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2018届广东省珠海市高三上学期9月摸底考试数学(文)


2018 届广东省珠海市高三 9 月摸底考试 数学(文)
时间:120 分钟 满分:150 分

第Ⅰ卷 选择题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.设集合 A ? {x | 2 x2 ? x ? 1 ? 0 } ,集合 B ? {x | lg x ? 2 } ,则 (CR A) ? B ? ( )

100) A. ( ,
2.设 |

1 2

2) B. ( ,

1 2

100) C. [ ,


1 2

D. ?

1? i | z ? ?1 ? i , z 为复数,则 | z |? ( i
B.

A. 2

2 2

C. 2

D. 1

3. 如 图 在 ?ABC 中 , 在 线 段 AB 上 任 取 一 点 P , 恰 好 满 足

S?PBC 2 ? 的概率是( S?ABC 3
A.



2 3

B.

4 9

C.

1 9

D.

1 3
1 2

4.设 x,y , z 为大于 1 的正数,且 log2 x ? log3 y ? log5 z ,则 x , y , z 中最小的是( A. x
1 2

1 3

1 5



B. y

1 3

C. z

1 5

D.三个数相等

开始
输入m, n
r ? m MOD n

5.如右程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相 除法”,执行该程序框图(图中“ m MOD n ”表示 m 除以 n 的 余数) ,若输入的 m , n 分别为 495,125,则输出的 m= ( A. 0 C. 25 B. 5 D. 120 )

m?n n?r

r ? 0?




x2 y 2 6.双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直,则 a b
双曲线的离心率为( )

输出m

结 束

A.

5 2

B. 5

C.

3 ?1 2

D. 3 ? 1



1第

7.下列命题中正确命题的个数是(



2 (1)命题“若 x ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ”的逆否命题为“若 x ? 1 ,则 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”;

? ? 1 ? 2 x 中, x 增加 1 个单位时, y 减少 2 个单位; (2)在回归直线 y
(3)若 p 且 q 为假命题,则 p, q 均为假命题;
2 (4)命题 p : ?x0 ? R, 使得 x0 ? x0 ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, 均有 x 2 ? x ? 1 ? 0 .

A.1

B .2

C.3

D.4 ) D. 10 3 3

8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A. 24 3 B. 8 3 C. 8 3 3

? x ? y ? 7 ? 0, y ? 9.设 x,y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 1 ? 0, 则 z ? 的最大值是( x ? 2 x ? y ? 5 ? 0, ?



A. 5 2

B. 4 3

C. 3 4

D. 2 5

10.已知曲线 C1 : y ? sin x , C2 : y ? cos( x ?

1 2

5? ) ,则下列说法正确的是( 6



A.把 C1 上各点横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 曲线 C2

? 个单位长度,得到 3
2? 个单位长度,得 3

B.把 C1 上各点横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 到曲线 C2 C.把曲线 C1 向右平移 到曲线 C2 D.把曲线 C1 向右平移 到曲线 C2

? 1 个单位长度,再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,得 2 3
? 1 个单位长度,再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,得 2 6

?13 ?7 ? ?3 ? ?15 11.对大于 1 的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”: 23 ? , 33 ?9 , 43 ? ,...仿此, ?5 ?11 ?17 ? ? ?19
若 m 的“分裂数”中有一个是 2017,则 m 的值为( A.45 B.46
2
3

) D.48 )

C.47

12.已知函数 f ? x ? ? alnx ? x ? ? a ? 2? x 恰有两个零点,则实数 a 的取值范围是(
页 2第

A. ? ?1,0?

B. ? ?1, ?? ?

C. ? ?2,0 ?

D. ? ?2, ?1?

选择题答案: 1-5:ADDCB

6-10:BABCB

11-12:AA

第Ⅱ卷 非选择题
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.请将答案填在答题卡相应位置. 13.设单位向量 a , b 的夹角为 ? , | a ? 2b |? 7 ,则 ? ? 14.函数 f ( x) ? e x ? ln x 在点 ?1, f (1) ? 处的切线方程为

?

?

?

?

.

