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2013年浦东新区一模考数学(文)


浦东新区 2012 学年度第一学期期末质量测试 高三数学试卷(文科)
注意:1. 答卷前,考生务必在答题纸上指定位置将学校、姓名、考号填写清楚. 2. 本试卷共有 23 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟.

一、填空题(本大题共有 14 题,满分 56 分)只要求直接填写结果,每个空格填对得 4 分, 否则一律得零分. 1.若集合 A

? ? 0, m ? , B ? ? 1, 2 ? , A ? B ? ? 1 ? ,则实数 m ?
? a 1 x ? b1 y ? c 1 ?a 2 x ? b2 y ? c 2

1

.

2.已知二元一次方程组 ?
?x ? 2 ? ?y ?1

的增广矩阵是 ? ?

?1 ?1

?1 1

1? ? ,则此方程组的解是 ? 3?

.

3.函数 y ?

log 2 ( x ? 2 ) 的定义域为

[ 3 , ?? )

.
1 16

4.已知 x , y ? R ,且 x ? 4 y ? 1 ,则 x ? y 的最大值为 5.函数 y ? 1 ?
x ( x ? 0 )的反函数是
??
2

. .

y ? (x ? 1 )( x ? 1 )

6.函数 f ( x ) ? 2 sin ?

? ?? ? ? x ? co s ? ? x ? 的最小正周期为 ? 4 ? ? 4 ?

?

.

7.等差数列 ? a n ? 中, a 6 ? a 7 ? a 8 ? 1 2 ,则该数列的前 1 3 项的和 S 1 3 ?

52

.

8. 已知数列 ? a n ? 是无穷等比数列, 其前 n 项和是 S n , a 2 ? a 3 ? 2 ,a 3 ? a 4 ? 1 , m S n 若 则 il
n? ?

的值为

16 3

.

?2x ? y ? 0 ? 9.已知实数 x , y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 5 ? 0 ,则 z ? x ? y 的最小值等于 ?y ?1 ?

?1

.

10.若一个圆锥的轴截面是边长为 4 c m 的等边三角形,则这个圆锥的侧面积为

8?

cm .

2

— 1 —

11.二项式 ? x ?
?

? 2

1

? ? x ?

n

的展开式前三项系数成等差数列,

则n ?

8

.

12.如图所示,已知一个空间几何体的三视图,则该几何体 的体积为
2? ? 2 3 3

.
??? ? ??? ?

13.非零向量 O A 与 O B ,对于任意的 t ? R , O A ? t O B 的 最小值的几何意义为 点 A 到直线 O B 的距离 .

??? ?

??? ?

主视图

左视图

1, 14. 2, 3, 4, 5 共有 5 ! 种排列 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , 其中满足 “对

俯视图

所有 k ? 1, 2, 3, 4, 5 都有 a k ? k ? 2 ” 的不同排列有 54

种.

二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分)每小题都给出四个选项,其中有且只有一个选项 是正确的,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.已知△ABC 两内角 A、B 的对边边长分别为 a、b,则“ A ? B ”是“ a cos A ? b cos B 的
( A ) 充分非必要条件 ( B ) 必要非充分条件 ( C ) 充要条件
1 2



( A )
( D ) 非充分非必要条件

16. 已知函数 f ( x ) ?
4

1
x

? 2

, 若函数 y ? f ( x ?
(B)
? 1 4

) ? n 为奇函数, 则实数 n 为

( B )

( A) ?

1 2

(C )

1 4

(D ) 0

x 3 x 3 3 x 17. x 1 , 2 , 3 , ? , 2 0 1 3 的方差为 3 , 3 x1 , x 2 , x 3 , ? , x 2 0 1 3 的方差为 若 则

( D )

( A) 3

(B) 9

( C ) 18

( D ) 27
???? ??? ? ??? ?

18. 定义域为 ? a , b ? 的函数 y ? f ( x ) 图象的两个端点为 A , B , 向量 O N ? ? O A ? (1 ? ? ) O B ,
M ( x , y ) 是 f ( x ) 图象上任意一点,其中 x ? ? a ? (1 ? ? ) b , ? ? ? 0,1 ? . 若不等式 M N

? k

恒成立,则称函数 f ( x ) 在 ? a , b ? 上满足“ k 范围线性近似”,其中最小的正实数 k 称为该函数 的线性近似阀值.下列定义在 ?1, 2 ? 上函数中,线性近似阀值最小的是 ( D )

— 2 —

( A) y ? x

2

(B) y ?

