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南模中学 2011 高三第一学期测验三


南模中学高三第一学期数学(理)测验三 班级_______姓名________学号_______
一、填空题。 1. 将 6 位志愿者分成 4 组,其中两个组各 2 人,另两个组各 1 人,分赴世博会的四 个不同场馆服务,不同的分配方案有_________种(用数字作答) . 2. 某台小型晚会由 6 个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排在第四位、 节目乙不能排在

第一位,节目丙必须排在最后一位,该台晚会节目演出顺序的编 排方案共有___________种 3.以集合 U ? ?a, b, c, d ? 的子集中选出 4 个不同的子集,需同时满足以下两个条件: (1) ? ,U 都要选出; (2)对选出的任意两个子集 A 和 B,必有 A ? B 或 B ? A 。 那么共有_______种不同的选法。 4. 将一个总体分为 A、B、C 三层,其个体数之比为 5 : 3 : 2 .若用分层抽样方法抽 取容量为 100 的样本,则应从 C 中抽取____________________个个体. 5.已知总体的各个体的值由小到大依次为 2,3,3,7,a,b,12,13.7,18.3,20,且总 体的中位数为 10.5,若要使该总体的方差最小,则 a、b 的取值分别是 6.从某小学随机抽取 100 名同学,将他们 身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直 方图(如图) 。由图中数据可知 a = 。 __

7.样本中共有五个个体,其值分别为 a ,0,1,2,3,,若该样本的平均值为 1,则样本方差 为 ___________. 8.某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1000 粒,对于没有发芽的种子,每 粒 需再补种 2 粒 ,补种的种子数记为 X,则 X 的数学期望为________. 9.甲罐中有 5 个红球,2 个白球和 3 个黑球。乙罐中有 4 个红球,3 个白球和 3 个黑 球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以 A , A2 和 A3 ,表示由甲罐取出的球 1

1

是红球.白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以 B 表示由乙罐取出的球是 红球的事件.则下列结论中正确的是____(写出所有正确结论的编号). ① p( B) ?

2 5 ;②P(B| A )= ; (注:P(B| A )表示:在事件 A1 发生的情况下,事件 1 1 5 11

B 发生的概率)③事件 B 与事件 A 相互独立;④ A1 , A2 , A3 两两互斥的事件;⑤P(B) 1 的值不能确定,因为它与 A1 , A2 , A3 中究竟哪一个发生有关. 10. 某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的 5 个问题中, 选手若能连续正确回答出两 .. 个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是 0.8 ,且 每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概率等 于 . 11.如图放置的边长为 1 的 正方形 PABC 沿 x 轴滚动.设顶点 P( x, y) 的轨迹方程是

y ? f ( x) ,则函数 f ( x) 的最小正 周期为
图象与 x 轴所围区域的面积为 。

; y ? f ( x) 在其两个相邻零点间的

说明:“正方形 PABC 沿 x 轴滚动”包括沿 x 轴正方向和沿 x 轴负方向滚动。沿 x 轴正方 向滚动指的是先以顶点 A 为中心顺时针旋转,当顶点 B 落在 x 轴上时,再以顶点 B 为 中心顺时针旋转, 如此继续. 类似地,正方形 PABC 可以沿 x 轴负方向滚动。

( ? ( ? 12. 已知定义域为 0, ?) 的函数 f ( x ) 满足: (1)对任意 x ? 0, ?) ,恒有

f (2 x) ? 2 f ( x) 成立; (1,2] 时, f ( x) ? 2 ? x .给出如下结论: (2)当 x ?
m ? ①对任意 m ? Z ,有 f (2 ) ? 0 ;②函数 f ( x ) 的值域为 [0, ?) ;③存在

2

n ? Z ,使得 f (2n ? 1) ? 9 ;④“函数 f ( x) 在区间 (a, b ) 上单调递减”的充
要条件是 “存在 k ? Z ,使得 (a, b) ? (2k , 2k ?1 ) ”. 其中所有正确结论的序号是 二、选择题。 13.对于复数 a, b, c, d ,若集合 S ? ?a, b, c, d? 具有性质“对任意 x,y ? S ,必有 .. .

