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二次函数与一元二次方程经典教学案+典型例题


二次函数与一元二次方程教学案
二次函数与一元二次方程之间的联系 1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与 x 轴交点情况) : 一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 是二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 当函数值 y ? 0 时的特 殊情况. 图象与 x 轴的交点个数:
0? , B ? x2 , 0 ? ( x1 ? x2 ) ,其 ① 当 ? ? b2 ? 4ac ? 0 时,图象与 x 轴交于两点 A? x1 ,

中的 x1 ,x2 是一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? 的两根.这两点间的距离
AB ? x2 ? x1 ? b2 ? 4ac . a

② 当 ? ? 0 时,图象与 x 轴只有一个交点; ③ 当 ? ? 0 时,图象与 x 轴没有交点.
1' 当 a ? 0 时,图象落在 x 轴的上方,无论 x 为任何实数,都有 y ? 0 ;
2 ' 当 a ? 0 时,图象落在 x 轴的下方,无论 x 为任何实数,都有 y ? 0 .

2. 抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 的图象与 y 轴一定相交,交点坐标为 (0 , c) ; 3. 二次函数常用解题方法总结: ⑴ 一 元 二 次 方 程 ax2 ? bx ? c ? 0 的 实 数 根 就 是 对 应 的 二 次 函 数

y ? ax2 ? bx ? c 与 x 轴交点的

.

⑵二次函数与一元二次方程的关系如下: (一元二次方程的实数根记为 x1、x2 ) 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c
y



一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0
b 2 ? 4ac

( , )
O

( , )
x

与 x 轴有

个交点

?

0, 方程有 .

的实

数根是

y

(
O

,

)
x

与 x 轴有 这个交点是

个交点 点

?

b 2 ? 4ac

0, 方程有 .

的实

数根是

y
O

x

与 x 轴有

个交点

?

b 2 ? 4ac

0,方程

实数根.

⑶二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 与 y 轴交点坐标是 经典例题讲解 【例 1】 已知:关于 x 的方程 mx2 ? 3(m ? 1) x ? 2m ? 3 ? 0 . ⑴ 求证: m 取任何实数时,方程总有实数根;

.

⑵ 若二次函数 y1 ? mx2 ? 3(m ? 1) x ? 2m ? 1 的图象关于 y 轴对称. ① 求二次函数 y1 的解析式; ② 已知一次函数 y2 ? 2 x ? 2 ,证明:在实数范围内,对于 x 的同一个值,这两 个函数所对应的函数值 y1 ≥ y2 均成立; ⑶ 在⑵ 条件下,若二次函数 y3 ? ax2 ? bx ? c 的图象经过点 (?5 ,0) ,且在实数范 围内,对于 x 的同一个值,这三个函数所对应的函数值 y1 ≥ y3 ≥ y2 ,均成立,求 二次函数 y3 ? ax2 ? bx ? c 的解析式.

【例 2】关于 x 的一元二次方程 (m2 ? 1) x2 ? 2(m ? 2) x ? 1 ? 0 . (1)当 m 为何值时,方程有两个不相等的实数根;
? 1? 是抛物线 y ? (m2 ? 1) x2 ? 2(m ? 2) x ? 1 上的点,求抛物线的解析式; (2)点 A ? ?1,

(3)在(2)的条件下,若点 B 与点 A 关于抛物线的对称轴对称,是否存在与抛 物线只交于点 B 的直线,若存在,请求出直线的解析式;若不存在,请说明理由.

【例 3】已知 P( ?3, m )和 Q(1, m )是抛物线 y ? 2 x2 ? bx ? 1 上的两点. (1)求 b 的值; (2)判断关于 x 的一元二次方程 2 x2 ? bx ? 1 =0 是否有实数根,若有,求出 它的实数根;若没有,请说明理由; (3)将抛物线 y ? 2 x2 ? bx ? 1 的图象向上平移 k ( k 是正整数)个单位,使 平移后的图象与 x 轴无交点,求 k 的最小值.