2 x

(C ) y ? s i n x 3

?

(D ) y ? x ?

1 x

三、解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须写出必要的步骤. 19. (本小题满分 12 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分) 如图,直三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 中, A B ? A C ? A A1 ? 2 , ? A B C ? 4 5 .
A1
?

(1)求直三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 的体积; (2)若 D 是 A C 的中点,求异面直线 B D 与 A1 C 所成的角. 解: (1) V ?
1 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 4 ;?????????????6 分
A D B1

c1

(2)设 M 是 A A1 的中点,连结 D M , B M ,? D M // A1C ,
? ? B D M 是异面直线 B D 与 A1 C 所成的角.???8 分
B

C

在 ? B D M 中, B D ? B M ?

5,

MD ?

2 ,

cos ? B D M ?

?

5

? ??
2

2

? ??
2

5

?

2

2?

2?

?

10 10

.?????????????10 分

5

即 ? B D M ? a rc c o s

10 10

.

? 异面直线 B D 与 A1 C 所成的角为 a rc c o s

10 10

.?????????????12 分

20. (本小题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 已知复数 z1 ? 2 sin ? ?
3i , z 2 ? 1 ? ( 2 co s ? ) i , ? ? ? 0, ? ? .

(1)若 z 1 ? z 2 ? R ,求角 ? ; 范围. 解: (1) z 1 ? z 2 ? ( 2 sin ? ?

(2)复数 z1 , z 2 对应的向量分别是 O Z 1 , O Z 2 ,其中 O 为坐标原点,求 O Z 1 ? O Z 2 的取值
3 i ) ?1 ? ( 2 cos ? ) i ? 3 ) i ? R ???????????2 分

???? ?

???? ?

???? ???? ? ?

= ( 2 sin ? ? 2 3 cos ? ) ? ( 2 sin 2? ?

— 3 —

? sin 2? ?

3 2

?????????????????????????4 分
?
3 2 3

又 ? 0 ? 2? ? 2 ? ,? 2? ?
? (2) OZ 1 ? ( 2 sin ? , OZ 1 ? OZ 3), OZ



? , ?? ?

?
6



?
3

???????6 分

2

? 1, 2 cos ? ) (

2

? 2 sin ? ? 2 3 cos ?
? 4 sin( ? ?

?
3

) ????????????????????10 分

??

?
3

?? ?

?
3

?

2? 3

,? ? 2 3 ? 4 sin( ? ?

?
3

)? 4

? OZ 1 ? OZ

2

? ? 2 3 , 4 ?????????????????????14 分

?

?

21. (本小题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 世博中学为了落实上海市教委推出的“阳光运动一小时”活动,计划在一块直角三角形 A B C 的空地上修建一个占地面积为 S 的矩形 A M P N 健身场地, 如图点 M 在 A C 上, N 在 点
A B 上,且 P 点在斜边 B C 上,已知 ? ACB ? 60 且 | AC |? 30 米, A M = x , x ? [10 , 20 ] .
?

(1)试用 x 表示 S ,并求 S 的取值范围; (2)设矩形 A M P N 健身场地每平方米的造价为
37 k S 12 k S

B

,再把矩形

A M P N 以外(阴影部分)铺上草坪,每平方米的造价为

( k 为正

N

P

常数) ,求总造价 T 关于 S 的函数 T ? f ( S ) ;试问如何选取 | AM | 的长 使总造价 T 最低(不要求求出最低造价). 解: (1)在 Rt ? PMC 中,显然 | MC |? 30 ? x , ? PCM ? 60 ,
? | PM |? | MC | ? tan ? PCM
? 3 ( 30 ? x ) ,??????????????2 分 3 x ( 30 ? x ) , x ? [1 0, 2 0 ] ????4 分
?

A

M

C

矩形 A M P N 的面积 S ? | PM | ? | MC |? 于是 200
3 ? S ? 225

3 为所求.??????????????????6 分

— 4 —

(2) 矩形 A M P N 健身场地造价 T1 ? 37 k 又 ? ABC 的面积为 450

S

???????????????7 分
12 k S
3 S

3 ,即草坪造价 T 2 ?

( 450

3 ? S ) ,?????8 分

由总造价 T ? T1 ? T 2 ,? T ? 25 k ( S ?

216

) , 200

3 ? S ? 225

3 .?10 分

?

S ?

216 S

3

? 12

6 3 ,????????????????????11 分

当且仅当 S ?