?a ? 1, ? xy ? S ”,则当 ?b 2 ? 1, 时, b+c+d 等于 ( ?c 2 ? b. ?
A.1 164 设 集合 A= {x 则实数 a , b 必满足( A . a ?b ? 3 C. 15. B.-1 C.0

)

D. i

x ? a ? 1, x ? R} ,B= {x
) B. D.

x ? b ? 2, x ? R} .若 A ? B ,

a ?b ? 3 a ?b ? 3

a ?b ? 3

将参加夏令营的 600 名学生编号为:001,002,? ,600.采用系统抽样疗法抽

取一个容量为 50 的样本,且随机抽得的号码为 003.这 600 名学生分住在三个营区, 从 001 到 300 在第 1 营区,从 301 到 495 在第Ⅱ营区,从 496 到 600 在第Ⅲ营区.三 个营区被抽中的人 数依次为( A. 26,16,8 B. 25,17,8 ) C. 25,16,9 D. 24,17, 9

16.在发生某公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模 群体感染的标志为“连续 10 天,每天新增疑似病例不超过 7 人” 。根据过去 10 天甲、 乙、丙、丁四地新增疑似病例数据,一定符合该标志的是( A.甲地:总体均值为 3,中位数为 4 C.丙地:中位数为 2,众数为 3 ) )

B.乙地:总体均值为 1,总体方差大于 0 D.丁地:总体均值为 2,总体方差为 3

3

2010 学年度第一学期高三数学(理)测验三答题纸
一、填空题.

1. 5. 9.
二、选择题. 13. 三、解答题。

2. 6. 10. 10.

3. 7. 11.

4. 8. 12.

14.

15.

16.

17。 袋中有 20 个大小相同的球, 其中记上 0 号的有 10 个, 记上 n 号的有 n 个 n =1,2,3,4) ( . 现从袋中任取一球. ? 表示所取球的标号. (Ⅰ)求 ? 的分布列,期望和方差; (Ⅱ)若? ? a? ? b , E? ? 1 , D? ? 11 ,试求

a , b 的值.

18.为了解学生身高情况,某校以 10%的比例对全校 700 名学生按性别进行 分层抽样检查,测得身高情况的统计图如下:

(Ⅰ)估计该校男生的人数; (Ⅱ)估计该校学生身高在 170~185cm 之间的概率; (Ⅲ)从样本中身高在 165~180cm 之间的女生中任选 2 人,求至少有 1 .. 人身高在 170~180cm 之间的概率.
4

19.有时可用函数

a ? ?0.1 ? 15ln a ? x , ( x ? 6) ? f ( x) ? ? ? x ? 4.4 , ( x ? 6) ? x?4 ?
描述学习某学科知识的掌握程度,其中 x 表示某学科知识的学习次数( x ? N ) ,
*

f ( x) 表示对该学科知识的掌握程度,正实数 a 与学科知识有关。
(1) (2) 证明:当 x ? 7 时,掌握程度的增加量 f ( x ? 1) ? f ( x) 总是下降; 根据经验,学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为

(115,121] , (121,127] , (127,133] 。当学习某学科知识 6 次时,掌握程度是 85%,请
确定相应的学科。

5

20.已知二次函数 g(x) x 2 ? bx ? c 在 x =-1 处取得最小值 m-1(m ? 0 ). ? 设函数 f ( x ) ?

g ( x) x .

(1)若曲线 y ? f (x) 上的点 P 到点 Q(0,2)的距离的最小值为 2 ,求 m 的值 (2) k (k ? R) 如何取值时,函数 y ? f ( x) ? kx 存在零点,并求出零点.

