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二次函数与四边形的动点问题(含答案)


二次函数与四边形 一.二次函数与四边形的形状 例 1.(浙江义乌市) 如图,抛物线 y ? x ? 2 x ? 3 与 x 轴交 A、B 两点(A 点在 B 点左
2

侧),直线 l 与抛物线交于 A、C 两点,其中 C 点的横坐标为 2. (1)求 A、B 两点的坐标及直线 AC 的函数表达式; (2)P 是线段 AC 上的一个动点,过 P 点作 y 轴的平 行线交抛物线于 E 点,求线段 PE 长度的最大值; (3)点 G 是抛物线上的动点,在 x 轴上是否存在点 F,使 A、C、F、G 这样的四 个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在, 求出所有满足条件的 F 点坐标; 如果不 存在,请说明理由.

A

练习 1.(河南省实验区) 23.如图,对称轴为直线 x ?

7 2

的抛物线经过点

y

A(6,0)和 B(0,4). (1)求抛物线解析式及顶点坐标; (2)设点 E( x , y )是抛物线上一动点,且位于第四象限,四边形 OEAF

x ?

7 2

是以 OA 为对角线的平行四边形.求平行四边形 OEAF 的面积 S 与 x 之间的函数 B(0,4) 关系式,并写出自变量 x 的取值范围; ①当平行四边形 OEAF 的面积为 24 时,请判断平行四边形 OEAF 是否 为菱形? ②是否存在点 E,使平行四边形 OEAF 为正方形?若存在, 求出点 E O 的坐标;若不存在,请说明理由. E

F

A(6,0)

x

1

练习 2.(四川省德阳市)25.如图,已知与 x 轴交于点 A (1, ) 和 B (5, ) 的抛物线 l 1 的顶点为 0 0
C (3, ) ,抛物线 l 2 与 l 1 关于 x 轴对称,顶点为 C ? . 4

(1)求抛物线 l 2 的函数关系式; (2)已知原点 O ,定点 D ( 0, ) , l 2 上的点 P 与 l 1 上的点 P ? 始终关于 x 轴对称,则当点 P 运动到 4 何处时,以点 D , O , P, P ? 为顶点的四边形是平行四边形? (3)在 l 2 上是否存在点 M ,使 △ A B M 是以 A B 为斜边且一个角为 3 0 的直角三角形?若存,
y
?

求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由.

5 4 3 2 1
?1 O ?1 ?2 ?3 ?4
?5

l2

E

A

B

1 2

3

4

5

x

C?
l1

练习 3.(山西卷)如图,已知抛物线 C 1 与坐标轴的交点依次是 A ( ? 4, ) , B ( ? 2, ) , E ( 0, ) . 0 0 8 (1)求抛物线 C 1 关于原点对称的抛物线 C 2 的解析式; (2)设抛物线 C 1 的顶点为 M ,抛物线 C 2 与 x 轴分别交于
C , D 两点(点 C 在点 D 的左侧),顶点为 N ,四边形 M D N A 的

面积为 S .若点 A ,点 D 同时以每秒 1 个单位的速度沿水平方向分 别向右、向左运动;与此同时,点 M ,点 N 同时以每秒 2 个单位 的速度沿坚直方向分别向下、向上运动,直到点 A 与点 D 重合为 止.求出四边形 M D N A 的面积 S 与运动时间 t 之间的关系式,并写 出自变量 t 的取值范围; (3)当 t 为何值时,四边形 M D N A 的面积 S 有最大值,并求出 此最大值; (4)在运动过程中,四边形 M D N A 能否形成矩形?若能,求 出此时 t 的值;若不能,请说明理由.

2

二.二次函数与四边形的面积 2 例 1.(资阳市)25.如图 10,已知抛物线 P:y=ax +bx+c(a≠0) 与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在 x 轴的正半轴上),与 y 轴交于点 C,矩形 DEFG 的一条边 DE 在线段 AB 上,顶点 F、G 分别在线段 BC、 AC 上,抛物线 P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下: x y … … -3 5 2

-2 -4 -

1
5 2

2 0

… …

(1) 求 A、B、C 三点的坐标; (2) 若点 D 的坐标为(m,0),矩形 DEFG 的面积为 S,求 S 与 m 的函数关 系,并指出 m 的取值范围; (3) 当矩形 DEFG 的面积 S 取最大值时, 连接 DF 并延长至点 M, FM=k· 使 DF, 若点 M 不在抛物线 P 上,求 k 的取值范围.