216 S

3

即 S ? 216

3 时等号成立,???????????12 分

此时 3 x ( 30 ? x ) ? 216

3 ,解得 x ? 12 或 x ? 18 ,

所以选取 | AM | 的长为 12 米或 18 米时总造价 T 最低.?????????14 分

22. (本小题满分 16 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分) 定义数列 { x n } ,如果存在常数 p ,使对任意正整数 n ,总有 ( x n ? 1 ? p )( x n ? p ) ? 0 成立, 那么我们称数列 { x n } 为“ p ? 摆动数列” . (1)设 a n ? 2 n ? 1 , b n ? ( ? 并说明理由; (2)设数列 { c n } 为“ p ? 摆动数列” c1 ? p ,求证:对任意正整数 m , n ? N ,总有 ,
*

1 2

) , n ? N ,判断 { a n } 、 { b n } 是否为“ p ? 摆动数列” ,
n

?

c 2 n ? c 2 m ? 1 成立;

(3)设数列 { d n } 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? ( ? 1) ? n ,试问:数列 { d n } 是否为“ p ? 摆
n

动数列” ,若是,求出 p 的取值范围;若不是,说明理由. 解: (1)假设数列 { a n } 是“ p ? 摆动数列” , 即存在常数 p ,总有 2 n ? 1 ? p ? 2 n ? 1 对任意 n 成立, 不妨取 n ? 1 时,则 1 ? p ? 3 ,取 n ? 2 时,则 3 ? p ? 5 ,显然常数 p 不存在, 所以数列 { a n } 不是“ p ? 摆动数列” ;????????????????2 分 而数列 { b n } 是“ p ? 摆动数列” p ? 0 . , 由 bn ? ( ?
1 2 ) ,于是 b n b n ? 1 ? ( ?
n

1 2

)

2 n ?1

? 0 对任意 n 成立,

所以数列 { b n } 是“ p ? 摆动数列”.?????????????????4 分 (2)由数列 { c n } 为“ p ? 摆动数列” c1 ? p , ,

— 5 —

即存在常数 p ,使对任意正整数 n ,总有 ( c n ? 1 ? p )( c n ? p ) ? 0 成立. 即有 ( c n ? 2 ? p )( c n ? 1 ? p ) ? 0 成立. 则 ( c n ? 2 ? p )( c n ? p ) ? 0 ,?????????????????????6 分 所以 c1 ? p ?? c 3 ? p ? ? ? c 2 m ? 1 ? p ,??????????????7 分 同理 ( c 2 ? p )( c1 ? p ) ? 0 ? c 2 ? p ? c 4 ? p ? ? ? c 2 n ? p ,??????8 分 所以 c 2 n ? p ? c 2 m ? 1 .????????????????????????9 分 因此对任意的 m , n ? N ,都有 c 2 n ? c 2 m ? 1 成立.????????????10 分
*

(3)当 n ? 1 时, d 1 ? ? 1 , 当 n ? 2 , n ? N 时, d n ? S n ? S n ? 1 ? ( ? 1) ( 2 n ? 1) ,
n
?

综上, d n ? ( ? 1) ( 2 n ? 1) ??????????????????????12 分
n

即存在 p ? 0 ,使对任意正整数 n ,总有 d n d n ?1 ? ( ? 1)

2 n ?1

( 2 n ? 1)( 2 n ? 1) ? 0 成立,

所以数列 { d n } 是“ p ? 摆动数列”;??????????????????14 分 当 n 为奇数时 d n ? ? 2 n ? 1 递减,所以 d n ? d 1 ? ? 1 ,只要 p ? ? 1 即可, 当 n 为偶数时 d n ? 2 n ? 1 递增, d n ? d 2 ? 3 ,只要 p ? 3 即可.??????15 分 综上 ? 1 ? p ? 3 . 所以数列 { d n } 是“ p ? 摆动数列” p 的取值范围是 ( ? 1, 3 ) .???????16 分 , 23. (本题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 4 分,第 3 小题满分 10 分)
1 ? 2x, 0? x? ? ? 2 设函数 T ( x ) ? ? 1 ? 2 (1 ? x ), ? x ?1 ? ? 2
2 (1)求函数 y ? T ( x ) 和 y ? ?T ( x ) ? 的解析式;

2

(2)是否存在实数 a ,使得 T ( x ) + a ? T ( x ? a ) 恒成立,若存在,求出 a 的值,若不存 在,请说明理由;
2
? (3)定义 T n ? 1 ( x ) ? T n (T ( x )) ,且 T1 ( x ) ? T ( x ) , ? n ? N ?