? 3
. ex ? y ? e ? 0

15. 在 ? ABC 中 , 角 A、 B 、 C 对 应 的 边 分 别 为 a, b, c , C ? 60? , a ? 4b, c ? 13 , 则 ? ABC 的 面 积 为 .

3

16.用一张 16cm ? 10cm 长方形纸片,经过折叠以后,糊成了一个无盖的长方体形纸盒,这个纸盒的最大容 积是

cm 3 . 144

三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题,每个试题考 生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答. 17.(本小题满分 12 分)在等差数列 {an } 中, a4 ? 9 , a7 ? 3a2 , (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求数列 {2 an } 的前 n 项和 Sn .
n

解: (1)

?a4 ? 9 ?a1 ? 3d ? 9 ?a ? 3 ?? ?? ?? 1 ?a7 ? 3a2 ?a1 ? 6d ? (3a1 ? d ) ?d ? 2

………………………4 分

?an ?3 ?2 ( n ?1 ) ? n 2 ? 1 ……………………………………………………6 分
(2) Sn ? 3? 2 ? 5 ? 2 ? 7 ? 2 ? ……+(2n ?1) ? 2
2 3 n?1

? (2n ?1) ? 2n ……?

2Sn ? 3? 22 ? 5 ? 23 ? 7 ? 24 ? ……+(2n ?1) ? 2n ? (2n ?1) ? 2n?1 ……?……8 分
?-?得: ?Sn ? 3? 2 ? 2 ? 22 ? 2 ? 23 ? 2 ? 24 ? ……+2 ? 2n ? (2n ? 1) ? 2n?1 ……10 分

?? Sn ? 3 ? 2 ?

23 (1 ? 2n?1 ) ? (2n ? 1) ? 2n?1 ?Sn ? (2n ?1)2n?1 ? 2 …………12 分 1? 2 ,

18.(本小题满分 12 分)某企业有两个分厂生产某种零件,按规定内径尺寸(单位:mm)的值落在[29.94, 30.06)的零件为优质品.从两个分厂生产的零件中各抽出了 500 件,量其内径尺寸,得结果如下表: 甲厂: 分组


[29.86 , 29.90)

[29.90 , 29.94)

[29.94 , 29.98)

[29.98 , 30.02)
3第

[30.02 , 30.06)

[30.06 , 30.10)

[30.10 , 30.14)

频数 乙厂: 分组 频数

12 [29.86 , 29.90) 29

63 [29.90 , 29.94) 71

86 [29.94 , 29.98) 85

182 [29.98 , 30.02) 159

92 [30.02 , 30.06) 76

61 [30.06 , 30.10) 62

4 [30.10 , 30.14) 18

(1) 试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率; (2) 由以上统计数据填下面 2 ? 2 列联表,并问是否有 99 % 的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有 差异”. 甲 厂 优质品 非优质品 合计 附: K ?
2
w.w.w

乙 厂

合计

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

P( K 2 ? k0 )
k0

0.05

0.05

0.01

3.841

6.635

解: (1) 甲厂抽查的产品中有 360 件优质品, 从而甲厂生产的零件的优质品率估计为 分 乙厂抽查的产品中有 320 件优质品,从而乙厂生产的零件的优质品率估计为 (2) 甲厂 优质品 非优质品 合计 360 140 500 乙厂 320 180 500 合计 680 320 1000

360 ? 72% …………3 500

320 ? 64% 500

……8 分

K2 ?

1000? (360?180? 320?140) 2 ? 7.35 ? 6.635 500? 500? 680? 320
……12 分

所以有 99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.

19.(本小题满分 12 分)中秋节即将到来,为了做好中秋节商场促销活动,某商场打算将进行促销活动的 礼品盒重新设计.方案如下:将一块边长为 10 的正方形纸片 ABCD 剪去四个全等的等腰三角形 ? SEE ? , ? SFF ? , ? SGG ? , ? SHH ? 再 将 剩 下 的 阴 影 部 分 折 成 一 个 四 棱 锥 形 状 的 包 装 盒 S ? EFGH , 其 中

A, B, C , D 重合于点 O , E 与 E ? 重合, F 与 F ? 重合, G 与 G ? 重合, H 与 H ? 重合(如图所示) .
(1)求证:平面 SEG ? 平面 SFH ; (2)已知 AE ?

