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2014年中考试题分类汇编相似三角形


2014 年中考试题分类汇编

——相似三角形
1、 (2013?昆明)如图,在正方形 ABCD 中,点 P 是 AB 上一动点(不与 A,B 重合) ,对 角线 AC,BD 相交于点 O,过点 P 分别作 AC,BD 的垂线,分别交 AC,BD 于点 E,F, 交 AD,BC 于点 M,N.下列结论: ①△APE≌△AME;②PM+PN=AC;③PE +PF =PO ;④△POF∽△BNF;⑤当 △ PMN∽△AMP 时,点 P 是 AB 的中点. 其中正确的结论有( )
2 2 2

A.5 个

B.4 个

C.3 个

D.2 个

考点: 相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理;正方形的性质 分析: 依据正方形的性质以及勾股定理、矩形的判定方法即可判断△ APM 和△ BPN 以及 △ APE、△ BPF 都是等腰直角三角形,四边形 PEOF 是矩形,从而作出判断. 解答: 解:∵四边形 ABCD 是正方形, ∴∠BAC=∠DAC=45°. ∵在△ APE 和△ AME 中, , ∴△APE≌△AME,故①正确; ∴PE=EM= PM, 同理,FP=FN= NP. ∵正方形 ABCD 中 AC⊥BD, 又∵PE⊥AC,PF⊥BD, ∴∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°,且△ APE 中 AE=PE ∴四边形 PEOF 是矩形. ∴PF=OE, ∴PE+PF=OA, 又∵PE=EM= PM,FP=FN= NP,OA= AC, ∴PM+PN=AC,故②正确; ∵四边形 PEOF 是矩形, ∴PE=OF,

在直角△ OPF 中,OF +PF =PO , 2 2 2 ∴PE +PF =PO ,故③正确. ∵△BNF 是等腰直角三角形,而△ POF 不一定是,故④错误; ∵△AMP 是等腰直角三角形,当△ PMN∽△AMP 时,△ PMN 是等腰直角三角形. ∴PM=PN, 又∵△AMP 和△ BPN 都是等腰直角三角形, ∴AP=BP,即 P 时 AB 的中点.故⑤正确. 故选 B. 点评: 本题是正方形的性质、矩形的判定、勾股定理得综合应用,认识△ APM 和△ BPN 以 及△ APE、△ BPF 都是等腰直角三角形,四边形 PEOF 是矩形是关键. 2、 (2013?新疆)如图,Rt△ ABC 中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2cm,D 为 BC 的中 点,若动点 E 以 1cm/s 的速度从 A 点出发,沿着 A→B→A 的方向运动,设 E 点的运动时间 为 t 秒(0≤t<6) ,连接 DE,当△ BDE 是直角三角形时,t 的值为( )

2

2

2

A.2

B.2.5 或 3.5

C.3.5 或 4.5

D.2 或 3.5 或 4.5

考点: 相似三角形的判定与性质;含 30 度角的直角三角形. 专题: 动点型. 分析: 由 Rt△ ABC 中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2cm,可求得 AB 的长,由 D 为 BC 的中点,可求得 BD 的长,然后分别从若∠DBE=90°与若∠EDB=90°时,去分析求解 即可求得答案. 解答: 解:∵Rt△ ABC 中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2cm, ∴AB=2BC=4(cm) , ∵BC=2cm,D 为 BC 的中点,动点 E 以 1cm/s 的速度从 A 点出发, ∴BD=BC=1(cm) ,BE=AB﹣AE=4﹣t(cm) , 若∠DBE=90°, 当 A→B 时,∵∠ABC=60°, ∴∠BDE=30°, ∴BE=BD=(cm) , ∴t=3.5, 当 B→A 时,t=4+0.5=4.5. 若∠EDB=90°时, 当 A→B 时,∵∠ABC=60°, ∴∠BED=30°, ∴BE=2BD=2(cm) , ∴t=4﹣2=2, 当 B→A 时,t=4+2=6(舍去) .

综上可得:t 的值为 2 或 3.5 或 4.5. 故选 D. 点评: 此题考查了含 30°角的直角三角形的性质.此题属于动点问题,难度适中,注意掌握 分类讨论思想与数形结合思想的应用. 3、 (2013?新疆)如图,△ ABC 中,DE∥BC,DE=1,AD=2,DB=3,则 BC 的长是( )

考点: 相似三角形的判定与性质. 分析: 根据 DE∥BC,证明△ ADE∽△ABC,然后根据对应边成比例求得 BC 的长度. 解答: 解:∵DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC, 则 = ,

∵DE=1,AD=2,DB=3, ∴AB=AD+DB=5, ∴BC= =

5 . 2

故选 C. 点评: 本题考查了相似三角形的判定和性质,难度一般,解答本题的关键是根据平行证明 △ ADE∽△ABC. 4、 (2013?内江)如图,在?ABCD 中,E 为 CD 上一点,连接 AE、BD,且 AE、BD 交于点 F,S△ DEF:S△ ABF=4:25,则 DE:EC=( )

A.2:5

B.2:3

C.3:5

D.3:2

考点: 相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质. 分析: 先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△ DEF∽△BAF,再根据 S△ DEF:S△ ABF=4:10:25 即可得出其相似比,由相似三角形的性质即可求出 DE: EC 的值,由 AB=CD 即可得出结论. 解答: 解:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AB∥CD,

∴∠EAB=∠DEF,∠AFB=∠DFE, ∴△DEF∽△BAF, ∵S△ DEF:S△ ABF=4:25, ∴DE:AB=2:5, ∵AB=CD, ∴DE:EC=2:3. 故选 B. 点评: 本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质, 熟知相似三角形边长的 比等于相似比,面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键. 5、 (2013?自贡)如图,在平行四边形 ABCD 中,AB=6,AD=9,∠BAD 的平分线交 BC 于 E,交 DC 的延长线于 F,BG⊥AE 于 G,BG= ,则△ EFC 的周长为( )

A.11

B.10

C.9

D.8

考点: 相似三角形的判定与性质;勾股定理;平行四边形的性质. 分析: 判断出△ ADF 是等腰三角形,△ ABE 是等腰三角形,DF 的长度,继而得到 EC 的长 度,在 Rt△ BGE 中求出 GE,继而得到 AE,求出△ ABE 的周长,根据相似三角形的 周长之比等于相似比,可得出△ EFC 的周长. 解答: 解:∵在?ABCD 中,AB=CD=6,AD=BC=9,∠BAD 的平分线交 BC 于点 E, ∴∠BAF=∠DAF, ∵AB∥DF,AD∥BC, ∴∠BAF=∠F=∠DAF,∠BAE=∠AEB, ∴AB=BE=6,AD=DF=9, ∴△ADF 是等腰三角形,△ ABE 是等腰三角形, ∵AD∥BC, ∴△EFC 是等腰三角形,且 FC=CE, ∴EC=FC=9﹣6=3, 在△ ABG 中,BG⊥AE,AB=6,BG=4 ,
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∴AG=

=2,

∴AE=2AG=4, ∴△ABE 的周长等于 16, 又∵△CEF∽△BEA,相似比为 1:2, ∴△CEF 的周长为 8. 故选 D.

点评: 本题主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性质,注意掌握相似三角形的 周长之比等于相似比,此题难度较大. 6、 (2013?雅安)如图,在?ABCD 中,E 在 AB 上,CE、BD 交于 F,若 AE:BE=4:3,且 BF=2,则 DF= ..

考点: 相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质. 分析: 由四边形 ABCD 是平行四边形, 可得 AB∥CD, AB=CD, 继而可判定△ BEF∽△DCF, 根据相似三角形的对应边成比例,即可得 BF:DF=BE:CD 问题得解. 解答: 解:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AB∥CD,AB=CD, ∵AE:BE=4:3, ∴BE:AB=3:7, ∴BE:CD=3:7. ∵AB∥CD, ∴△BEF∽△DCF, ∴BF:DF=BE:CD=3:7, 即 2:DF=3:7, ∴DF= . .

故答案为:

点评: 此题考查了相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质.此题比较简单,解题的关 键是根据题意判定△ BEF∽△DCF,再利用相似三角形的对应边成比例的性质求解. 7、 (2013?雅安) 如图, DE 是△ ABC 的中位线, 延长 DE 至 F 使 EF=DE, 连接 CF, 则 S△ CEF: S 四边形 BCED 的值为( )

A.1:3

B.2:3

C.1:4

D.2:5

考点: 相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;三角形中位线定理. 分析: 先利用 SAS 证明△ ADE≌△CFE(SAS) ,得出 S△ ADE=S△ CFE,再由 DE 为中位线, 判断△ ADE∽△ABC,且相似比为 1:2,利用相似三角形的面积比等于相似比,得 到 S△ ADE: S△ ABC=1: 4, 则 S△ ADE: S 四边形 BCED=1: 3, 进而得出 S△ CEF: S 四边形 BCED=1: 3. 解答: 解:∵DE 为△ ABC 的中位线, ∴AE=CE. 在△ ADE 与△ CFE 中, , ∴△ADE≌△CFE(SAS) , ∴S△ ADE=S△ CFE. ∵DE 为△ ABC 的中位线, ∴△ADE∽△ABC,且相似比为 1:2, ∴S△ ADE:S△ ABC=1:4, ∵S△ ADE+S 四边形 BCED=S△ ABC, ∴S△ ADE:S 四边形 BCED=1:3, ∴S△ CEF:S 四边形 BCED=1:3. 故选 A. 点评: 本题考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质,三角形中位线定理.关键是利用 中位线判断相似三角形及相似比. 8、 (2013 聊城)如图,D 是△ ABC 的边 BC 上一点,已知 AB=4,AD=2.∠DAC=∠B,若 △ ABD 的面积为 a,则△ ACD 的面积为( )

A.a

B.

C.

D.

考点:相似三角形的判定与性质. 分析:首先证明△ ACD∽△BCA,由相似三角形的性质可得:△ ACD 的面积:△ ABC 的面 积为 1:4,因为△ ABD 的面积为 a,进而求出△ ACD 的面积.

解答:解:∵∠DAC=∠B,∠C=∠C, ∴△ACD∽△BCA, ∵AB=4,AD=2, ∴△ACD 的面积:△ ABC 的面积为 1:4, ∴△ACD 的面积:△ ABD 的面积=1:3, ∵△ABD 的面积为 a, ∴△ACD 的面积为 a, 故选 C. 点评:本题考查了相似三角形的判定和性质:相似三角形的面积比等于相似比的平方,是中 考常见题型. 9、 (2013 菏泽)如图,边长为 6 的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分 别为 S1,S2,则 S1+S2 的值为( )

A.16 B.17 C.18 D.19 考点:相似三角形的判定与性质;正方形的性质. 专题:计算题. 分析:由图可得,S1 的边长为 3,由 AC= BC,BC=CE= EC= ;然后,分别算出 S1、S2 的面积,即可解答. 解答:解:如图,设正方形 S2 的边长为 x, 根据等腰直角三角形的性质知,AC= x,x= CD, ∴AC=2CD,CD==2, ∴EC =2 +2 ,即 EC= ; 2 ∴S2 的面积为 EC = =8; ∵S1 的边长为 3,S1 的面积为 3×3=9, ∴S1+S2=8+9=17. 故选 B.
2 2 2

CD,可得 AC=2CD,CD=2,

点评:本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质,考查了学生的读图能力. 10、 (2013?孝感) 如图, 在△ ABC 中, AB=AC=a, BC=b △ ABC 内依次作∠CBD=∠A,∠DCE=∠CBD, ∠EDF=∠DCE.则 EF 等于( ) (a>b) .在

A.

B.

C.

D.

考点: 相似三角形的判定与性质;等腰三角形的判定与性质. 分析: 依次判定△ ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE,根据相似三角形的对应边成比例的知 识,可得出 EF 的长度. 解答: 解:∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB, 又∵∠CBD=∠A, ∴△ABC∽△BDC, 同理可得:△ ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE, ∴ = , = , = ,

解得:CD=

,DE=

,EF=



故选 C. 点评: 本题考查了相似三角形的判定与性质,本题中相似三角形比较容易找到,难点在于根 据对应边成比例求解线段的长度,注意仔细对应,不要出错. 11、 (2013?宜昌)如图,点 A,B,C,D 的坐标分别是(1,7) , (1,1) , (4,1) , (6,1) , 以 C,D,E 为顶点的三角形与△ ABC 相似,则点 E 的坐标不可能是( )

A.(6,0)

B.(6,3)

C.(6,5)

D.(4,2)

考点: 相似三角形的性质;坐标与图形性质. 分析: 根据相似三角形的判定:两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断. 解答: 解:△ ABC 中,∠ABC=90°,AB=6,BC=3,AB:BC=2. A、当点 E 的坐标为(6,0)时,∠CDE=90°,CD=2,DE=1,则 AB:BC=CD:DE, △ CDE∽△ABC,故本选项不符合题意; B、当点 E 的坐标为(6,3)时,∠CDE=90°,CD=2,DE=2,则 AB:BC≠CD:DE, △ CDE 与△ ABC 不相似,故本选项符合题意; C、当点 E 的坐标为(6,5)时,∠CDE=90°,CD=2,DE=4,则 AB:BC=DE:CD, △ EDC∽△ABC,故本选项不符合题意; D、当点 E 的坐标为(4,2)时,∠ECD=90°,CD=2,CE=1,则 AB:BC=CD:CE,

△ DCE∽△ABC,故本选项不符合题意; 故选 B. 点评: 本题考查了相似三角形的判定,难度中等.牢记判定定理是解题的关键. 12、 (2013?咸宁)如图,正方形 ABCD 是一块绿化带,其中阴影部分 EOFB,GHMN 都是 正方形的花圃.已知自由飞翔的小鸟,将随机落在这块绿化带上,则小鸟在花圃上的概率为 ( )

A.

B. 1

C.

D.

2
考点: 相似三角形的应用;正方形的性质;几何概率. 分析: 求得阴影部分的面积与正方形 ABCD 的面积的比即可求得小鸟在花圃上的概率; 解答: 解:设正方形的 ABCD 的边长为 a, 则 BF=BC=,AN=NM=MC=a, ∴阴影部分的面积为() +(a) =
2 2

a,

2

∴小鸟在花圃上的概率为

=

故选 C. 点评: 本题考查了正方形的性质及几何概率,关键是表示出大正方形的边长,从而表示出两 个阴影正方形的边长,最后表示出面积. 13、 (2013?恩施州)如图所示,在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 相交于点 O,E 为 OD 的中点,连接 AE 并延长交 DC 于点 F,则 DF:FC=( )

A.1:4

B.1:3

C.2:3

D.1:2

考点: 相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质. 分析: 首先证明△ DFE∽△BAE,然后利用对应变成比例,E 为 OD 的中点,求出 DF:AB 的值,又知 AB=DC,即可得出 DF:FC 的值. 解答: 解:在平行四边形 ABCD 中,AB∥DC,
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则△ DFE∽△BAE, ∴ = ,

∵O 为对角线的交点, ∴DO=BO, 又∵E 为 OD 的中点, ∴DE= DB, 则 DE:EB=1:3, ∴DF:AB=1:3, ∵DC=AB, ∴DF:DC=1:3, ∴DF:FC=1:2. 故选 D.