① 当x? ? 0, 时,求 y ? T 4 ( x ) 的解析式; 16 ? ? ? 已知下面正确的命题:
, 1 当x? ? 时 ( i ? N , ? i ? 1 5) ,都有 T 4 ( x ) ? T 4 ( ? x ) 恒成立. 8 16 ? ? 16 ? ? i ?1 i ?1 ?
?

?

1 ?

i

② 若方程 T 4 ( x ) ? k x 恰有 15 个不同的实数根,确定 k 的取值;并求这 15 个不同的实 数根的和.

— 6 —

? 2 ?2x ? 解: (1)函数 y ? T ( x 2 ) ? ? ? 2 ? 2 (1 ? x ) ?

? 2 2 ? x??, ? ? 2 2 ? ? ? ? ? 2? ? 2 x ? ? -1 , ,? 1 ??? 2 ? ? 2 ? ?

函数 y ? ? T ( x ) ?

2

? 2 ? 4x ? ? ? ? 4 (1 ? x ) 2 ? ?

1? ? x? 0, ? ? 2? ? ?1 ? x? ,1 ?2 ? ? ?

?????????????4 分

1 ? 2 2x ? a , 0? x? ? ? 2 2 (2) T ( x ) ? a ? ? , ? 2 (1 ? x ) ? a 2 , 1 ? x ? 1 ? ? 2
1 ? 2 x ? 2a, 0? x?a ? ? ? 2 ???????????????6 分 T (x ? a) ? ? 1 ? 2 (1 ? x ? a ), ? x?a ?1 ? ? 2

则当且仅当 a ? 2 a 且 a ? ? 2 a 时,即 a ? 0 .
2 2

综上可知当 a ? 0 时,有 T ( x ) ? a ? T ( x ? a ) ? T ( x ) 恒成立.?????8 分
2

(3)① 当 x ? ? 0 ,
?

?

1 ? ? 1 时,对于任意的正整数 j ? N , ? j ? 3 , ? 16 ?
2 3

都有 0 ? 2 x ?
j

1 2

,故有 y ? T 4 ( x ) ? T 3 ( 2 x ) ? T 2 ( 2 x ) ? T1 ( 2 x ) ? 1 6 x .??13 分
? 1 ?

② 由①可知当 x ? ? 0 , 时,有 T 4 ( x ) ? 1 6 x ,根据命题的结论可得, 16 ? ? ?
1 ? 1 2 ? ? 0 2 ? ? 0 1 ? ? 0 2 ? , ? , 当x? ? ? ? 1 6 1 6 ? 时, 8 ? x ? ? 1 6 , 1 6 ? ? ? 1 6 , 1 6 ? , ? 16 16 ? ? ? ? ? ? ?

故有 T 4 ( x ) ? T 4 ( ? x ) = 1 6 ( ? x ) ? ? 1 6 x ? 2 ,
8 8

1

1

, 0 因此同理归纳得到,当 x ? ? ? ( i ? N , ? i ? 1 5) 时, ? 16 16 ?
T 4 ( x ) ? ( ? 1) ( 2 x ? i ?
i 4

? i

i ?1 ?
4

1 2

)?

1

? 2 x ? i, i 是偶数 ? =? ???????15 分 2 ? ? 2 4 x ? i ? 1, i 是 奇 数 ?

— 7 —

? 2 i ? 1 ? ? ( ? 1) ? i i ?1 ? x? , 时, 解方程 T 4 ( x ) ? kx 得, x ? i ? 16 16 ? 3 2 ? ( ? 1) 2 k ? ?
要使方程 T 4 ( x ) ? kx 在 x ? ? 0 ,1 ? 上恰有 15 个不同的实数根, 则必须

i

? 2 ? 1 4 ? 1 ? ? ( ? 1)
3 2 ? ( ? 1) 2 k
14

14

?

? 2 ? 1 5 ? 1 ? ? ( ? 1)
3 2 ? ( ? 1) 2 k
15
n
?

15

解得 k ?

16 15

方程的根 x n ?

? 2 n ? 1 ? ? ( ? 1)
3 2 ? ( ? 1) 2 k
n

( n ? N , ? n ? 1 5) ?????????17 分 1

这 15 个不同的实数根的和为:
S ? x1 ? x 2 ? ? ? x1 4 ? x 1 5

?

0+ 2+4+6+8+10+12+14 1616 15

+

2+4+6+8+10+12+14 16+ 16 15

?

225 32

.????18 分

— 8 —


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