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海门中学2011—2012学年度第二学期期中测试卷高二文科数学


江苏省海门中学 2011~2012 学年第二学期期中考试试卷

高二数学(文科)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。请把答案填写在答题卡相应的位置上. ......... 1、复数 z ? (3 ? 2i) ? 7i ,其中 i 是虚数单位,则复数 z 的虚部是 2、函数 f ( x) ? 2 x ? 1 在 ?0,5? 上的平均变化率为 3、用反证法证明命题:若整系数一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)有有理数根, 那么 a、b、c 中至少有一个是偶数时,下列假设中正确的序号是 . ① 假设 a、b、c 都是偶数; ② 假设 a、b、c 至多有一个偶数; ③ 假设 a、b、c 都不是偶数; ④ 假设 a、b、c 至多有两个偶数。 4、由下列命题构成的“ p或q ”“ p且q ”“ 非p ”三种形式的命题中, 、 、 正确的命题个数有 个。 P:方程x2 ? x ? 2 ? 0的解是x ? ?2 ; q:方程x2 ? x ? 2 ? 0的解是x ? 1 5、下列命题正确的是 (写出所有的序号) (1) ?x ? R, 2x2 ? 3x ? 4 ? 0 ; (3) ?x ? N , 使x2 ? x ; 6、已知数列 ?Sn ? 满足 S1 ? 1, Sn ?1 ? (2) ?x ??1 0,1 ,2x ?1 ? 0 ; ,? ? (4) ?x ? N *, 使x为29的约数 。
2

Sn (n ? N *) , Sn ? 1

试归纳出这个数列的一个通项公式 7、从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”和“既不充分又不必要条件”中,选出 、 、 适当的一种填空。 “M ? N” 是“ log2 M ? log2 N ”的 8、函数 f ( x) ?

1 x ? sin x, x ? ? 0, ? ? 的最大值为 2
时,

9、某种圆柱形饮料罐的容积一定,它的高 h 一定,它的底面半径= 才能使它的用料最省。 逆否命题 ;③“若 x ? ?3 ,则 x ? x ? 6 ? 0 ”的否命题。 其中真命题的序号是 . (写出所有的序号) 11、函数 f ( x) ? ln x ? ax(a ? 0) 的单调递增区间为
2

2 2 10、有下列三个命题:①“若 ab ? 1 ,则 a 、 b 互为倒数”的逆命题;②“若 a ? b ,则 a ? b ”的



12、 已知 f ( x), g ( x) 满足 f (5) ? 5, f ?(5) ? 3, g (5) ? 4, g ?(5) ? 1 , 则函数 y ?

f ( x) ? 2 的图像在 x ? 5 g ( x)

处的切线方程的一般式为 13、由“直角三角形两直角边的长分别为 a , b ,将其补成一个矩形,则根据矩形的对角线可求得该直 角三角形外接圆的半径 r ?

a 2 ? b2 ” 。对于“若三棱锥三条侧棱两两互相垂直,侧棱长分别为 2 a, b, c ” ,类比上述的处理方法,可得三棱锥的外接球半径 R ?

14、定义在 ?1, ?? ? 上的函数 f ( x ) 满足:

f (2 x) ? kf ( x),(k 为正常数) ② 当 2 ? x ? 4 时, f ( x) ? 1? | x ? 3| 。 ; 若函数 f ( x ) 的所有极大植点均在同一条直线上,则 k =


二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、 证明或演算步骤. 15、 本小题满分 14 分) ( 若函数 f ( x) ? x 3 ? px2 ? (m ? 1) x ? 2m 2 ? m ? 1在区间 (?2,0) 内单调递减, 且在区间 (??,?2) 及 (0,??) 内单调递增,求实数 p 、 m 的值。

2 16、 (本小题满分 14 分)已知命题 p :方程 x ? mx ? 1 ? 0 有两个不相等的实负根,命题 q :方程

4x2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根;若 p 或 q 为真, p 且 q 为假,求实数 m 的取值范围.