图 10

练习 1.(辽宁省十二市 2007 年第 26 题).如图,平面直角坐标系中有一直角梯形 OMNH,点 H 的 坐标为(-8,0),点 N 的坐标为(-6,-4). (1)画出直角梯形 OMNH 绕点 O 旋转 180°的图形 OABC,并写出顶点 A,B,C 的坐标(点 M 的对 应点为 A, 点 N 的对应点为 B, 点 H 的对应点为 C); (2)求出过 A,B,C 三点的抛物线的表达式; (3)截取 CE=OF=AG=m,且 E,F,G 分别在线段 CO,OA,AB 上,求四边形 BEFG 的面积 S 与 m 之 间的函数关系式,并写出自变量 m 的取值范围;面积 S 是否存在最小值?若存在,请求出这个最小值; 若不存在,请说明理由; (4)在(3)的情况下,四边形 BEFG 是否存在邻边相等的情况,若存在,请直接写出此时 m 的值, 并指出相等的邻边;若不存在,说明理由.

3

练习 3.(吉林课改卷)如图,正方形 A B C D 的边长为 2 c m ,在对称中心 O 处有一钉子.动点 P , 点 到点 C 停止, Q 沿 A ? D 点 Q 同时从点 A 出发, P 沿 A ? B ? C 方向以每秒 2 c m 的速度运动, 方向以每秒 1c m 的速度运动,到点 D 停止. P ,Q 两点用一条可伸缩的细橡皮 筋联结,设 x 秒后橡皮筋扫过的面积为 y c m .
2

B P O A B Q P O A
y
3

C

(1)当 0 ≤ x ≤ 1 时,求 y 与 x 之间的函数关系式; (2)当橡皮筋刚好触及钉子时,求 x 值; (3)当 1 ≤ x ≤ 2 时,求 y 与 x 之间的函数关系式,并写出橡皮筋从触及 钉子到运动停止时∠ P O Q 的变化范围; (4)当 0 ≤ x ≤ 2 时,请在给出的直角坐标系中画出 y 与 x 之间的函数图 象.

D C

Q

D

2

1

O

1

2 x

练习 4.(四川资阳卷)如图,已知抛物线 l1:y=x2-4 的图象与 x 轴相交于 A、C 两点,B 是抛物线 l1 上的动点(B 不与 A、C 重合),抛物线 l2 与 l1 关于 x 轴对称,以 AC 为对角线的平行四边形 ABCD 的 第四个顶点为 D. (1) 求 l2 的解析式; (2) 求证:点 D 一定在 l2 上; (3) □ABCD 能否为矩形?如果能为矩形,求这些矩形公共部分的面积 (若只有一个矩形符合条件,则求此矩形的面积);如果不能为矩形,请说 明理由. 注:计算结果不取近似值 .

4

三.二次函数与四边形的动态探究 例 1.(荆门市)28. 如图 1,在平面直角坐标系中,有一张矩形纸片 OABC,已知 O(0,0),A(4,0), C(0,3),点 P 是 OA 边上的动点(与点 O、A 不重合).现将△PAB 沿 PB 翻折,得到△PDB;再在 OC 边上选取适当的点 E,将△POE 沿 PE 翻折,得到△PFE,并使直线 PD、PF 重合. (1)设 P(x,0),E(0,y),求 y 关于 x 的函数关系式,并求 y 的最大值; (2)如图 2,若翻折后点 D 落在 BC 边上,求过点 P、B、E 的抛物线的函数关系式; (3)在(2)的情况下,在该抛物线上是否存在点 Q,使△PEQ 是以 PE 为直角边的直角三角形?若不 存在,说明理由;若存在,求出点 Q 的坐标.
y C F E O D P 图1 A x E F O P A x B C y D

B

图2

例 2.(2010 年沈阳市第 26 题)、已知抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,其中点 B 在 x 轴的正半轴上, 点 C 在 y 轴的正半轴上,线段 OB、OC 的长(OB<OC)是方程 x2- 10x+16=0 的两个根,且抛物线的对称轴是直线 x=-2. (1)求 A、B、C 三点的坐标; (2)求此抛物线的表达式; (3)连接 AC、BC,若点 E 是线段 AB 上的一个动点(与点 A、 点 B 不重合),过点 E 作 EF∥AC 交 BC 于点 F,连接 CE,设 AE 的 长为 m,△CEF 的面积为 S,求 S 与 m 之间的函数关系式,并写出自 变量 m 的取值范围; (4)在(3)的基础上试说明 S 是否存在最大值,若存在,请求出 S 的最大值,并求出此时点 E 的坐标,判断此时△BCE 的形状;若不存在,请说明理由.

5

例 3..(湖南省郴州) 27.如图,矩形 ABCD 中,AB=3,BC=4,将矩形 ABCD 沿对角线 A 平移, 平移后的矩形为 EFGH(A、E、C、G 始终在同一条直线上),当点 E 与 C 重时停止移动.平移中 EF 与 BC 交于点 N,GH 与 BC 的延长线交于点 M,EH 与 DC 交于点 P,FG 与 DC 的延长线交于点 Q.设 S 表示矩形 PCMH 的面积, S ? 表示矩形 NFQC 的面积. (1) S 与 S ? 相等吗?请说明理由. (2)设 AE=x,写出 S 和 x 之间的函数关系式,并求出 x 取何值时 S 有最大值,最大值是多少? (3)如图 11,连结 BE,当 AE 为何值时, ? A B E 是等腰三角形.
A E C N F Q D P H
A D

x
E P H

B

M G

B

M N F C

Q

G

图 10

图 11

练习 1. (07 年河池市) 如图 12, 四边形 OABC 为直角梯形, (4, , (3, , (0, . 点 A 0) B 4) C 4) 点 以每秒 1 个单位长度的速度 M 从 O 出发以每秒 2 个单位长度的速度向 A 运动; N 从 B 同时出发, 向 C 运动.其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动.过点 N 作 N P 垂直 x 轴于点 P , 连结 AC 交 NP 于 Q,连结 MQ. (1)点 (填 M 或 N)能到达终点;
C y N B

