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2015 --2016学年高一上期第一次月考试题(数学)


2015 --2016 学年高一上期第一次月考试题 数 学

一、选择题 (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的)

1. 已知集合 A 是由 0, a, a 2 ? 3a ? 2 三个元素组成的集合,且 2 ? A ,则实数 a 的值为( A. 3 B. 2 C. 0或3 D. 0或2或3

)

2.设 M ? x 0 ? x ? 2 , N ? y 0 ? y ? 2 , 给出下列四个图形, 其中能表示从集合 M 到集合 N 的函 数关系的有( ).

?

?

?

?

A. 0 个

B. 1 个

C. 2 个 )

D. 3 个

3.已知函数 f ?x ? 1? ? x 2 ? 3, 则 f ?2 ? =( A. ? 2 B. 1 C.

6

D. 0 )

4.已知 A ? ??1,1? , B ? x ax ?1 ? 0 ,若 B ? A ,则 a 的所有可能取值集合为( A.

?

?

?? 1?

B. ? 1?

C. ?? 1,1?

D. ?? 1,0,1? )

5.已知 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数, 当 x ? 0时,f ?x ? ? x 2 ? 2 x , 则 f ? x ? 在 R 上的表达式是 ( A. f ?x ? ? x?x ? 2? B. f ?x ? ? x x ? 2

?

?

C.

f ? x ? ? x? x ? 2 ?

D. f ?x ? ? x ?x ? 2? )

6.已知 A ? x x ? ?1或x ? 3 , B ? x m ? x ? 4 ,若 A ? B ? R 则实数 m 的取值范围是( A. 3 ? m ? 4 7.函数 y ? x ? B. ? 1 ? m ? 4 ) C. m ? ?1 D. m ? ?1

?

?

?

?

x x

的图象是(

A

B

C

D

8.若 a ?

1 2 ,则化简 4 ?2a ? 1? 的结果为( 2
B. ? 2a ? 1 C.

) D. ? 1 ? 2a

A. 1 ? 2a

2a ? 1

?a x , x ? 1 ? 9.若函数 f ? x ? ? ?? 是 R 上的增函数,则实数 a 的取值范围为( a? ?? 4 ? 2 ? x ? 2, x ? 1 ? ??
A. ?1,?? ? B. ?1,8 ? C. ?4,8 ? D. ?4,8 ?



? x 2 ? 1( x ? 1) ? 10.设函数 f ( x) ? ? 2 ,则 f(f(3) )=( ( x ? 1 ) ? ?x
A.



2 13 D. 3 9 ?a, a ? b 11.定义运算 a ? b , a ? b ? ? 例如: 1 ? 2 ? 1 ,则函数 y ? 1 ? 2x 的值域 ?b, a ? b
B.3 C. 为 ( A. ) (0,1) B. (0,1] C. [1,+∞) D. (-∞,1)

1 5

?x 2 ? 6 x ? 6, x ? 0, 12. 设 函 数 f ?x ? ? ? 若 互 不 相 等 的 实 数 x1 , x2 , x3 满 足 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) , 则 ?3x ? 4, x ? 0.
x1 ? x2 ? x3 的取值范围是(
A. ? ) C. ?

? 20 26? , ? 3 3? ?

B. ?

? 20 26 ? , ? ? 3 3 ?

? 11 ? , 6 ?3 ? ?

D. ?

? 11 ? , 6? ?3 ?

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13 已知集合 A ? ? x y ?

? ?

1 ? ?, B ? y y ? 2 x ? 6 ,则 A ? B ? x ? 2?

?

?

(用区间表示).

14..函数 f ?x ? ? x 2 ? 2?a ? 1?x ? 2 在 ?4,?? ? 上为增函数,则实数 a 的范围是

.

15.已知函数 y ? f ?x ? 是偶函数, y ? g ?x ? 是奇函数,它们的定义域均为 ?? 3,3? ,且它们在 x ? ?0,3? 上 的图象如图所示,则不等式

f ?x ? ? 0 的解集是 g ?x ?

