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高二数学独立重复试验(章承国)


高二数学独立重复试验
教学目标:⑴理解独立重复试验的概念,明确它的实际意义; ⑵ n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率计算公式; ⑶了解概率计算公式与二项式定理的内在联系
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k

教学重点: n 次独立重复试验中某事件恰好发生 次的概率计算公式
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教学难点:独立重复试验的判定 教学过程: 一、创设情境,引出课题: 问题: (1)在投掷一枚硬币一次时,正面向上的概率为p,那么反面向上的概率是多少?(1-p) (2)在投掷一枚硬币两次时,第一次反面向上的概率是多少?第二次反面向上的概率又是多少?(都是 1-p) (3)投掷一枚硬币 n 次时,第 k 次反面向上的概率会是多少?(1≤k≤n,k∈N ) (4)在投掷一枚硬币 n 次时,第 m 次出现正面向上,对第 k 次出现反面向上的概率有没有影响?(没有) (5)在投掷一枚硬币 n 次时,其中任何两次之间出现正面或反面的事件是相互独立的还是互斥的? 二、独立重复试验: 1 什么是独立重复试验?如何判定? (1)定义:指在同样条件下进行的,各次之间相互独立的一种试验 (2)练习:判断下列试验是不是独立重复试验,为什么? a 依次投掷四枚质地不同的硬币。 (不是) b 某人射击,击中目标的概率是稳定的;他连续射击了十次。 (是) c 口袋中装有 5 个白球、3 个红球、2 个黑球,依次从中抽取 5 个球。 (不是) (3)评议:a是试验的条件不同。c是试验的结果有三种。然后归纳出独立重复试验的基本特征: (A)每次试验是在同样条件下进行。 (B)各次试验中的事件是相互独立的。 (C)每次试验都只有两种结果、即某事件要么发生要么不发生。 2.如何推导独立重复试验的概率公式?它与二项式定理有什么关系? (1)问题: a 某射手射击一次时,击中目标的概率为 р ,他连续射击 4 次。是不是独立重复试验?(是) 3 b 射击 4 次时,恰好第一枪未击中的概率是多少? P(1)=(1-p)·p·p·p=(1-p)p c 问射击 4 次时,恰好第二枪未击中的概率是多少?恰好第三枪未击中的概率是多少?恰好第四枪未击中的概率 3 是多少?P(2)=p(3)=p(4)=(1-p) p d 某射手射击 4 次时,恰有三枪击中时,共有几种情况? e 某射手射击 4 次时,恰有三枪击中的概率是多少? f 请思考,某射手射击 4 次时,恰有两枪击中的概率是多少?恰有一枪击中的概率又是多少? g 若射手射击 6 次,恰有三枪击中的概率是多少? h 若某射手射击 n 次,那么恰有 k 枪击中的概率是多少? (2)引导归纳:n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率计算公式
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一般地,如果在 1 次试验中某事件发生的概率是 P ,那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率
k k k k n?k Pn (k ) ? C n P (1 ? P) n ? k 或 Pn (k ) ? c n p q (其中 q=1-p,一次试验中事件发生的概率为 p) .

三、讲解范例: 例 1.某气象站天气预报的准确率为 80% ,计算(结果保留两个有效数字) : (1)5 次预报中恰有 4 次准确的概率; (2)5 次预报中至少有 4 次准确的概率
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解: (1)记“预报 1 次,结果准确”为事件 A .预报 5 次相当于 5 次独立重复试验,根据 次独立重复试验中某
n

k

事 件 恰 好 发 生
4 5 4

次 的 概 率 计 算 公 式 , 5
5? 4

次 预 报 中 恰 有

4

次 准 确 的 概 率

P5 (4) ? C ? 0.8 ? (1 ? 0.8)

? 0.8 ? 0.41
4

答:5 次预报中恰有 4 次准确的概率约为 0.41. (2)5 次预报中至少有 4 次准确的概率,就是 5 次预报中恰有 4 次准确的概率与 5 次预报都准确的概率的和,即
5 P ? P5 (4) ? P5 (5) ? P5 (4) ? C54 ? 0.84 ? (1 ? 0.8)5? 4 ? C5 ? 0.85 ? (1 ? 0.8)5?5

? 0.84 ? 0.85 ? 0.410 ? 0.328 ? 0.74

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答:5 次预报中至少有 4 次准确的概率约为 0.74.

1 例 2.某车间的 5 台机床在 1 小时内需要工人照管的概率都是 4 ,求 1 小时内 5 台机床中至少 2 台需要工人照管
的概率是多少?(结果保留两个有效数字) 解:记事件 A =“1 小时内,1 台机器需要人照管”,1 小时内 5 台机器需要照管相当于 5 次独立重复试验
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1 3 P5 (0) ? (1 ? )5 ? ( )5 4 4 , 1 小时内 5 台机床中没有 1 台需要工人照管的概率 1 1 1 P5 (1) ? C5 ? ? (1 ? ) 4 4 4 , 1 小时内 5 台机床中恰有 1 台需要工人照管的概率
所以 1 小时内 5 台机床中至少 2 台需要工人照管的概率为

P ? 1 ? ? P5 (0) ? P5 (1) ? ? 0.37

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答:1 小时内 5 台机床中至少 2 台需要工人照管的概率约为 0.37 . 点评:“至多”,“至少”问题往往考虑逆向思维法 例 3.实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛,规定 5 局 3 胜制(即 5 局内谁先赢 3 局就算胜出并停止比赛) . (1)试分别求甲打完 3 局、4 局、5 局才能取胜的概率. (2)按比赛规则甲获胜的概率.
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1 1 解:甲、乙两队实力相等,所以每局比赛甲获胜的概率为 2 ,乙获胜的概率为 2 . 记事件 A =“甲打完 3 局才能取胜”,记事件 B =“甲打完 4 局才能取胜”, 记事件 C =“甲打完 5 局才能取胜”.