点评: 本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质,难度适中,解答本题的 关键是根据平行证明△ DFE∽△BAE,然后根据对应边成比例求值.

14、 (9-2 图形的相似·2013 东营中考)如果一个直角三角形的两条边长分别是 6 和 8, 另一个与它相似的直角三角形边长分别是 3、4 及 x,那么 x 的值( A. 只有 1 个 B. 可以有 2 个 C. 可以有 3 个 ) D. 有无数个

10.B.解析:当直角边为 6,8 时,且另一个与它相似的直角三角形 3,4 也为直角边时,x 的 值为 5, 当 8, 4 为对应边且为直角三角形的斜边时, x 的值为 7 , 故 x 的值可以为 5 或 7 . 两种情况。 15、 (2013?鄂州)如图,Rt△ ABC 中,∠A=90°,AD⊥BC 于点 D,若 BD:CD=3:2,则 tanB=( )

A.

B.

C.

D.

考点: 相似三角形的判定与性质;锐角三角函数的定义.

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分析: 首先证明△ ABD∽△ACD,然后根据 BD:CD=3:2,设 BD=3x,CD=2x,利用对应 边成比例表示出 AD 的值,继而可得出 tanB 的值. 解答: 解:在 Rt△ ABC 中, ∵AD⊥BC 于点 D, ∴∠ADB=∠CDA, ∵∠B+∠BAD=90°,∠BAD+DAC=90°, ∴∠B=∠DAC, ∴△ABD∽△ACD, ∴ = ,

∵BD:CD=3:2, 设 BD=3x,CD=2x, ∴AD= = x, 则 tanB= = = .

故选 D. 点评: 本题考查了相似三角形的判定与性质及锐角三角函数的定义,难度一般,解答本题的 关键是根据垂直证明三角形的相似,根据对应变成比例求边长. 16、 (2013?绥化)如图,点 A,B,C,D 为⊙O 上的四个点,AC 平分∠BAD,AC 交 BD 于点 E,CE=4,CD=6,则 AE 的长为( )

A.4

B.5

C.6

D.7

考点: 圆周角定理;圆心角、弧、弦的关系;相似三角形的判定与性质. 分析: 根据圆周角定理∠CAD=∠CDB,继而证明△ ACD∽△DCE,设 AE=x,则 AC=x+4, 利用对应边成比例,可求出 x 的值. 解答: 解:设 AE=x,则 AC=x+4, ∵AC 平分∠BAD, ∴∠BAC=∠CAD, ∵∠CDB=∠BAC(圆周角定理) , ∴∠CAD=∠CDB, ∴△ACD∽△DCE, ∴ = ,即 = ,

解得:x=5. 故选 B. 点评: 本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质,解答本题的关键是得出 ∠CAD=∠CDB,证明△ ACD∽△DCE.

17、 (2013?牡丹江)如图,在△ ABC 中∠A=60°,BM⊥AC 于点 M,CN⊥AB 于点 N,P 为 BC 边的中点,连接 PM,PN,则下列结论:①PM=PN;② 角形;④当∠ABC=45°时,BN= PC.其中正确的个数是( ) ;③△PMN 为等边三

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

考点: 相似三角形的判定与性质;等边三角形的判定;直角三角形斜边上的中线. 分析: 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断①正确; 先证明△ ABM∽△ACN,再根据相似三角形的对应边成比例可判断②正确; 先根据直角三角形两锐角互余的性质求出∠ABM=∠ACN=30°,再根据三角形的内角 和定理求出∠BCN+∠CBM=60°,然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个 内角的和求出∠BPN+∠CPM=120°,从而得到∠MPN=60°,又由①得 PM=PN,根据 有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形可判断③正确; 当∠ABC=45°时,∠BCN=45°,由 P 为 BC 边的中点,得出 BN= PB= PC,判断 ④正确. 解答: 解:①∵BM⊥AC 于点 M,CN⊥AB 于点 N,P 为 BC 边的中点,
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∴PM= BC,PN= BC, ∴PM=PN,正确; ②在△ ABM 与△ ACN 中, ∵∠A=∠A,∠AMB=∠ANC=90°, ∴△ABM∽△ACN, ∴ ,正确;

③∵∠A=60°,BM⊥AC 于点 M,CN⊥AB 于点 N, ∴∠ABM=∠ACN=30°, 在△ ABC 中,∠BCN+∠CBM═180°﹣60°﹣30°×2=60°, ∵点 P 是 BC 的中点,BM⊥AC,CN⊥AB, ∴PM=PN=PB=PC, ∴∠BPN=2∠BCN,∠CPM=2∠CBM, ∴∠BPN+∠CPM=2(∠BCN+∠CBM)=2×60°=120°, ∴∠MPN=60°, ∴△PMN 是等边三角形,正确; ④当∠ABC=45°时,∵CN⊥AB 于点 N,

∴∠BNC=90°,∠BCN=45°, ∴BN=CN, ∵P 为 BC 边的中点, ∴PN⊥ BC,△ BPN 为等腰直角三角形 ∴BN= PB= PC,正确. 故选 D.

点评: 本题主要考查了直角三角形 30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质, 相似三角形、 等边三角形、等腰直角三角形的判定与性质,等腰三角形三线合一的性质,仔细分析 图形并熟练掌握性质是解题的关键. 18、(2013 哈尔滨) 如图,在△ABC 中,M、N 分别是边 AB、AC 的中点,则△AMN 的面积与 四边形 MBCN 的面积比为( ). (A)

1 2

(B)

1 3

(C)

1 4

(D)

2 3

考点:相似三角形的性质。,三角形的中位线

分析:利用相似三角形的判定和性质是解题的关键 解答:由 MN 是三角形的中位线,2MN=BC, MN∥BC ∴△ABC∽△AMN∴三角形的相似比是 2:1,∴△ABC 与△AMN 的面积之比为 4:1. ,则 △AMN 的面积与四边形 MBCN 的面积比为 故选 B

1 , 3

19、(2013年河北)如图4,菱形ABCD中,点M,N在AC上,ME⊥AD, NF⊥AB. 若 NF = NM = 2,ME = 3,则 AN = A.3 B.4 C.5 D.6 答案:B 解析:由△AFN∽△AEM,得: 解得:AN=4,选 B。 20、 (2013?白银)如图,路灯距离地面 8 米,身高 1.6 米的小明站在距离灯的底部(点 O) 20 米的 A 处,则小明的影子 AM 长为 5 米.

AN NF AN 2 ,即 ? ? , AM ME AN ? 2 3

考点: 相似三角形的应用. 分析: 易得:△ ABM∽△OCM,利用相似三角形的相似比可得出小明的影长. 解答: 解:根据题意,易得△ MBA∽△MCO, 根据相似三角形的性质可知 = ,即 = ,

解得 AM=5m.则小明的影长为 5 米.

点评: 本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中, 利用相似三角形的相似比可得出小明的 影长. 21、 (2013?牡丹江)如图,在△ ABC 中,D 是 AB 边上的一点,连接 CD,请添加一个适当 的条件 ∠ACD=∠ABC(答案不唯一) ,使△ ABC∽△ACD. (只填一个即可)

考点: 相似三角形的判定. 专题: 开放型. 分析: 相似三角形的判定有三种方法:
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①三边法:三组对应边的比相等的两个三角形相似; ②两边及其夹角法:两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似; ③两角法:有两组角对应相等的两个三角形相似. 由此可得出可添加的条件. 解答: 解:由题意得,∠A=∠A(公共角) , 则可添加:∠ACD=∠ABC,利用两角法可判定△ ABC∽△ACD. 故答案可为:∠ACD=∠ABC. 点评: 本题考查了相似三角形的判定, 解答本题的关键是熟练掌握三角形相似的三种判定方 法,本题答案不唯一. 22、 (2013?巴中) 如图, 小明在打网球时,使球恰好能打过网, 而且落在离网 4 米的位置上, 则球拍击球的高度 h 为 1.5 米 .

考点: 相似三角形的应用. 分析: 根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即 DE∥BC 可知, △ ADE∽△ACB, 根据其相 似比即可求解. 解答: 解:∵DE∥BC, ∴△ADE∽△ACB,即 则 = , = ,

∴h=1.5m. 故答案为:1.5 米.

点评: 本题考查了相似三角形在测量高度时的应用,解题时关键是找出相似的三角形,然后 根据对应边成比例列出方程,建立适当的数学模型来解决问题.

23、 (2013?黔东南州)将一副三角尺如图所示叠放在一起,则

的值是



考点: 相似三角形的判定与性质. 分析: 由∠BAC=∠ACD=90°,可得 AB∥CD,即可证得△ABE∽△DCE,然后由相似三角 形的对应边成比例,可得: 即可求得答案. 解答: 解:∵∠BAC=∠ACD=90°, ∴AB∥CD, ∴△ABE∽△DCE, ∴ , ,然后利用三角函数,用 AC 表示出 AB 与 CD,

∵在 Rt△ACB 中∠B=45°, ∴AB=AC, ∵在 RtACD 中,∠D=30°, ∴CD= ∴ = = . = . AC,

故答案为:

点评: 此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的性质.此题难度不大,注意掌握数 形结合思想的应用. 24、 (2013 台湾、33)如图,将一张三角形纸片沿虚线剪成甲、乙、丙三块,其中甲、丙为 梯形,乙为三角形.根据图中标示的边长数据,比较甲、乙、丙的面积大小,下列判断何者 正确?( )

A.甲>乙,乙>丙 B.甲>乙,乙<丙 考点:相似三角形的判定与性质.

C.甲<乙,乙>丙

D.甲<乙,乙<丙

分析:首先过点 B 作 BH⊥GF 于点 H,则 S 乙= AB?AC,易证得△ ABC∽△DBE, △ GBH∽△BCA,可求得 GF,DB,DE,DF 的长,继而求得答案. 解答:解:如图:过点 B 作 BH⊥GF 于点 H, 则 S 乙= AB?AC, ∵AC∥DE, ∴△ABC∽△DBE, ∴ ,

∵BC=7,CE=3,

∴DE=

AC,DB=

AB,

∴AD=BD﹣BA= AB, ∴S 丙= (AC+DE)?AD= AB?AC,

∵A∥GF,BH⊥GF,AC⊥AB, ∴BH∥AC, ∴四边形 BDFH 是矩形, ∴BH=DF,FH=BD= ∴△GBH∽△BCA, ∴ , AB,

∵GB=2,BC=7, ∴GH= AB,BH AC, ∴DF= AC,GF=GH+FH= ∴S 甲= (BD+GF)?DF= ∴甲<乙,乙<丙. 故选 D. AB, AB?AC,

点评:此题考查了相似三角形的判定与性质、直角梯形的性质以及直角三角形的性质.此题 难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.

25、(13 年北京 4 分 5) 如图,为估算某河的宽度,在河对岸边选定一个目标点 A,在近 岸取点 B,C,D,使得 AB⊥BC,CD⊥BC,点 E 在 BC 上,并且点 A,E,D 在同一条直线上。若测得 BE=20m,EC=10m,CD=20m, 则河的宽度 AB 等于 A. 60m C. 30m 答案:B B. 40m D. 20m

解析:由△EAB∽△EDC,得:

CE CD 10 20 ,即 ,解得:AB=40 ? ? BE AB 20 AB

26、 (2013?牡丹江)劳技课上小敏拿出了一个腰长为 8 厘米,底边为 6 厘米的等腰三角形, 她想用这个等腰三角形加工成一个边长比是 1:2 的平行四边形,平行四边形的一个内角恰 好是这个等腰三角形的底角, 平行四边形的其它顶点均在三角形的边上, 则这个平行四边形 的较短的边长为 2.4cm 或 cm .

考点: 相似三角形的判定与性质;等腰三角形的性质;平行四边形的性质. 专题: 分类讨论. 分析: 设平行四边形的短边为 xcm,分两种情况进行讨论,①若 BE 是平行四边形的一个短 边,②若 BD 是平行四边形的一个短边,利用三角形相似的性质求出 x 的值. 解答: 解:如图 AB=AC=8cm,BC=6cm, 设平行四边形的短边为 xcm, ①若 BE 是平行四边形的一个短边, 则 EF∥BC,
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=



解得 x=2.4 厘米, ②若 BD 是平行四边形的一个短边, 则 EF∥AB, = 解得 x= , cm, cm.

综上所述短边为 2.4cm 或

点评: 本题主要 考查相似三角形的判定与性质等知识点,解答本题的关键是正确的画出图 形,结合图形很容易解答. 27、 (2013?眉山) 如图, △ ABC 中, E、 F 分别是 AB、 AC 上的两点, 且 的面积为 2,则四边形 EBCF 的面积为 16 . , 若△ AEF

考点: 相似三角形的判定与性质. 分析: 根据题意可判定△ AEF∽△ABC,利用面积比等于相似比平方可得出△ ABC 的面积, 继而根据 S 四边形 EBCF=S△ ABC﹣S△ AEF,即可得出答案. 解答: 解:∵ , ∴EF∥BC, ∴△AEF∽△ABC, ∴ =( ) =( ) = ,
2 2

∴S△ ABC=18, 则 S 四边形 EBCF=S△ ABC﹣S△ AEF=18﹣2=16. 故答案为:16. 点评: 本题考查了相似三角形的判定与性质,解答本题的关键是证明△ AEF∽△ABC,要求 同学们熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比平方. 28、 (2013?六盘水)如图,添加一个条件: ∠ADE=∠ACB(答案不唯一) ,使 △ ADE∽△ACB, (写出一个即可)

考点: 相似三角形的判定. 专题: 开放型. 分析: 相似三角形的判定有三种方法: ①三边法:三组对应边的比相等的两个三角形相似; ②两边及其夹角法:两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似; ③两角法:有两组角对应相等的两个三角形相似. 由此可得出可添加的条件. 解答: 解:由题意得,∠A=∠A(公共角) , 则可添加:∠ADE=∠ACB,利用两角法可判定△ ADE∽△ACB. 故答案可为:∠ADE=∠ACB. 点评: 本题考查了相似三角形的判定, 解答本题的关键是熟练掌握三角形相似的三种判定方 法,本题答案不唯一.