17、 (本小题满分 14 分)设 0 ? x、y、z ? 1 .求证: (1 ? x) y,(1 ? y) z,(1 ? z ) x 不可能同时大于

1 4

18、 (本小题满分 16 分)强度分别为 8,1 的两个光源 A、B 间的距离为 3 ,试问:在连接两光源的线 段 AB 上,距光源 A 为多少的点 P 处照度最小? (注:照度与光的强度成正比,与光源距离的平方成反比) A P B

19、 (本小题满分 16 分)设 ?ABC 中,3 个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 A, B, C 成等差 数列,且 a, b, c 成等比数列。试判断 ?ABC 的形状。

20、 (本小题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? mx ? mx ?
2

m ? 2, g ( x) ? x 2 ? 2mx ? m, m ? R 。 4 求“对 ?x1、x2 ??01?,都有 f ( x1 ) ? 4m ? x2 g ( x2 ) ”的充要条件。 ,

江苏省海门中学 2011~2012 学年第二学期期中考试试卷

高二数学(文科)答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。请把答案填写在答题卡相应的位置上. ......... 1、复数 z ? (3 ? 2i) ? 7i ,其中 i 是虚数单位,则复数 z 的虚部是 ?5 2、函数 f ( x) ? 2 x ? 1 在 ?0,5? 上的平均变化率为
2

2

3、用反证法证明命题:若整系数一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)有有理数根, 那么 a、b、c 中至少有一个是偶数时,下列假设中正确的序号是 ③ . ① 假设 a、b、c 都是偶数; ② 假设 a、b、c 至多有一个偶数;

③ 假设 a、b、c 都不是偶数; ④ 假设 a、b、c 至多有两个偶数。 4、由下列命题构成的“ p或q ”“ p且q ”“ 非p ”三种形式的命题中, 、 、 正确的命题个数有 1 个。 P:方程x2 ? x ? 2 ? 0的解是x ? ?2 ; q:方程x2 ? x ? 2 ? 0的解是x ? 1 5、下列命题正确的是 (1)(3)(4) 、 、 (写出所有的序号) (1) ?x ? R, 2x2 ? 3x ? 4 ? 0 ; (3) ?x ? N , 使x2 ? x ; 6、已知数列 ?Sn ? 满足 S1 ? 1, Sn ?1 ? (2) ?x ??1 0,1 ,2x ?1 ? 0 ; ,? ? (4) ?x ? N *, 使x为29的约数 。

Sn (n ? N *) , Sn ? 1 1 试归纳出这个数列的一个通项公式 S n ? n

7、从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”和“既不充分又不必要条件”中,选出 、 、 适当的一种填空。 “M ? N” 是“ log2 M ? log2 N ”的必要不充分条件 8、函数 f ( x) ?

1 ? 3 x ? sin x, x ? ? 0, ? ? 的最大值为 ? 2 3 2

9、某种圆柱形饮料罐的容积一定,它的高 h 一定,它的底面半径= 才能使它的用料最省。

h 时, 2

2 2 10、有下列三个命题:①“若 ab ? 1 ,则 a 、 b 互为倒数”的逆命题;②“若 a ? b ,则 a ? b ”的

逆否命题 ;③“若 x ? ?3 ,则 x ? x ? 6 ? 0 ”的否命题。 其中真命题的序号是 ① . (写出所有的序号)
2

11、函数 f ( x) ? ln x ? ax(a ? 0) 的单调递增区间为 ? 0,

? ?

1? ?。 a?
f ( x) ? 2 的图像在 x ? 5 g ( x)

12、 已知 f ( x), g ( x) 满足 f (5) ? 5, f ?(5) ? 3, g (5) ? 4, g ?(5) ? 1 , 则函数 y ? 处的切线方程的一般式为 5 x ? 16 y ? 3 ? 0

13、由“直角三角形两直角边的长分别为 a , b ,将其补成一个矩形,则根据矩形的对角线可求得该直

a 2 ? b2 ” 。对于“若三棱锥三条侧棱两两互相垂直,侧棱长分别为 2 a 2 ? b2 ? c 2 a, b, c ” ,类比上述的处理方法,可得三棱锥的外接球半径 R ? 2 14、定义在 ?1, ?? ? 上的函数 f ( x ) 满足: ① f (2 x) ? kf ( x),(k 为正常数) ② 当 2 ? x ? 4 时, f ( x) ? 1? | x ? 3| 。 ; 若函数 f ( x ) 的所有极大植点均在同一条直线上,则 k = 1或2
角三角形外接圆的半径 r ? 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、 证明或演算步骤. 15、 若函数 f ( x) ? x ? px ? (m ? 1) x ? 2m ? m ? 1在区间 (?2,0) 内单调递减, 且在区间 (??,?2)
3 2 2

