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二项式定理教学案设计


《二项式定理(一)》教案设计
教材:人教 A 版选修 2-3 第一章第三节

一、教学目标
1.知识与技能:
(1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广. (2)理解并掌握二项式定理,能利用计数原理证明二项式定理.

2.过程与方法:
通过学生参与和探究二项式定理的形成过程,培养学生观察、分析、概括的能力,以及化归的意识 与方法迁移的能力,体会从特殊到一般的思维方式.

3. 情感、态度与价值观:
培养学生的自主探究意识,合作精神,体验二项式定理的发现和创造历程,体会数学语言的简洁和 严谨.

二、教学重点、难点
重点:用计数原理分析 (a ? b)3 的展开式,得到二项式定理. 难点:用计数原理分析二项式的展开过程,发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律.

三、教学过程
(一)提出问题,引入课题 引入:二项式定理研究的是 (a ? b) n 的展开式,如: (a ? b) 2 ? a 2 ? 2ab ? b 2 , (a ? b)3 ? ? (a ? b) 4 ? ? (a ? b)100 ? ? 那么 (a ? b) n 的展开式是什么? 【设计意图】把问题作为教学的出发点,直接引出课题.激发学生的求知欲,明确本课要解决的问题. (二)引导探究,发现规律 1、多项式乘法的再认识. 问题 1. (a1 ? a2 )(b1 ? b2 ) 的展开式是什么?展开式有几项?每一项是怎样构成的? 问题 2. (a1 ? a2 )(b1 ? b2 )(c1 ? c2 ) 展开式中每一项是怎样构成的?展开式有几项? 【设计意图】引导学生运用计数原理来解决项数问题,明确每一项的特征,为后续学习作准备. 2、 (a ? b)3 展开式的再认识 探究 1:不运算 (a ? b)3 ,能否回答下列问题(请以两人为一小组进行讨论) : (1) 合并同类项之前展开式有多少项? (2) 展开式中有哪些不同的项? (3) 各项的系数为多少? (4) 从上述三个问题,你能否得出 (a ? b)3 的展开式? 探究 2:仿照上述过程,请你推导 (a ? b) 4 的展开式. 【设计意图】通过几个问题的层层递进,引导学生用计数原理对 (a ? b)3 的展开式进行再思考,分析 n 各项的形式、项的个数,这也为推导 (a ? b) 的展开式提供了一种方法,使学生在后续的学习过程中有
“法”可依.

(三) 形成定理,说理证明 探究 3:仿照上述过程,请你推导 (a ? b) n 的展开式.
0 n 1 n?1 k n ?k k n n (a ? b) n ? Cn a ? Cn a b ? ?? Cn a b ? ?? Cn b (n ? N * ) ——— 二项式定理

证明: (a ? b) 是 n 个 (a ? b) 相乘,每个 (a ? b) 在相乘时,有两种选择,选 a 或选 b,由分步计数原理
n
n?k k b k (k ? 0,1,?n) 的形式, 对于每一项 a b , 它是由 k 个 (a ? b) 选了 b,n-k 个 (a ? b) 选了 a 得到的,它出现的次数相当于从 n 个 (a ? b) 中取 k 个

可知展开式共有 2 项 (包括同类项) , 其中每一项都是 a

n

n?k

k b 的组合数 Cn ,将它们合并同类项,就得二项展开式,这就是二项式定理.

1

【设计意图】通过仿照 (a ? b)3 、 (a ? b) 4 展开式的探究方法,由学生类比得出 (a ? b) n 的展开式.二
项式定理的证明采用“说理”的方法,从计数原理的角度对展开过程进行分析,概括出项的形式,用组 合知识分析展开式中具有同一形式的项的个数,从而得出用组合数表示的展开式.

(四) 熟悉定理,简单应用
二项式定理的公式特征: (由学生归纳,让学生熟悉公式) 1. 项数:共有 n ? 1项. 2. 次数:字母 a 按降幂排列,次数由 n 递减到 0;字母 b 按升幂排列,次数由 0 递增到 n. 各项的次数都等于 n.
0 1 2 k n k 3. 二项式系数: 依次为 Cn ,这里 Cn , Cn , Cn ,?, Cn ,?, Cn (k ? 0,1,? ? ?, n) 称为二项式系数. k n?k k 4. 二项展开式的通项: 式中的 Cn a b 叫做二项展开式的通项. 用 T k ?1 表示. k n?k k 即通项为展开式的第 k ? 1项: T k ?1 = Cn a b

变一变

(1) (a ? b) n

(2) (1 ? x) n

例. 求 ( 2 x ?

1 6 ) 的展开式. x

思考 1:展开式的第3项的系数是多少? 思考 2:展开式的第3项的二项式系数是多少? 思考 3:你能否直接求出展开式的第3项? 【设计意图】熟悉二项展开式,培养学生的运算能力.

(五) 课堂小结,课后作业 小结(由学生归纳本课学习的内容及体现的数学思想) 0 n 1 n?1 k n?k k n n 1. 公式: (a ? b) n ? Cn a ? Cn a b ? ?? Cn a b ? ?? Cn b (n ? N * )
2. 思想方法:1.从特殊到一般的思维方式. 2.用计数原理分析二项式的展开过程.

作业
巩固型作业:课本 36 页习题 1.3 A 组 1、2、3
0 1 2 k n 思维拓展型作业:二项式系数 Cn 有何性质. , Cn , Cn ,?, Cn ,?, Cn

教案设计说明
二项式定理是初中乘法公式的推广,是排列组合知识的具体运用,是学习概率的重要基础. 本节课的教学重点是“使学生掌握二项式定理的形成过程” ,在教学中,采用“问题――探究”的教 学模式, 把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段.让学生体会研究问题 的方式方法,培养学生观察、分析、概括的能力,以及化归意识与方法迁移的能力,体会从特殊到一般 的思维方式,让学生体验定理的发现和创造历程. 本节课的难点是用计数原理分析二项式的展开过程,发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规 律.在教学中,设置了对多项式乘法的再认识,引导学生运用计数原理来解决项数问题,明确每一项的 特征,为后面二项展开式的推导作铺垫.再以 (a ? b) 为对象进行探究,引导学生用计数原理进行再思
3

考,分析各项以及项的个数,这也为推导 (a ? b) 的展开式提供了一种方法,使学生在后续的学习过程
n

中有“法”可依. 总之,本节课遵循学生的认识规律,由特殊到一般,由感性到理性.重视学生的参与过程,问题引 导,师生互动.重在培养学生观察问题,发现问题,归纳推理问题的能力,从而形成自主探究的学习习 惯.

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