6

21. 已知函数 f ? x ? ? x2 ,g ? x ? ? x ? 1 . (1)若存在 x ? R 使 f ? x ? ? b ? g ? x ? ,求实数 b 的取值范围; (2)设 F ? x ? ? f ? x ? ? mg ? x ? ? 1 ? m ? m2 ,且 F ? x ? 在 ?0,1? 上单调递增,求实数 m 的 取值范围.

7

南模中学高三第一学期数学(理)测验三 班级_______姓名________学号_______
二、填空题。 1. 将 6 位志愿者分成 4 组,其中两个组各 2 人,另两个组各 1 人,分赴世博会的四 个不同场馆服务,不同的分配方案有_________种(用数字作答) .1080 2. 某台小型晚会由 6 个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排在第四位、 节目乙不能排在第一位,节目丙必须排在最后一位,该台晚会节目演出顺序的编 排方案共有___________.18 种 3.以集合 U ? ?a, b, c, d ? 的子集中选出 4 个不同的子集,需同时满足以下两个条件: (1) ? ,U 都要选出; (2)对选出的任意两个子集 A 和 B,必有 A ? B 或 B ? A 。 那么共有___36 _____种不同的选法。 5. 将一个总体分为 A、B、C 三层,其个体数之比为 5 : 3 : 2 .若用分层抽样方法抽 取容量为 100 的样本,则应从 C 中抽取____________________个个体.20 5.已知总体的各个体的值由小到大依次为 2,3,3,7,a,b,12,13.7,18.3,20,且总 体的中位数为 10.5,若要使该总体的方差最小,则 a 、 b 的取值分别是 10.5 和 10.5; 6.从某小学随机抽取 100 名同学,将他们 身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直 方图(如图) 。由图中数据可知 a= 0.030 7.样本中共有五个个体,其值分别为 a,0,1,2,3,,若该样本的平均值为 1,则样 本方差为 ___________.2 8.某种种子每粒发芽的概率都为 0.9, 现播种了 1000 粒, 对于没有发芽的种子, 粒 每 需再补种 2 粒 ,补种的种子数记为 X,则 X 的数学期望为________. 200 9.甲罐中有 5 个红球,2 个白球和 3 个黑球。乙罐中有 4 个红球,3 个白球和 3 个黑 球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以 A , A2 和 A3 ,表示由甲罐取出的球 1 。

8

是红球.白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以 B 表示由乙罐取出的球是 红球的事件.则下列结论中正确的是____(写出所有正确结论的编号).②④ ① p( B) ?

2 5 ;②P(B| A )= ; (注:P(B| A )表示:在事件 A1 发生的情况下,事件 1 1 5 11

B 发生的概率)③事件 B 与事件 A 相互独立;④ A1 , A2 , A3 两两互斥的事件;⑤P(B) 1 的值不能确定,因为它与 A1 , A2 , A3 中究竟哪一个发生有关. 10. 某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的 5 个问题中, 选手若能连续正确回答出两 .. 个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是 0.8 ,且 每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概率等 于 . 0.128 11.如图放置的边长为 1 的 正方形 PABC 沿 x 轴滚动.设顶点 P( x, y) 的轨迹方程是

y ? f ( x) ,则函数 f ( x) 的最小正 周期为
的图象与 x 轴所围区域的面积为

4 。? ? 1

; y ? f ( x) 在其两个相邻零点间

说明:“正方形 PABC 沿 x 轴滚动”包括沿 x 轴正方向和沿 x 轴负方向滚动。沿 x 轴正方 向滚动指的是先以顶点 A 为中心顺时针旋转,当顶点 B 落在 x 轴上时,再以顶点 B 为 中心顺时针旋转, 如此继续. 类似地,正方形 PABC 可以沿 x 轴负方向滚动。

( ? ( ? 12. 已知定义域为 0, ?) 的函数 f ( x ) 满足: (1)对任意 x ? 0, ?) ,恒有

f (2 x) ? 2 f ( x) 成立; (1,2] 时, f ( x) ? 2 ? x .给出如下结论: (2)当 x ?
m ? ①对任意 m ? Z ,有 f (2 ) ? 0 ;②函数 f ( x ) 的值域为 [0, ?) ;③存在

