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【优化方案】2014届高考数学2.5 二次函数 随堂检测(含答案解析)


已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c. (1)若 a>b>c,且 f(1)=0,证明 f(x)的图象与 x 轴有两个交点; (2)在(1)的条件下,是否存在 m∈R,使当 f(m)=-a 成立时,f(m+3)为正数,若存在, 证明你的结论,若不存在,说明理由; 1 (3)若对 x1,x2∈R,且 x1<x2,f(x1)≠f(x2),方程 f(x)= [f(x1)+f(x2)]有两个不等实根,证 2 明必有一实根属于(x1,x2). 解:(1)证明:由 f(1)=0,得 a+b+c=0, 又 a>b>c,∴a>0,c<0,∴Δ=b2-4ac>0, ∴f(x)的图象与 x 轴有两个交点. (2)由 a>0,f(m)=-a<0, 设方程 ax2+bx+c=0 的两根为 x1,x2. c 则 x1=1,x2= ,且 x2<x1, a c ∴若存在 m,且 <m<1, a c ∴|x1-x2|=|1- |. a 又 b=-(a+c)<a, c ∴ >-2,b=-(a+c)>c, a c 1 c 1 ∴ <- ,∴-2< <- , a 2 a 2 c ∴|x1-x2|=|1- |<3,m+3>1. a 故 f(m+3)>0,即存在这样的 m 满足条件 f(m)=-a 成立时,f(m+3)为正数 . 1 (3)证明:设 g(x)=f(x)- [f(x1)+f(x2)],则 2 1 1 g(x1)=f(x1)- [f(x1)+f(x2)]= [f(x1)-f(x2)], 2 2 1 g(x2)=f(x2)- [f(x1)+f(x2)] 2 1 =- [f(x1)-f(x2)]. 2 1 ∴g(x1)· 2)=- [f(x1)-f(x2)]2<0. g(x 4 故必有一根 x0∈(x1,x2),使 g(x0)=0.


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