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山东省济南第一中学2017届高三上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案


济南一中 2016—2017 学年度第一学期期末考试 高三数学试题(理科) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 满分 150 分.考试时间为 120 分钟, 注意事项: 1. 选择题必须用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写,字 体工整、笔迹清楚. 2. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿

纸、试题卷上答题无效. 3. 保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀. 第 I 卷(选择题共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? {x x2 ? 2x ? 3 ? 0}, B ? {x y ? ln(2 ? x)} ,则 A ? B ? ( A. (1,3) B. (1,3] C. [ ?1, 2) D. (?1, 2) )
1 1 正视图 2 侧视图

)

2.若复数 z 满足 z (1 ? i) ? 4 ? 2i(i 为虚数单位) ,则 | z |? ( A.

2

B.

3

C.

5

D.

10

3.某几何体的三视图(单位: cm )如右图所示,其中侧视图是一个 边长为 2 的正三角形,则这个几何体的体积是( A. 2??cm
3

) D.

B.

3??cm3

C. 3 3??cm

3

3??cm3

俯视图

第 3 题图

4.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0, ? ?

?
2

) 的最小正周期为 ? ,且其图像向左平移
)

? 个单位 3

后得到函数 g ( x) ? cos ? x 的图像,则函数 f ( x) 的图像( A.关于直线 x ?

?
12

对称

B.关于直线 x ? D.关于点 (

5? 对称 12

? C.关于点 ( ,0) 对称 12

5? ,0) 对称 12

5.甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相留念,则在甲乙相邻的条件下,甲丙也相邻的 概率为( A.
1 10

) B.
2 3

C.

1 3

D.

1 4

6 . 已 知 定义 在 R 上的函 数 f ( x ) 满 足 f ( ? x ) ? ? f ( x ), f ( x ? 1) ? f (1 ? x ) , 且当 x ? [ 0,1]

) 时, f ( x) ? log 2 ( x ? 1 ,则 f (31) = (

)
-1-

A. 0

B. 1 )

C. ?1

D. 2

7.下列说法正确的是(

A. “ x ? 0 ”是“ ln( x ? 1) ? 0 ”的充要条件 B. “ ?x ? 2 , x ? 3x ? 2 ? 0 ”的否定 是“ ?x ? 2, x ? 3x ? 2 ? 0 ” ..
2 2

C. 采用系统抽样法从某班按学号抽取 5 名同学参加活动,学号为 5,16,27,38,49 的同学 均被选出,则该班学生人数可能为 60 D. 在某项测量中,测量结果 X 服从正态分布 N (1, ? 2 )(? ? 0) ,若 X 在 (0,1) 内取值的概 率为 0.4,则 X 在 (0, 2) 内取值的概率为 0.8 8. 设 F1 , F2 为椭圆 的值为( A.
5 14
x2 9 ? y2 5

点 P 在椭圆上, 若线段 PF1 的中点在 y 轴上, 则 ? 1 的两个焦点,

PF2 PF1

) B.
5 13

C.

4 9

D.

5 9

?4 x ? y ? 8 ≥ 0 ? 9.已知变量 x, y 满足 ? x ? y ? 5 ≤ 0 , 若目标函数 z ? ax ? y(a ? 0) 取到最大值 6 ,则 a 的值为 ? y ? 1≥ 0 ?

( A. 2

) B.

5 4

5 C. 或2 4

D. ?2

? 1 ? 3,?? 1 ? x ? 0 ? 10.已知函数 g ( x) ? ? x ? 1 ,若方程 g ( x) ? mx ? m ? 0 有且仅有两个不等的 2 ? x ? 3x ? 2, 0 ? x ? 1 ?
实根,则实数 m 的取值范围是( A. ( ? ) B. (?

9 , ?2] ? [0, 2] 4

11 , ?2] ? [0, 2] 4

C. (? , ?2] ? [0, 2)

9 4

D. (?

11 , ?2] ? [0, 2) 4
开始

i ? 1, S ? 0
第Ⅱ卷(非选择题共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.执行如图所示的程序框图,则输出 S 的值为_______.
ai ? sin i ?? 3

S ? S ? ai
i ? 8?
否 输出 S 结束
第 11 题图

i ? i ?1


-2-

12. ?a ? x ? 1 ?

?

x 的展开式中 x 2 项的系数是 15,则展开式的所有

?