9

n ? Z ,使得 f (2n ? 1) ? 9 ;④“函数 f ( x) 在区间 (a, b ) 上单调递减”的充
要条件是 “存在 k ? Z ,使得 (a, b) ? (2k , 2k ?1 ) ”. 其中所有正确结论的序号是 二、选择题。 13.对于复数 a, b, c, d ,若集合 S ? ?a, b, c, d? 具有性质“对任意 x,y ? S ,必有 .. . ①②④

?a ? 1, ? xy ? S ”,则当 ?b 2 ? 1, 时, b+c+d 等于 ( ?c 2 ? b. ?
A.1 14.设 集合 A= {x 则实数 a , b 必满足( (A) a ? b ? 3 (C) a ? b ? 3 B.-1 C.0

)B

D. i

x ? a ? 1, x ? R} ,B= {x
)D

x ? b ? 2, x ? R} .若 A ? B ,

(B) a ? b ? 3 (D) a ? b ? 3

15.将参加夏令营的 600 名学生编号为:001,002,? ,600.采用系统抽样疗法抽 取一个容量为 50 的样本,且随机抽得的号码为 003.这 600 名学生分住在三个营区, 从 001 到 300 在第 1 营区,从 301 到 495 在第Ⅱ营区,从 496 到 600 在第Ⅲ营区.三 个营区被抽中的人 数依次为( A. 26,16,8 B ) C. 25,16,9 D. 24,17, 9

B. 25,17,8

16.在发生某公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模 群体感染的标志为“连续 10 天,每天新增疑似病例不超过 7 人” 。根据过去 10 天甲、 乙、丙、丁四地新增疑似病例数据,一定符合该标志的是( D ) ) (A)甲地:总体均值为 3,中位数为 4 (C)丙地:中位数为 2,众数为 3 (B)乙地:总体均值为 1,总体方差大于 0 (D)丁地:总体均值为 2,总体方差为 3

【解析】根据信息可知,连续 10 天内,每天的新增疑似病例不能有超过 7 的数,选项 A
10

中,中位数为 4,可能存在大于 7 的数;同理,在选项 C 中也有可能;选项 B 中的总体 方差大于 0,叙述不明确,如果数目太大,也有可能存在大于 7 的数;选项 D 中,根据方 差公式,如果有大于 7 的数存在,那么方差不会为 3,故答案选 D.

11

2010 学年度第一学期高三数学(理)测验三答题纸
一、填空题.

1. 1080 5.10.5,10.5 9.②④
二、选择题. 13. B

2.18 6.0.030
0.128

3.36 7.2 11. 4; ? ? 1

4.20 8.200 12.①②④

10. 10.

14. D

15. B

16. D

三、解答题。 17。袋中有 20 个大小相同的球,其中记上 0 号的有 10 个,记上 n 号的有 n 个 ( n =1,2,3,4).现从袋中任取一球. ? 表示所取球的标号. (Ⅰ)求 ? 的分布列,期望和方差; (Ⅱ)若? ? a? ? b , E? ? 1 , D? ? 11 ,试求 a,b 的值. 解: (Ⅰ) ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

4

D

1 1 3 1 20 10 20 5 1 1 1 3 1 ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 1.5. ∴ E? ? 0 ? ? 1? 2 20 10 20 5 1 1 1 3 1 ? ? (0 ? 1.5) 2 ? ? (1 ? 1.5) 2 ? ? (2 ? 1.5) 2 ? ? (3 ? 1.5) 2 ? ? (4 ? 1.5) 2 ? ? 2.75. 2 20 10 20 5
2

1 2

(Ⅱ)由 D? ? a D? ,得 a2×2.75=11,即 a ? ?2. 又 E? ? aE? ? b, 所以当 a=2 时,由 1=2×1.5+b,得 b=-2; 当 a=-2 时,由 1=-2×1.5+b,得 b=4. ∴?