.

16.函数 y ? a x (a ? 0且a ? 1) 在 ?1,3?上的最大值比最小值大

a ,则 a 的值是 2

.

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤).
17.(本题满分 10 分)求值:
0 ? 1 ?2 ? 3? (1) ? 2 ? ? ? ?9.6 ? ? ? 3 ? ? 4? ? 8? 1 ? 2 3

? ?1.5? ;
?2

(2)已知 10a ? 3 , 10b ? 4 求 10

2 a ?b 2

的值.

18.(本题满分 12 分)

已知集合 A ? x ? 3 ? x ? 4 , B ? x 2m ?1 ? x ? m ? 1 ( 10 分) ⑴当 m ? ?3 时,求 A ? B ; ⑵当 B ? A 时,求实数 m 的取值范围.

?

?

?

?

19.(本题满分 12 分)

已知函数 f ?x ? ? ax2 ? 2ax ? 2 ? b?a ? 0?在 ?2,3? 上的值域为 ?2,5? . ⑴求 a, b 的值; ⑵若函数 g ?x ? ? f ?x ? ? ?m ? 1?x 在 ?2,4?上单调,求实数 m 的范围.

20.(本题满分 12 分)

已 知 函 数 f ? x ? 的 定 义 域 为 R , 对 x, y ? R 都 有 f ?x ? y ? ? f ?x ? ? f ? y ? , 且 当 x ? 0 时 ,

f ?x ? ? 0, f ?? 1? ? 2 .
⑴求证: f ?x ? 为奇函数; ⑵求证: f ?x ? 是 R 上的减函数; ⑶求 f ?x ? 在 ?? 2,4? 上的最值.

21.(本题满分 12 分)

已知定义域为 R 的函数 f ( x) ?

- 2 x +b
2 x+1+a

是奇函数.

(1)求 a , b 的值;(2)判断函数 f ?x ? 在 R 上的单调性并加以证明.

22.(本题满分 12 分)

已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 4, 集合 A ? ? x f ( x) ? x? (1)若 A ? ?1? , 求函数 f ( x) 的解析式; (2)若 1 ? A ,且 1 ? a ? 2, 设 f ( x) 在区间 ? , 2 ? 上的最大值、最小值分别为 M , m , 2 记 g ? a ? ? M ? m ,求 g ? a ? 的最小值.

?1 ?

? ?

2015 --2016 学年高一上期第一次月考试题答案 一、选择题
1--5 ABCDC
二、填空题 13. ?0,2? ? ?2, ? ?? 14. a ? ?3 15. ?? 2, ?1? ? ?0,1? ? ?2,3? 6--10 CCADD 11--12 BD

16.

2 6 或 2 2

三、解答题
17. 解: ⑴

1 2



3 2

18. 解:⑴当 m ? ?3 时, B ? x ? 7 ? x ? ?2 , A ? B ? x ? 3 ? x ? ?2 .

?

?

?

?

⑵?B ? A ,

?2m ? 1 ? m ? 1, ? 即 ? 当 B ? ? 时 2m ? 1 ? m ? 1 即 m ? 2 , 当 B ? ? 时 ?2m ? 1 ? ?3, ?m ? 1 ? 4, ?

?1 ? m ? 2 , 综上所述: m ? ?1 .
19. 解 :⑴ ? a ? 0 且 f ?x ? 的 对 称 轴 为 x ? 1 ,

? f ?x ? 在 ?2,3? 上 是 单 调 递 增 函 数 ,



? a ? 1. ?4a ? 4a ? 2 ? b ? 2, ? f ?2? ? 2, 即? 得? ? ?b ? 0. ?9a ? 6a ? 2 ? b ? 5, ? f ?3? ? 5,
⑵ 由 ⑴ 知 g ?x ? ? f ?x ? ? ?m ? 1?x

? x 2 ? 2x ? 2 ? ?m ? 1?x

? x 2 ? ?m ? 3?x ? 2 ,

对称轴为 故 m 的范围是

x?

m?3 , 2

由 g ?x ? 在 ?2,4?上单调得

m?3 m?3 ? 2或 ? 4 即 m ? 1或m ? 5 , 2 2

?? ?,1?? ?5,??? .
20. ⑴ 证明:令 x ? y ? 0 令 y ? ?x 得 得 f ?0? ? 0

f ?0? ? f ?x? ? f ?? x?