29、 (2013?苏州)如图,在平面直角坐标系中,四边形 OABC 是边长为 2 的正方形,顶点 A、C 分别在 x,y 轴的正半轴上.点 Q 在对角线 OB 上,且 QO=OC,连接 CQ 并延长 CQ 交边 AB 于点 P.则点 P 的坐标为 (2,4﹣2 ) .

考点: 相似三角形的判定与性质;坐标与图形性质;正方形的性质. 分析: 根据正方形的对角线等于边长的 倍求出 OB, 再求出 BQ, 然后求出△ BPQ 和△ OCQ 相似,根据相似三角形对应边成比例列式求出 BP 的长,再求出 AP,即可得到点 P 的坐标. 解答: 解:∵四边形 OABC 是边长为 2 的正方形, ∴OA=OC=2,OB=2 , ∵QO=OC, ∴BQ=OB﹣OQ=2 ﹣2, ∵正方形 OABC 的边 AB∥OC, ∴△BPQ∽△OCQ,
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∴ 即

= =

, ,

解得 BP=2 ﹣2, ∴AP=AB﹣BP=2﹣(2 ﹣2)=4﹣2 , ∴点 P 的坐标为(2,4﹣2 ) . 故答案为: (2,4﹣2 ) . 点评: 本题考查了相似三角形的判定与性质,正方形的对角线等于边长的 倍的性质,以 及坐标与图形的性质,比较简单,利用相似三角形的对应边成比例求出 BP 的长是解 题的关键. 30、 (2013?眉山)如图,∠BAC=∠DAF=90°,AB=AC,AD=AF,点 D、E 为 BC 边上的两 点,且∠DAE=45°,连接 EF、BF,则下列结论: 2 2 2 ①△AED≌△AEF;②△ABE∽△ACD;③BE+DC>DE;④BE +DC =DE , 其中正确的有( )个.

A.1

B.2

C.3

D.4

考点: 相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理. 分析: 根据∠DAF=90°,∠DAE=45°,得出∠FAE=45°,利用 SAS 证明△ AED≌△AEF,判 定①正确; 如果△ ABE∽△ACD,那么∠BAE=∠CAD,由∠ABE=∠C=45°,则∠AED=∠ADE, AD=AE,而由已知不能得出此条件,判定②错误; 先由∠BAC=∠DAF=90°,得出∠CAD=∠BAF,再利用 SAS 证明△ ACD≌△ABF, 得出 CD=BF,又①知 DE=EF,那么在△ BEF 中根据三角形两边之和大于第三边可得 BE+BF>EF,等量代换后判定③正确; 先由△ ACD≌△ABF,得出∠C=∠ABF=45°,进而得出∠EBF=90°,然后在 Rt△ BEF 中,运用勾股定理得出 BE +BF =EF ,等量代换后判定④正确. 解答: 解:①∵∠DAF=90°,∠DAE=45°, ∴∠FAE=∠DAF﹣∠DAE=45°. 在△ AED 与△ AEF 中, , ∴△AED≌△AEF(SAS) ,①正确; ②∵∠BAC=90°,AB=AC, ∴∠ABE=∠C=45°. ∵点 D、E 为 BC 边上的两点,∠DAE=45°, ∴AD 与 AE 不一定相等,∠AED 与∠ADE 不一定相等, ∵∠AED=45°+∠BAE,∠ADE=45°+∠CAD, ∴∠BAE 与∠CAD 不一定相等, ∴△ABE 与△ ACD 不一定相似,②错误; ③∵∠BAC=∠DAF=90°, ∴∠BAC﹣∠BAD=∠DAF﹣∠BAD,即∠CAD=∠BAF. 在△ ACD 与△ ABF 中, , ∴△ACD≌△ABF(SAS) , ∴CD=BF, 由①知△ AED≌△AEF,
2 2 2

∴DE=EF. 在△ BEF 中,∵BE+BF>EF, ∴BE+DC>DE,③正确; ④由③知△ ACD≌△ABF, ∴∠C=∠ABF=45°, ∵∠ABE=45°, ∴∠EBF=∠ABE+∠ABF=90°. 2 2 2 在 Rt△ BEF 中,由勾股定理,得 BE +BF =EF , ∵BF=DC,EF=DE, ∴BE +DC =DE ,④正确. 所以正确的结论有①③④. 故选 C.
2 2 2

点评: 本题考查了勾股定理,全等三角形的判定与性质,等腰直角直角三角形的性质,三角 形三边关系定理,相似三角形的判定,此题涉及的知识面比较广,解题时要注意仔细 分析,有一定难度. 31、 (2013?天津)如图,在边长为 9 的正三角形 ABC 中,BD=3,∠ADE=60°,则 AE 的长 为 7 .

考点: 相似三角形的判定与性质;等边三角形的性质. 分析: 先根据边长为 9, BD=3, 求出 CD 的长度, 然后根据∠ADE=60°和等边三角形的性质, 证明△ ABD∽△DCE,进而根据相似三角形的对应边成比例,求得 CE 的长度,即可 求出 AE 的长度. 解答: 解:∵△ABC 是等边三角形, ∴∠B=∠C=60°,AB=BC; ∴CD=BC﹣BD=9﹣3=6; ∴∠BAD+∠ADB=120° ∵∠ADE=60°, ∴∠ADB+∠EDC=120°,
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∴∠DAB=∠EDC, 又∵∠B=∠C=60°, ∴△ABD∽△DCE, 则 即 = = , ,

解得:CE=2, 故 AE=AC﹣CE=9﹣2=7. 故答案为:7. 点评: 此题主要考查了相似三角形的判定和性质以及等边三角形的性质, 根据等边三角形的 性质证得△ ABD∽△DCE 是解答此题的关键. 32、 (2013 安顺) 在平行四边形 ABCD 中, E 在 DC 上, 若 DE: EC=1: 2, 则 BF: BE= .

考点:相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质. 分析:由题可知△ ABF∽△CEF,然后根据相似比求解. 解答:解:∵DE:EC=1:2 ∴EC:CD=2:3 即 EC:AB=2:3 ∵AB∥CD, ∴△ABF∽△CEF, ∴BF:EF=AB:EC=3:2. ∴BF:BE=3:5. 点评:此题主要考查了平行四边形、相似三角形的性质. 33、 (2013?钦州) 如图, DE 是△ ABC 的中位线, 则△ ADE 与△ ABC 的面积的比是 1: 4 .

考点: 分析:

相似三角形的判定与性质;三角形中位线定理.

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由中位线可知 DE∥BC,且 DE= BC;可得△ ADE∽△ABC,相似比为 1:2;根据 相似三角形的面积比是相似比的平方,即得结果. 解:∵DE 是△ ABC 的中位线, ∴DE∥BC,且 DE= BC, ∴△ADE∽△ABC,相似比为 1:2,

解答:

∵相似三角形的面积比是相似比的平方, ∴△ADE 与△ ABC 的面积的比为 1:4(或 ) . 点评: 本题要熟悉中位线的性质及相似三角形的判定及性质, 牢记相似三角形的面积比是相 似比的平方.

34、(13 年安徽省 4 分、13)如图,P 为平行四边形 ABCD 边 AD 上一 点,E、F 分别为 PB、PC 的中点,Δ PEF、Δ PDC、Δ PAB 的面积分别 为 S、S1、S2。若 S=2,则 S1+S2=

35、(2013?宁夏)△ ABC 中,D、E 分别是边 AB 与 AC 的中点,BC=4,下面四个结论: ①DE=2;②△ADE∽△ABC;③△ADE 的面积与△ ABC 的面积之比为 1:4;④△ADE 的 周长与△ ABC 的周长之比为 1:4;其中正确的有 ①②③ . (只填序号) 考点: 相似三角形的判定与性质;三角形中位线定理. 分析: 根据题意做出图形,点 D、E 分别是 AB、AC 的中点,可得 DE∥BC,DE= BC=2,
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则可证得△ ADE∽△ABC,由相似三角形面积比等于相似比的平方,证得△ ADE 的 面积与△ ABC 的面积之比为 1:4,然后由三角形的周长比等于相似比,证得△ ADE 的周长与△ ABC 的周长之比为 1:2,选出正确的结论即可. 解答: 解:∵在△ ABC 中,D、E 分别是 AB、AC 的中点, ∴DE∥BC,DE= BC=2, ∴△ADE∽△ABC, 故①②正确; ∵△ADE∽△ABC, = ,

∴△ADE 的面积与△ ABC 的面积之比为 1:4, △ ADE 的周长与△ ABC 的周长之比为 1:2, 故③正确,④错误. 故答案为:①②③.

点评: 此题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质,难度不大,注意掌握 数形结合思想的应用,要求同学们掌握相似三角形的周长之比等于相似比,面积比等 于相似比的平方. 36、(2013 年潍坊市)如图,直角三角形 ABC 中, ?ACB ? 90? , AB ? 10 , BC ? 6 ,在线段 AB 上取一点 D ,作 DF ? AB 交 AC 于 点 F .现将 ?ADF 沿 DF 折叠, 使点 A 落在线段 DB 上, 对应点记为 A1 ;

AD 的 中 点 E 的 对 应 点 记 为 E1 . 若 ?E1 FA1 ∽ ?E1 BF , 则
AD =__________.
答案:3.2 解:∵∠ACB=90°,AB=10,BC=6,∴AC= AB2-BC2 = 102-62 =8,设 AD=2x, ∵点 E 为 AD 的中点,将△ADF 沿 DF 折叠,点 A 对应点记为 A1,点 E 的对应点为 E1, ∴AE=DE=DE1=A1E1=x, ∵DF⊥AB,∠ACB=90°,∠A=∠A,∴△ABC∽△AFD,∴AD:AC =DF:BC , 即 2x:8 =DF:6 ,解得 DF=1.5x, 在 Rt△DE1F 中,E1F2= DF2+DE12 = 3.25 x 2 , 又∵BE1=AB-AE1=10-3x,△E1FA1∽△E1BF,∴E1F:A1E1 =BE1 :E1F ,∴E1F2=A1E1?BE1, 即 3.25x2=x(10-3x),解得 x=1.6 ,∴AD 的长为 2×1.6 =3.2. 考点:本题是一道综合性难题,主要考查轴对称变换,折叠,勾股定理,相似三角形的对应 边成比例. 点评:利用勾股定理列式求出 AC,设 AD=2x,得到 AE=DE=DE1=A1E1=x,然后求出 BE1, 再利用相似三角形对应边成比例列式求出 DF,然后利用勾股定理列式求出 E1F,然后根据 相似三角形对应边成比例列式求解得到 x 的值,从而可得 AD 的值. 37、 (2013?益阳) 如图, 在△ ABC 中, AB=AC, BD=CD, CE⊥AB 于 E. 求证: △ ABD∽△CBE.

考点: 相似三角形的判定. 专题: 证明题.

分析: 根据等腰三角形三线合一的性质可得 AD⊥BC,然后求出∠ADB=∠CEB=90°,再根 据两组角对应相等的两个三角形相似证明. 解答: 证明:在△ ABC 中,AB=AC,BD=CD, ∴AD⊥BC, ∵CE⊥AB, ∴∠ADB=∠CEB=90°, 又∵∠B=∠B, ∴△ABD∽△CBE. 点评: 本题考查了相似三角形的判定,等腰三角形三线合一的性质,比较简单,确定出两组 对应相等的角是解题的关键. 38、(2013 年佛山市)网格图中每个方格都是边长为 1 的正方形. 若 A,B,C,D,E,F 都是格点, 试说明△ABC∽△DEF. C F A B 第 17 题图 分析: 利用图形与勾股定理可以推知图中两个三角形的三条对应边成比例, 由此可以证得△ ABC∽△DEF. 解: 证明: ∵AC= ED=8, ∴ = = =2, , BC= = , AB=4, DF= =2 , EF= =2 , E D

∴△ABC∽△DEF. 点评:本题考查了相似三角形的判定、勾股定理.相似三角形相似的判定方法有: (1)平行线法:平行于三角形的一边的直线与其他两边相交,所构成的三角形与原三角形 相似; 这是判定三角形相似的一种基本方法.相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型,如图所 示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形; (2)三边法:三组对应边的比相等的两个三角形相似; (3)两边及其夹角法:两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似; (4)两角法:有两组角对应相等的两个三角形相似.

?A ? ?C ? 90 , 39、 (2013 成都市) 如图, 点B在线段 AC 上, 点 D,E 在 AC 同侧, BD ? BE ,
?

AD=BC. (1)求证:AC=AD+CE;

(2)若 AD=3,CE=5,点 P 为线段 AB 上的动点,连接 DP,作 PQ ? DP ,交直线 BE 于点 Q. i)若点 P 与 A,B 两点不重合,求

DP 的值; PQ

ii)当点 P 从 A 点运动到 AC 的中点时, 求线段 DQ 的中点所 经过的路径 (线段) 长。 (直接写出结果, 不必写出解答 ) 。

解析: (1)证明:∠A=∠C=90°DB⊥BE 有∠ADB+∠ABD=90°以及∠ABD+∠EBC=90° ∴∠ADB=∠EBC 又 AD=BC ∴Rt△ADB≌Rt△EBC ?AB=EC ∴AC=AB+BC=EC+AD (2) ⅰ)连结 DQ, ∠DPQ=∠DBQ=90°, ∴D,PB,Q 四点共圆. 且 DQ 为该圆直径,那么就有∠DQP=∠DBP ∴Rt△DPQ∽Rt△DAB

DP DA 3 ? ? PQ AB 5
ⅱ)P 到 AC 中点时,AP=4,AD=3,由勾股定理得 DP=5 由

5 34 DP 3 25 . DQ ? 又 DB ? 34 ? ? PQ ? 3 PQ 5 3

BQ ?

4 34 1 2 34 ∴ MM ? ? BQ ? 3 2 3

MM ? 即为中点运动轨迹。

40、 (2013?巴中)如图,在平行四边形 ABCD 中,过点 A 作 AE⊥BC,垂足为 E,连接 DE, F 为线段 DE 上一点,且∠AFE=∠B (1)求证:△ ADF∽△DEC; (2)若 AB=8,AD=6 ,AF=4 ,求 AE 的长.