①甲打完 3 局取胜,相当于进行 3 次独立重复试验,且每局比赛甲均取胜

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1 3 1 3 P( A) ? C3 ( ) ? 2 8. ∴甲打完 3 局取胜的概率为
②甲打完 4 局才能取胜,相当于进行 4 次独立重复试验,且甲第 4 局比赛取胜, 前 3 局为 2 胜 1 负
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1 1 1 3 P( B) ? C32 ? ( ) 2 ? ? ? 2 2 2 16 . ∴甲打完 4 局才能取胜的概率为
③甲打完 5 局才能取胜,相当于进行 5 次独立重复试验,且甲第 5 局比赛取胜, 前 4 局恰好 2 胜 2 负
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1 1 1 3 2 P(C ) ? C4 ? ( )2 ? ( )2 ? ? 2 2 2 16 . ∴甲打完 5 局才能取胜的概率为 (2)事件 D =“按比赛规则甲获胜”,则 D ? A ? B ? C , 又因为事件 A 、 B 、 C 彼此互斥, 1 3 3 1 P( D) ? P ( A ? B ? C ) ? P ( A) ? P ( B ) ? P (C ) ? ? ? ? 8 16 16 2 . 故 1 答:按比赛规则甲获胜的概率为 2 .
四、课堂练习: 1.每次试验的成功率为 p (0 ? p ? 1) ,重复进行 10 次试验,其中前 7 次都未成功后 3 次都成功的概率为( )

( A) C p (1 ? p ) ( B ) C p (1 ? p ) (C ) p (1 ? p) ( D) p (1 ? p)
3 10 3 7 3 10 3 3
3 7 7

3

1 2.某车间有 5 台车床,每台车床的停车或开车是相互独立的,若每台车床在任一时刻处于停车状态的概率为 3 ,
求: (1)在任一时刻车间有 3 台车床处于停车的概率; (2)至少有一台处于停车的概率 3.种植某种树苗,成活率为 90%,现在种植这种树苗 5 棵,试求: ⑴全部成活的概率; ⑵全部死亡的概率; ⑶恰好成活 3 棵的概率; ⑷至少成活 4 棵的概率
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80 4. (1)设在四次独立重复试验中,事件 A 至少发生一次的概率为 81 ,试求在一次试验中事件 A 发生的概率 (2) 1 某人向某个目标射击,直至击中目标为止,每次射击击中目标的概 率为 3 ,求在第 n 次才击中目标的概率
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?1? P5 ? 3? ? C53 ? ? ?3? 答案:1. C 2.(1)

3

? 2 ? 40 ? 2 ? 211 P ? B ? ? 1 ? P B ? 1 ? C55 ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 243 (2) ? 3 ? 243

2

??

5

3.⑴ ⑶

3 P5 ? 3? ? C5 0.93 ? 0.12 ? 0.0729

5 C5 0.95 ? 0.59049 ;

⑵ ; ⑷

P ? P5 ? 4 ? ? P5 ? 5 ? ? 0.91854

5 C5 0.15 ? 0.00001 ;

P?

4.(1) 五、课堂小结 : 1.独立重复试验要从三方面考虑 第一:每次试验是在同样条件下进行 第二:各次试验中的事件是相互独立的 第 三,每次试验都只有两种结果,即事件要么发生,要么不发生
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2 3

1 2 P ? ? ( ) n ?1 3 3 (2)

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2 . 如果 1 次试 验中某事 件发 生的 概率 是 P ,那么 n 次 独 立重 复试 验中这个 事件 恰好 发生 k 次 的概率 为 , 对于此式可以这么理解:由于 1 次试验中事件 A 要么发生,要么不发生,所以在 n 次独立重复
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试验中 A 恰好发生 k 次,则在另外的 n ? k 次中 A 没有发生,即 A 发生,由 P ( A) ? P , P ( A) ? 1 ? P 所以上
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面的公式恰为 [(1 ? P ) ? P ] 展开式中的第 k ? 1 项,可见排列组合、二项式定理及概率间存在着密切的联系 六、课后作业: 1. 如果每门炮的命中率都是 0.6, (1)10 门炮同时向目标各发射一发炮弹,求目标被击中的概率. (2)要保证击中目标的概率大于 0.99,至少需多少门炮同时发射? 2、甲乙两选手比赛,假设每局比赛甲胜的概率为 0.6,乙胜的概率为 0.4,那么采取 3 局 2 胜制还是 5 局 3 胜制对 甲更有利?你对局制长短的设置有何认识?
n
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