(2)求△AQM 的面积 S 与运动时间 t 的函数关系式,并写出自 变量 t 的取值范围,当 t 为何值时,S 的值最大; (3)是否存在点 M,使得△AQM 为直角三角形?若存在,求出点 M 的坐标, 若不存在,说明理由.

Q

O

M

P

A

x

图 12

6

练习 2..(江西省) 25.实验与探究 (1)在图 1,2,3 中,给出平行四边形 A B C D 的顶点 A, B , D 的坐标(如图所示),写出图 1, 2,3 中的顶点 C 的坐标,它们分别是 (5, ) , 2
y
B (1, ) 2




y
B ( c, d )

y
B ( c, d )

C

C
O
x
D ( 4, ) 0

C
O
x
D ( e, ) 0 A ( a, b ) D ( e, b )

( A)

( A)

O

x

图1

图2

图3

(2)在图 4 中,给出平行四边形 A B C D 的顶点 A, B , D 的坐标(如图所示),求出顶点 C 的 坐标( C 点坐标用含 a, b, c, d , e, f 的代数式表示);
y
C
D ( e, f )

B ( c, d )

A ( a, b )

O

x

图4 归纳与发现 (3)通过对图 1,2,3,4 的观察和顶点 C 的坐标的探究,你会发现:无论平行四边形 A B C D 处 于直角坐标系中哪个位置,当其顶点坐标为 A ( a, b ), B ( c, d ), C ( m , n ), D ( e, f ) (如图 4)时, 则四个顶点的横坐标 a , c, m , e 之间的等量关系为 系为 (不必证明); 运用与推广 (4) 在同一直角坐标系中有抛物线 y ? x ? (5 c ? 3 ) x ? c 和三个点 G ? ?
2

; 纵坐标 b, d , n, f 之间的等量关

? ?

1

5 ? 9 ? ?1 c, c ? , S ? c, c ? , 2 2 ? 2 ? ? 2

H ( 2 c, ) (其中 c ? 0 ).问当 c 为何值时,该抛物线上存在点 P ,使得以 G , S , H , P 为顶点的四 0

边形是平行四边形?并求出所有符合条件的 P 点坐标.

7

答案: 一.二次函数与四边形的形状 例 1.解:(1)令 y=0,解得 x 1 ? ? 1 或 x 2 ? 3 ∴A(-1,0)B(3,0); 将 C 点的横坐标 x=2 代入 y ? x ? 2 x ? 3 得 y=-3, (2, ∴直线 AC 的函数解析式是 y=-x-1 ∴C -3)
2

(2)设 P 点的横坐标为 x(-1≤x≤2)则 P、E 的坐标分别为:P(x,-x-1), E( ( x , x ? 2 x ? 3 ) ∵P 点在 E 点的上方,PE= ( ? x ? 1) ? ( x ? 2 x ? 3 ) ? ? x ? x ? 2
2 2 2

∴当 x ?

1 2

时,PE 的最大值=

9 4

(3)存在 4 个这样的点 F,分别是 F1 (1, 0 ), F 2 ( ? 3, 0 ), F3 ( 4 ? 练 习 1. 解 : ( 1 ) 由 抛 物 线 的 对 称 轴 是 x ?
y ? a(x ? 7 2 ) ? k .把 A、B 两点坐标代入上式,得
2

7 ,), F 4 ( 4 ? 0

7 ,0 )

7 2

,可设解析式为 y

x ?

7 2

7 2 ? a (6 ? ) ? k ? 0, ? 2 25 ? 2 解之,得 a ? , k ? ? . ? 3 6 7 2 ? a (0 ? ) ? k ? 4 . ? ? 2

B(0,4) F
7 25 6

故抛物线解析式为 y ?

2 3

(x ?

7 2

) ?
2

25 6

,顶点为 ( , ?
2

).

O E

A(6,0)

x

(2)∵点 E ( x , y ) 在抛物线上,位于第四象限,且坐标适合
y ? 2 3 (x ? 7 2 ) ?
2

25 6



∴y<0,即 -y>0,-y 表示点 E 到 OA 的距离.∵OA 是 ? O E A F 的对角线, ∴ S ? 2 S ? OAE ? 2 ?
1 2 ? O A ? y ? ? 6 y ? ? 4(? 7 2 ) ? 25 .
2

因为抛物线与 x 轴的两个交点是(1,0)的(6,0),所以,自变量 x 的 取值范围是 1< x <6. ① 化简,得 ( x ?
7 2 ) ?
2

根据题意,当 S = 24 时,即 ? 4 ( x ?
1 4 .