考点: 相似三角形的判定与性质;勾股定理;平行四边形的性质. 分析: (1)利用对应两角相等,证明两个三角形相似△ ADF∽△DEC; (2)利用△ ADF∽△DEC,可以求出线段 DE 的长度;然后在在 Rt△ ADE 中,利用 勾股定理求出线段 AE 的长度. 解答: (1)证明:∵?ABCD,∴AB∥CD,AD∥BC, ∴∠C+∠B=180°,∠ADF=∠DEC. ∵∠AFD+∠AFE=180°,∠AFE=∠B, ∴∠AFD=∠C. 在△ ADF 与△ DEC 中,

∴△ADF∽△DEC. (2)解:∵?ABCD,∴CD=AB=8. 由(1)知△ ADF∽△DEC, ∴ ,∴DE= = =12. = =6.

在 Rt△ ADE 中,由勾股定理得:AE=

点评: 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质和勾股定理三个知识 点.题目难度不大,注意仔细分析题意,认真计算,避免出错. 41、 (2013?徐州)如图,在 Rt△ ABC 中,∠C=90°,翻折∠C,使点 C 落在斜边 AB 上某一 点 D 处,折痕为 EF(点 E、F 分别在边 AC、BC 上) (1)若△ CEF 与△ ABC 相似. ①当 AC=BC=2 时,AD 的长为 ; ②当 AC=3,BC=4 时,AD 的长为 1.8 或 2.5 ; (2)当点 D 是 AB 的中点时,△ CEF 与△ ABC 相似吗?请说明理由.

考点: 相似三角形的判定与性质;翻折变换(折叠问题) . 分析: (1)若△ CEF 与△ ABC 相似. ①当 AC=BC=2 时,△ ABC 为等腰直角三角形; ②当 AC=3,BC=4 时,分两种情况: (I)若 CE:CF=3:4,如答图 2 所示,此时 EF∥AB,CD 为 AB 边上的高; (II)若 CF:CE=3:4,如答图 3 所示.由相似三角形角之间的关系,可以推出 ∠A=∠ECD 与∠B=∠FCD,从而得到 CD=AD=BD,即 D 点为 AB 的中点; (2) 当点 D 是 AB 的中点时, △ CEF 与△ ABC 相似. 可以推出∠CFE=∠A, ∠C=∠C,

从而可以证明两个三角形相似. 解答: 解: (1)若△ CEF 与△ ABC 相似. ①当 AC=BC=2 时,△ ABC 为等腰直角三角形,如答图 1 所示.

此时 D 为 AB 边中点,AD=

AC=



②当 AC=3,BC=4 时,有两种情况: (I)若 CE:CF=3:4,如答图 2 所示.

∵CE:CF=AC:BC,∴EF∥BC. 由折叠性质可知,CD⊥EF,∴CD⊥AB,即此时 CD 为 AB 边上的高. 在 Rt△ ABC 中,AC=3,BC=4,∴BC=5,∴cosA=. AD=AC?cosA=3×=1.8; (II)若 CF:CE=3:4,如答图 3 所示.

∵△CEF∽△CAB,∴∠CEF=∠B. 由折叠性质可知,∠CEF+∠ECD=90°, 又∵∠A+∠B=90°, ∴∠A=∠ECD,∴AD=CD. 同理可得:∠B=∠FCD,CD=BD, ∴此时 AD=AB=×5=2.5. 综上所述,当 AC=3,BC=4 时,AD 的长为 1.8 或 2.5. (2)当点 D 是 AB 的中点时,△ CEF 与△ ABC 相似.理由如下: 如答图 3 所示,连接 CD,与 EF 交于点 Q. ∵CD 是 Rt△ ABC 的中线,∴CD=DB=AB,∴∠DCB=∠B.

由折叠性质可知,∠CQF=∠DQF=90°,∴∠DCB+∠CFE=90°, ∵∠B+∠A=90°,∴∠CFE=∠A, 又∵∠C=∠C,∴△CEF∽△CBA. 点评: 本题是几何综合题,考查了几何图形折叠问题和相似三角形的判定与性质.第(1) ②问需要分两种情况分别计算,此处容易漏解,需要引起注意. 42、 (2013?滨州) 某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示, 其中 BA=CD, BC=20cm,BC、EF 平行于地面 AD 且到地面 AD 的距离分别为 40cm、8cm.为使板凳两腿 底端 A、D 之间的距离为 50cm,那么横梁 EF 应为多长?(材质及其厚度等暂忽略不计) .

考点: 相似三角形的应用;等腰梯形的性质. 分析: 根据等腰梯形的性质,可得 AH=DG,EM=NF,先求出 AH、GD 的长度,再由 △ BEM∽△ BAH,可得出 EM,继而得出 EF 的长度. 解答: 解:由题意得,MH=8cm,BH=40cm,则 BM=32cm, ∵四边形 ABCD 是等腰梯形,AD=50cm,BC=20cm, ∴AH=(AD﹣BC)=15cm. ∵EF∥CD, ∵△BEM∽△BAH, ∴ = ,即 = ,

解得:EM=12, 故 EF=EM+NF+BC=2EM+BC=44cm. 答:横梁 EF 应为 44cm.

点评: 本题考查了相似三角形的应用及等腰梯形的性质, 解答本题的关键是熟练掌握等腰梯 形的性质,这些是需要我们熟练记忆的内容. 43、 (2013?眉山)在矩形 ABCD 中,DC=2 ,CF⊥BD 分别交 BD、AD 于点 E、F,连接 BF. (1)求证:△ DEC∽△FDC; (2)当 F 为 AD 的中点时,求 sin∠FBD 的值及 BC 的长度.

考点: 相似三角形的判定与性质;矩形的性质;解直角三角形. 分析: (1)根据题意可得∠DEC=∠FDC,利用两角法即可进行相似的判定; (2)根据 F 为 AD 的中点,可得 FB=FC,根据 AD∥BC,可得 FE:EC=FD:BC=1: 2,再由 sin∠FBD=EF:BF=EF:FC,即可得出答案,设 EF=x,则 EC=2x,利用(1) 的结论求出 x,在 Rt△ CFD 中求出 FD,继而得出 BC. 解答: 解: (1)∵∠DEC=∠FDC=90°,∠DCE=∠FCD, ∴△DEC∽△FDC. (2)∵F 为 AD 的中点,AD∥BC, ∴FE:EC=FD:BC=1:2,FB=FC, ∴FE:FC=1:3, ∴sin∠FBD=EF:BF=EF:FC= ; 设 EF=x,则 FC=3x, ∵△DEC∽△FDC, ∴ = ,即可得:6x =12,
2

解得:x= , 则 CF=3 , 在 Rt△ CFD 中,DF= = ,

∴BC=2DF=2 . 点评: 本题考查了相似三角形的判定与性质, 解答本题的关键是掌握相似三角形的判定定理 及相似三角形的性质:对应边成比例. 44、 (2013?株洲)已知在△ ABC 中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4.点 Q 是线段 AC 上的一 个动点,过点 Q 作 AC 的垂线交线段 AB(如图 1)或线段 AB 的延长线(如图 2)于点 P. (1)当点 P 在线段 AB 上时,求证:△ APQ∽△ABC; (2)当△ PQB 为等腰三角形时,求 AP 的长.

考点: 相似三角形的判定与性质; 等腰三角形的性质; 直角三角形斜边上的中线; 勾股定理. 分析: (1)由两对角相等(∠APQ=∠C,∠A=∠A) ,证明△ APQ∽△ABC; (2)当△ PQB 为等腰三角形时,有两种情况,需要分类讨论. (I)当点 P 在线段 AB 上时,如题图 1 所示.由三角形相似(△ APQ∽△ABC)关 系计算 AP 的长; (II)当点 P 在线段 AB 的延长线上时,如题图 2 所示.利用角之间的关系,证明点 B 为线段 AP 的中点,从而可以求出 AP. 解答: (1)证明:∵∠A+∠APQ=90°,∠A+∠C=90°, ∴∠APQ=∠C. 在△ APQ 与△ ABC 中, ∵∠APQ=∠C,∠A=∠A, ∴△APQ∽△ABC.
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(2)解:在 Rt△ ABC 中,AB=3,BC=4,由勾股定理得:AC=5. ∵∠BPQ 为钝角, ∴当△ PQB 为等腰三角形时,只可能是 PB=PQ. (I)当点 P 在线段 AB 上时,如题图 1 所示. 由(1)可知,△ APQ∽△ABC, ∴ ,即 ,解得:PB= ,

∴AP=AB﹣PB=3﹣ = ; (II)当点 P 在线段 AB 的延长线上时,如题图 2 所示. ∵BP=BQ,∴∠BQP=∠P, ∵∠BQP+∠AQB=90°,∠A+∠P=90°, ∴∠AQB=∠A, ∴BQ=AB, ∴AB=BP,点 B 为线段 AB 中点, ∴AP=2AB=2×3=6. 综上所述,当△ PQB 为等腰三角形时,AP 的长为 或 6. 点评: 本题考查相似三角形及分类讨论的数学思想,难度不大.第(2)问中,当△ PQB 为 等腰三角形时,有两种情况,需要分类讨论,避免漏解.

考点:相似形综合题. 专题:综合题. 分析: (1)如图 1,过 A 作 AE 垂直于 BC,在直角三角形 ABE 中,由∠B=45°,AB=x,利 用锐角三角函数定义表示出 AE,三角形 PAD 的面积以 AD 为底,AE 为高,利用三角形面 积公式表示出,根据已知的面积即可列出 y 与 x 的函数关系式; (2)根据∠APC=∠APD+∠CPD,以及∠APC 为三角形 ABP 的外角,利用外角性质得到 关系式,等量代换得到∠BAP=∠CPD,再由四边形 ABCD 为等腰梯形,得到一对底角相等 及 AB=CD,可得出三角形 ABP 与三角形 PDC 相似,由相似得比例,将 CD 换为 AB,由 y 的值求出 x 的值,即为 AB 的值,即可求出 PB?PC 的值; 45、 (2013 福省福州 21)如图,等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠B=45°,P 是 BC 边上一 点,△ PAD 的面积为,设 AB=x,AD=y (1)求 y 与 x 的函数关系式; (2)若∠APD=45°,当 y=1 时,求 PB?PC 的值; (3)若∠APD=90°,求 y 的最小值. (3)取 AD 的中点 F,过 P 作 PH 垂直于 AD,由直角三角形 PF 大于等于 PH,当 PF=PH 时,PF 最小,此时 F 与 H 重合,由三角形 APD 为直角三角形,利用直角三角形斜边上的 中线等于斜边的一半得到 PF 等于 AD 的一半,表示出 PF 即为 PH,三角形 APD 面积以 AD 为底,PH 为高,利用三角形面积公式表示出三角形 APD 面积,由已知的面积求出 y 的值, 即为最小值. 解答:解: (1)如图 1,过 A 作 AE⊥BC 于点 E, 在 Rt△ ABE 中,∠B=45°,AB=x, ∴AE=AB?sinB= ∵S△ APD= x,

1 1 AD?AE= , 2 2 1 1 ∴ ?y? x= , 2 2
则 y= ;

(2)∵∠APC=∠APD+∠CPD=∠B+∠BAP,∠APD=∠B=45°, ∴∠BAP=∠CPD, ∵四边形 ABCD 为等腰梯形, ∴∠B=∠C,AB=CD, ∴△ABP∽△PCD, ∴ = ,
2

∴PB?PC=AB?DC=AB , 当 y=1 时,x= ,即 AB=



则 PB?PC=( ) =2; (3)如图 2,取 AD 的中点 F,连接 PF, 过 P 作 PH⊥AD,可得 PF≥PH, 当 PF=PH 时,PF 有最小值, ∵∠APD=90°, ∴PF=AD=y, ∴PH=y,

2

1 1 ?AD?PH= , 2 2 1 1 1 2 ∴ ?y? y= ,即 y =2, 2 2 2
∵S△ APD= ∵y>0,∴y= , 则 y 的最小值为 .

点评:此题考查了相似形综合题,涉及的知识有:等腰梯形的性质,相似三角形的判定与性 质,直角三角形斜边上的中线性质,以及三角形的面积求法,熟练掌握相似三角形的判定与 性质是解本题的关键. 46、 (2013?苏州)如图,点 P 是菱形 ABCD 对角线 AC 上的一点,连接 DP 并延长 DP 交边 AB 于点 E,连接 BP 并延长交边 AD 于点 F,交 CD 的延长线于点 G. (1)求证:△ APB≌△APD; (2)已知 DF:FA=1:2,设线段 DP 的长为 x,线段 PF 的长为 y. ①求 y 与 x 的函数关系式; ②当 x=6 时,求线段 FG 的长.

考点: 相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;菱形的性质. 分析: (1)根据菱形的性质得出∠DAP=∠PAB,AD=AB,再利用全等三角形的判定得出 △ APB≌△APD;
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(2) ①首先证明△ DFP≌△BEP, 进而得出 即可得出答案;

= ,

= , 进而得出

=

, 即 = ,

②根据①中所求得出 PF=PE=4,DP=PB=6,进而得出

=

= ,求出即可.

解答: (1)证明:∵点 P 是菱形 ABCD 对角线 AC 上的一点,

∴∠DAP=∠PAB,AD=AB, ∵在△ APB 和△ APD 中 , ∴△APB≌△APD(SAS) ; (2)解:①∵△APB≌△APD, ∴DP=PB,∠ADP=∠ABP, ∵在△ DFP 和△ BEP 中, , ∴△DFP≌△BEP(ASA) , ∴PF=PE,DF=BE, ∵GD∥AB, ∴ = ,

∵DF:FA=1:2, ∴ ∴ ∵ = , = , = ,即 = , = ,

∴y= x;

②当 x=6 时,y= ×6=4, ∴PF=PE=4,DP=PB=6, ∵ ∴ = = ,

= ,

解得:FG=5, 故线段 FG 的长为 5. 点评: 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识, 根据 平行关系得出 = , = 是解题关键.

47、 (2013?衢州) 【提出问题】 (1)如图 1,在等边△ ABC 中,点 M 是 BC 上的任意一点(不含端点 B、C) ,连结 AM, 以 AM 为边作等边△ AMN,连结 CN.求证:∠ABC=∠ACN. 【类比探究】

(2)如图 2,在等边△ ABC 中,点 M 是 BC 延长线上的任意一点(不含端点 C) ,其它条 件不变, (1)中结论∠ABC=∠ACN 还成立吗?请说明理由. 【拓展延伸】 (3)如图 3,在等腰△ ABC 中,BA=BC,点 M 是 BC 上的任意一点(不含端点 B、C) , 连结 AM,以 AM 为边作等腰△ AMN,使顶角∠AMN=∠ABC.连结 CN.试探究∠ABC 与∠ACN 的数量关系,并说明理由.

