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盛兴高二数学(理)月考卷


盛兴中英文学校 2013-2014 学年高二数学(理)第一次月考试卷
一、选择题(每题 5 分,共 40 分) 1、一个三角形的三个内角 A、B、C 成等差数列,那么 tan ? A ? C ? 的值是 ( A. 3 B. ? 3 C. ?
3 3



D.不确定

2、已知等差数列{an}的前 3 项依次为 a-1,a+1,2a+3,则此数列的通项 an 为( ) A.2n-3 B.2n-5 ? C.2n-1 D.2n+1 ? 2 3、已知三角形的两边长分别为 4,5,它们夹角的余弦是方程 2x +3x-2=0 的根,则第 三边长是( ) A. 20 B. 21 C. 22 D. 61 7 2 2 4、在△ABC 中,b -bc-2c =0,a= 6,cos A= ,则△ABC 的面积为( ) 8 A.2 B.3 C. 15 2 D. 15 )

2 5、已知等比数列 ?an ? 的公比为正数,且 a3 ? a9 ? 2a5 , a2=1 ,则 a1= (

A.

1 2

B.

2 2

C.

2

D. 2

? ? ? 6、已知函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x ,设 a ? f ( ) , b ? f ( ) , c ? f ( ) ,则 a, b, c 的大小关 7 6 3 系是( ) A. a ? b ? c B. c ? a ? b C. b ? a ? c D. b ? c ? a
7、已知函数 f ( x) ? (1 ? cos 2 x)sin 2 x, x ? R ,则 f ( x) 是( A.最小正周期为 ? 的奇函数 C.最小正周期为 ? 的偶函数 B.最小正周期为 )

? 的奇函数 2 ? D.最小正周期为 的偶函数 2

8、锐角三角形 ABC 中,a、b、c 分别是三内角 A、B、C 的对边,如果 B=2A,则 取值范围是( ) A.(-2,2) B.(0,2) C.( 2, 3) D.( 2,2) 二、填空题(每题 5 分共 30 分) 2 ? 1 ? 9、已知 tan(? ? ? ) ? , tan( ? ? ) ? ,那么 tan(? ? ) 的值是_____ 5 4 4 4 10、已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n 2 ? 9n ,则其通项 an ? 足 5 ? ak ? 8 ,则 k ? .

b 的 a

;若它的第 k 项满

S 2011 S 2008 ? ?3 a ? S n 为等差数列 {an } 的前 n 项和,且 a1 ? ?2010 , 2011 2008 11、设 ,则 2 ———

x ? 12、 y ? log 1 cos( ? ) 的递减区间是______ 3 4 2

13 、在△ABC 中,内角 A,B,C 的对 边分别是 a,b,c,若 a 2 ? b2 ? 3bc , sin C ? 2 3 sin B , 则 A=______ 14、已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 log2(Sn+1)=n+1,则数列{an}的通项公式是__ 三、简答题(共 80 分) 15、 (13 分)设{an}为等差数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 S7=7,S15=75, Tn 为数列{

Sn }的前 n 项和,求 Tn. n

16、 (13 分)已知 ?ABC 三个顶点的直角坐标分别为 A(3, , B(0, , C (c, . 4) 0) 0) (1)若 AB⊥AC,求 c 的值; (2)若 c ? 5 ,求 sin ?A 的值. 17、 (13 分)数列{an}是首项为 23,公差为整数的等差数列,且第六项为正,第七项为负. (1) 求数列的公差. (2) 求前 n 项和 Sn 的最大值. (3) 当 Sn>0 时,求 n 的最大值. A 2 5 18、 (13 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 cos = , 2 5 →·→=3. AB AC (1)求△ABC 的面积; (2)若 b+c=6,求 a 的值. 19、 分) ..?ABC 中, A、 C 的对边分别为 a、 c, (14 在锐角 角 B、 b、 且满足 (2a ? c) cos B ? b cosC . A.求角 B 的大小及角 A 的取值范围; B. 设 m ? (sinA,1), n ? (3, cos 2 A) ,试求 m? n 的最大值. 20、 (14 分)已知正项等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=12 且 2a1,a2,a3+1 成等比 数列. (1)求{an}的通项公式; (2)记 bn= an ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求 Tn. 3n

盛兴中英文学校 2013——2014 第一次月考高二数学(理)参考答案
1——8:BABC BBDC 9.

3 22

10. 2n ?10 , 8

11. ?2008

12. [ 6k? ? ? , 6k? ?