5

项系数的和是_______.

??? 1 ??? ?? ? ?? ? 13.在 Rt△ABC 中,∠A=90°,AB=AC=2,点 D 为 AC 中点,点 E 满足 BE ? BC ,则 AE ?BD
3

=. 14.如图,长方形的四个顶点为 O(0,0), A(4,0), B(4,2), C (0,2) , 曲线 y ?

x 经过点 B .现将一质点随机投入长方形 OABC 中,
y C B y= x

则质点落在图中阴影区域的概率是__________. 15.已知双曲线
y x ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0) 的渐近线被圆 2 a b
2 2

x2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 截得的弦长为 2 ,则该双曲线的离心率为
__________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)
O
第 14 题图

A

x

1,sin 2 x) 已知向量 m=(2cos x, 3) , n=( ,函数 f ( x) ? m ? n .
(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)在 ? ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B , C 的对边,且 f (C ) ? 3, c ? 1 , ab ? 2 3 ,且

??

2

?

?? ?

a ? b ,求 a, b 的值.

17. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?a n ? 的前 n 项和是 S n ,且 Sn ? an ? 1 (n ? N ) .
?

1 3

(Ⅰ)求数列 ?an ?的通项公式;
? (Ⅱ)设 bn ? log 4 (1 ? Sn?1 ) (n ? N ) , Tn ?

1 1 1 ? ? ?? ? ,求 Tn 的取值范围. b1b2 b2b3 bnbn?1

18. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 C ? PAB 中, AB ? BC , PB ? BC , PA ? PB ? 5, AB ? 6,BC ? 4, 点

M 是 PC 的中点,点 N 在线段 AB 上,且 MN ? AB .
(Ⅰ)求 AN 的长; (Ⅱ)求二面角 M ? NC ? A 的余弦值.

-3第 18 题图

19.(本小题满分 12 分) 甲乙两个地区高三年级分别有 33000 人,30000 人,为了了解两个地区全体高三年级学生 在该地区二模考试的数学成绩情况,采用分层抽样方法从两个地区一共抽取了 105 名学 生的数学成绩,并作出了如下的频数分布统计表,规定考试成绩在内为优秀. 甲地区:

乙地区:

(Ⅰ)计算 x,y 的值; (Ⅱ)根据抽样结果分别估计甲地区和乙地区的优秀率;若将此优秀率作为概率,现从 乙地区所有学生中随机抽取 3 人,求抽取出的优秀学生人数 的数学期望; (Ⅲ)根据抽样结果,从样本中优秀的学生中随机抽取 3 人,求抽取出的甲地区学生人 数 η 的分布列及数学期望.

20. (本小题满分 13 分) 如图所示, 已知椭圆 C1 和抛物线 C2 有公共焦点 F (1,0) ,C1 的中心和 C2 的顶点都在坐标原点,过点 M(4,0)的直线

l 与抛物线 C2 分别相交于 A、B 两点.
(Ⅰ)写出抛物线 C2 的标准方程; (Ⅱ)求证:以 AB 为直径的圆过原点; (Ⅲ)若坐标原点 O 关于直线 l 的对称点 P 在抛物线 C2
-4第 20 题图

上,直线 l 与椭圆 C1 有公共点,求椭圆 C1 的长轴长的最小值.

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? x ?

k 2 x , (k ? 0, 且k ? 1) . 2

(Ⅰ)当 k ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调减区间;
* (Ⅲ)当 k ? 0 时,设 f ( x) 在区间 [0, n](n ? N ) 上的最小值为 bn ,令 an ? ln(1 ? n) ? bn ,

求证:

a a ? ? ? a2n?1 a1 a1a3 ? ? ??? ? 1 3 ? 2an ? 1 ? 1, (n ? N * ) . a2 a2 a4 a2 a4 ? ? ? a2 n

济南一中 2016—2017 学年度第一学期期末考试 高三数学试题(理科)答案

一、 选择题 1-5 CDBCD 二、 填空题 11. 3 12.64 三、解答题 16.(1) f ( x) ? m ? n ? (2cos2 x , 3) ? (1, sin 2x ) ? 2cos2 x ? 3sin 2 x 13. ?2 14. 6-10 CDBBC

2 15. 3

6 2

??? ? ???

? cos 2 x ? 1 ? 3 sin 2 x ? 2sin(2 x ? ) ? 1 . ????????3 分 6
故最小正周期 T ?

