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1.2.1 任意角的三角函数教案


1.2.1 任意角的三角函数
一、教学目标: 1.知识与技能 (1)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在 各象限的符号) ; (2)理解任意角的三角函数不同的定义方法; (3)了解如何利用与单位 圆有关的有向线段,将任意角α 的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正 切线表示出来; (4)掌握并能初步运用公式一; (5)树立映射观点,正确理解三角函数 是以实数为自变量的函数. 2.过程与方法 初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个 定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到 任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及 这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数 .讲解 例题,总结方法,巩固练习. 3.情感态度与价值观 任意角的三角函数可以有不同的定义方法,而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于 用角的终边上点的坐标的“比值”来定义,这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到 任意角的三角函数的推广, 有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数, 但 它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响, “从角的集合到比值的集合”的对应 关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突,而且“比值” 需要通过运算才能得到, 这与函数值是一个确定的实数也有不同, 这些都会影响学生对 三角函数概念的理解. 二、教学重、难点: 重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各 象限的符号) ;终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一). 难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各 象限的符号) ;三角函数线的正确理解.

第一课时 任意角的三角函数(一)
一、创设情境 y 提问:锐角 O 的正弦、余弦、正切怎样表示? 借助右图直角三角形,复习回顾. 引入:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数。 数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗? O 如图,设锐角 ? 的顶点与原点 O 重合,始边与 x 轴的正半轴重合, 那么它的终边在第一象限 . 在 ? 的终边上任取一点 P (a, b)

?

r M

P(a, b) , 它与原点的距离 r ? a ? b ? 0 . 过 P 作
2 2

a的终边
P(x,y ) O

y

x 轴的垂线 , 垂足为 M , 则线段 OM 的长度为 a , 线 MP b ? ; 段 MP 的长度为 b .则 sin ? ? OP r OM a MP b cos ? ? ? ; tan ? ? ? . OP r OM a

x

思考:对于确定的角 ? ,这三个比值是否会随点 P 在 ? 的终边上的位置的改变而改变 呢? 显然,我们可以将点取在使线段 OP 的长 r ? 1 的特殊位置上,这样就可以得到用直角 坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数:

sin ? ?

思考:上述锐角 ? 的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以 后, 我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改, 以利推广到任意角呢?本节课就研究 这个问题――任意角的三角函数. 二、探究新知 1. 探究 : 结合上述锐角 ? 的三角函数值的求法 , 我们应如何求解任意角的三角函数值 呢? 显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为 1,然后就可以类似 锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称 以原点 O 为圆心,以单位长度为半径的圆. 2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义? 如图,设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P ( x, y ) ,那么: (1) y 叫做 ? 的正弦,记做 sin ? ,即 sin ? ? y ; (2) x 叫做 ? 的余弦,记做 cos? ,即 cos? ? x ; (3)

MP ?b; OP

cos ? ?

OM ?a; OP

tan ? ?

MP b ? . OM a

y y 叫做 ? 的正切,记做 tan ? ,即 tan ? ? ( x ? 0) . x x

注意:当α 是锐角时,此定义与初中定义相同(指出对边,邻边,斜边所在) ;当α 不是 锐角时,也能够找出三角函数,因为,既然有角,就必然有终边,终边就必然与单位圆有交 点 P ( x, y ) ,从而就必然能够最终算出三角函数值. 3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角 函数值呢? 前面我们已经知道,三角函数的值与点 P 在终边上的位置无关,仅与角的大小有关.我 们只需计算点到原点的距离 r ?

x 2 ? y 2 ,那么 sin ? ?

y x ?y
2 2

, cos ? ?

x x ? y2
2

,

tan ? ?

y .所以,三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函 x

数, 又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系, 故三角函数也可以看成实数为自 变量的函数. 4.例题讲评 例1 求

5? 的正弦、余弦和正切值. 3

例 2 已知角 ? 的终边过点 P 0 (?3, ?4) ,求角 ? 的正弦、余弦和正切值. 教材给出这两个例题, 主要是帮助理解任意角的三角函数定义.我也可以尝试其他方法: 如例 2:设 x ? ?3, y ? ?4, 则 r ?

(?3) 2 ? (?4) 2 ? 5 .

于是 sin ? ?

y 4 x 3 y 4 ? ? , cos ? ? ? ? , tan ? ? ? . r 5 r 5 x 3

5.巩固练习 P15 第 1,2,3 题 6.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、 余弦和正切函数的定义域填入下表; 再 将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中: 定义域 三角函数 角度制 弧度制 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限

sin ?

cos?
tan ?
7.例题讲评 例 3 求证:当且仅当不等式组 {

sin ? ? 0

tan ? ? 0

成立时,角 ? 为第三象限角.

