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高中文科经典导数练习题及答案


高二数学导数单元练习
一、选择题 1. 一个物体的运动方程为 S=1+t+t^2 其中 s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在 3 秒末 的瞬时速度是( ) A 7 米/秒 B 6 米/秒 C 5 米/秒 D 8 米/秒
2 2. 已知函数 f(x)=ax +c,且 f ?(1) =2,则 a 的值为(

) D. 0

/>A.1

B. 2

C.-1

3 f ( x) 与 g ( x) 是定义在 R 上的两个可导函数,若 f ( x) , g ( x) 满足 f ' ( x) ? g ' ( x) ,则

f ( x) 与 g ( x) 满足(
A f ( x) ? 2 g ( x) C f ( x ) ? g ( x) ? 0
3

) B f ( x) ? g ( x) 为常数函数 D f ( x) ? g ( x) 为常数函数 ) C (??,??) D

4. 函数 y = x + x 的递增区间是( A

(??,1)

B

(?1,1)

(1,??)

5.若函数 f(x)在区间(a ,b)内函数的导数为正,且 f(b)≤0,则函数 f(x)在(a, b) 内有( ) A. f(x) 〉0 B.f(x)〈 0 C.f(x) = 0 ) D.无法确定

6. f '( x0 ) =0是可导函数y=f(x)在点x=x0处有极值的 ( A.充分不必要条件 C.充要条件 A C

B.必要不充分条件 D.非充分非必要条件 ) B (2,8) D 有 (

3 7. 曲线 f ( x) = x + x - 2 在 p0 处的切线平行于直线 y = 4 x - 1, 则 p0 点的坐标为 (

(1, 0) (1, 0) 和 (?1, ?4)
3

(2,8) 和 (?1, ?4)
) B. 极小值-2,极大值 3 D. 极小值-2,极大值 2 )

8.函数 y ? 1 ? 3x ? x

A.极小值-1,极大值 1 C.极小值-1,极大值 3

' 9 对于 R 上可导的任意函数 f ( x) ,若满足 ( x ?1) f ( x) ? 0 ,则必有(

A C

f (0) ? f (2) ? 2 f (1)

B f (0) ? f (2) ? 2 f (1) D

f (0) ? f (2) ? 2 f (1)
函 数

f (0) ? f (2) ? 2 f (1)
的 单 调 区 间 为
a

二、填空题 11 .

y

y ? f ?( x)

y ? x3 ? x 2 ? x

b

O

x

___________________________________. 12.已知函数 f ( x) ? x3 ? ax 在 R 上有两个极值点,则实数 a 的取值范围是 13.曲线 y ? x 3 ? 4 x 在点 (1, ?3) 处的切线倾斜角为__________. 14.对正整数 n ,设曲线 y ? x n (1 ? x) 在 x ? 2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 a n ,则数列 .

? an ? ? ? 的前 n 项和的公式是 ? n ? 1?
三、解答题:

.

15.求垂直于直线 2 x ? 6 y ? 1 ? 0 并且与曲线 y ? x3 ? 3x2 ? 5 相切的直线方程

16.如图,一矩形铁皮的长为 8cm,宽为 5cm,在四个角上截去 四个相同的小正方形,制成一个无盖的小盒子,问小正方形的边长 为多少时,盒子容积最大?

17.已知 f ( x) ? ax4 ? bx2 ? c 的图象经过点 (0,1) ,且在 x ? 1 处的切线方程是 y ? x ? 2 , 请解答下列问题: (1)求 y ? f ( x) 的解析式; (2)求 y ? f ( x) 的单调递增区间。

3 18.已知函数 f ( x) ? ax ?

3 (a ? 2) x 2 ? 6 x ? 3 2

(1)当 a ? 2 时,求函数 f ( x) 极小值; (2)试讨论曲线 y ? f ( x) 与 x 轴公共点的个数。

20.已知 x ? 1 是函数 f ( x) ? mx ? 3(m ? 1) x ? nx ? 1 的一个极值点, 其中 m, n ? R, m ? 0 ,
3 2

(1)求 m 与 n 的关系式; (2)求 f ( x) 的单调区间; (3)当 x ?? ?1,1? 时,函数 y ? f ( x) 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3m,求 m 的取值 范围.

参考答案
一、选择题 AACACBBCCCA 二、填空题 11.递增区间为: (-∞,

1 1 ) , (1,+∞)递减区间为( ? ,1) 3 3 1 (注:递增区间不能写成: (-∞, )∪(1,+∞) ) 3

12. (??, 0) 13.

3 ? 4
n ?1

14. 2

?2

y/

x?2

? ?2n ?1 ? n ? 2 ? , 切线方程为 : y ? 2n ? ?2n ?1 ? n ? 2 ? ( x ? 2) ,

令 x ? 0 ,求出切线与 y 轴交点的纵坐标为 y0 ? ? n ? 1? 2n ,所以

an ? 2n , n ?1

2 ?1 ? 2n ? ? an ? 则数列 ? ? 2n?1 ? 2 ? 的前 n 项和 Sn ? 1? 2 ? n ? 1?
三、解答题: 15.解:设切点为 P (a, b) ,函数 y ? x ? 3x ? 5 的导数为 y ? 3x ? 6x
3 2 ' 2

切线的斜率 k ? y' |x?a ? 3a2 ? 6a ? ?3 ,得 a ? ?1 ,代入到 y ? x ? 3x ? 5
3 2

得 b ? ?3 ,即 P(?1, ?3) , y ? 3 ? ?3( x ? 1),3x ? y ? 6 ? 0 16.解:设小正方形的边长为 x 厘米,则盒子底面长为 8 ? 2 x ,宽为 5 ? 2 x

V ? (8 ? 2x)(5 ? 2x) x ? 4x3 ? 26x2 ? 40x
V ' ? 12 x 2 ? 52 x ? 40, 令V ' ? 0, 得x ? 1, 或x ?
10 10 ,x ? (舍去) 3 3

V极大值 ? V (1) ? 18 ,在定义域内仅有一个极大值, ?V最大值 ? 18
17.解: (1) f ( x) ? ax ? bx ? c 的图象经过点 (0,1) ,则 c ? 1 ,
4 2

f ' ( x) ? 4ax3 ? 2bx, k ? f ' (1) ? 4a ? 2b ? 1,
切点为 (1, ?1) ,则 f ( x) ? ax ? bx ? c 的图象经过点 (1, ?1)
4 2

得 a ? b ? c ? ?1, 得a ?