? a ? 2, ?a ? ?2, 或? 即为所求. ?b ? ?2 ? b ? 4
12

18.为了解学生身高情况,某校以 10%的比例对全校 700 名学生按性别进行 分层抽样检查,测得身高情况的统计图如下:

(Ⅰ)估计该校男生的人数; (Ⅱ)估计该校学生身高在 170~185cm 之间的概率; (Ⅲ)从样本中身高在 165~180cm 之间的女生中任选 2 人,求至少有 1 .. 人身高在 170~180cm 之间的概率. 解: (Ⅰ)样本中男生人数为 40 ,由分层抽样比例为 10%估计全校男生人数 为 400. ( Ⅱ ) 有 统 计 图 知 , 样 本 中 身 高 在 170~185cm 之 间 的 学 生 有 14+13+4+3+1=35 人, 样本容量为 70 , 所以样本中学生身高在 170~185cm 之间的频率 f ? 概率 p ? 0.5. (Ⅲ)样本中女生身高在 165~180cm 之间的人数为 10,身高在 170~180cm 之间的人数为 4。 设 A 表示事件“从样本中身高在 165~180cm 之间的女生中任选 2 人, 至少 有 1 人身高在 170~180cm 之间”, 则 P( A) ? 1 ?
2 C6 2 C1 ? 1 +C 2 2 C ? (或P(A)= 6 4 4 = ) . 2 2 C10 3 C10 3

35 ? 0.5, 故有 f 估计该校学生身高在 170~180cm 之间的 70

13

19.有时可用函数

a ? ?0.1 ? 15ln a ? x , ( x ? 6) ? f ( x) ? ? ? x ? 4.4 , ( x ? 6) ? x?4 ?
描述学习某学科知识的掌握程度,其中 x 表示某学科知识的学习次数( x ? N ) ,
*

f ( x) 表示对该学科知识的掌握程度,正实数 a 与学科知识有关。
(3) (4) 证明:当 x ? 7 时,掌握程度的增加量 f ( x ? 1) ? f ( x) 总是下降; 根据经验,学科甲、乙、丙对应的的 a 取值区间分别为

(115,121] , (121,127] , (127,133] 。当学习某学科知识 6 次时,掌握程度是 85%,请
确定相应的学科。 证明(1)当 x ? 7时,f ( x ? 1) ? f ( x) ?

0.4 ( x ? 3)( x ? 4)

而当 x ? 7时 ,函数 y ? ( x ? 3)( x ? 4) 单调递增,且 ( x ? 3)( x ? 4) >0 故 f ( x ? 1) ? f ( x) 单调递减 ? 当 x ? 7时 ,掌握程度的增长量 f ( x ? 1) ? f ( x) 总是下降 (2)由题意可知 0.1+15ln 解得 a ?

a =0.85 a?6

整理得

a ? e0.05 a?6

e0.05 ? 6 ? 20.50 ? 6 ? 123.0,123.0 ? (121,127] e0.05 ? 1

由此可知,该学科是乙学科
20

14

20. 已知二次函数 g(x) x 2 ? bx ? c 在 x =-1 处取得最小值 m-1(m ? 0 ). ? 设函数 f ( x ) ?

g ( x) x .

(1)若曲线 y ? f (x) 上的点 P 到点 Q(0,2)的距离的最小值为 2 ,求 m 的值 (2) k (k ? R) 如何取值时,函数 y ? f ( x) ? kx 存在零点,并求出零点. 解:(1) g ? x ? 在 x ? ?1 取最小值,

?

b ? ?1 2

, b?2

? g ? ?1? ? a ? b ? c ? 1? 2 ? c ? m ?1,
f ? x? ? g ? x? m ? x? ?2, x x
2 0 2 2 0

c ? m;

设 P xo , yo
2

?

?