7 2

) ? 25 ? 24 .
2

解之,得 x 1 ? 3, x 2 ? 4 .

故所求的点 E 有两个,分别为 E1(3,-4),E2(4,-4). 点 E1(3,-4)满足 OE = AE,所以 ? O E A F 是菱形; 点 E2(4,-4)不满足 OE = AE,所以 ? O E A F 不是菱形. ② 当 OA⊥EF,且 OA = EF 时, ? O E A F 是正方形,此时点 E 的 坐标只能是(3,-3). 而坐标为(3,-3)的点不在抛物线上,故不存在这样的点 E, 使 ? O E A F 为正方形.
y
l2

5 E 4 2 ? 练习 2.解:(1)由题意知点 C ? 的坐标为 (3, 4 ) .设 l 2 的函数关系式为 y ? a ( x ? 3 ) ? 4 . 3 2 1
?1 O ?1 ?2 ?3 ?4

1 2

A

B

3

4 8

5

x

?

又? 点 A (1, ) 在抛物线 y ? a ( x ? 3 ) ? 4 上,? (1 ? 3 ) a ? 4 ? 0 ,解得 a ? 1 . 0
2 2

?

抛物线 l 2 的函数关系式为 y ? ( x ? 3 ) ? 4 (或 y ? x ? 6 x ? 5 ).
2 2

(2)? P 与 P ? 始终关于 x 轴对称, ? P P ? 与 y 轴平行. 设点 P 的横坐标为 m ,则其纵坐标为 m ? 6 m ? 5 , ? O D ? 4 , ? 2 m 2 ? 6 m ? 5 ? 4 ,即
2

m ? 6m ? 5 ? ? 2 . 当 m
2

2

? 6 m ? 5 ? 2时 , 解 得 m ? 3 ?
6, ) 或 ( 3 ? 2 6, ) 或 ( 3 ? 2

6 .当 m

2

? 6m ? 5? ? 2时 , 解 得
2 , 2 ) 时, ?

m ? 3?
P ?P

2 .? 当点 P 运动到 ( 3 ?
∥O

2, 2 ) 或 ( 3 ? ?

D ,以点 D , O , P, P ? 为顶点的四边形是平行四边形.

(3)满足条件的点 M 不存在.理由如下:若存在满足条件的点 M 在 l 2 上,则
? A M B ? 9 0 ,? ? B A M ? 3 0 (或 ? A B M ? 3 0 ),
? ? ?

y

? BM ?

1 2

AB ?

1 2

5
?4 ? 2 .
?

D

C

l2

过点 M 作 M E ? A B 于点 E ,可得 ? B M E ? ? B A M ? 3 0 .
? EB ?
?

1 2

BM ?

1 2

3 2 1
?1 O ?1 ?2 ?3 ?4
?5

? 2 ? 1 ,EM ?
3) .

3 ,OE ? 4 .

E

1 2

? 点 M 的坐标为 ( 4 ,

A

3

4

5

B

x

M
C?
l1

2 但是,当 x ? 4 时, y ? 4 ? 6 ? 4 ? 5 ? 1 6 ? 2 4 ? 5 ? ? 3 ? ? 3 .

?

不存在这样的点 M 构成满足条件的直角三角形.

练习 3. [解] (1) A ( ?4 0) , B ( ?2 0) , E (0 8) 关于原点的对称点分别为 D ( 4, ) ,C ( 2, ) , 点 点 点 , , , 0 0
F ( 0, 8 ) . 设抛物线 C 2 的解析式是 ?

? 1 6 a ? 4 b ? c ? 0, ? a ? ? 1, ? ? y ? a x ? b x ? c ( a ? 0 ) ,则 ? 4 a ? 2 b ? c ? 0, 解得 ? b ? 6,
2

? c ? ? 8. ?

? c ? ? 8. ?

所以所求抛物线的解析式是 y ? ? x ? 6 x ? 8 .
2

? 1) (2)由(1)可计算得点 M ( ? 3, 1), N (3, .

过点 N 作 N H ? A D ,垂足为 H . 当运动到时刻 t 时, A D ? 2 O D ? 8 ? 2 t , N H ? 1 ? 2 t . 根据中心对称的性质 O A ? O D, O M ? O N ,所以四边形 M D N A 是平行四边形. 所 以 S ? 2S△ A
D N

. 所 以 , 四 边 形 MDNA 的 面 积

9

S ? (8 ? 2 t ) (1 ? 2 t ) ? ? 4 t ? 1 4 t ? 8 . 因为运动至点 A 与点 D 重合为止,据题意可知 0 ≤ t ? 4 .
2

所以,所求关系式是 S ? ? 4 t ? 1 4 t ? 8 , t 的取值范围是 0 ≤ t ? 4 .
2

(3) S ? ? 4 ? t ?
?