5 9 ,b ? ? 2 2

f ( x) ?

5 4 9 2 x ? x ?1 2 2
' 3

(2) f ( x) ? 10 x ? 9 x ? 0, ?

3 10 3 10 ? x ? 0, 或x ? 10 10

单调递增区间为 (?
18.解: (1)

3 10 3 10 , 0), ( , ??) 10 10

a 2 f ' ( x) ? 3ax 2 ? 3(a ? 2) x ? 6 ? 3a( x ? )( x ? 1), f ( x) 极小值为 f (1) ? ? 2 a

(2)①若 a ? 0 ,则 f ( x) ? ?3( x ? 1)2 ,? f ( x) 的图像与 x 轴只有一个交点; ②若 a ? 0 , ? f ( x) 极大值为 f (1) ? ?

a 2 ? 0 ,? f ( x) 的极小值为 f ( ) ? 0 , 2 a

? f ( x) 的图像与 x 轴有三个交点;
③若 0 ? a ? 2 , f ( x) 的图像与 x 轴只有一个交点; ④若 a ? 2 ,则 f ' ( x) ? 6( x ? 1)2 ? 0 ,? f ( x) 的图像与 x 轴只有一个交点; ⑤若 a ? 2 ,由(1)知 f ( x) 的极大值为 f ( ) ? ?4( 轴只有一个交点; 综上知,若 a ? 0, f ( x) 的图像与 x 轴只有一个交点;若 a ? 0 , f ( x) 的图像与 x 轴有三个 交点。 19.解: (1) f ( x) ? x ? ax ? bx ? c, f ( x) ? 3x ? 2ax ? b
3 2 ' 2

2 a

1 3 2 3 ? ) ? ? 0 ,? f ( x) 的图像与 x a 4 4

由 f (? ) ?
'

1 2 12 4 ? a ? b ? 0 , f ' (1) ? 3 ? 2a ? b ? 0 得 a ? ? , b ? ?2 2 3 9 3 ' 2 f ( x) ? 3x ? x ? 2 ? (3x ? 2)( x ?1) ,函数 f ( x) 的单调区间如下表: 2 2 2 (??, ? ) ? ( ? ,1) 1 x (1, ??) 3 3 3

? f ' ( x) f ( x) ?

0
极大值

?
?

0
极小值

?
?

2 ,1) ; 3 2 2 22 1 2 3 ?c (2) f ( x) ? x ? x ? 2 x ? c, x ? [ ?1, 2] ,当 x ? ? 时, f ( ? ) ? 3 3 27 2
所以函数 f ( x) 的递增区间是 ( ??, ? ) 与 (1, ??) ,递减区间是 ( ?
2 为极大值,而 f (2) ? 2 ? c ,则 f (2) ? 2 ? c 为最大值,要使 f ( x) ? c , x ?[?1, 2]

2 3

恒成立,则只需要 c2 ? f (2) ? 2 ? c ,得 c ? ?1, 或c ? 2 20.解(1) f ?( x) ? 3mx2 ? 6(m ? 1) x ? n 因为 x ? 1 是函数 f ( x) 的一个极值点, 所以 f ?(1) ? 0 ,即 3m ? 6(m ? 1) ? n ? 0 ,所以 n ? 3m ? 6 (2)由(1)知, f ?( x) ? 3mx2 ? 6(m ? 1) x ? 3m ? 6 = 3m( x ? 1) ? x ? ?1 ?

? ?

? ?

2 ?? ? m ?? ?

当 m ? 0 时,有 1 ? 1 ?

2 ,当 x 变化时, f ( x) 与 f ?( x ) 的变化如下表: m

x
f ?( x )

2? ? ? ??,1 ? ? m? ?
?0
调调递减

1?
0

2 m

2 ? ? ?1 ? ,1? ? m ?
?0
单调递增

1

?1, ???
?0
单调递减

0 极大值

f ( x)

极小值

故有上表知,当 m ? 0 时, f ( x) 在 ? ??,1 ? 在 (1 ?

? ?

2? ? 单调递减, m?

2 ,1) 单调递增,在 (1, ??) 上单调递减. m

(3)由已知得 f ?( x) ? 3m ,即 mx2 ? 2(m ? 1) x ? 2 ? 0

2 2 2 2 (m ? 1) x ? ? 0 即 x 2 ? (m ? 1) x ? ? 0, x ? ? ?1,1? ① m m m m 1 2 2 设 g ( x) ? x ? 2(1 ? ) x ? ,其函数开口向上,由题意知①式恒成立, m m
2 又 m ? 0 所以 x ?

2 2 ? ? g (?1) ? 0 ?1 ? 2 ? ? ? 0 所以 ? 解之得 ?? m m ? g (1) ? 0 ? ??1 ? 0
4 ? ? m又m ? 0 3 4 所以 ? ? m ? 0 3
即 m 的取值范围为 ? ? ,0 ?

? 4 ? 3

? ?


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