及 (0,??) 内单调递增,求实数 p 、 m 的值。

解:由 f ( x) ? x 3 ? px2 ? (m ? 1) x ? 2m 2 ? m ? 1,得 f ?( x) ? 3x2 ? 2 px ? m ? 1 -----3 分 因为 f ( x ) 在区间 (?2,0) 内单调递减,且在区间 (??,?2) 及 (0,??) 内单调递增, 所以 f ?( x) ? 3x 2 ? 2 px ? m ?1 ? 0 的两个根是 ?2, 0 -------------------------------------8 分 所以 ?

?m ? 1 ? 0 ? p ? ?3 -------------------------------------------------------14 分 ?? ?12 ? 4 p ? m ?1 ? 0 ?m ? 1
2

16、已知命题 p :方程 x ? mx ? 1 ? 0 有两个不相等的实负根,命题 q :方程 4 x2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根;若 p 或 q 为真, p 且 q 为假,求实数 m 的取值范围. 解:由命题 p 可以得到: ? ∴ m ? 2 -----------------3 分 ?m ? 0 由命题 q 可以得到: ? ? [4(m ? 2)]2 ? 16 ? 0 ∴ ?2 ? m ? 6 ---------6 分 ∵ p 或 q 为真, p 且 q 为假 当 p 为真, q 为假时, ? ∴ p, q 有且仅有一个为真

?? ? m 2 ? 4 ? 0

?m ? 2 ? m ? 6 -----------------9 分 ?m ? ?2, orm ? 6 ?m ? 2 当 p 为假, q 为真时, ? ? ?2 ? m ? 2 --------------12 分 ??2 ? m ? 6 所以, m 的取值范围为 {m | m ? 6 或 ?2 ? m ? 2} .---------------14 分
17、设 0 ? x、y、z ? 1 .求证: (1 ? x) y,(1 ? y) z,(1 ? z ) x 不可能同时大于 解: 反证法:设 (1 ? x) y,(1 ? y) z,(1 ? z ) x 同时大于 即 (1 ? x) y ?

1 4

1 ---------------------------2 分 4

1 1 1 , (1 ? y ) z ? , (1 ? z ) x ? , 4 4 4 1 所以 (1 ? x) y (1 ? y ) z (1 ? z ) x ? 64 1 即 (1 ? x) x(1 ? y ) y (1 ? z ) z ? ①--------------------------------------------------5 分 64 因为 0 ? x、y、z ? 1 ,所以 0 ? 1 ? x,1 ? y,1 ? z ? 1 1? x ? x 2 1 1 ) ? ,当且仅当, x ? 时取等号。----------------------8 分 因为 0 ? (1 ? x) x ? ( 2 4 2 1 1 同理: 0 ? (1 ? y ) y ? ; 0 ? (1 ? z ) z ? ------------------------------------------------------10 分 4 4 1 所以 (1 ? x) x(1 ? y ) y (1 ? z ) z ? ②----------------------------------12 分 64 1 ①、②矛盾,所以 (1 ? x) y,(1 ? y) z,(1 ? z ) x 不可能同时大于 ------------------14 分 4
18、强度分别为 8,1 的两个光源 A、B 间的距离为 3 ,试问:在连接两光源的线段 AB 上,距光源 A 为多少的点 P 处照度最小?