?

2? ? ? ????????5 分 2

(2) f (C ) ? 2 sin( 2C ?

?
6

) ? 1 ? 3 ,? sin(2C ?

?
6

) ? 1,

-5-

?

C

















2C ?

?
6

?

?
2





C?

?
6

.
b2 ? a2 ? c2 3 ? 2ab 2

????????7 分

? cosC ?

即 ????????9 分



a2 ? b2 ? 7 .
将 ab ? 2 3 代入可得: a 2 ?

12 ? 7 ,解之得: a 2 ? 3 或 4, 2 a

? a ? 3或2 ,? b ? 2或 3 ????????11 分

? a ? b, ? a ? 2, b ? 3
17. ( 1 ) 当

????????12 分

n ?1





a1 ? s1





1 3 , S1 ? a ? 1 ? 1 a ? 3 4

1

????????1 分

1 ? S n ? an ? 1 1 ? 1 3 当 n ? 2 时, ? ? S n ? S n ?1 ? (an ? an ?1 ) ? 0 ? an ? an ?1 ? 4 3 ?S ? 1 a ? 1 n ?1 n ?1 ? 3 ?
∴ ?an ? 是以 列. 故 an ? 6分 (2)由(1)知 1 ? S n ?1 ?

3 1 为首项, 为公比的等比数 4 4
????????4 分

3 1 n?1 1 ( ) ? 3( )n (n ? N ? ) 4 4 4
1 1 an ?1 ? ( ) n ?1 , 3 4

???????

1 bn ? log 4 (1 ? S n ?1 ) ? log 4 ( ) n ?1 ? ?( n ? 1) ??????8 分 4
1 1 1 1 ? ? ? bnbn ?1 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ( ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? )? ? bnbn ?1 2 3 3 4 n ?1 n ? 2 2 n?2 Tn ? b1b2 b2b3

所以

1 1 ? Tn ? . 6 2

??????12 分

-6-

18.解: (1)方法一、如图,分别取 AB、AC 的中点 O、Q,连接 OP、OQ,设 AN ? a 以 O 为坐标原点,OP 为 x 轴,OA 为 y 轴,OQ 为 z 轴建立空间直角坐标系,

0, 0), C (0, ?3, 4), M (2,- , 2), N (0,3-a,0) 则 P(4,

3 2

0), MN ? (-2, -a,-2), 设 N ( x0, 0, 0) ,则 AB ? (0,-6,
??? ? ???? ? 9 ? 9 由 MN ? AB 得 AB?MN ? 0,即-2?a ? ? ? -a ? ? ?6 ? ? 2 ? 00 ? a= 2 2 ? ?
所以 AN ?

??? ?

???? ?

9 2

9 ???????6 分 2

方法二:如图,取 AB 的中点为 O,PB 的中点为 Q,连接 MQ、NQ,

? M、Q 分别为 PB、PC 的中点

? MQ ? BC 又? AB ? BC ? AB ? MQ
又? MN ? AB ? AB ? 平面MNQ

AB ? NQ ,又? PA ? PB 且 O 为 AB 的中点

? OP ? AB ? NQ ? OP
又? Q 为 AB 中点

? N 为 OB 中点
2

? BN ? 1 OB ? 1 AB ? 3
2 4

? AN ? 9 ??????6 分

2 ???? ? ???? 3 (2)? MN ? (?2,0,-2), NC ? (0. ? ,4), 2

?? ???? ? ??2 x0 ? 2 z0 ? 0 ?? ? ?m ? MN ? 0 ? ?? 3 设平面 MNC 的一个法向量为 n1 ? ? x0 , y0 , z0 ? ,则 ? ?? ???? ? y0 ? 4 z0 ? 0 m ? NC ? 0 ? ? ? ? 2
令 z0 ? 3 ,则 x0 ? ?3, y0 ? 8 ,即 n1 ? ? ?3,8,3? ??????9 分

??

平面 ANC 的一个法向量为 n2 ? ? 0,0,1? ,

?? ?

?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 3 82 则 cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? ? ? 82 n1 n2
故二面角 M ? NC ? A 的余弦值为 12 分
-7-

3 82 . 82

??????

19.解(I ) x ? 6, y ? 7 ??????4 分 (II)甲地区优秀率为 ξ 的数学期望为 E(? ) ? 3 ? (III) P ?? ? 0 ? ?