?

7 ? 81 ,( 0 ≤ t ? 4 ). ?? 4 ? 4

所以 t ?

7 4

时, S 有最大值

81 4



提示:也可用顶点坐标公式来求. (4)在运动过程中四边形 M D N A 能形成矩形. 由 (2) 知四边形 M D N A 是平行四边形, 对角线是 A D, M N , 所以当 A D ? M N 时四边形 M D N A 是矩形. 所以 O D ? O N .所以 O D ? O N
2 2

? OH

2

? NH

2


6 ? 2 (舍).
6 ? 2.

所以 t ? 4 t ? 2 ? 0 .解之得 t1 ?
2 2

6 ? 2, t 2 ? ?

所以在运动过程中四边形 M D N A 可以形成矩形,此时 t ?

[点评]本题以二次函数为背景,结合动态问题、存在性问题、最值问题,是一道较传统的压轴题, 能力要求较高。

二.二次函数与四边形的面积 例 1. 解:(1)解法一:设 y ? ax
2

? bx ? c ( a ? 0 ) ,
= 1 2 x + x- 4
2

任取 x,y 的三组值代入,求出解析式 y 令 y=0,求出 x1
= - 4, x2 = 2



;令 x=0,得 y=-4, ·········
5 2 5 2

∴ A、B、C 三点的坐标分别是 A(2,0),B(-4,0),C(0,-4) . 解法二:由抛物线 P 过点(1,),(-3, )可知,

抛物线 P 的对称轴方程为 x=-1, 又∵ 抛物线 P 过(2,0)、(-2,-4),则由抛物线的对称性可知, 点 A、B、C 的坐标分别为 A(2,0),B(-4,0),C(0,-4) . (2)由题意, 又
BE BO = EF OC
2

AD AO

=

DG OC

,而 AO=2,OC=4,AD=2-m,故 DG=4-2m, ········

,EF=DG,得 BE=4-2m,∴ DE=3m,

∴ s D E F G =DG·DE=(4-2m) 3m=12m-6m (0<m<2) . 注:也可通过解 Rt△BOC 及 Rt△AOC,或依据△BOC 是等腰直角三角形建立关系求解. 2 (3)∵SDEFG=12m-6m (0<m<2),∴m=1 时,矩形的面积最大,且最大面积是 6 . 当矩形面积最大时,其顶点为 D(1,0),G(1,-2),F(-2,-2),E(-2,0), 设直线 DF 的解析式为 y=kx+b,易知,k= 又可求得抛物线 P 的解析式为: y
= 1 2
2

2 3

,b=-

2 3

,∴ y

=

2 3

x-

2 3



x + x- 4



10



2 3

x-

2 3

=

1 2

x + x- 4
- 13

2

,可求出 x ?
61

?1? 3

61

. 设射线 DF 与抛物线 P 相交于点 N,

则 N 的横坐标为
- 2-

,过 N 作 x 轴的垂线交 x 轴于 H,有

- 13 3

61

FN DF

=

HE DE

=

=

- 5+ 9

61



点 M 不在抛物线 P 上,即点 M 不与 N 重合时,此时 k 的取值范围是 k≠
- 5+ 9 61

且 k>0.

说明:若以上两条件错漏一个,本步不得分. 若选择另一问题: (2)∵ 又∵
AD AO
FG AB =

=

DG OC
CP OC

,而 AD=1,AO=2,OC=4,则 DG=2,

, 而 AB=6,CP=2,OC=4,则 FG=3,

∴ s D E F G =DG·FG=6. 练习 1.解:利用中心对称性质,画出梯形 OABC. ················· 1 分 ∵A,B,C 三点与 M,N,H 分别关于点 O 中心对称, ∴A(0,4),B(6,4),C(8,0) ··················· 3 分 (写错一个点的坐标扣 1 分)

(2)设过 A,B,C 三点的抛物线关系式为 ∵抛物线过点 A(0,4), ∴ .则抛物线关系式为



. ·············· 4 分

将 B(6,4), C(8,0)两点坐标代入关系式,得

···························· 5AB,垂足为

11

G,则 sin∠FEG=sin∠CAB=



解得

····················· 6 分

所求抛物线关系式为:

.········ 7 分

(3)∵OA=4,OC=8,∴AF=4-m,OE=8-m. ·········· 8 分 ∴

OA(AB+OC)

AF·AG

OE·OF

CE·OA

( 0< ∵ . ∴当

<4) ········ 10 分

时,S 的取最小值.

又∵0<m<4,∴不存在 m 值,使 S 的取得最小值. ······· 12 分 (4)当 时,GB=GF,当 时,BE=BG. 14 分
1 2
2 即y ? x .

练习 3.[解] (1)当 0 ≤ x ≤ 1 时, A P ? 2 x , A Q ? x , y ?