? f ?? x ? ? ? f ?x ?

?函数f ?x ?为奇函数
⑵ 证明:设 x1 , x2 ? R且x1 ? x2

f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? f ?x1 ? ? f ?x1 ? x2 ? x1 ?
= f ?x1 ? ? f ?x1 ? ? f ?x2 ? x1 ?

= ? f ?x2 ? x1 ?

?当x ? 0时,f ?x ? ? 0, 且x1 ? x2 ? f ?x2 ? x1 ? ? 0
即 f ?x1 ? ? f ?x2 ?

?函数f ?x ?是R上 的 减 函 数
⑶ ?函数f ?x ?是R上的减函数

? f ?x?m a x? f ?? 2? ? 2 f ??1? ? 4 f ?x?m i n? f ?4? ? 2 f ?2? ? 4 f ?1? ? ?8
21. 解: ⑴? f ?x ? 为奇函数,且在 x ? 0 处有意义, ? f ?0? ? 0 ,即

?1? b ? 0, 2?a

?b ? 1 ,

? f ?x ? ?

? 2x ?1 , 2 x ?1 ? a ? 2 ?1 ? 1 ? 2 ?1 ? ?? , 1? a 4?a

又? f ?? 1? ? ? f ?1? ,

?a ? 2 ,

经检验,a=2 适合题意. ? a ? 2, b ? 1

⑵ 函数 f ?x ? 在 R 上为减函数, 设 x1 , x2 ? R且x1 ? x2

f ?x ? ?

1 1 ? 2x ?1 ?? ? x , x ?1 2 2 ?1 2 ?2

1 1 1 ? ? 1 ? f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? ? ? x1 ? ? ? ? x2 ? 2 2 ?1 ? 2 2 ?1?
=

?

2 x2 ? 2 x1 2 x1 ? 1 2 x2 ? 1

??

?
2 x1 ? 1 ? 0 2 x2 ? 1 ? 0

? x1 ? x2

? 2 x2 ? 2 x1 ? 0

? f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 0

即 f ?x1 ? ? f ?x2 ?

? 函数 f ?x ? 在 R 上为减函数
22 、解( 1 )由 A ? ? x f ( x) ? x? = ?1? 知二次方程 ax2 ? b ? 1 x ? 4 ? 0 有两个相等的实数根故
2 ? ?a ? 4 ?? ? ? b ? 1? ? 16a ? 0 解得: ? ,所以 f ( x) ? 4 x2 ? 7 x ? 4 ? b ? ? 7 ? ? ?a ? b ? 3 ? 0

?

?

( 2 ) 因 为 1? A , 所 以 a ? b ? 3 ? 0

, 又 因 为

f ( x) ? ax2 ? bx ? 4, 所 以

f ( x? )

2

a? ?x

a ?1 ?? 4 xa ,? 2? ?? 3
又 因 为 x ? ? , 2? , 所 以 2

对 称 轴 x0 ?

a?3 1 3 ?5 ? ? ? 因 为 1? a ? 2 , 所 以 x0 ? ? , 2? 2a 2 a 2 ?4 ?

?1 ?

? ?

3 ? ?a 2 ? 1a0 ? ?1 m ? f ? x0 ? ? f ? ? ? ? a? a 4 ?2 2

9

9 ? 1 ? 10 ? a ,所以 g ( a ) ? M ? n ? M ? f? ?? ? 1 ? a ? 2? ,在 ? ?1, 2? ? 上为关于 a 的增函数,故 4a 4 ?2?
当a ? 2时,g ? a ?min ? 9 8


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