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江西省红色六校2015届高三第二次联考文数


江西省红色六校 2015 届高三第二次联考

文科数学试题
(分宜中学、莲花中学、任弼时中学、瑞金一中、南城一中、遂川中学) 命题、审题:分宜中学
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.复数 z ? A .i

刘日辉

遂川中学

郭爱平

5i (

i 是虚数单位)的共轭复数为( (2 ? i)(2 ? i)
B. ? i C. i

)

5 5 D. ? i 3 3 2 2 2 2.设集合 M ? {x y ? 3 x, x ? R}, N ? { y x ? y ? 4, x ? R, y ? R} ,则 M
A.

N 等于(
D. ? 0, 2?

)

?

3,- 3

?

B.

??2, 2?

C.

??1, 3 ? , ?1, ? 3 ??
2

3.已知? ? 0,0 ? ? ? ? , 直线x ?
则 ? =( A. ) B.

? 5? 和x ? 是函数f ( x) ? sin(? x ? ? )图像的两条相邻的对称轴, 4 4

? 4

? 3

C.

? 2
1 1 4 2

D.

3? 4

4 4 4
正视图

4.若幂函数 f ? x ? ? mx 的图象经过点 A( , ) ,
?

则它在点 A 处的切线方程是( A. 2 x ? y ? 0 C. 4 x ? 4 y ? 1 ? 0

)

4
侧视图

B. 2 x ? y ? 0 D. 4 x ? 4 y ? 1 ? 0 )
俯视图 第 5 题图

5.已知一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积为( A. 10? ? 96 C. 8? ? 96 B. 9? ? 96 D. 9? ? 80

6.阅读右边程序框图,为使输出的数据为 30, 则判断框中应填入的条件为( A.i≤4 B. i≤5` )

C. i≤6

D. i≤7

7.已知角 ? 的顶点与原点重合, 始边与 x 轴正半轴重合, 终边在 直线 y ? 2 x 上, 则 sin ? 2? ? 的值为( A. ? )

? ?

?? ? 4?

7 2 10

B.

7 2 10

C. ?

2 10

D.

2 10
)

?y ? x ? 8.设变量 x,y 满足 : ? x ? 3 y ? 4, ? x ? ?2 ?
A.3 9. 在 B.8

则z ?| x ? 3 y | 的最大值为(
13 4

C.

D.

9 2

0 ?ABC 中 , AB ? 4, ? ABC? 30 ,D 是 边 BC 上 的 一 点 , 且 AD? AB? AD 则 ? AC

AD ? AB 的值为(
A.0 B.4

) C.8 D.-4 若数列 ?an ? 满足 an ? f (n) (n ? N? ),且 ?an ?

10.已知函数 f ( x) ? ?

( ( x ? 7) ? 3-a)x ? 3  
x ?6 ?a      (x ? 7)

是递增数列,则实数 a 的取值范围是( ) A. ? ? ,3)
9 ?4

B. ( ,3)

9 4

C. ? 2,3?

D. ?1,3?

11.在 x 轴、y 轴上截距相等且与圆 ( x ? 2 2)2 ? ( y ? 3 2)2 ? 1 相切的直线 L 共有( )条 A.2 B.3 C.4 D.6

x 4 ? x ? 3x 4 ? x ? 3 12. 已知 f ?x ? ? ? ? m 有两个不同的零点,则 m 的取值范围是 2 2

A. ?? ?,3?

B. ?3,???

C. ?0,3?

D. ?3,???

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 a ? 1, b ? 2, cos C ?
2 2

1 ,则 sin B ? _____ 4

14.在 [0,4] 内随机取两个数 a , b ,则使函数 f ( x) ? x ? ax ? b 有零点的概率为 _____ .

15.用两个平行平面同截一个直径为 20cm 的球面, 所得截面圆的面积分别是 64? cm 、36? cm , 则这
2 2

两个平面间的距离是___________cm. 16.点 A 是抛物线 C1 : y
2
2 2 ? 2 px( p ? 0) 与双曲线 C2 : x 2 ? y2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线的交

a

b

点(异于原点), 若点 A 到抛物线 C1 的准线的距离为 p , 则双曲线 C2 的离心率等于____________

三、简答题(每小题 12 分,共 60 分) 17.为了更好的了解某校高三学生期中考试的数学成绩情况,从所有高三学生中抽取 40 名学生, 将 他 们 的 数 学 成 绩 ( 满 分 100 分 , 成 绩 均 为 不 低 于 40 分 的 整 数 ) 分 成 六 段 :

?40,50? , ?50,60? , , ?90,100?
生的平均分;

后得到如图所示的频率分布直方图。

(1)若该校高三年级有 1800 人,试估计这次考试的数学成绩不低于 60 分的人数及 60 分以上的学

(2)若从 ? 40,50 ? 与?90,100 ? 这两个分数段内的学生中随机选取两名学生,求这两名学生成绩之差 的绝对值不大于 10 的概率。

18. 已知 {an } 是正数组成的数列, a1 ? 1 ,且点( an , an ?1 )(n ? N*)在函数 y ? x ? 1 的图象上.
2

数列 {bn } 满足 b1 ? 1 , bn?1 ? bn ? 2 n 。
a

(1)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (2)若数列 {cn } 满足 cn ? an ? bn ,求 {cn } 的前 n 项和 S n

19.(12 分) 如图,已知在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 4 的正方形,△PAD 是正三角形 ,平面 PAD⊥平面 ABCD,E,F,G 分别是 PD,PC,BC 的中点. (1)求证:平面 EFG⊥平面 PAD; (2)若 M 是线段 CD 上一点,求三棱锥 M﹣EFG 的体积.