A Q ?A P ? x ,
2

(2)当 S 四 边 形 A B P Q ?

1 2

S 正 方 形 A B C D 时,橡皮筋刚好触及钉子, 1 2

BP ? 2 x ? 2 , AQ ? x ,

?2x ?

2 ? x?? 2 ?

1 2

? 2 ,? x ?
2

4 3



(3)当 1 ≤ x ≤

4 3

时, A B ? 2 ,

PB ? 2 x ? 2 , AQ ? x ,
? y ? AQ ? BP 2 ?A B ? x ? 2x ? 2 2 ? 2 ? 3x ? 2 ,

即 y ? 3x ? 2 .
y

作 O E ⊥ A B , E 为垂足. 当
4 3
y ? S 梯 形 BEOP ? S 梯 形 OEAQ ?

3

≤ x ≤ 2 时, B P ? 2 x ? 2 , A Q ? x , O E ? 1 ,

2

1? 2x ? 2 2

?1?

1? x 2

?1 ?

3 2

x ,

1
12

O

1 4
3

2

x

即y ?
?

3 2

x.
? ? ?

9 0 ≤ ∠ P O Q ≤ 1 8 0 或1 8 0 ≤ ∠ P O Q ≤ 2 7 0

(4)如图所示: 练习 4.[解] (1) 设 l2 的解析式为 y=ax2+bx+c(a≠0), ∵l1 与 x 轴的交点为 A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0,- 4),l2 与 l1 关于 x 轴对称, ∴l2 过 A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0,4), ∴ ? 4a ? 2b ? c
? 4 a ? 2b ? c ? 0 , ? ? 0 , ?c ? 4 . ?

∴ a=-1,b=0,c=4,即 l2 的解析式为 y= -x2+4 . (还可利用顶点式、对称性关系等方法解答) (2) 设点 B(m,n)为 l1:y=x2-4 上任意一点,则 n= m2-4 (*). ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,点 A、C 关于原点 O 对称, ∴ B、D 关于原点 O 对称, ∴ 点 D 的坐标为 D(-m,-n) . 由(*)式可知, -n=-(m2-4)= -(-m)2+4, 即点 D 的坐标满足 y= -x2+4, ∴ 点 D 在 l2 上. (3) □ABCD 能为矩形. 过点 B 作 BH⊥x 轴于 H,由点 B 在 l1:y=x2-4 上,可设点 B 的坐标为 (x0,x02-4), 则 OH=| x0|,BH=| x02-4| . 易知,当且仅当 BO= AO=2 时,□ABCD 为矩形. 在 Rt△ OBH 中,由勾股定理得,| x0|2+| x02-4|2=22, (x02-4)( x02-3)=0,∴x0=± 2(舍去)、x0=± 3 . 所以,当点 B 坐标为 B( 3 ,-1)或 B′(- 3 ,-1)时,□ABCD 为矩形,此时,点 D 的坐标分别是 D(- 3 ,1)、D′( 3 ,1). 因此,符合条件的矩形有且只有 2 个,即矩形 ABCD 和矩形 AB′CD′ . 设直线 AB 与 y 轴交于 E ,显然,△ AOE∽△ AHB, EO BH EO 1 ∴ = ,∴ . ? AO AH 2 2? 3 ∴ EO=4-2 3 . 由该图形的对称性知矩形 ABCD 与矩形 AB′CD′重合部分是菱形,其面积为 1 1 S=2SΔACE=2× ×AC × =2× × (4-2 3 )=16 - 8 3 . EO 4× 2 2

三.二次函数与四边形的动态探究 例 1.解:(1)由已知 PB 平分∠APD,PE 平分∠OPF,且 PD、PF 重合,则∠BPE=90° .∴∠OPE +∠APB=90° .又∠APB+∠ABP=90° ,∴∠OPE=∠PBA. ∴Rt△POE∽Rt△BPA. ∴
PO OE ? BA AP

.即

x y

?

3 4? x

.∴y=

1 3

x(4 ? x) ? ?

1 3

x ?
2

4 3

x

(0<x<4).

13

且当 x=2 时,y 有最大值 .
3

1

(2)由已知,△PAB、△POE 均为等腰三角形,可得 P(1,0),E(0,1),B(4,3).
1 ? a ? , ? 2 ? c ? 1, ? 3 ? ? y=ax2+bx+c,则 ? a ? b ? c ? 0 , ∴ ?b ? ? , 2 ? ? ?1 6 a ? 4 b ? c ? 3 . ?c ? 1. ? ?

设过此三点的抛物线为

y=

1 2

x ?
2

3 2

x ?1



(3)由(2)知∠EPB=90° ,即点 Q 与点 B 重合时满足条件. 直线 PB 为 y=x-1,与 y 轴交于点(0,-1). 将 PB 向上平移 2 个单位则过点 E(0,1), ∴该直线为 y=x+1. 由?
? y ? x ? 1, ? 1 2 3 x ? x ? 1, ?y ? 2 2 ?