考点: 相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质. 分析: (1)利用 SAS 可证明△ BAM≌△CAN,继而得出结论; (2)也可以通过证明△ BAM≌△CAN,得出结论,和(1)的思路完全一样. (3)首先得出∠BAC=∠MAN,从而判定△ ABC∽△AMN,得到 = ,根据

∠BAM=∠BAC﹣∠MAC,∠CAN=∠MAN﹣∠MAC,得到∠BAM=∠CAN,从而 判定△ BAM∽△CAN,得出结论. 解答: (1)证明:∵△ABC、△ AMN 是等边三角形,

∴AB=AC,AM=AN,∠BAC=∠MAN=60°, ∴∠BAM=∠CAN, ∵在△ BAM 和△ CAN 中,

∴△BAM≌△CAN(SAS) , ∴∠ABC=∠ACN. (2)解:结论∠ABC=∠ACN 仍成立. 理由如下:∵△ABC、△ AMN 是等边三角形, ∴AB=AC,AM=AN,∠BAC=∠MAN=60°, ∴∠BAM=∠CAN,

∵在△ BAM 和△ CAN 中,

∴△BAM≌△CAN(SAS) , ∴∠ABC=∠ACN. (3)解:∠ABC=∠ACN. 理由如下:∵BA=BC,MA=MN,顶角∠ABC=∠AMN, ∴底角∠BAC=∠MAN, ∴△ABC∽△AMN, ∴ = ,

又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC,∠CAN=∠MAN﹣∠MAC, ∴∠BAM=∠CAN, ∴△BAM∽△CAN, ∴∠ABC=∠ACN. 点评: 本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质,解答本题的关键是 仔细观察图形,找到全等(相似)的条件,利用全等(相似)的性质证明结论. 48、 (2013?绍兴)在△ ABC 中,∠CAB=90°,AD⊥BC 于点 D,点 E 为 AB 的中点,EC 与 AD 交于点 G,点 F 在 BC 上. (1)如图 1,AC:AB=1:2,EF⊥CB,求证:EF=CD. (2)如图 2,AC:AB=1: ,EF⊥CE,求 EF:EG 的值.

考点: 相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质. 分析: (1)根据同角的余角相等得出∠CAD=∠B,根据 AC:AB=1:2 及点 E 为 AB 的中 点,得出 AC=BE,再利用 AAS 证明△ ACD≌△BEF,即可得出 EF=CD; (2) 作 EH⊥AD 于 H, EQ⊥BC 于 Q, 先证明四边形 EQDH 是矩形, 得出∠QEH=90°, 则∠FEQ=∠GEH, 再由两角对应相等的两三角形相似证明△ EFQ∽△EGH, 得出 EF:
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EG=EQ:EH,然后在△ BEQ 中,根据正弦函数的定义得出 EQ= BE,在△ AEH 中, 根据余弦函数的定义得出 EH= AE,又 BE=AE,进而求出 EF:EG 的值.

解答: (1)证明:如图 1, 在△ ABC 中,∵∠CAB=90°,AD⊥BC 于点 D,

∴∠CAD=∠B=90°﹣∠ACB. ∵AC:AB=1:2,∴AB=2AC, ∵点 E 为 AB 的中点,∴AB=2BE, ∴AC=BE. 在△ ACD 与△ BEF 中, , ∴△ACD≌△BEF, ∴CD=EF,即 EF=CD; (2)解:如图 2,作 EH⊥AD 于 H,EQ⊥BC 于 Q, ∵EH⊥AD,EQ⊥BC,AD⊥BC, ∴四边形 EQDH 是矩形, ∴∠QEH=90°, ∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG, 又∵∠EQF=∠EHG=90°, ∴△EFQ∽△EGH, ∴EF:EG=EQ:EH. ∵AC:AB=1: ,∠CAB=90°, ∴∠B=30°. 在△ BEQ 中,∵∠BQE=90°, ∴sin∠B= = ,

∴EQ= BE. 在△ AEH 中,∵∠AHE=90°,∠AEH=∠B=30°, ∴cos∠AEH= ∴EH= AE. = ,

∵点 E 为 AB 的中点,∴BE=AE, ∴EF:EG=EQ:EH= BE: AE=1: .

点评: 本题考查了相似三角形的判定和性质、 全等三角形的判定和性质、 矩形的判定和性质, 解直角三角形,综合性较强,有一定难度.解题的关键是作辅助线,构造相似三角形, 并且证明四边形 EQDH 是矩形. 49、(2013 年广东省 8 分、22)如题 22 图,矩形 ABCD 中,以对角线 BD 为一边构造一个矩 形 BDEF,使得另一边 EF 过原矩形的顶点 C. (1)设 Rt△CBD 的面积为 S1, Rt△BFC 的面积为 S2, Rt△DCE 的面积为 S3 , 则 S1______ S2+ S3(用“>”、“=”、“<”填空); (2)写出题 22 图中的三对相似三角形,并选择其中一对进行证明. 解析: (1) S1= S2+ S3; (2)△BCF∽△DBC∽△CDE; 选△BCF∽△CDE 证明:在矩形 ABCD 中,∠BCD=90°且点 C 在边 EF 上,∴∠BCF+∠DCE=90° 在矩形 BDEF 中,∠F=∠E=90°,∴在 Rt△BCF 中,∠CBF+∠BCF=90° ∴∠CBF=∠DCE,∴△BCF∽△CDE. 50 、 (2013 年 广 东 省 9 分 、 25 压 轴 题 ) 有 一 副 直 角 三 角 板 , 在 三 角 板 ABC 中 , ∠ BAC=90°,AB=AC=6,在三角板 DEF 中, ∠FDE=90°,DF=4,DE= 4 3 .将这副直角三角板按如题 25 图(1)所示位置摆放,点 B 与点 F 重合,直角边 BA 与 FD 在同一条直线上.现固定三角板 ABC,将三角板 DEF 沿射线 BA 方向平 行移动,当点 F 运动到点 A 时停止运动. (1)如题 25 图(2),当三角板 DEF 运动到点 D 与点 A 重合时,设 EF 与 BC 交于点 M, 则∠EMC=______度; (2)如题 25 图(3),在三角板 DEF 运动过程中,当 EF 经过点 C 时,求 FC 的长; (3)在三角板 DEF 运动过程中,设 BF= x ,两块三角板重叠部分面积为 y ,求 y 与 x 的函数解 析式,并求出对应的 x 取值范围.

解析: (1)15;(2)在 Rt△CFA 中,AC=6,∠ACF=∠E=30°,∴FC=

3 AC ?4 3 =6 ÷ cos 30? 2

(3)如图(4),设过点 M 作 MN⊥AB 于点 N,则 MN∥DE,∠NMB=∠B=45°,∴NB=NM,NF=NB-FB=MN-x ∵MN∥DE ∴△FMN∽FED,∴

MN MN ? x 3? 3 MN FN ,即 ,∴ MN ? ? x ? 2 DE FD 4 4 3
A C G E

①当 0 ? x ? 2 时,如图(4) ,设 DE 与 BC 相交于点 G ,则 DG=DB=4+x ∴ y ? S ?BGD ? S BMF ?

1 1 1 1 3D ? 3 ? DB ? DG ? ? BF ? MN ? (4 ? x) 2 ? ? x ? x 2 2 2 2 2
N F B
D A N

即y??

1? 3 2 x ? 4x ? 8 ; 4

M

②当 2 ? x ? 6 ? 2 3 时,如图(5),

题 25 图(4)
C M E

y ? S ?BCA ? S BMF ?

1 1 1 1 3? 3 ? AC 2 ? ? BF ? MN ? ? 36 ? x ? x 2 2 2 2 2

即y??

3? 3 2 x ? 18 ; 4
D A

F

③当 6 ? 2 3 ? x ? 4 时, 如图(6) 设 AC 与 EF 交于点 H, ∵AF=6-x,∠AHF=∠E=30° ∴AH= 3 AF ?

B

题 25 图(5)
E H C

3 (6 ? x )
F

y ? S ?FHA ?

1 3 (6 ? x ) ? 3 (6 ? x ) ? (6 ? x ) 2 2 2
1? 3 2 x ? 4x ? 8 4

综上所述,当 0 ? x ? 2 时, y ? ?

B

当2 ? x ? 6? 2 3 , y ? ?

3? 3 2 x ? 18 4 3 (6 ? x ) 2 2

当 6 ? 2 3 ? x ? 4 时, y ?

51、 (2013?遵义)如图,在 Rt△ ABC 中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm.动点 M,N 从点 C 同时出发,均以每秒 1cm 的速度分别沿 CA、CB 向终点 A,B 移动,同时动点 P 从点 B 出发,以每秒 2cm 的速度沿 BA 向终点 A 移动,连接 PM,PN,设移动时间为 t(单位:秒, 0<t<2.5) . (1)当 t 为何值时,以 A,P,M 为顶点的三角形与△ ABC 相似?

(2)是否存在某一时刻 t,使四边形 APNC 的面积 S 有最小值?若存在,求 S 的最小值; 若不存在,请说明理由.

考点: 相似形综合题. 分析: 根据勾股定理求得 AB=5cm. (1)分类讨论:△ AMP∽△ABC 和△ APM∽△ABC 两种情况.利用相似三角形的 对应边成比例来求 t 的值; (2)如图,过点 P 作 PH⊥BC 于点 H,构造平行线 PH∥AC,由平行线分线段成比
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例求得以 t 表示的 PH 的值; 然后根据“S=S△ ABC﹣S△ BPH”列出 S 与 t 的关系式 S= (t ﹣ )+
2

(0<t<2.5) ,则由二次函数最值的求法即可得到 S 的最小值.

解答: 解:∵如图,在 Rt△ ABC 中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm. ∴根据勾股定理,得 =5cm.

(1)以 A,P,M 为顶点的三角形与△ ABC 相似,分两种情况: ①当△ AMP∽△ABC 时, 解得 t= ; ②当△ APM∽△ABC 时, = ,即 = , = ,即 = ,

解得 t=0(不合题意,舍去) ; 综上所述,当 t= 时,以 A、P、M 为顶点的三角形与△ ABC 相似;

(2)存在某一时刻 t,使四边形 APNC 的面积 S 有最小值.理由如下: 假设存在某一时刻 t,使四边形 APNC 的面积 S 有最小值. 如图,过点 P 作 PH⊥BC 于点 H.则 PH∥AC, ∴ = ,即 = ,

∴PH= t, ∴S=S△ ABC﹣S△ BPH, = ×3×4﹣ ×(3﹣t)? t,

= (t﹣ ) + ∵ >0, ∴S 有最小值.

2

(0<t<2.5) .

当 t= 时,S 最小值=

. .

答:当 t= 时,四边形 APNC 的面积 S 有最小值,其最小值是

点评: 本题综合考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例,二次函数最值的求 法以及三角形面积公式.解答(1)题时,一定要分类讨论,以防漏解.另外,利用 相似三角形的对应边成比例解题时,务必找准对应边. 52、 (2013?泰州)如图,在矩形 ABCD 中,点 P 在边 CD 上,且与 C、D 不重合,过点 A 作 AP 的垂线与 CB 的延长线相交于点 Q,连接 PQ,M 为 PQ 中点. (1)求证:△ ADP∽△ABQ; (2)若 AD=10,AB=20,点 P 在边 CD 上运动,设 DP=x,BM =y,求 y 与 x 的函数关系 式,并求线段 BM 的最小值; (3)若 AD=10,AB=a,DP=8,随着 a 的大小的变化,点 M 的位置也在变化.当点 M 落 在矩形 ABCD 外部时,求 a 的取值范围.
2

考点: 相似形综合题. 分析: (1)由对应两角相等,证明两个三角形相似; (2)如解答图所示,过点 M 作 MN⊥QC 于点 N,由此构造直角三角形 BMN,利用 勾股定理求出 y 与 x 的函数关系式,这是一个二次函数,求出其最小值; (3) 如解答图所示, 当点 M 落在矩形 ABCD 外部时, 须满足的条件是“BE>MN”. 分 别求出 BE 与 MN 的表达式,列不等式求解,即可求出 a 的取值范围. 解答: (1)证明:∵∠QAP=∠BAD=90°,

∴∠QAB=∠PAD, 又∵∠ABQ=∠ADP=90°, ∴△ADP∽△ABQ. (2)解:∵△ADP∽△ABQ, ∴ ,即 ,解得 QB=2x.

∵DP=x,CD=AB=20,∴PC=CD﹣DP=20﹣x. 如解答图所示,过点 M 作 MN⊥QC 于点 N, ∵MN⊥QC,CD⊥QC,点 M 为 PQ 中点,∴点 N 为 QC 中点,MN 为中位线, ∴MN=PC=(20﹣x)=10﹣x, BN=QC﹣BC=(BC+QB)﹣BC=(10+2x)﹣10=x﹣5. 在 Rt△ BMN 中, 由勾股定理得: BM =MN +BN = (10﹣x) + (x﹣5) =x ﹣20x+125, 2 ∴y=x ﹣20x+125(0≤x≤20) . 2 2 ∵y=x ﹣20x+125=(x﹣4) +45, ∴当 x=4 即 DP=4 时,y 取得最小值为 45,BM 的最小值为 = . (3)解:设 PQ 与 AB 交于点 E. 如解答图所示,点 M 落在矩形 ABCD 外部,须满足的条件是 BE>MN. ∵△ADP∽△ABQ, ∴ ,即 ,解得 QB=a.
2 2 2 2 2 2

∵AB∥CD,∴△QBE∽△QCP,



,即

,解得 BE=



∵MN 为中位线,∴MN=PC=(a﹣8) . ∵BE>MN,∴ >(a﹣8) ,解得 a>12.5.

∴当点 M 落在矩形 ABCD 外部时,a 的取值范围为:a>12.5.

点评: 本题综合考查了相似三角形的判定与性质、中位线、勾股定理、二次函数的最值、解 一元一次不等式等知识点,涉及考点较多,有一定的难度.解题关键是:第(2)问 2 中,由 BM =y,容易联想到直角三角形与勾股定理;由最值容易联想到二次函数;第 (3)问中需要明确“点 M 落在矩形 ABCD 外部”所要满足的条件.

53、 (2013?呼和浩特)如图,在边长为 3 的正方形 ABCD 中,点 E 是 BC 边上的点,BE=1, ∠AEP=90°,且 EP 交正方形外角的平分线 CP 于点 P,交边 CD 于点 F, (1) 的值为 ;

(2)求证:AE=EP; (3)在 AB 边上是否存在点 M,使得四边形 DMEP 是平行四边形?若存在,请给予证明; 若不存在,请说明理由.