2 2 2 , 乙地区优秀率为 , ? ? 0,1, 2,3, ? ? B(3, ) , 5 5 11

2 6 ? . ??????6 分 5 5

3 1 2 C20 C10 C20 57 95 , ? P ? ? 1 ? ? ? ? 3 3 C30 203 C30 203

2 1 3 C10 C20 45 C10 6 , P ?? ? 2 ? ? ? P ?? ? 3? ? 3 ? 3 C30 203 C30 203

η 的分布列为 η P 0
57 203

1
95 203

2
45 203

3
6 203

???? ??10 分 η 的数学期望为 E (? ) ? 0 ?

57 95 45 6 +1? +2 ? +3 ? =1. ??????12 分 203 203 203 203
2

20 解: (1)设抛物线的标准方程为 y ? 2 px( p ? 0), 由 F (1,0) 得 p ? 2 ,

? C2 : y 2 ? 4 x ;
3分 (2) 可设 AB : x ? 4 ? ny ,联立 y ? 4 x 得 y ? 4ny ? 16 ? 0 ,
2 2
2 y12 y 2 ? 16 设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ),则y1 y 2 ? ?16, x1 x2 ? 16 ??? ? ??? ? ?OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 ,即以 AB 为直径的圆过原点;

???????

??????8

分 (3)设 P(4t ,4t ) ,则 OP的中点 (2t ,2t )在直线l上,
?2t 2 ? 4 ? 2nt ? ? ? 4t 得 n ? ?1 ? t ? 0 ? 2 ? ?n ? 4t
2

2

? n ? 1, 直线l:x ? y ? 4 ??????10 分

-8-

设椭圆 C1 :

x2 y2 ? ? 1 ,与直线 l : x ? y ? 4 联立可得: a2 a2 ?1

? 2a

2

? 1? y 2 ? 8 ? a 2 ? 1? y ? a 4 ? 17a 2 ? 16 ? 0

? ? 0,a ?

34 ∴长轴长最小值为 34 ??????13 分 2
1 ?1? 2x 1? x

21(1)当 k ? 2 时, f ( x) ? ln( 1 ? x) ? x ? x 2 f ?( x ) ?

3 ? f ?(1) ? , f (1) ? ln 2 ??????2 分 2
3 ? 曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为: y ? ln 2 ? ( x ? 1) 2


3x ? 2 y ? 2 ln 2 ? 3 ? 0 ??????3 分
x(kx ? k ? 1) , x ? (?1,?? ) 1? x

(2) f ?( x) ?

①当 k ? 0 时, f ?( x) ? ?

x , 令f ?( x) ? 0则x ? 0 1? x

? f ( x)的单调减区间为:( 0, ? ?)
②当

1? k 1? k ? 0即0 ? k ? 1 时, 令f ?( x ) ? 0则0 ? x ? k k

1? k ? f ( x)的单调减区间为:( 0, ) k
③当

1? k 1? k ? 0即k ? 1 时, 令f ?( x) ? 0则 ?x?0 k k

? f ( x)的单调减区间为:(

1? k ,0) ????????7 分 k

(3)当 k ? 0 时, f ( x)在[0, n] 上单调递减

?bn ? f (n) ? ln(1 ? n) ? n

?an ? ln(1 ? n) ? bn ? n, (n ? N * ) ??????9 分
? ? ? a1a3 a5 ? ? ? a2 n ?1 1? 3 ? 5 ? ? ? ? ? (2n ? 1) ? a 2 a 4 a6 ? ? ? a 2 n 2 ? 4 ? 6 ? ? ? ? ? 2n 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 (2n ? 1)(2n ? 1) 1 ? 2 ? 2 ? ???? ? 22 4 6 ( 2n) 2 2n ? 1 1 2 2 ? ? ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1 ? 2n ? 1

??????12 分
-9-

?

a a ? ? ? a2 n ?1 a1 a1a3 ? ? ??? ? 1 3 a2 a2 a4 a2 a 4 ? ? ? a2 n

? ( 3 ? 1) ? ( 5 ? 3 ) ? ? ? ? ? ( 2n ? 1 ? 2n ? 1) ? 2n ? 1 ? 1 ? 2an ? 1 ? 1, (n ? N * )
??????14 分

- 10 -


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