(注:照度与光的强度成正比,与光源距离的平方成反比) A P B

解:设点 P 在线段 AB 上,且 P 距光源 A 为 x ,P 距光源 B 为 3 ? x(0 ? x ? 3) --------1 分

8k k ,P 点受 B 光源的照度为 ,其中 k 为比例常数。 2 x (3 ? x) 2 8k k 从而,P 点处的总照度为: I ( x) ? 2 ? (0 ? x ? 3) --------------------------6 分 x (3 ? x) 2
P 点受 A 光源的照度为

16k 2k 18k ( x ? 2)( x 2 ? 6 x ? 12) ? ? ?0 x3 (3 ? x)3 x3 (3 ? x)3 解得: x ? 2 ,-----------------------------------------------------------------------------------9 分 当 0 ? x ? 2 时, I ?( x) ? 0 ;当 2 ? x ? 3 时, I ?( x) ? 0 ;-------------------------12 分 因此, x ? 2 时 I ( x) 取得极小值,且是最小值。--------------------------------------14 分
由 I ?( x) ? ? 答:在连接两光源的线段 AB 上,距光源 A 为 2 处的照度最小。-----------------16 分 19、设 ?ABC 中,3 个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 A, B, C 成等差数列,且 a, b, c 成等 比数列。试判断 ?ABC 的形状。 解:因为 A, B, C 成等差数列,且 a, b, c 成等比数列,

? ? ?B ? 3 ?2 B ? A ? C ? 3 ? 2 ? ? ?sin A sin C ? ----------------------------------------4 分 所以 ?b ? ac 4 ?A ? B ?C ? ? ? ? 2? ? ?A ? C ? 3 ? 2? 3 2? 2? 3 ? A) ? ,即 sin A(sin cos A ? cos sin A) ? , 所以 sin A sin( 3 4 3 3 4 ? 2 ?) ---------------------------------------------------------------10 分 1 即 s i n (A ? 6 2? ? ? 7? ?0 ? A ? ,?? ? 2 A ? ? 3 6 6 6 ? ? ? ? ? 2 A ? ? , ? A ? ,? B ? --------------------------------------------13 分 6 2 3 3 ? 所以 A ? B ? C ? ------------------------------------------------------------15 分 3 所以 ?ABC 是正三角形。------------------------------------------------------16 分
方法二、因为 A, B, C 成等差数列,且 a, b, c 成等比数列,

?2 B ? A ? C ? ? ? 2 ?B ? ?? 所以 ?b ? ac 3 -----------------------------------------4 分 ?A ? B ? C ? ? ?b 2 ? ac ? ?

又 b ? a ? c ? 2ac cos
2 2 2

所以 所以 所以

? a 2 ? c 2 ? ac -------------------------------8 分 3 2 2 a c? a ? c ? a c ( a ) 2c ? ? a-----------------------13 分 ? ? 0 ? c a ? b ? c ------------------------------------------------------------------15 分 ?ABC 是正三角形。---------------------------------------------------16 分
2

?

20、已知函数 f ( x) ? mx ? mx ?

m ? 2, g ( x) ? x 2 ? 2mx ? m, m ? R 。 4 求“对 ?x1、x2 ??01?,都有 f ( x1 ) ? 4m ? x2 g ( x2 ) ”的充要条件; ,

解: (1)若对 ?x1、x2 ??01?,都有 f ( x1 ) ? 4m ? ,

x2 g ( x2 ) ,

1 2 即 2 ? 4m ? 1 ? 3m,? m ? ?1。-----------------------------------------------------6 分 若 m ? ?1 ,则函数 f ( x ) 的图像开口向下, 点(1,0)在函数 g ( x) 的图像的对称轴 x ? ?m 的左侧。 1 ? f ( x) ? m( x ? ) 2 ? 2,?? f ( x) ? 4m ?max ? 2 ? 4m -------------------------9 分 2 ? g ( x) 的图像开口向上,? g ( x) 在 ?0,1? 上是减函数, ? g (1) ? g ( x) ? g (0) ? m ? 0
则 f ( ) ? 4m ? 1g (1) ,-------------------------------------------- --------------3 分

? y ? x 在 ?0,1? 上是增函数

?[ xg ( x)]min ? 1g (1) ? 1 ? 3m ,----------------------------------------------12 分
, ? 对 ?x1、x2 ??01?,都有 f ( x1 ) ? 4m ? x2 g ( x2 ) 。 故所求充要条件为 m ? ?1 。--------------------------------------------------------16 分 ?[ f ( x) ? 4m]max ? 2 ? 4m ? 1 ? 3m ? [ xg( x)]min ---------------------------15 分


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