5 ,过 O 作 OM ? SH 交 SH 于点 M ,求 cos ?EMO 的值. 2



4第

M

证明:(1)∵折后 A,B,C,D 重合于一点 O, ∴拼接成底面 EFGH 的四个直角三角形必为全等的等腰直角三角形, ∴底面 EFGH 是正方形,故 EG⊥FH,…………………2 分 ∵在原平面图形中,等腰三角形△ SEE′≌△SGG′, ∴SE=SG,∴EG⊥SO,……………………………………4 分

EG ? FH EG ? SO

? ? ? ? ? EG ? 平面SFH FH ? SO ? O ? FH , SO ? 平面SFH ? ?
又∵EG?平面 SEC,∴平面 SEG⊥平面 SFH.………………………6 分 (2)解:依题意,当 AE ? Rt△ SHO 中,SO=5, SH ?

5 5 时,即 OE ? 2 2 SO? OH 5 5 ? 5 ……………10 分 ,? OM ? SH 2 OM 2 3 5 ? ,? cos ?EMO ? EM 3 2

Rt△ EMO 中, EM ? ∴ cos ?OME ?

EO 2 ? OM 2 ?

2 . ……………12 分 3

20.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C1 ,抛物线 C2 的焦点均在 x 轴上, C1 的中心和 C2 的顶点均为原点 O,从 每条曲线上各取两个点,其坐标分别是 (3, ?2 3 ) , (?2,0) , (4, ?4) , ( 2 , 2 ) . 2 (1)求 C1 , C2 的标准方程;
???? ? ???? (2)是否存在直线 l 满足条件:①过 C2 的焦点 F;②与 C1 交于不同的两点 M,N 且满足 OM ? ON ?若存

在,求出直线方程;若不存在,请说明理由. 解: (1)设抛物线 C2 : y 2 ? 2 px( p ? 0) ,则有

y2 ? 2 p ( x ? 0) , x

据此验证四个点知 (3, ?2 3 ) , (4, ?4) 在抛物线上, 易得,抛物线 C2 的标准方程为 C2 : y 2 ? 4 x ………………………………2 分 椭圆 C1 :

2 x 2 ? y ? 1(a ? b ? 0) ,把点 (?2, 0) , ( 2 , 2 ) 代入可得: a 2 ? 4, b2 ? 1 2 a 2 b2

5第

所以椭圆 C1 的标准方程为

x2 ? y 2 ? 1 ……………………………………5 分 4

(2)由椭圆的对称性可设 C2 的焦点为 F(1,0) , 当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x ? 1 直线 l 交椭圆 C1 于点 M (1,

3 ), N (1, ? 3 ) 2 2

???? ? ???? OM ? ON ? 0 ,不满足题意……………………………………6 分
当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) , 并设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) 由?

? y ? k ( x ? 1) ,消去 y 得, (1 ? k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4(k 2 ?1) ? 0 ,……………8 分 2 2 ?x ? 4 y ? 4

2 8k 2 , x ?x ? 4(k ? 1) 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 2 ???? ? ???? y1 ?y2 ? ?3k 2 ①,由 OM ? ON 得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ② 1 ? 4k 4(k 2 ? 1) ?3k 2 ? k 2 ? 4 ? 0 ,解得 k ? ?2 ……………10 分 ? 将①代入②式,得 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

于是 x1 ? x2 ?

所以存在直线 l 满足条件,且 l 的方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 或 2 x ? y ? 2 ? 0 ………12 分

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ?ax ? ln x(a ? R) ,
2

(1)讨论 f ( x ) 的单调性; (2)若 ?x ? (1, ??), f ( x) ? ?a ,求 a 的取值范围. 解: (1)依题意: f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x) ? ?2ax ? 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,? f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增, 当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ?

