据已知可得 f(x)=2sin?x+θ + ?,若函数为偶函数,则必有 θ + = 3 3 ? ? π 2 ? ? π 2 π? 2? π 3 π 2 π 6

kπ + (k∈Z),又由于 θ ∈?- , ?,故有 θ + = ,解得 θ = ,经代入检验符合
题意.答案
三、解答题 16.已知 f(x)=sin x+sin?

π 6

?π -x?. ? ?2 ?

1 (1)若 α ∈[0,π ],且 sin 2α = ,求 f(α )的值; 3

(2)若 x∈[0,π ],求 f(x)的单调递增区间. 解 (1)由题设知 f(α )=sin α +cos α .
- 16 -

1 ? π? ∵sin 2α = =2sin α ·cos α >0,α ∈[0,π ],∴α ∈?0, ?,sin α +cos α >0. 2? 3 ? 4 2 2 2 由(sin α +cos α ) =1+2sin α ·cos α = ,得 sin α +cos α = 3,∴f(α )= 3. 3 3 3

? π? ? π? (2)由(1)知 f(x)= 2sin?x+ ?,又 0≤x≤π ,∴f(x)的单调递增区间为?0, ?. 4? 4? ? ?
π 17.设函数 f(x)=sin(2x+φ )(-π <φ <0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线 x= . 8 (1)求 φ ; (2)求函数 y=f(x)的单调增区间. 解 π π π (1)令 2× +φ =kπ + ,k∈Z,∴φ =kπ + ,k∈Z, 8 2 4

5 1 3π 又-π <φ <0,则- <k<- ,k∈Z,∴k=-1,则 φ =- . 4 4 4 3π ? ? (2)由(1)得:f(x)=sin?2x- ?, 4 ? ? π 3π π π 5π 令- +2kπ ≤2x- ≤ +2kπ ,k∈Z,可解得 +kπ ≤x≤ +kπ ,k∈Z, 2 4 2 8 8 5π ?π ? 因此 y=f(x)的单调增区间为? +kπ , +kπ ?,k∈Z. 8 ?8 ?

?x ? ) ? 2 cos 2 ?1 . (1)求 f ( x ) 的最小正周期. 4 6 8 4 (2)若函数 y ? g ( x) 与 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? 1 对称,求当 x ? [0, ] 时 y ? g ( x) 的最大值. 3
18、设函数 f ( x) ? sin( 解: (Ⅰ) f ( x ) = sin

?x ?

?

4

x cos

?

6

? cos

?

4

x sin

?

6

? cos

?

4

x

=

3 ? 3 ? sin x ? cos x 2 4 2 4

= 3 sin(

?

x? ) 4 3

?

故 f ( x ) 的最小正周期为 T =

2? =8 ? 4

(Ⅱ)解法一: 在 y ? g ( x) 的图象上任取一点 ( x, g ( x)) ,它关于 x ? 1 的对称点 (2 ? x, g ( x)) . 由题设条件,点 (2 ? x, g ( x)) 在 y ? f ( x) 的图象上,从而

g ( x) ? f (2 ? x) ? 3 sin[ (2 ? x) ? ] 4 3
= 3 sin[

?

?

x ? ] = 3 cos( x ? ) 2 4 3 4 3 ? ? ? 2? 4 3 当 0 ? x ? 时, ? x ? ? ,因此 y ? g ( x) 在区间 [0, ] 上的最大值为 3 4 3 3 3 4 ?
- 17 -

?

?

?

?

?

? 3 gm a ? 3 c o s? x 3 2
解法二: 因区间 [0, ] 关于 x = 1 的对称区间为 [ , 2] ,且 y ? g ( x) 与 y ? f ( x) 的图象关于 x = 1 对称,故 y ? g ( x) 在 [0, ] 上的最大值为 y ? f ( x) 在 [ , 2] 上的最大值 由(Ⅰ)知 f ( x ) = 3 sin(

4 3

2 3

?

? 2 ? ? ? ? x ? ) 当 ? x ? 2 时, ? ? ? ? 4 3 3 6 4 3 6

4 3

2 3

因此 y ? g ( x) 在 [0, ] 上的最大值为 g max ? 3 sin

4 3

?
6

?

3 . 2
?π ?4 ? ?

x?R , ·b , cos 2 x) , 19、 设函数 f ( x) ? a 其中向量 a ? (m, 且 y ? f ( x) 的图象经过点 ? , b ? (1 ? sin 2 x, 1) , 2? .

(1)求实数 m 的值; (2)求函数 f ( x) 的最小值及此时 x 值的集合. (3)求函数的单调区间; (4)函数图象沿向量 c 平移得到 y ? 19、 (1) m ? 1 (2) x ? k? ?

2 sin 2x 的图象,求向量 c 。

3? (k ? Z)时, y min ? 1 ? 2 8

(3) (增区间: ?k? ? (4) c ? (

? ?

3? ?? ? 5? ? ? , k? ? ?, 减区间: k? ? , k? ? , (k ? Z )) ? 8 8? 8 8 ? ? ?

?
8

,?1)

20、设函数 f ? x ? ? sin ?? x ? ? ? ? ? ? 0, ? ① f ? x ? 的图象关于直线 x ? ? ③ f ? x ? 的图象关于点 ?

? ?

?
2

?? ?

??

? ,给出下列三个论断: 2?

?
6

对称; ② f ? x ? 的周期为 ? ;

?? ? , 0 ? 对称. ? 12 ?

以其中的两个论断为条件,余下的一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题,并对该命题加以 证明.
①? ①? ②? ? ? ③ 或 ? ? ② , ? ? ① 证明略 ②? ③? ③?

- 18 -


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