考点: 正方形的性质;全等三角形的判定与性质;平行四边形的判定. 分析: (1) 由正方形的性质可得: ∠B=∠C=90°, 由同角的余角相等, 可证得: ∠BAE=∠CEF, 根据同角的正弦值相等即可解答; (2)在 BA 边上截取 BK=NE,连接 KE,根据角角之间的关系得到∠AKE=∠ECP, 由 AB=CB,BK=BE,得 AK=EC,结合∠KAE=∠CEP,证明△ AKE≌△ECP,于是 结论得出; (3)作 DM⊥AE 于 AB 交于点 M,连接 ME、DP,易得出 DM∥EP,由已知条件证 明△ ADM≌△BAE,进而证明 MD=EP,四边形 DMEP 是平行四边形即可证出. 解答: (1)解:∵四边形 ABCD 是正方形, ∴∠B=∠D, ∵∠AEP=90°, ∴∠BAE=∠FEC,
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在 Rt△ ABE 中,AE= ∵sin∠BAE= ∴ = , =sin∠FEC=

= ,



(2)证明:在 BA 边上截取 BK=NE,连接 KE, ∵∠B=90°,BK=BE, ∴∠BKE=45°, ∴∠AKE=135°, ∵CP 平分外角, ∴∠DCP=45°, ∴∠ECP=135°, ∴∠AKE=∠ECP, ∵AB=CB,BK=BE, ∴AB﹣BK=BC﹣BE,

即:AK=EC, 易得∠KAE=∠CEP, ∵在△ AKE 和△ ECP 中, , ∴△AKE≌△ECP(ASA) , ∴AE=EP; (3)答:存在. 证明:作 DM⊥AE 于 AB 交于点 M, 则有:DM∥EP,连接 ME、DP, ∵在△ ADM 与△ BAE 中, , ∴△ADM≌△BAE(AAS) , ∴MD=AE, ∵AE=EP, ∴MD=EP, ∴MD EP,

∴四边形 DMEP 为平行四边形.

点评: 此题考查了相似三角形的判定与性质, 全等三角形的判定与性质以及正方形的性质等 知识.此题综合性很强,图形比较复杂,解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅 助线的准确选择. 54、 (2013 泰安)如图,四边形 ABCD 中,AC 平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,E 为 AB 的中点, 2 (1)求证:AC =AB?AD; (2)求证:CE∥AD; (3)若 AD=4,AB=6,求 的值.

考点:相似三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线. 分析: (1)由 AC 平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,可证得△ ADC∽△ACB,然后由相似 三角形的对应边成比例,证得 AC =AB?AD; (2)由 E 为 AB 的中点,根据在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半,即可证得 CE=AB=AE,继而可证得∠DAC=∠ECA,得到 CE∥AD; (3)易证得△ AFD∽△CFE,然后由相似三角形的对应边成比例,求得 解答: (1)证明:∵AC 平分∠DAB, ∴∠DAC=∠CAB, ∵∠ADC=∠ACB=90°, ∴△ADC∽△ACB, ∴AD:AC=AC:AB, 2 ∴AC =AB?AD; (2)证明:∵E 为 AB 的中点, ∴CE=AB=AE, ∴∠EAC=∠ECA, ∵∠DAC=∠CAB, ∴∠DAC=∠ECA, ∴CE∥AD; (3)解:∵CE∥AD, ∴△AFD∽△ CFE, ∴AD:CE=AF:CF, ∵CE=AB, ∴CE=×6=3, ∵AD=4, ∴ ∴ , . 的值.
2

点评:此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质.此 题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用. 55、 (2013?苏州)如图,点 O 为矩形 ABCD 的对称中心,AB=10cm,BC=12cm,点 E、F、 G 分别从 A、B、C 三点同时出发,沿矩形的边按逆时针方向匀速运动,点 E 的运动速度为 1cm/s,点 F 的运动速度为 3cm/s,点 G 的运动速度为 1.5cm/s,当点 F 到达点 C(即点 F 与

点 C 重合)时,三个点随之停止运动.在运动过程中,△ EBF 关于直线 EF 的对称图形是 △ EB′F.设点 E、F、G 运动的时间为 t(单位:s) . (1)当 t= 2.5 s 时,四边形 EBFB′为正方形; (2)若以点 E、B、F 为顶点的三角形与以点 F,C,G 为顶点的三角形相似,求 t 的值; (3)是否存在实数 t,使得点 B′与点 O 重合?若存在,求出 t 的值;若不存在,请说明理 由.

考点: 相似形综合题. 分析: (1)利用正方形的性质,得到 BE=BF,列一元一次方程求解即可; (2)△ EBF 与△ FCG 相似,分两种情况,需要分类讨论,逐一分析计算; (3)本问为存在型问题.假设存在,则可以分别求出在不同条件下的 t 值,它们互相 矛盾,所以不存在. 解答: 解: (1)若四边形 EBFB′为正方形,则 BE=BF, 即:10﹣t=3t, 解得 t=2.5;
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(2)分两种情况,讨论如下: ①若△ EBF∽△FCG, 则有 ,即 ,

解得:t=2.8; ②若△ EBF∽△GCF, 则有 ,即 ,

解得:t=﹣14﹣2 (不合题意,舍去)或 t=﹣14+2 . ∴当 t=2.8s 或 t=(﹣14+2 )s 时,以点 E、B、F 为顶点的三角形与以点 F,C, G 为顶点的三角形相似. (3)假设存在实数 t,使得点 B′与点 O 重合. 如图,过点 O 作 OM⊥BC 于点 M,则在 Rt△ OFM 中,OF=BF=3t,FM= BC﹣BF=6 ﹣3t,OM=5, 2 2 2 由勾股定理得:OM +FM =OF , 2 2 2 即:5 +(6﹣3t) =(3t)

解得:t=



过点 O 作 ON⊥AB 于点 N,则在 Rt△ OEN 中,OE=BE=10﹣t,EN=BE﹣BN=10﹣t ﹣5=5﹣t,ON=6, 由勾股定理得:ON +EN =OE , 2 2 2 即:6 +(5﹣t) =(10﹣t) 解得:t=3.9. ∵ ≠3.9,
2 2 2

∴不存在实数 t,使得点 B′与点 O 重合. 点评: 本题为运动型综合题,考查了矩形性质、轴对称、相似三角形的判定性质、勾股定理、 解方程等知识点.题目并不复杂,但需要仔细分析题意,认真作答.第(2)问中, 需要分类讨论,避免漏解;第(3)问是存在型问题,可以先假设存在,然后通过推 导出互相矛盾的结论,从而判定不存在. 56、 (2013?包头)如图,在正方形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,点 E 是 BC 上 的一个动点,连接 DE,交 AC 于点 F. (1)如图①,当 时,求 的值; OA;

(2)如图②当 DE 平分∠CDB 时,求证:AF=

(3)如图③,当点 E 是 BC 的中点时,过点 F 作 FG⊥BC 于点 G,求证:CG= BG.

考点: 相似形综合题. 分析: (1)利用相似三角形的性质求得 EF 于 DF 的比值,依据△ CEF 和△ CDF 同高,则面 积的比就是 EF 与 DF 的比值,据此即可求解; (2) 利用三角形的外角和定理证得∠ADF=∠AFD, 可以证得 AD=AF, 在直角△ AOD 中,利用勾股定理可以证得;
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(3)连接 OE,易证 OE 是△ BCD 的中位线,然后根据△ FGC 是等腰直角三角形, 易证△ EGF∽△ECD,利用相似三角形的对应边的比相等即可证得. 解答: (1)解:∵ = , ∴ = .

∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AD∥BC,AD=BC, ∴△CEF∽△ADF, ∴ ∴ = = , = ,



=

= ;

(2)证明:∵DE 平分∠CDB,∴∠ODF=∠CDF, 又∵AC、BD 是正方形 ABCD 的对角线. ∴∠ADO=∠FCD=45°,∠AOD=90°,OA=OD,而∠ADF=∠ADO+∠ODF, ∠AFD=∠FCD+∠CDF, ∴∠ADF=∠AFD,∴AD=AF, 在直角△ AOD 中,根据勾股定理得:AD= ∴AF= OA. = OA,

(3)证明:连接 OE. ∵点 O 是正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 的交点. ∴点 O 是 BD 的中点. 又∵点 E 是 BC 的中点, ∴OE 是△ BCD 的中位线, ∴OE∥CD,OE= CD, ∴△OFE∽△CFD. ∴ ∴ = = ,

= .

又∵FG⊥BC,CD⊥BC, ∴FG∥CD, ∴△EGF∽△ECD, ∴ = = .

在直角△ FGC 中,∵∠GCF=45°.

∴CG=GF, 又∵CD=BC, ∴ ∴ = = ,

= .

∴CG= BG.

点评: 本题是勾股定理、三角形的中位线定理、以及相似三角形的判定与性质的综合应用, 理解正方形的性质是关键. 57、(2013 哈尔滨)如图,在平面直角坐标系中,点 0 为坐标原点,A 点的坐标为(3,0), 以 0A 为边作等边三角形 OAB,点 B 在第一象限,过点 B 作 AB 的垂线交 x 轴于点 C.动点 P 从 0 点出发沿 0C 向 C 点运动,动点 Q 从 B 点出发沿 BA 向 A 点运动,P,Q 两点同时出发,速 度均为 1 个单位/秒。设运动时间为 t 秒. (1)求线段 BC 的长; (2)连接 PQ 交线段 OB 于点 E, 过点 E 作 x 轴的平行线交线段 BC 于点 F。 设线段 EF 的长 为 m,求 m 与 t 之间的函数关系式,并直接写出自变量 t 的取值范围: 1 1 1 (3)在(2)的条件下,将△BEF 绕点 B 逆时针旋转得到△BE F ,使点 E 的对应点 E 落在线 段 AB 上, 点 F 的对应点是 F , E F 交 x 轴于点 G, 连接 PF、 QG, 当 t 为何值时, 2BQ-PF=
1 1 1

3 QG? 3

考点: 等边三角形判定与性质、 相似三角形判定与性质、 直角三角形的判定、 三角形内角和、 等腰三角形判定,一元一次方程 0, 分析:(1)由△AOB 为等边三角形得∠ACB=∠OBC=30 由此 CO=OB=AB=OA=3,在 RT△ABC 中,AC 为 6 ,从而 BC= 3 3 (2)过点 Q 作 QN∥0B 交 x 轴于点 N,先证△AQN 为等边三角形,从而 NQ=NA=AQ=3-t,NON=3- (3-t)=t

PN=t+t=2t,再由△POE∽△PNQ 后 对应边成比例计算得 OE ?

3 1 ? t 再由 EF=BE 易得出 m 2 2

与 t 之间的函数关系式 0 (3)先证△AE’G 为等边三角形,再证∠QGA=90 通过两边成比例夹角相等得△FCP∽△BCA 再用含 t 的式子表示 BQ、、PF、QG 通过解方程求 出 解答:(1)解:如图 l∵△AOB 为等边三角形 ∴∠BAC=∠AOB=60。 0 0 0 ∵BC⊥AB ∴∠ABC=90 ∴∠ACB=30 ∠OBC=30 ∴∠ACB=∠OBC ∴CO=OB=AB=OA=3 ∴AC=6 ∴BC=

3 AC= 3 3 2

(2)解:如图 l 过点 Q 作 QN∥0B 交 x 轴于点 N 0 ∴∠QNA=∠BOA=60 =∠QAN ∴QN=QA ∴△AQN 为等边三角形 ∴NQ=NA=AQ=3-t ∴NON=3- (3-t)=t ∴PN=t+t=2t ∴OE∥QN.∴△POE∽△PNQ ∴

OE PO ? QN PN
OE 1 3 1 ? ∴ OE ? ? t 3?t 2 2 2



∵EF∥x 轴 0 ∴∠BFE=∠BCO=∠FBE=30 ∴EF=BE∴m=BE=OB-OE ? (0<t<3) (3)解:如图 2

1 3 t? 2 2

? ?BE1 F 1 ? ?BEF ? 180? ? ?EBF ? ?EFB ? 120?
∴∠AEG=600=∠EAG 1 ∴GE =GA ∴△AE’G 为等边三角形

1 3 3 1 ? QE1 ? BE1 ? BQ ? m ? t ? t ? ? t ? ? t 2 2 2 2 3 1 ? QE1 ? GA ? AE1 ? AB ? BE1 ? BQ ? ? t ? QE1 2 2
∴∠l=∠2 ∠3=∠4 0 0 ∵∠l+∠2+∠3+∠4=180 ∴∠2+∠3=90 0 即∠QGA=90

∵EF∥OC

?

BF BE ? BC BO

?

BF m 3 3 3 ? ? BF ? 3m ? t? 2 2 3 3 3

? BC ? CF ?

3 1 3? 3 2 2

CP ? CO ? OP ? 3 ? t
3 1 3? 3t CF 2 3 ? t CP 2 ? ? ? ? CB 6 CA 3 3
∵∠FCP=∠BCA ∴△FCP∽△BCA.

?

3 3?t 3 3 1 PF CP 3?t ∵ 2BQ—PF= QG ∴ 2t ? ? ?( 3 ? 3t ) ∴ t=1 ∴ ? ? PF ? 3 2 3 2 2 AB CA 2

当 t=1 时,2BQ—PF=

3 QG 3

58、 (2013?十堰) 如图 1, △ ABC 中, CA=CB, 点 O 在高 CH 上, OD⊥CA 于点 D, OE⊥CB 于点 E,以 O 为圆心,OD 为半径作⊙O. (1)求证:⊙O 与 CB 相切于点 E; (2)如图 2,若⊙O 过点 H,且 AC=5,AB=6,连接 EH,求△ BHE 的面积和 tan∠BHE 的 值.