P

E F A M B G C D

20.已知函数 f ( x) ?

1 3 1 x ? a ln x ? (a ? R, a ? 0) . 3 3

(1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若对任意的 x ??1, ?? ? ,都有 f ( x) ? 0 成立,求 a 的取值范围.

21.已知点 F 是抛物线

y2 ? 2 px 的焦点,其中 p 是正常数, AB, CD 都是抛物线经过点 F 的弦,

且 AB ? CD , AB 的斜率为 k ,且 k ? 0 , C , A 两点在 x 轴上方. (1) 求

1 1 ; ? AB CD

(2)①当 AF ? BF ?

4 2 p 时,求 k ; 3

②设△AFC 与△BFD 的面积之和为 S ,求当 k 变化时 S 的最小值.

四、选做题(从下面三题中选做一题,共 10 分) 22.如图, 已知△ABC 中的两条角平分线 AD 和 CE 相交于 H, ∠B=60°, F 在 AC 上, 且 AE=AF.[来] (1)证明:B、D、H、E 四点共圆; (2)证明:CE 平分∠DEF.

23.已知圆的极坐标方程为: ? ? 4 2 ? cos( ? ?
2

?
4

) ? 6 ? 0,

(1)将极坐标方程化为普通方程; (2)若点 P(x,y)在该圆上,求 x+y 的最大值和最小值.

24.已知函数 f ( x) ? x ? a ? x ? 2 . (1)当 a ? ?3 时,求不等式 f ( x) ? 3 的解集; (2)若 f ( x) ? x ? 4 的解集包含 ?1, 2? ,求 a 的取值范围。

2015 届红色六校联考文科数学试题参考答案
一选择题 B D A C , C A D B , B C B C

二填空题 13,

15 4

14,

1 4

15,2 或 14

16, 5

三、解答题 17.(1)解:由于图中所有小矩形的面积之和等于 1, 所以 10 ? (0.005 ? 0.01 ? 0.02 ?a ? 0.025 ? 0.01) ? 1 . 解得 a ? 0.03 . …………………………1 分

………………………………………………………………………2 分

根据频率分布直方图,成绩不低于 60 分的频率为 1 ? 10 ? (0.005 ? 0.01) ? 0.85 .……3 分 由于高三年级共有学生 1800 人,可估计该校高三年级数学成绩不低于 60 分的人数约为

1800? 0.85 ? 1530 人.
可估计不低于 60 分的学生数学成绩的平均分为: 65× 0.2 +75× 0.3 +85× 0.25 +95× 0.1 =66.25

…………………………………..4 分

………………………………….6 分 ……………… 7 分

(2)解:成绩在 ? 40 , 50? 分数段内的人数为 40 ? 0.05 ? 2 人, 成绩在 ?90,100? 分数段内的人数为 40 ? 0.1 ? 4 人, 若从这 6 名学生中随机抽取 2 人,则总的取法有 15 种

…………………………………8 分 ……………… 9分

如果两名学生的数学成绩都在 ? 40 , 那么这两名学生的数 50? 分数段内或都在 ?90 , 100? 分数段内, 学成绩之差的绝对值一定不大于 10.如果一个成绩在 ? 40 , 50? 分数段内,另一个成绩在 ?90 , 100? 分数段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于 10.…… 10 分 则所取两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 分的取法数为 7 种 ………………11 分 所以所求概率为 P ? M ? ?

7 . 15

……………………………………………………12 分

18. (Ⅰ)由已知得 an+1=an+1、即 an+1-an=1,又 a1=1, 所以数列{an}是以 1 为首项,公差为 1 的等差数列. 故 an=1+(a-1)×1=n …………………………………………………………………………3 分 从而 bn+1-bn=2 . · ·+(b2-b1)+b1 ? bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+· =2 +2 +· · ·+2+1 =
n-1 n-2 n

1 ? 2n n =2 -1 ............................................................6 分 1? 2

(Ⅱ)Cn

= n2 –n

n

令 Tn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3? 23 ? 从而 S n ? (n ? 1) ? 2
n ?1

? n ? 2n ,由错位相减法可得 Tn ? ? n ?1? 2n?1 ? 2 ...10 分

?2?