则 PQ ? x ? ? y0 ? 2 ?
2

? m? m2 2 ? x ? ? x0 ? ? ? 2x0 ? 2 ? 2m ? 2 2m2 ? 2m x0 ? x0 ?

2 2m2 ? 2m ? 2,

m ? ? 2 ? 1;
m ? 2? 0 , x

(2)由 y ? f ? x ? ? kx ? ?1 ? k ? x ? 得

?1? k ? x2 ? 2x ? m ? 0

?*?

当 k ? 1 时,方程 ?*? 有一解 x ? ?

m m ,函数 y ? f ? x ? ? kx 有一零点 x ? ? ; 2 2

当 k ? 1 时,方程 ?*? 有二解 ? ? ? 4 ? 4m ?1 ? k ? ? 0 , 若 m ? 0 , k ? 1?
?2 ? 4 ? 4m ?1 ? k ? 2 ?1 ? k ?

1 , 函 数 y? f ? m
1 ? 1 ? m ?1 ? k ? k ?1

x ??

有 x两 个 零 点 k

x?

?



若 m ? 0 , k ? 1?

1 , 函 数 y? f ? m

x ??

有 x两 个 零 点 k

15

x?

?2 ? 4 ? 4m ?1 ? k ? 2 ?1 ? k ?

?

1 ? 1 ? m ?1 ? k ? k ?1



当 k ? 1 时,方程 ?*? 有一解 ? ? ? 4 ? 4m ?1 ? k ? ? 0 , 函数 y ? f ? x ? ? kx 有一零点 x ? 21. 已知函数 f ? x ? ? x2 ,g ? x ? ? x ? 1 .

k ? 1?

1 , m

1 k ?1

w.w. w. k.s. 5.u.c.o.m

(1)若存在 x ? R 使 f ? x ? ? b ? g ? x ? ,求实数 b 的取值范围; (2)设 F ?x ? ? f ?x ? ?mg x ?? 1 m ? ? m ? 求实数 m 的取值范围. 解: (1) 由存在 x ? R , 所以, ?
2
2

,且 F ? x ? 在 ?0,1? 上单调递增,

f ? x ? ? bg ? x ? ,得:存在 x ? R , x2 ? bx ? b ? 0 ,
解得b ? 0或b ? 4 ;

? ? ?b ? ? 4b ? 0

(2)由题设得 F

? x ? ? x 2 ? mx ? 1 ? m 2 ,
m 2 2 2 , ? ? m ? 4 1 ? m ? 5m ? 4 .? 2

对称轴方程为 x ?

?

?

由于 F ? x ? 在 ?0,1? 上单调递增,则有 (Ⅰ)当 ? ? 0 即 ?

2 5 2 5 时,有 ?m? 5 5

? m ?0 ?2 ? 2 5 2 5 ? ? 5 ? m? 5 ?
(Ⅱ)当 ? ? 0 即 m ? ? 设方程 F

解得 ?

2 5 ? m ? 0. 5

2 5 2 5 时, 或m ? 5 5

? x ? ? 0 的根为 x1 ,x2 ? x1 ? x2 ? ,
16

① 若m

?

2 5 m 5 ? ,则 5 2 5

,有 ?

?m / 2 ? 1,
2 ? x1 ? 0 ? F (0) ? 1 ? m ? 0.

解得 m ? 2 ; ②若 m ?

?

2 5 m 5 ?? ,即 ,有 x1 ? 0,x2 ? 0 ; 5 2 5

? ? x1 ? x2 ? 0 ? m ? 0 ? ? ? ? x1 x2 ? 0 ? 1 ? m2 ? 0 ? ?1 ? m ? 1 2 5 解得 ? 1 ? m ? ? ? 5 ?m ? ? 2 5 ? 5 ?
由①②得 ?1 ? m ? ? 综合(Ⅰ), (Ⅱ)有

2 5 或m ? 2 . 5

. ?1 ? m ? 0 m ? 2 或

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