考点: 切线的判定与性质;勾股定理;相似三角形的判定与性质. 专题: 计算题. 分析: (1)由 CA=CB,且 CH 垂直于 AB,利用三线合一得到 CH 为角平分线,再由 OD 垂直于 AC,OE 垂直于 CB,利用角平分线定理得到 OE=OD,利用切线的判定方法 即可得证; (2)由 CA=CB,CH 为高,利用三线合一得到 AH=BH,在直角三角形 ACH 中,利 用勾股定理求出 CH 的长,由圆 O 过 H,CH 垂直于 AB,得到圆 O 与 AB 相切,由 (1)得到圆 O 与 CB 相切,利用切线长定理得到 BE=BH,如图所示,过 E 作 EF 垂
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直于 AB,得到 EF 与 CH 平行,得出△ BEF 与△ BCH 相似,由相似得比例,求出 EF 的长,由 BH 与 EF 的长,利用三角形面积公式即可求出△ BEH 的面积;根据 EF 与 BE 的长,利用勾股定理求出 FB 的长,由 BH﹣BF 求出 HF 的长,利用锐角三角形函 数定义即可求出 tan∠BHE 的值. 解答: (1)证明:∵CA=CB,点 O 在高 CH 上, ∴∠ACH=∠BCH, ∵OD⊥CA,OE⊥CB, ∴OE=OD, ∴圆 O 与 CB 相切于点 E; (2)解:∵CA=CB,CH 是高, ∴AH=BH= AB=3, ∴CH= =4,

∵点 O 在高 CH 上,圆 O 过点 H, ∴圆 O 与 AB 相切于 H 点, 由(1)得圆 O 与 CB 相切于点 E, ∴BE=BH=3, 如图,过 E 作 EF⊥AB,则 EF∥CH, ∴△BEF∽△BCH, ∴ = ,即 = , = , = , ,

解得:EF=

∴S△ BHE= BH?EF= ×3× 在 Rt△ BEF 中,BF= ∴HF=BH﹣BF=3﹣ = , 则 tan∠BHE= =2.

点评: 此题考查了切线的判定与性质,相似三角形的判定与性质,勾股定理,熟练掌握切线 的判定与性质是解本题的关键. 59、 (2013?咸宁)阅读理解:

如图 1, 在四边形 ABCD 的边 AB 上任取一点 E (点 E 不与点 A、 点 B 重合) , 分别连接 ED, EC,可以把四边形 ABCD 分成三个三角形,如果其中有两个三角形相似,我们就把 E 叫做 四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点; 如果这三个三角形都相似, 我们就把 E 叫做四边形 ABCD 的边 AB 上的强相似点.解决问题: (1) 如图 1, ∠A=∠B=∠DEC=55°, 试判断点 E 是否是四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点, 并说明理由; (2)如图 2,在矩形 ABCD 中,AB=5,BC=2,且 A,B,C,D 四点均在正方形网格(网 格中每个小正方形的边长为 1)的格点(即每个小正方形的顶点)上,试在图 2 中画出矩形 ABCD 的边 AB 上的一个强相似点 E; 拓展探究: (3)如图 3,将矩形 ABCD 沿 CM 折叠,使点 D 落在 AB 边上的点 E 处.若点 E 恰好是四 边形 ABCM 的边 AB 上的一个强相似点,试探究 AB 和 BC 的数量关系.

考点: 相似形综合题. 分析: (1)要证明点 E 是四边形 ABCD 的 AB 边上的相似点,只要证明有一组三角形相似 就行,很容易证明△ ADE∽△BEC,所以问题得解. (2)根据两个直角三角形相似得到强相似点的两种情况即可. (3) 因为点 E 是梯形 ABCD 的 AB 边上的一个强相似点, 所以就有相似三角形出现, 根据相似三角形的对应线段成比例,可以判断出 AE 和 BE 的数量关系,从而可求出 解. 解答: 解: (1)点 E 是四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点. 理由:∵∠A=55°, ∴∠ADE+∠DEA=125°. ∵∠DEC=55°, ∴∠BEC+∠DEA=125°. ∴∠ADE=∠BEC. (2 分) ∵∠A=∠B, ∴△ADE∽△BEC. ∴点 E 是四边形 ABCD 的 AB 边上的相似点. (2)作图如下:

(3)∵点 E 是四边形 ABCM 的边 AB 上的一个强相似点, ∴△AEM∽△BCE∽△ECM, ∴∠BCE=∠ECM=∠AEM. 由折叠可知:△ ECM≌△DCM, ∴∠ECM=∠DCM,CE=CD, ∴∠BCE=∠BCD=30°, ∴BE=CE=AB. 在 Rt△ BCE 中,tan∠BCE= ∴ ∴ , . =tan30°,

点评: 本题考查了相似三角形的判定和性质,矩形的性质,梯形的性质以及理解相似点和强 相似点的概念等,从而可得到结论.

60、(2013 年黄石)如图 1,点 C 将线段 AB 分成两部分,如果

AC BC ,那么称点 C 为 ? AB AC

线段 AB 的黄金分割点。某数学兴趣小组在进行课题研究时,由黄金分割点联想到“黄 金分割线”,类似地给出“黄金分割线”的定义:直线将一个面积为 S 的图形分成两部 分,这两部分的面积分别为 S1 、 S 2 ,如果

S1 S 2 ? ,那么称直线为该图形的黄金分割 S S1

线. (1)如图 2,在△ ABC 中, ?A ? 36 °, AB ? AC , ?C 的平分线交 AB 于点 D , 请问点 D 是否是 AB 边上的黄金分割点,并证明你的结论; (2)若△ ABC 在(1)的条件下,如图(3),请问直线 CD 是不是△ ABC 的黄金分 割线,并证明你的结论; (3)如图 4,在直角梯形 ABCD 中, ?D ? ?C ? 90? ,对角线 AC 、 BD 交于点 F , 延长 AB 、 DC 交于点 E ,连接 EF 交梯形上、下底于 G 、 H 两点,请问直线 GH 是 不是直角梯形 ABCD 的黄金分割线,并证明你的结论. C C A · A · C 图1 · B A D 图2 B 图3 D B D C 图4 E A B H F

解析: 解:(1)点 D 是 AB 边上的黄金分割点,理由如下: ∵ ?A ? 36 °, AB ? AC ∴ ?B ? ?ACB ? 72 ° ∵ CD 平分 ?ACB ∴ ?DCB ? 36 ° ∴ ?BDC ? ?B ? 72 ° ∵ ?A ? ?BCD , ?B ? ?B ∴ △BCD ∽ △BAC

BC BD ? AB BC 又∵ BC ? CD ? AD AD BD ∴ ? AB AB ∴ D 是 AB 边上的黄金分割点 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (3 分) (2)直线 CD 是△ ABC 的黄金分割线,理由如下: 设 △ ABC 的边 AB 上的高为 h ,则 1 1 1 S ?ADC ? AD ? h , S ?DBC ? BD ? h , S ?ABC ? AB ? h 2 2 2
∴ ∴ S ? ADC : S ? ABC ? AD : AB , S ?DBC : S ? ADC ? BD : AD ∵ D 是 AB 的黄金分割点 ∴

AD BD ? AB AD

∴ S ? ADC : S ? ABC ? S ?DBC : S ? ADC ∴ CD 是△ ABC 的黄金分割线 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (3 分) (3) GH 不是直角梯形 ABCD 的黄金分割线 ∵ BC ∥ AD ∴ △EBG ∽ △EAH , △EGC ∽ △EHD ∴

BG EG ? AH EH GC EG ? HD EH

① ②

BG GC BG AH 即 ③ ? ? AH HD GC HD 同理,由 △BGF ∽ △DHF , △CGF ∽ △ AHF 得 BG GC BG HD 即 ④ ? ? HD AH GC AH
由①、 ②得

AH HD ? HD AH ∴ AH ? HD ∴ BG ? GC ∴ 梯形 ABGH 与梯形 GCDH 上下底分别相等,高也相等 1 ∴ S 梯形 ABGH ? S 梯形 GCDH ? S 梯形 ABCD 2 ∴ GH 不是直角梯形 ABCD 的黄金分割线 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (3 分)
由③、④得 61、 (2013?天津)在平面直角坐标系中,已知点 A(﹣2,0) ,点 B(0,4) ,点 E 在 OB 上, 且∠OAE=∠0BA. (Ⅰ)如图①,求点 E 的坐标; (Ⅱ)如图②,将△ AEO 沿 x 轴向右平移得到△ A′E′O′,连接 A′B、BE′. 2 2 2 2 ①设 AA′=m, 其中 0<m<2, 试用含 m 的式子表示 A′B +BE′ , 并求出使 A′B +BE′ 取得最小值时点 E′的坐标; ②当 A′B+BE′取得最小值时,求点 E′的坐标(直接写出结果即可) .

考点: 相似形综合题. 分析: (Ⅰ)根据相似三角形△ OAE∽△OBA 的对应边成比例得到
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=

,则易求 OE=1,

所以 E(0,1) ; 2 2 2 2 (Ⅱ) 如图②, 连接 EE′. 在 Rt△ A′BO 中, 勾股定理得到 A′B = (2﹣m) +4 =m 2 2 2 2 ﹣4m+20,在 Rt△ BE′E 中,利用勾股定理得到 BE′ =E′E +BE =m +9,则 2 2 2 2 A′B +BE′ =2m ﹣4m+29=2(m﹣1) +27.所以由二次函数最值的求法知,当 m=1 2 2 即点 E′的坐标是(1,1)时,A′B +BE′ 取得最小值. 解答: 解: (Ⅰ)如图①,∵点 A(﹣2,0) ,点 B(0,4) , ∴OA=2,OB=4. ∵∠OAE=∠0BA,∠EOA=∠AOB=90°, ∴△OAE∽△OBA, ∴ = ,即 = ,

解得,OE=1, ∴点 E 的坐标为(0,1) ;

(Ⅱ)①如图②,连接 EE′. 由题设知 AA′=m(0<m<2) ,则 A′O=2﹣m. 2 2 2 2 2 2 2 在 Rt△ A′BO 中,由 A′B =A′O +BO ,得 A′B =(2﹣m) +4 =m ﹣4m+20. ∵△A′E′O′是△ AEO 沿 x 轴向右平移得到的, ∴EE′∥AA′,且 EE′=AA′. ∴∠BEE′=90°,EE′=m. 又 BE=OB﹣OE=3, 2 2 2 2 ∴在 Rt△ BE′E 中,BE′ =E′E +BE =m +9, 2 2 2 2 ∴A′B +BE′ =2m ﹣4m+29=2(m﹣1) +27. 2 2 当 m=1 时,A′B +BE′ 可以取得最小值,此时,点 E′的坐标是(1,1) . ②如图②,过点 A 作 AB′⊥x,并使 AB′=BE=3. 易证△ AB′A′≌△EBE′, ∴B′A=BE′, ∴A′B+BE′=A′B+B′A′. 当点 B、A′、B′在同一条直线上时,A′B+B′A′最小,即此时 A′B+BE′取得 最小值. 易证△ AB′A′∽△OBA′, ∴ = = ,

∴AA′= ×2= , ∴EE′=AA′= , ∴点 E′的坐标是( ,1) .

点评: 本题综合考查了相似三角形的判定与性质、平移的性质以及勾股定理等知识点.此题 难度较大,需要学生对知识有一个系统的掌握.

62、 (2013?衡阳)如图,P 为正方形 ABCD 的边 AD 上的一个动点,AE⊥BP,CF⊥BP,垂 足分别为点 E、F,已知 AD=4. (1)试说明 AE +CF 的值是一个常数; (2)过点 P 作 PM∥FC 交 CD 于点 M,点 P 在何位置时线段 DM 最长,并求出此时 DM 的 值.
2 2

考点: 正方形的性质;二次函数的最值;全等三角形的判定与性质;勾股定理;相似三角形 的判定与性质. 分析: (1) 由已知∠AEB=∠BFC=90°, AB=BC, 结合∠ABE=∠BCF, 证明△ ABE≌△BCF, 2 2 2 2 2 可得 AE=BF,于是 AE +CF =BF +CF =BC =16 为常数; (2)设 AP=x,则 PD=4﹣x,由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP,△ PDM∽△BAP,列 出关于 x 的一元二次函数,求出 DM 的最大值. 解答: 解: (1)由已知∠AEB=∠BFC=90°,AB=BC, 又∵∠ABE+∠FBC=∠BCF+∠FBC, ∴∠ABE=∠BCF, ∵在△ ABE 和△ BCF 中,
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, ∴△ABE≌△BCF(AAS) , ∴AE=BF, 2 2 2 2 2 ∴AE +CF =BF +CF =BC =16 为常数; (2)设 AP=x,则 PD=4﹣x, 由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP, ∴△PDM∽△BAP, ∴ 即 ∴DM= = , = , =x﹣ x ,
2

当 x=2 时,DM 有最大值为 1. 点评: 本题主要考查正方形的性质等知识点, 解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定 定理以及三角形相似等知识,此题有一定的难度,是一道不错的中考试题.

63、 (2013?淮安压轴题)如图,在△ ABC 中,∠C=90°,BC=3,AB=5.点 P 从点 B 出发, 以每秒 1 个单位长度沿 B→C→A→B 的方向运动;点 Q 从点 C 出发,以每秒 2 个单位沿 C→A→B 方向的运动,到达点 B 后立即原速返回,若 P、Q 两点同时运动,相遇后同时停 止,设运动时间为 ι 秒. (1)当 ι= 7 时,点 P 与点 Q 相遇; (2)在点 P 从点 B 到点 C 的运动过程中,当 ι 为何值时,△ PCQ 为等腰三角形? (3)在点 Q 从点 B 返回点 A 的运动过程中,设△ PCQ 的面积为 s 平方单位. ①求 s 与 ι 之间的函数关系式; ②当 s 最大时,过点 P 作直线交 AB 于点 D,将△ ABC 中沿直线 PD 折叠,使点 A 落在直 线 PC 上,求折叠后的△ APD 与△ PCQ 重叠部分的面积.

考点: 相似形综合题. 分析: (1)首先利用勾股定理求得 AC 的长度,点 P 与点 Q 相遇一定是在 P 由 B 到 A 的过 程中,利用方程即可求得; (2) 分 Q 从 C 到 A 的时间是 3 秒, P 从 A 到 C 的时间是 3 秒, 则可以分当 0≤t≤2 时, 若△ PCQ 为等腰三角形,则一定有:PC=CQ,和当 2<t≤3 时,若△ PCQ 为等腰三角 形,则一定有 PQ=PC 两种情况进行讨论求得 t 的值; (3)在点 Q 从点 B 返回点 A 的运动过程中,P 一定在 AC 上,则 PC 的长度是 t﹣3, 然后利用相似三角形的性质即可利用 t 表示出 s 的值,然后利用二次函数的性质即可 求得 t 的值,从而求解. 解答: 解: (1)在直角△ ABC 中,AC= =4,
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则 Q 从 C 到 B 经过的路程是 9,需要的时间是 4.5 秒.此时 P 运动的路程是 4.5,P 和 Q 之间的距离是:3+4+5﹣4.5=7.5. 根据题意得: (t﹣4.5)+2(t﹣4.5)=7.5,解得:t=7. (2)Q 从 C 到 A 的时间是 3 秒,P 从 A 到 C 的时间是 3 秒. 则当 0≤t≤2 时,若△ PCQ 为等腰三角形,则一定有:PC=CQ,即 3﹣t=2t,解得:t=1. 当 2<t≤3 时,若△ PCQ 为等腰三角形,则一定有 PQ=PC(如图 1) .则 Q 在 PC 的中 垂线上,作 QH⊥AC,则 QH= PC.△ AQH∽△ABC, 在直角△ AQH 中,AQ=2t﹣4,则 QH= AQ= ∵PC=BC﹣BP=3﹣t, ∴ × (2t﹣4)=3﹣t, .