8.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系? 显然: 终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:

sin(? ? 2k? ) ? sin ? ; cos(? ? 2k? ) ? cos ? (其中 k ? Z ); tan(? ? 2k? ) ? tan ? 。
9.例题讲评 例 4 确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证: (1) cos 250 ;(2) sin( ?
?

?
4

) ;(3) tan(?672? ) ;(4) tan 3? 。

例 5 求下列三角函数值: (1) sin1480 10 ;(2) cos
? '

9? 11? )。 ;(3) tan(? 4 6
? ?

利用公式一,可以把求任意角的三角函数值 , 转化为求 0 到 2? (或 0 到 360 )角的三 角函数值. 另外可以直接利用计算器求三角函数值,但要注意角度制的问题. 10.巩固练习 P15 4-7 11.学习小结 (1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同? (2)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗? (3)请写出各三角函数的定义域; (4)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟练应用公式一吗? 12.作业

P20

1-5

第二课时

任意角的三角函数(二)

一、复习回顾 1.三角函数的定义; 2.三角函数在各象限角的符号; 3.三角函数在轴上角的值; 4.诱导公式(一) :终边相同的角的同一三角函数的值相等; 5.三角函数的定义域. 要求:记忆.并指出三角函数没有定义的地方一定是在轴上角,所以,凡是碰到轴上角 时,要结合定义进行分析;并要求在理解的基础上记忆. 二、探究新知 1.引入:角是一个图形概念,也是一个数量概念(弧度数).作为角的函数——三角函 数是一个数量概念(比值) ,但它是否也是一个图形概念呢?换句话说,能否用几何方式来 表示三角函数呢? 2.[边描述边画]以坐标原点为圆心,以单位长度 1 为半径画一个圆,这个圆就叫做单 位圆 (注意: 这个单位长度不一定就是 1 厘米或 1 米) . y 当角 ? 为第一象限角时,则其终边与单位圆必有一个 a角的终 边 交点 P ( x, y ) ,过点 P 作 PM ? x 轴交 x 轴于点 M , P T 则请你观察: 根 据 三 角 函 数 的 定 义 : | MP |?| y |?| sin ? | ; O M A x

| OM |?| x |?| cos ? |
随着 ? 在第一象限内转动,MP 、OM 是否也跟 着变化? 3.思考: (1)为了去掉上述等式中的绝对值符号,能否给线段 MP 、 OM 规定一个适 当的方向,使它们的取值与点 P 的坐标一致? (2)你能借助单位圆,找到一条如 MP 、 OM 一样的线段来表示角 ? 的正切值吗? 我们知道,指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角 ? 的终边不在坐标轴时, 以 O 为始点、 M 为终点,规定: 当线段 OM 与 x 轴同向时, OM 的方向为正向,且有正值 x ;当线段 OM 与 x 轴反向 时, OM 的方向为负向,且有正值 x ;其中 x 为 P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有

OM ? x ? cos ?
同理,当角 ? 的终边不在 x 轴上时,以 M 为始点、 P 为终点,规定: 当线段 MP 与 y 轴同向时, MP 的方向为正向,且有正值 y ;当线段 MP 与 y 轴反向 时, MP 的方向为负向,且有正值 y ;其中 y 为 P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有

MP ? y ? sin ?

4.像 MP、OM 这种被看作带有方向的线段,叫做有向线段. 5.如何用有向线段来表示角 ? 的正切呢? 如上图,过点 A(1,0) 作单位圆的切线 ,这条切线必然平行于轴 ,设它与 ? 的终边交于点

T ,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段 OA、AT ,我们有 y tan ? ? AT ? x 我们把这三条与单位圆有关的有向线段 MP、OM 、AT ,分别叫做角 ? 的正弦线、余
弦线、正切线,统称为三角函数线. 6.探究: (1)当角 ? 的终边在第二、第三、第四象限时,你能分别作出它们的正弦线、 余弦线和正切线吗? (2)当 ? 的终边与 x 轴或 y 轴重合时,又是怎样的情形呢?

7.例题讲解 例 1 已知

?
4

?? ?

?
2

,试比较 ? , tan ? ,sin ? ,cos ? 的大小.

处理:师生共同分析解答,目的体会三角函数线的用处和实质. 8.练习 P17 1-4 9.学习小结 (1)了解有向线段的概念. (2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段,将任意角 ? 的正弦、余弦、正切函数值分 别用正弦线、余弦线、正切线表示出来. (3)体会三角函数线的简单应用. 10.作业:P21 6-9


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