得?

? x ? 5, ? y ? 6.

∴Q(5,6).

故该抛物线上存在两点 Q(4,3)、(5,6)满足条件. 例 2.解:(1)解方程 x2-10x+16=0 得 x1=2,x2=8 ……………………1 分 ∵点 B 在 x 轴的正半轴上,点 C 在 y 轴的正半轴上,且 OB<OC ∴点 B 的坐标为(2,0),点 C 的坐标为(0,8) 又∵抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴是直线 x=-2 ∴由抛物线的对称性可得点 A 的坐标为(-6,0) …………………4 分 (2)∵点 C(0,8)在抛物线 y=ax2+bx+c 的图象上 ∴c=8,将 A(-6,0)、B(2,0)代入表达式,得

解得

∴所求抛物线的表达式为 y=

x2

x+8

………………………7 分

(3)依题意,AE=m,则 BE=8-m, ∵OA=6,OC=8,∴AC=10 ∵EF∥AC ∴△BEF∽△BAC





∴EF=
14





∴FG=

·

=8-m

∴S=S△BCE-S△BFE=

(8-m)× 8-

(8-m)(8-m)



(8-m)(8-8+m)=

(8-m)m=-

m2+4m …………10 分

自变量 m 的取值范围是 0<m<8 (4)存在.

…………………………11 分

理由:∵S=-

m2+4m=-

(m-4)2+8

且-

<0,

∴当 m=4 时,S 有最大值,S 最大值=8 ∵m=4,∴点 E 的坐标为(-2,0) ∴△BCE 为等腰三角形.

………………………12 分

…………………………14 分

(以上答案仅供参考,如有其它做法,可参照给分) 例 3 解: (1)相等 理由是:因为四边形 ABCD、EFGH 是矩形, 所以 S ? E G H 所以 S ? E G H
? S ?EGF , S ?ECN ? S ?ECP , S ?CGQ ? S ?CGM ? S ?ECP ? S ?CGM ? S ?EGF ? S ?ECN ? S ?CGQ ,

即: S ? S ?
? 3 5 (5 ? x ) , M C ? 4 5 x ,

(2)AB=3,BC=4,AC=5,设 AE=x,则 EC=5-x, P C 所以 S
? P C ?M C ? 12 25 x (5 ? x ) ,即 S ? ?
12 25 x ?
2

12 5

x (0 ? x ? 5)

配方得: S ? ? S 有最大值 3

12 25

(x ?

5 2

) ?3
2

,所以当 x

?

5 2

时,

15

(3)当 AE=AB=3 或 AE=BE= 或 AE=3.6 时, ? A B E 是等腰三角形
2

5

练习 1. 解:(1)点 M

1 分(2)经过 t 秒时, N B ? t , O M ? 2 t ∴PQ ? 1 ? t
2

则 C N ? 3 ? t , A M ? 4 ? 2t ∵ ? B C A = ? M A Q = 4 5 ? ∴ Q N ? C N ? 3 ? t
1 2 1 2 1 2 ( 4 ? 2 t )(1 ? t ) ? ? t ? t ? 2
2

∴ S △ AM Q ?

A M ?P Q ?

1 ? 9 ? ∴S ? ?t ? t ? 2 ? ? ? t ? ? ? 2? 4 ?
2

∵ 0 ≤ t ≤ 2 ∴当 t ?

时,S 的值最大.

(3)存在.设经过 t 秒时,NB=t,OM=2t 则 C N ? 3 ? t , A M ? 4 ? 2 t ∴ ? B C A = ? M A Q = 4 5 ? ①若 ? A Q M ? 9 0 ,则 P Q 是等腰 Rt△ M Q A 底边 M A 上的高 ∴ P Q 是底边 M A 的中线 ∴点 M 的坐标为(1,0) ②若 ? Q M A ? 9 0 ,此时 Q M 与 Q P 重合∴ Q M ? Q P ? M A ∴ 1 ? t ? 4 ? 2 t ∴ t ? 1 ∴点 M 的坐标为(2,0) 练习 2.解:(1) ( e ? c, d ) , ( c ? e ? a, d ) . (2)分别过点 A, B, C , D 作 x 轴的垂线,垂足分别为 A1, B 1, C 1, D 1 , 分别过 A, D 作 A E ? B B 1 于 E , D F ? C C 1 于点 F .
y
C
? ?

∴PQ ? AP ?

1 2

M A ∴1 ? t ?

1 2

(4 ? 2t) ∴t ?

1 2

在平行四边形 A B C D 中, C D ? B A ,又? B B 1 ∥ C C 1 ,
? ? EBA ? ? ABC ? ? BC F ? ? ABC ? ? BC F ? ? FC D ? 180 .
?

B ( c, d )

F

D ( e, f )

O

E A ( a, b ) B 1 A1 C 1D 1

x

? ?EBA ? ?FCD .