解得:t=



(3)在点 Q 从点 B 返回点 A 的运动过程中,P 一定在 AC 上,则 PC=t﹣3,BQ=2t ﹣9,即 AQ=5﹣(2t﹣9)=14﹣2t. 同(2)可得:△ PCQ 中,PC 边上的高是: (14﹣2t) , 故 s= (2t﹣9)× (14﹣2t)= (﹣t +10t﹣2) . 故当 t=5 时,s 有最大值,此时,P 在 AC 的中点. (如图 2) . ∵沿直线 PD 折叠,使点 A 落在直线 PC 上, ∴PD 一定是 AC 的中垂线. 则 AP= AC=2,PD= BC= , 则 S△ APD= AP?PD= ×2× = . AQ=14﹣2t=14﹣2×5=4. 则 PC 边上的高是: AQ= ×4= 则 S△ PCQ= PC? 故答案是:7. = ×2× = . .
2

点评: 本题是相似三角形的性质,勾股定理、以及方程的综合应用,正确进行分类讨论是关 键. 64、 (2013?娄底压轴题)如图,在△ ABC 中,∠B=45°,BC=5,高 AD=4,矩形 EFPQ 的一 边 QP 在 BC 边上,E、F 分别在 AB、AC 上,AD 交 EF 于点 H. (1)求证: ;

(2)设 EF=x,当 x 为何值时,矩形 EFPQ 的面积最大?并求出最大面积;

(3)当矩形 EFPQ 的面积最大时,该矩形 EFPQ 以每秒 1 个单位的速度沿射线 DA 匀速向 上运动(当矩形的边 PQ 到达 A 点时停止运动) ,设运动时间为 t 秒,矩形 EFPQ 与△ ABC 重叠部分的面积为 S,求 S 与 t 的函数关系式,并写出 t 的取值范围.

考点: 相似形综合题. 分析: (1)由相似三角形,列出比例关系式,即可证明; (2)首先求出矩形 EFPQ 面积的表达式,然后利用二次函数求其最大面积; (3)本问是运动型问题,要点是弄清矩形 EFPQ 的运动过程: (I)当 0≤t≤2 时,如答图①所示,此时重叠部分是一个矩形和一个梯形; (II)当 2<t≤4 时,如答图②所示,此时重叠部分是一个三角形. 解答: (1)证明:∵矩形 EFPQ, ∴EF∥BC,∴△AHF∽△ADC,∴ ∵EF∥BC,∴△AEF∽△ABC,∴ ∴ . , ,

(2)解:∵∠B=45°,∴BD=AD=4,∴CD=BC﹣BD=5﹣4=1. ∵EF∥BC,∴△AEH∽△ABD,∴ ∵EF∥BC,∴△AFH∽△ACD,∴ ∴ ,即 ,∴EH=4HF, , ,

已知 EF=x,则 EH=x. ∵∠B=45°,∴EQ=BQ=BD﹣QD=BD﹣EH=4﹣x. S 矩形 EFPQ=EF?EQ=x?(4﹣x)=﹣x +4x=﹣(x﹣) +5, ∴当 x=时,矩形 EFPQ 的面积最大,最大面积为 5. (3)解:由(2)可知,当矩形 EFPQ 的面积最大时,矩形的长为,宽为 4﹣×=2. 在矩形 EFPQ 沿射线 AD 的运动过程中: (I)当 0≤t≤2 时,如答图①所示.
2 2

设矩形与 AB、AC 分别交于点 K、N,与 AD 分别交于点 H1,D1. 此时 DD1=t,H1D1=2, ∴HD1=HD﹣DD1=2﹣t,HH1=H1D1﹣HD1=t,AH1=AH﹣HH1=2﹣t, . ∵KN∥EF,∴ ,即 ,得 KN=(2﹣t) .

S=S 梯形 KNFE+S 矩形 EFP1Q1=(KN+EF)?HH1+EF?EQ1 = [(2﹣t)+]×t+(2﹣t) = t +5;
2

(II)当 2<t≤4 时,如答图②所示.

设矩形与 AB、AC 分别交于点 K、N,与 AD 交于点 D2. 此时 DD2=t,AD2=AD﹣DD2=4﹣t, ∵KN∥EF,∴ ,即 ,得 KN=5﹣t.

S=S△ AKN=KN?AD2 =(5﹣t) (4﹣t) 2 =t ﹣5t+10. 综上所述,S 与 t 的函数关系式为:

S=



65、 (2013?温州压轴题)如图,在平面直角坐标系中,直线 AB 与 x 轴,y 轴分别交于点 A (6,0) ,B(0.8) ,点 C 的坐标为(0,m) ,过点 C 作 CE⊥AB 于点 E,点 D 为 x 轴上的 一动点,连接 CD,DE,以 CD,DE 为边作?CDEF. (1)当 0<m<8 时,求 CE 的长(用含 m 的代数式表示) ; (2)当 m=3 时,是否存在点 D,使?CDEF 的顶点 F 恰好落在 y 轴上?若存在,求出点 D 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)点 D 在整个运动过程中,若存在唯一的位置,使得?CDEF 为矩形,请求出所有满足条 件的 m 的值.

考点: 相似形综合题. 分析: (1)首先证明△ BCE∽△BAO,根据相似三角形的对应边的比相等即可求得; (2)证明△ EDA∽△BOA,根据相似三角形的对应边的比相等即可求得; (3)分 m>0,m=0 和 m<0 三种情况进行讨论,当 m=0 时,一定不成立,当 m>0 时,分 0<m<8 和 m>8 两种情况,利用三角函数的定义即可求解.当 m<0 时,分 点 E 与点 A 重合和点 E 与点 A 不重合时,两种情况进行讨论. 解答: 解: (1)∵A(6,0) ,B(0,8) . ∴OA=6,OB=8. ∴AB=10, ∵∠CEB=∠AOB=90°, 又∵∠OBA=∠EBC, ∴△BCE∽△BAO, ∴ = ,即 = ,

∴CE=

﹣ m;

(2)∵m=3, ∴BC=8﹣m=5,CE= ﹣ m=3.

∴BE=4, ∴AE=AB﹣BE=6. ∵点 F 落在 y 轴上(如图 2) . ∴DE∥BO, ∴△EDA∽△BOA, ∴ = 即 , ,0) . = .

∴OD=

∴点 D 的坐标为(

(3)取 CE 的中点 P,过 P 作 PG⊥y 轴于点 G. 则 CP= CE= ﹣ m.

(Ⅰ)当 m>0 时, ①当 0<m<8 时,如图 3.易证∠GCP=∠BAO, ∴cos∠GCP=cos∠BAO= , ∴CG=CP?cos∠GCP= ( ∴OG=OC+OG=m+ ﹣ ﹣ m= m)= m+ . ﹣ m.

根据题意得,得:OG=CP, ∴ m+ = ﹣ m,

解得:m= ; ②当 m≥8 时,OG>CP,显然不存在满足条件的 m 的值. (Ⅱ)当 m=0 时,即点 C 与原点 O 重合(如图 4) . (Ⅲ)当 m<0 时, ①当点 E 与点 A 重合时, (如图 5) , 易证△ COA∽△AOB, ∴ = ,即 = ,

解得:m=﹣ . ②当点 E 与点 A 不重合时, (如图 6) . OG=OC﹣OG=﹣m﹣( =﹣ m﹣ . ﹣ m)

由题意得:OG=CP,

∴﹣

m﹣

= .



m.

解得 m=﹣

综上所述,m 的值是 或 0 或﹣ 或﹣



点评: 本题是相似三角形的判定于性质以及三角函数的综合应用,正确进行分类是关键.

66、 (13 年山东青岛、 24 压轴题) 已知, 如图, □ABCD 中, AD=3cm, CD=1cm, ∠B=45°, 点 P 从点 A 出发,沿 AD 方向匀速运动,速度为 3cm/s;点 Q 从点 C 出发,沿 CD 方向匀 速运动,速度为 1cm/s,连接并延长 QP 交 BA 的延长线于点 M,过 M 作 MN⊥BC,垂足是 N,设运动时间为 t(s)(0<t<1),解答下列问题: (1)当 t 为何值时,四边形 AQDM 是平行四边形? (2)设四边形 ANPM 的面积为 y (cm?),求 y 与 t 之间的函数关系式; (3) 是否存在某一时刻 t,使四边形 ANPM 的面积是□ABCD 面积的一半,若存在,求出 相应的 t 值,若不存在,说明理由 (4)连接 AC,是否存在某一时刻 t,使 NP 与 AC 的交点把线段 AC 分成 2 : 1 的两部分? 若存在,求出相应的 t 值,若不存在,说明理由

M A O Q B N C P D

A

D

B
第 24 题备用图

C

A

D

B
第 24 题备用图 解析:

C

解得:t=

3 2 ?1 , 4

当 AE:EC=1: 2 时, 同理可得:

1 AE BA ,即 ? ? CD CN 2

3 2 ?1 3t ,解得:t= , 7 2 3? (t ? 1) 2

答:当 t=

3 2 ?1 3 2 ?1 或 t= 时,NP 与 AC 的交点把线段 AC 分成 2 : 1 的两部分 4 7

67、(13 年安徽省 14 分、23 压轴题)我们把由不平行于底边的直线截等腰 三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”。如图 1,四边形 ABCD 即 为“准等腰梯形”。其中∠B=∠C。 (1)在图 1 所示的“准等腰梯形”ABCD 中,选择合适的一个顶点引一条 直线将四边形 ABCD 分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个 等腰三角形和一个梯形(画出一种示意图即可)。 (2)如图 2,在“准等腰梯形”ABCD 中,∠B=∠C,E 为边 BC 上一

点,若 AB∥DE,AE∥DC,求证:

AB BE ? DC EC

(3)在由不平行于 BC 的直线截Δ PBC 所得的四边形 ABCD 中,∠BAD 与∠ADC 的平分线交于点 E,若 EB=EC,请问当点 E 在四边形 ABCD 内部时(即图 3 所示情形),四边形 ABCD 是不是“准等腰梯形”, 为什么?若点 E 不在四边形 ABCD 内部时,情况又将如何?写出你的 结论(不必说明理由)

68、(2013 哈尔滨压轴题)已知:△ABD 和△CBD 关于直线 BD 对称(点 A 的对称点是点 C), 点 E、F 分别是线段 BC 和线段 BD 上的点,且点 F 在线段 EC 的垂直平分线上,连接 AF、AE,AE 交 BD 于点 G. (1)如图 l,求证:∠EAF=∠ABD; (2)如图 2,当 AB=AD 时,M 是线段 AG 上一点,连接 BM、ED、MF,MF 的延长线交 ED 于 点 N,∠MBF=

1 2 ∠BAF,AF= AD,试探究线段 FM 和 FN 之间的数量关系,并证明你的结论. 2 3

考点:本题考查了三角形全等的判断和性质,相似三角形的判断和性质,平行线分线段成比 例定理,轴对称性质,三角形四边形内角和,线段的垂直平分线性质

要求较高的视图能力和证明推理能力。 分析:(1)连接 FE、FC,先证△ABF、△CBF 全等,得∠FEC=∠BAF,通过四边形 ABEF 与三 角形 AEF 内角和导出; (2)先由△AFG∽△BFA,推出∠AGF=∠BAF,再得 BG=MG,通过△AGF

9 5 a,FD= a,过点 F 作 FQ∥ED 交 AE 于 Q,通过 BE∥AD 德线段成比例 2 2 4 8 8 35 7 设 EG=2kBG=MG=3k,GQ= EG= k ,MQ=3k+ k = k ,从而 FM= FN 本题综合考查了相似 9 9 9 9 2
∽△DGA,导出 GD= 三角形线段之间的比例关系、平行线分线段成比例定理等重要知识点,难度较大.在解题过 程中,涉及到数目较多的线段比,注意不要出错 解答:(1)证明:如图 1 连接 FE、FC ∵点 F 在线段 EC 的垂直平分线上 ∴.FE=FC ∴∠l=∠2 ∵△ABD 和△CBD 关于直线 BD 对称.∴AB=CB ∠4=∠3 BF=BF ∴△ABF≌ACBF ∴∠BAF=∠2 FA=FC ∴FE=FA ∠1=∠BAF. ∴∠5=∠6 ∵ 0 0 ∠l+∠BEF=180 ∠BAF+∠BEF=180 0 0 ∵∠ BAF+ ∠ BEF+ ∠ AFE+ ∠ ABE=360 ∴.∠ AFE+ ∠ ABE=180 又∵∠ AFE+ ∠ 5+ ∠ 0 6=180 ∴∠5+∠6=∠3+∠4 ∴∠5=∠4 即∠EAF=∠ABD (2)FM=

7 FN 2

证明:如图 2 由(1)可知∠EAF=∠ABD

又∵∠AFB=∠GFA ∴△AFG∽△BFA ∴∠AGF=∠BAF 又∵∠MBF=

1 1 ∠BAF.∠MBF= ∠AGF 2 2

又∵∠AGF=∠MBG+∠BMG ∴∠MBG=∠BMG ∴BG=MG ∵AB=AD ∴∠ADB=∠ABD=∠EAF 又∵∠FGA=∠AGD.∴△AGF∽△DGA.? 设 GF=2a AG=3a.∴GD= ∴FD==

GF AG AF 2 GF AG 2 ∵AF= AD? ? ? ? ? AG GD AD 3 AG GD 3

9 a 2

5 a∵∠CBD=∠ABD ∠ABD=∠ADB 2 BG EG EG AG 2 ∴.∠CBD=∠ADB∴BE//AD.∴ ? ? ? ? GD AG BG GD 3
设 EG=2k∴BG=MG=3k 过点 F 作 FQ∥ED 交 AE 于 Q

?

4 GO GF 2a 4 ? ? ? ∴? GO ? QE 5 QE FD 5a 5 2 4 8 8 35 ∴GQ= EG= k . MQ=3k+ k = k 9 9 9 9
∵FQ∥ED?

MF MQ 7 7 ? ? ∴FM= FN 2 FN QE 2


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