n(n ? 1) ..........................................12 分 2

19.解: (1)∵平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,CD ? 平面 ABCD,CD⊥AD ∴CD⊥平面 PAD…………………….(3 分) 又∵△PCD 中,E、F 分别是 PD、PC 的中点, ∴EF∥CD,可得 EF⊥平面 PAD ∵EF ? 平面 EFG,∴平面 EFG⊥平面 PAD;…….(6 分) (2)∵EF∥CD,EF ? 平面 EFG,CD ? 平面 EFG, ∴CD∥平面 EFG, 因此 CD 上的点 M 到平面 EFG 的距离 等于点 D 到平面 EFG 的距离, ∴VM﹣EFG=VD﹣EFG, (8 分)

P E F A M B G C D

取 AD 的中点 H 连接 GH、EH,则 EF∥GH, ∵EF⊥平面 PAD,EH ? 平面 PAD,∴EF⊥EH 于是 S△ EFH= EF× EH=2=S△ EFG, ∵平面 EFG⊥平面 PAD,平面 EFG∩平面 PAD=EH,△ EHD 是正三角形 ∴点 D 到平面 EFG 的距离等于正△ EHD 的高,即为 , (10 分)

因此,三棱锥 M﹣EFG 的体积 VM﹣EFG=VD﹣EFG= × S△ EFG×

=

. (12 分)

p 21、 (1)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), AB : y ? k ( x ? ) 2
? y 2 ? 2 px 1 2 2 ? 2 2 2 由? p 得 k x ? p (k ? 2) x ? k p ? 0 4 y ? k(x ? ) ? ? 2

x1 ? x2 ?

k2 ? 2 p2 p, x1 ? x2 ? 2 k 4

………………(2 分)

由抛物线定义得 AB ? AF ? BF ? x1 ? x2 ? p ? 同理用 ?

k 2 ?1 2p k2

1 换k,得 CD ? (k 2 ? 1)2 p k
…………………(5 分)

1 1 1 ? ? AB CD 2 p

p p p p2 (2)① AF ? BF ? (x1 ? )(x 2 ? ) ? x1x 2 ? ( x1 ? x2 ) ? 2 2 2 4 p2 k 2 ? 2 p2 k 2 ? 1 2 ? ? ? ?p 2 k2 2 k2 4 2 k2 ?1 4 当 AF ? BF ? p 时 2 ? p 2 ? p 2 , k 3 3 ?
又 k ? 0 ,解得 k ? 3 ②由①同理知 CF ? DF ? (k 2 ? 1) p2 , AF ? BF ? …………………(7 分)

……………(8 分)

k 2 ?1 2 ?p k2

由变形得 BF ?

k 2 ? 1 p2 (k 2 ? 1) ? p 2 , CF ? , …………………(10 分) k 2 AF DF

又 AB ? CD ? S ?

1 1 AF ? CF ? BF ? DF 2 2
…………………(11 分)

DF k 2 ? 1? 2 1 ? AF 2 ? ? (k ? 1) ? ?p 2? |AF| k 2 ? ? DF ?
? (k 2 ? 1)(1 ? 1 2 2 ) p ? 2k p 2 ? 2 p 2 2 k k

AF 2 DF 1 1 “?” ? k ? 1, ? 1, (k ? 1) ? (1 ? 2 ) ? k ? 1 k DF AF k
2 即当 k ? 1 时 S 有最小值 2 p

…………………(12 分)

22.证明 (1)在△ABC 中,因为∠B=60°, 所以∠BAC+∠BCA=120°.

因为 AD,CE 是角平分线, 所以∠HAC+∠HCA=60°, 故∠AHC=120°. 于是∠EHD=∠AHC=120° . 因为∠EBD+∠EHD=180°, 所以 B、D、H、E 四点共圆.…………5 分 (2)连接 BH,则 BH 为∠ABC 的平分线, 得∠HBD=30°. 由(1)知 B、D、H、E 四点共圆. 所以∠CED=∠HBD=30°. 又∵∠AHE=∠EBD=60°, 由已知可得 EF⊥AD, 可得∠CEF=30°, 所以 CE 平分∠DEF ……………………10 分

23. (1) p? - 4√2pcos(θ -π /4) + 6 = 0 p? - 4√2p [cosθ cos(π /4) + sinθ sin(π /4)] + 6 = 0 即 p? - 4√2p [cosθ (1/√2) + sinθ (1/√2)] + 6 = 0 即 p? - 4pcosθ - 4psinθ + 6 = 0 即 x? + y? - 4x - 4y + 6 = 0 所以圆的方程为 (x - 2)? + (y - 2)? = 2 …………5 分

(2) 设圆的参数方程为 x = 2 + √2cosα , y = 2 + √2sinα 则 x + y = 2+ √2cosα + 2 + √2sinα = 4 + √2(cosα + sinα ) = 4 + √2 * √2 [cosα (1/√2) + sinα (1/√2)] = 4 + 2 [cosα sin(π /4) + sinα cos(π /4)] = 4 + 2sin(α + π /4) 当 sin(α + π /4) = 1 时, x + y 有最大值为 6 ………8 分 当 sin(α + π /4) = -1 时, x + y 有最小值为 2………10 分


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