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【一本通】2014届高考数学一轮复习 第2章 幂函数与二次函数 理


第二章 第八节 幂函数与二次函数
一、选择题 1.下列函数中,其定义域、值域不同的是(
1

)

A.y=x 2 C.y=x
1 3

B.y=x D.y=x

-1

2

解析:对 A,定义域、值域均为[0,+∞);对 B,定义域、值域均为(-∞,0) ∪(0,+∞);对 C,定义域、值域均为 R;对 D,定义域为 R,值域为[0,+∞). 答案:D 2.已知函数 y=ax +bx+c,如果 a>b>c,且 a+b+c=0,则它的图象是(
2

)

解析:由 a>b>c,a+b+c=0 知 a>0,c<0,因而图象开口向上,又 f(0)= c<0,故 D 项符合要求. 答案:D 3.已知函数 f(x)=x +bx+c 且 f(1+x)=f(-x),则下列不等式中成立的是( A.f(-2)<f(0)<f(2) C.f(0)<f(2)<f(-2) 解析:∵f(1+x)=f(-x), ∴(x+1) +b(x+1)+c=x -bx+c. ∴x +(2+b)x+1+b+c=x -bx+c. ∴2+b=-b,即 b=-1. 1 2 ∴f(x)=x -x+c,其图象的对称轴为 x= . 2 ∴f(0)<f(2)<f(-2). 答案:C 4.二次函数 f(x)=x -ax+4,若 f(x+1)是偶函数,则实数 a 的值为( A.-1 C.-2 B.1 D.2
2 2 2 2 2 2 2 2

)

B.f(0)<f(-2)<f(2) D.f(2)<f(0)<f(-2)

)

解析:由题意 f(x+1)=(x+1) -a(x+1)+4=x +(2-a)x+5-a 为偶函数, 所以 2-a=0,a=2. 答案:D

1

5.若函数 f(x)是幂函数,且满足 A.-3 C.3
α

f? 4? 1 =3,则 f( )的值为( f? 2? 2

)

1 B.- 3 D. 1 3

α f? 4? 4 解 析:设 f(x)=x ,则由 =3,得 α =3. f? 2? 2

1 1 α 1 1 α ∴2 =3,∴f( )=( ) = α = . 2 2 2 3 答案:D 6.方程 x +ax-2=0 在区间[1,5]上有解,则实数 a 的取值范围为 ( 23 A.(- ,+∞) 5 23 C.[- ,1] 5 解析:令 f(x)=x +ax-2, 由题意,知 f(x)图象与 x 轴在[1,5]上有交点, 则{f? 1? ≤0,?f? 5? 答案:C 二、填空题 7.已知(0.7 ) <(1.3 ) ,则实数 m 的取值范围是________. 解析:∵0<0.7 <0.7 =1,1.3 >1.3 =1, ∴0.7 <1.3 .而(0.7 ) <(1.3 ) , ∴幂函数 y=x 在(0,+∞)上单调递增,故 m>0. 答案:(0,+∞) 8.设 n∈N ,一元二次方程 x -4x+n=0 有整数根的充要条件是 n=________. 解析:由于方程有整数根,因此,由判别式 Δ =16-4n≥0 得“1≤n≤4”,逐个分析,当 n=1、2 时,方程没有整数解;而当 n=3 时,方程有正整数解 1、3;当 n=4 时,方程有正整数解 2. 答案:3 或 4 9.若方程 x +(k-2)x+2k-1=0 的两根中,一根在 0 和 1 之间,另一根在 1 和 2 之间,则实数 k 的 取值范围是________.
2 * 2 1.3 0.7 1.3 m 0.7 m 1.3 0 0.7 0 1.3 m 0.7 m 2 2

)

B.(1,+∞) 23 D.(-∞,- ] 5

≥0.

23 ∴- ≤a≤1. 5

m

?f? 0? >0,? ? 解析:设 f(x)=x +(k-2)x+2k-1,由题意知?f? 1? <0,? ?f? 2? >0, ?
2



2

?2k-1>0,? ? ?3k-2<0,? ?4k-1>0, ?
1 2 答案:( , ) 2 3 三、解答题

1 2 解得 <k< . 2 3

2 7 m 10.已知函数 f(x)= -x 且 f(4)=- , x 2 (1)求 m 的值; (2)求 f(x)的单调区间. 2 7 m m 解析:(1)f(4)= -4 =- ,∴4 =4. 4 2 2 ∴m=1.故 f(x)= -x.

x

(2)由(1)知,f(x)=2·x -x, 定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且为奇函数, 又 y=x ,y=-x 均为减函数, 故在(-∞,0),(0,+ ∞)上 f(x)均为减函数. ∴f(x)的单调减区间为(-∞,0),( 0,+∞). 11.已知二次函数 f(x)有两个零点 0 和-2,且 f(x)最小值是-1,函数 g(x)与 f(x)的图象关于原点 对称. (1)求 f(x)和 g(x)的解析式; (2)若 h(x)=f(x)-λ g(x)在区间[-1,1]上是增函数,求实数 λ 的取值范围. 解析:(1)依题意,设 f(x)=ax(x+2)=ax +2ax(a>0). ∵f(x)图象的对称轴是 x=-1, ∴f(-1)=-1,即 a-2a=-1,得 a=1. ∴f(x)=x +2x. 又∵函数 g(x)的图象与 f(x)的图象关于原点对称, ∴g(x)=-f(-x)=-x +2x. (2)由(1)得 h(x)=x +2x-λ (-x +2x) =(λ +1)x +2(1-λ )x. ①当 λ =-1 时,h(x)=4x 满足在区间[-1,1]上是增函数; λ -1 ②当 λ <-1 时,h(x)图象对称轴是 x= , λ +1 则 λ -1 ≥1,又 λ <- 1,解得 λ <-1; λ +1
3
2 2 2 2 2 2 -1

-1

λ -1 ③当 λ >-1 时,同 理则需 ≤-1, λ +1 又 λ >-1,解得-1<λ ≤0. 综上,满足条件的实数 λ 的取值范围是(-∞,0]. 12.已知函数 f(x)=ax +bx+c(a>0,b∈R,c∈R) . (1)若函数 f(x)的最小值是 f(-1)=0,且 c=1,
2

F(x)={f? x? ,x>0,?-f? x? ,x<0, 求 F(2)+F(-2)的值;
(2)若 a= 1,c=0,且|f(x)|≤1 在区间(0,1]上恒成立,试求 b 的取值范围. 解:(1)由已知 c=1,f(-1)=a-b+c=0,且- =-1,解得 a=1,b=2. 2a ∴f(x)=(x+1) .
? ?? x+1? ,x>0,? ∴F (x)=? 2 ? ?-? x+1? ,x<0.
2 2

b

∴F(2)+F(-2)=(2+1) +[-(-2+1) ]=8. 1 1 2 2 (2)由题知 f(x)=x +bx,原命题等价于-1≤x +bx≤1 在 x∈(0,1]上恒成立,即 b≤ -x 且 b≥-

2

2

x

x

-x 在 x∈(0,1]上恒成立, 1 根 据单调性可得 -x 的最小值为 0,

x

1 - -x 的最大值为-2,所以-2≤b≤0.

x

∴b 的取值范围为[-2,0]

4


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