又? ? B E A ? ? C F D ? 9 0 ,
?△ B E A ≌ △ C F D . ? AF ? DF ? a ? c , BE ? CF ? d ? b .

?

设 C ( x, y ) .由 e ? x ? a ? c ,得 x ? e ? c ? a . 由 y ? f ? d ? b ,得 y ? f ? d ? b .? C ( e ? c ? a, f ? d ? b ) .

(3) m ? c ? e ? a , n ? d ? f ? b .或 m ? a ? c ? e , n ? b ? d ? f .
7 (4)若 G S 为平行四边形的对角线,由(3)可得 P1 ( ? 2 c, c ) .要使 P1 在抛物线上,
2 则有 7 c ? 4 c ? ( 5 c ? 3 ) ? ( ? 2 c ) ? c ,即 c ? c ? 0 .
2

16

? c 1 ? 0 (舍去), c 2 ? 1 .此时 P1 ( ? 2 , ) . 7
2 2 若 S H 为平行四边形的对角线,由(3)可得 P2 ( 3 c, c ) ,同理可得 c ? 1 ,此时 P2 ( 3, ) .

? 若 G H 为平行四边形的对角线,由(3)可得 ( c, 2 c ) ,同理可得 c ? 1 ,此时 P3 (1, 2 ) . ?

综上所述,当 c ? 1 时,抛物线上存在点 P ,使得以 G , S , H , P 为顶点的四边形是平行四边形.
2 7 ? 符合条件的点有 P1 ( ? 2 , ) , P2 ( 3, ) , P3 (1, 2 ) .

练习 3.解:⑴由 Rt△AOB≌Rt△CDA 得 ? ? ? OD=2+1=3,CD=1 ∴C 点坐标为(-3,1), ∵抛物线经过点 C,
1 2

∴1= (-3)2 a+(-3)a-2,∴ a ? ∴抛物线的解析式为 y ?
1 2 x
2



?

1 2

x ? 2 .

⑵在抛物线(对称轴的右侧)上存在点 P、Q,使四边形 ABPQ 是正方形。 以 AB 边在 AB 右侧作正方形 ABPQ。过 P 作 PE⊥OB 于 E,QG⊥x 轴于 G, 可证△PBE≌△AQG≌△BAO, ∴PE=AG=BO=2,BE=QG=AO=1, ∴∴P 点坐标为(2,1),Q 点坐标为(1,-1)。 由(1)抛物线 y ?
1 2 x
2

?

1 2

x ? 2 。

当 x=2 时,y=1,当 x=,1 时,y=-1。 ∴P、Q 在抛物线上。 故在抛物线(对称轴的右侧)上存在点 P(2,1)、Q(1,-1),使四边形 ABPQ 是正方形。 ⑵另解:在抛物线(对称轴的右侧)上存在点 P、Q,使四边形 ABPQ 是正方形。 延长 CA 交抛物线于 Q,过 B 作 BP∥CA 交抛物线于 P,连 PQ,设直线 CA、BP 的解析式分别为 y=k1x+b1, y=k2x+b2, ∵A(-1,0),C(-3,1), ∴CA 的解析式 y ? ?
1 2 x ? 1 2

,同理 BP 的解析式为 y ? ?

1 2

x ?

1 2



1 ? y ? ? x ? ? ? 2 解方程组 ? ?y ? 1 x2 ? ? 2 ?

1 2 1 2 x ? 2

得 Q 点坐标为(1,-1),同理得 P 点坐标为(2,1)。

17

由勾股定理得 AQ=BP=AB= 5 ,而∠BAQ=90°, ∴四边形 ABPQ 是正方形。故在抛物线(对称轴的右侧)上存在点 P(2,1)、Q(1,-1),使四 边形 ABPQ 是正方形。 ⑵另解:在抛物线(对称轴的右侧)上存在点 P、Q,使四边形 ABPQ 是正方形。 如图,将线段 CA 沿 CA 方向平移至 AQ, ∵C(-3,1)的对应点是 A(-1,0),∴A(-1,0)的对应点是 Q(1,-1),再将线段 AQ 沿 AB 方向平移至 BP,同理可得 P(2,1)

∵∠BAC=90°,AB=AC ∴四边形 ABPQ 是正方形。经验证 P(2,1)、Q(1,-1)两点均在抛物线 y ? ⑶结论②
BF AF ? BG AG 1 2 x
2

?

1 2

x ? 2 上。

成立,

证明如下:连 EF,过 F 作 FM∥BG 交 AB 的延长线于 M,则△AMF∽△ABG,



MF AF

?

BG AG

。由⑴知△ABC 是等腰直角三角形,

∴∠1=∠2=45°。∵AF=AE,∴∠AEF=∠1=45°。∴∠EAF=90°,EF 是⊙O?的直径。 ∴∠EBF=90°。∵FM∥BG,∴∠MFB=∠EBF=90°,∠M=∠2=45°, ∴BF=MF, ∴
BF AF ? BG AG

18


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