1 1 ? 2ax 2 ,……1 分 ? x x

1 ,……………………………………………3 分 2a

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? (0,

1 1 ) ;令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ( , ??) , 2a 2a

? f ( x) 在 (0,

1 1 ) 上单调递增,在 ( , ??) 上单调递减。……………5 分 2a 2a

(2)由 f ( x) ? ?a 得: a( x2 ?1) ? ln x ? 0,? x ? (1, ??),?? ln x ? 0, x2 ?1 ? 0 , 当 a ? 0 时, a( x2 ?1) ? ln x ? 0 ,满足题意;…………………………7 分
页 6第

当a ?

1 2ax 2 ? 1 时,设 g ( x) ? a( x2 ?1) ? ln x( x ? 1) , g ?( x) ? ? 0, …………8 分 2 x

? g ( x) 在 (1, ??) 上单调递增,? g ( x) ? g(1) ? 0 ,不合题意;
当0 ? a ?

1 1 2ax 2 ? 1 , ??) , 时,令 g ?( x) ? ? 0, 得 x ? ( 2 2a x 1 2ax 2 ? 1 ) ? 0, 得 x ? (1, 2a x 1 ) ? g(1) ? 0 ,则 ?x ? (1, ??),g( x) ? 0 ,………………11 分 2a
1 2

令 g ?( x) ?

? g ( x)min ? g (

综上所述, a 的取值范围为 (??, ) .…………………………………………12 分

(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4 - 4:坐标系与参数方程
2 在极坐标系中,曲线 C 的方程为 ? cos 2? ? 9 ,点 P (2 3, ) .以极点 O 为原点,极轴为 x 轴的正半轴

?

6

建立直角坐标系. (1)求直线 OP 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程; (2)若直线 OP 与曲线 C 交于 A 、 B 两点,求 解: (1)∵化为直角坐标可得 P(3, 3) , ? =

1 1 的值. ? PA PB
, ……………………1 分

?
6

? 3 x ? 3? t, ? ? 2 ∴直线 OP 的参数方程为: ? (t为参数) ……………………3 分 ? y ? 3 ? 1 t. ? ? 2
∵ ? cos
2 2

? ? ? 2 sin2 ? ? 9 ,
2 2

∴曲线 C 的直角坐标方程: x ? y ? 9 ,

……………………5 分
2

(2)将直线 OP 的参数方程代入曲线 C 的方程,得 t ? 4 3t ? 6 ? 0 ,……7 分 ∴ t1 ? t2 ? ?4 3 , t1t2 ? ?6 ? 0 , ∴

1 1 1 1 | t1 ? t2 | ? ? ? ? ? 2. | PA | | PB | | t1 | | t2 | | t1t2 |

……………………10 分

23.(本小题满分 10 分)选修 4 - 5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? x ? a ,不等式 f ( x) ? 2 的解集是 {x |1 ? x ? 5} . (1)求实数 a 的值;
页 7第

(2)若 f (2 x) ? f ( x ? 2) ? m 对一切 x ? R 恒成立,求 m 的范围. 解: (1)由题意可知 | x ? a |? 2 , ?2 ? x ? a ? 2 ,解得 a ? 2 ? x ? a ? 2 , …………………2 分 ∵不等式 f ( x) ? 2 的解集是 ?x |1 ? x ? 5? , ∴?

?a ? 2 ? 1, 解得 a ? 3 . a ? 2 ? 5, ?

………………5 分

(2)∵ f ( x) ?| x ? 3 | , ∴ f (2 x) ? f ( x ? 2) ?| 2 x ? 3 | ? | x ? 1| ……………………6 分 ………………8 分

?| x ?
当x? ∴m ?

3 3 3 1 | ? | x ? | ? | x ? 1| ? 0? | ( x ? ) ? ( x ? 1) |? , 2 2 2 2 3 1 时, ? f (2 x) ? f ( x ? 2) ?min ? , 2 2
……………………10 分

1 . 2

? ?4 ? 3x, x ? ? ??,1? ? ? ? 3? 或解 f (2 x) ? f ( x ? 2) ? ?2 ? x, x ? 1, ? ? 2? ? ? ? ?3 ? ?3x ? 4, x ? ? , ?? ? ?2 ? ?
当x?

3 1 1 时, ? f (2 x) ? f ( x ? 2) ?min ? ,∴ m ? . 2 2 2



8第


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