【例 4】已知关于 x 的一元二次方程 2 x2 ? 4 x ? k ? 1 ? 0 有实数根, k 为正整数. (1)求 k 的值; (2)当此方程有两个非零的整数根时,将关于 x 的二次函数

y ? 2 x2 ? 4 x ? k ?1 的图象向下平移 8 个单位,求平移后的图象的解析式;
(3)在(2)的条件下,将平移后的二次函数的图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻 折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回

练习
一、选择题 1.下列哪一个函数,其图形与 x 轴有两个交点? ( 2 2 A. y=17(x?83) ?2274 B. y=17(x?83) ?2274 2 2 C. y= ?17(x?83) ?2274 D. y= ?17(x?83) ?2274 2.已知二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的 y 与 x 的部分对应值如下表: )

x
y
则下列判断中正确的是( A.抛物线开口向上 C.当 x =4 时, y >0

? ?

?1

0 1

1 3

3 1

? ?

?3

) B.抛物线与 y 轴交于负半轴 D.方程 ax ? bx ? c ? 0 的正根在 3 与 4 之间
2

3. 某公园草坪的防护栏是由 100 段形状相同的抛物线组成的.为了牢固起见,每段护 栏需要间距 0.4m 加设一根不锈钢的支柱,防护栏的最高点距底部 0.5m(如图) , 则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为( ) A.50m B.100m C.160m D.200m

4. 向空中发射一枚炮弹,经 x 秒后的高度为 y 米,且时间与高度的关系为 y=ax2?bx+c(a ≠0) .若此炮弹在第 7 秒与第 14 秒时的高度相等,则在下列时间中炮弹所在高度最高 的是( ) A.第 8 秒 B.第 10 秒 C.第 12 秒 D.第 15 秒 5.一小球被抛出后,距离地面的高度 h(米)和飞行时间 t(秒)满足下列函数关系式:
2 h ? ?( 5 t ?1 ) ? 6 ,则小球距离地面的最大高度是( )

A.1 米

B.5 米

C.6 米

D.7 米

2 6. 已知抛物线 y ? 5x ? (m ? 1) x ? m 与 x 轴两交点在 y 轴同侧,它们的距离的平方等于

49 ,则 m 的值为( 25



]

A、-2 B、12 C、24 D、-2 或 24 7. 如图, 从地面竖立向上抛出一个小球, 小球的高度 h (单位:m ) 与 小球运动时间 t(单 位: s )之间的关系式为 h ? 30t ? 5t ,那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是: ( ) (A)6s (B)4s (C)3s (D)2s
2

(第 3 题)

(第 7 题)

(第 8 题)

8. 某广场有一喷水池,水从地面喷出,如图,以水平地面为 x 轴,出水点为原点,建 立平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线 y=-x2+4(单位:米)的一部分,则 水喷出的最大高度是( )

A.4 米

B.3 米

C.2 米

D.1 米

9.如图,点 C、D 是以线段 AB 为公共弦的两条圆弧的中点,AB=4,点 E、F 分别是线段 CD, AB 上的动点,设 AF=x,AE2-FE2=y,则能表示 y 与 x 的函数关系的图象是( ) C E D A F (第 9 题) y 4 4 B A D B F P (第 9 题分析图) y 4 4 y C E

y

O A.

4 x

O B.

4 x

O C.

4 x

O D.

4 x

10.如图,等腰Rt△ABC(∠ACB=90?)的直角边与正方形DEFG的边长均为2,且AC与DE在同 一直线上,开始时点C与点D重合,让△ABC沿这条直线向右平移,直到点A与点E重合为 止. 设CD的长为 x ,△ABC与正方形DEFG重合部分 (图中阴影部分) 的面积为 y , 则y与

x 之间的函数关系的图象大致是(



二.填一填 11、将一条长为 20cm 的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形, 2 则这两个正方形面积之和的最小值是 cm . 12. 9. 某种火箭被竖直向上发射 时,它的高 度 h(m) 与时 间 t(s) 的关系可以用公 式 h=-5t2+150t+10 表示.经过___ ___s,火箭达到它的最高点.