3 4

3? ]( k ? Z ) 4

13. 300

?3, n=1 ? 14. an=?2n, n≥2 ? ?

15. 解:设等差数列{an}的公差为 d,则 Sn=na1+

1 n(n-1)d.∴S7=7,S15=75, 2

∴?

?7 a1 ? 21d ? 7, ?a1 ? 3d ? 1, 即? ?15a1 ? 105d ? 75, ?a1 ? 7 d ? 5,

解得 a1=-2,d=1.∴

Sn 1 1 =a1+ (n-1)d=-2+ (n-1) . 2 2 n



S n ?1 S n 1 ? ? , n ?1 n 2 Sn 1 2 9 1 }是等差数列,其首项为-2,公差为 ,∴Tn= n - n. 2 n 4 4
??? ?

∴数列{

16. 【解析】 (1) AB ? (?3, ?4)

???? AC ? (c ? 3, ?4)

由 AB?AC ? ?3(c ? 3) ? 16 ? 25 ? 3c ? 0 ,得 c ? (2)

??? ???? ?

25 . 3

??? ? ???? AB ? (?3, ?4) , AC ? (2, ?4) . ??? ???? ? AB?AC ?6 ? 16 1 , cos ?A ? ??? ???? ? ? ? 5 20 5 AB ? AC

sin ?A ? 1 ? cos 2 ?A ?

2 5 . 5

17. 【解】 (1) 由已知 a6=a1+5d=23+5d>0,a7=a1+6d=23+6d<0, 解得:-

23 23 <d<- ,又 d∈Z,∴d=-4 5 6
∴当 n=6 时,Sn 取得最大值,

(2) ∵d<0,∴{an}是递减数列, 又 a6>0,a7<0

6?5 (-4)=78 2 n(n ? 1) 25 (3) Sn=23n+ (-4)>0,整理得:? n(50-4n)>0 ? ∴0<n< ,又 n∈N*, 2 2
S6=6×23+
所求 n 的最大值为 12.

A 2 5 3 4 2A 18. 解: (1)因为 cos = , ∴cosA=2cos -1= ,sin A= , 2 5 2 5 5
→ → 又由AB·AC=3,得 bccos A=3,∴bc=5, (2)对于 bc=5,又 b+c=6,
2 2 2

1 ∴S△ABC= bcsin A=2. 2

∴b=5,c=1 或 b=1,c=5, ∴a=2 5.

由余弦定理得 a =b +c -2bccos A=20,

19. 解: (1)由正弦定 理得 (2 sin A ? sin C ) cos B ? sin B cosC , 所以 2 sin A cos B ? sin B cosC ? cos B sin C , 即 2 sin A cos B ? sin(B ? C ) ? sin A , 因为 sin A ? 0, 所以 cos B ?

1 . 2
?

因为 B 为锐角,所以 B ? 60

又因 ?ABC 是锐角三角形,所以 30 <A< 90 .
? ?

(2) m ? n ? 3 sin A ? cos 2 A ? ?2 sin A ? 3 sin A ? 1
2

=-2( sin A ? ) 2 ?

3 4

17 , 8

因为 30 ? A ? 90 ,所以
?

?

1 17 ? sin A ? 1 ,所以 m? n 的最大值为 . 8 2

20. 解:(1)∵S3=12,即 a1+a2+a3=12, ∴ 3a2=12,所以 a2=4, 又∵2a1,a2,a3+1 成等比数列, ∴a2=2a1·(a3 +1),即 a2=2(a2-d)·(a2+d+1), 2 2 解得,d=3 或 d=-4(舍去),∴a1=a2-d=1, 故 an=3n-2. an 3n-2 1 (2)解法 1:bn= = =(3n-2)· , 3n 3n 3n 1 1 1 1 ∴Tn=1× +4× +7× +…+(3n-2)× ,① 3 32 33 3n 1 1 1 1 1 1 1 ①× 得, Tn=1× +4× +7× +…+(3n-5)× +(3n-2)× ,② 3 3 32 33 34 3n 3n+1 2 1 1 1 1 1 1 ①-②,得 Tn= +3× +3× +3× +…+3× -(3n-2)× 3 3 32 33 34 3n 3n+1 1 ? 1? ?1- ? 32? 3n-1? 1 1 5 1 1 1 = +3× -(3n-2)· = - × -(3n-2)× , 3 1 3n+1 6 2 3n-1 3n+1 1- 3 5 1 1 3n-2 1 5 6n+5 1 Tn= - × - × = - · . 4 4 3n-2 2 3n 4 4 3n


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