0) 、( x1, 13.已知二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象与 x 轴交于点 (?2, 0) ,且1 ? x1 ? 2 ,与 y 2) 的 下 方 . 下 列 结 论 : ① 4a ? 2b ? c ? 0 ; ② a ? b ? 0 ; ③ 轴 的 正 半 轴 的 交 点 在 (0,
2a ? c ? 0 ;④ 2a ? b ? 1 ? 0 .其中正确结论的个数是 个. 14. 出售某种手工艺品,若每个获利 x 元,一天可售出(8-x)个,则当 x=______ 元时,一天出售该种手工艺品的总利润 y 最大.
15. 小颖同学想用“描点法”画二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象,取自变量 x 的 5 个值,分别计算出对应的 y 值,如下表:

x
y

? ?

?2
11

?1
2

0

1 2

2 5

? ?

由于粗心, 小颖算错了其中的一个 y 值, 请你指出这个算错的 y 值所对应的 x ? 16.小汽车刹车距离 s (m)与速度 v (km/h)之间的函数关系式为 s ?

?1



1 2 v ,一辆小汽车 100

速度为 100km/h,在前方 80m 处停放一辆故障车,此时刹车 有危险(填“会”或 “不会”). 17. 如图,小明的父亲在相距 2 米的两棵树间拴了一根绳子,给小明做了一个简易的秋千. 拴绳子的地方距地面高都是 2.5 米, 绳子自然下垂呈抛物线状, 身高 1 米的小明距较近的那 棵树 0.5 米时,头部刚好接触到绳子,则绳子的最低点距地面的距离为 米.

(第 17 题)

(第 18 题)

? 18.如图,在 ?ABC 中, ?B ? 90 , AB ? 12mm , BC ? 24mm ,动点 P 从点 A 开始沿

边 AB 向 B 以 2mm / s 的速度移动(不与点 B 重合) ,动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向 C 以

4mm / s 的速度移动(不与点 C 重合) .如果 P 、 Q 分别从 A 、 B 同时出发,那么
经过__________秒,四边形 APQC 的面积最小.

三、解答题 19. 某商品现在的售价为每件 35 元. 每天可卖出 50 件. 市场调查反映: 如果调整价格. 每 降价 1 元,每天可多卖出 2 件.请你帮助分析,当每件商品降价多少元时,可使每天的 销售额最大,最大销售额是多少?

20. 已知:如图在 Rt△ABC 中,斜边 AB=5 厘米,BC= a 厘米,AC=b 厘米, a >b,且 a 、 b 是方程 x2 ? (m ?1) x ? m ? 4 ? 0 的两根。 A A'
⑴ 求 a 和 b 的值; ⑵ ?A?B ?C ? 与 ?ABC 开始时完全重合, 然后让 ?ABC 固定不 动,将 ?A?B ?C ? 以 1 厘米/秒的速度沿 BC 所在的直线向左移动。

M B' B C' C

① 设 x 秒后 ?A?B ?C ? 与 ?ABC 的重叠部分的面积为 y 平方厘米, 求 y 与 x 之间的函数 关系式,并写出 x 的取值范围; ② 几秒后重叠部分的面积等于

3 平方厘米? 8

21. 某中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园.其中一边靠墙,另外三边用长 为 30 米的篱笆围成.已知墙长为 18 米(如图所示) ,设这个苗圃园垂直于墙的一边的 长为 x 米. (1)若平行于墙的一边的长为 y 米,直接写出 y 与 x 之间的函数关系式及其自变量 x 的取值范围; (2)垂直于墙的一边的长为多少米时,这个苗圃园的面积最大,并求出这个最大值; (3)当这个苗圃园的面积不小于 88 平方米时,试结合函数图像,直接写出 x 的取值范 围.


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