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数列求和、数列的综合应用练习题


数列求和、数列的综合应用练习题
1.数列 a1 ? 2,?, ak ? 2k ,?, a10 ? 20 共十项,且其和为 240,则 a1 ? ? ? ak ? ? ? a10 的值为 A.31 ( B.120 C.130 D.185 ) )

2. 已知正数等差数列 {an } 的前 20 项的和为 100,那么 a7 ? a14 的最大值是 ( A.25 B.50 C.100 D.不存在

3. 设函数 f ( x) ? logm x ( m ? 0 ,且 m ? 1 ),数列 {an } 的公比是 m 的等比数列,
2 2 若 f (a1a3 ??? a2009 ) ? 8 ,则 f (a12 ) ? f (a2 ) ??? f (a2010 ) 的值等于

( D.2042



A.-1974

B.-1990

C.2022

4. 设等差数列 {an } 的公差 d ? 0 ,又 a1 , a2 , a9 成等比数列,则

a1 ? a3 ? a9 ? a2 ? a4 ? a10

.

5. 已知二次函数 f ( x) ? 3x 2 ? 2 x , 数列 {an } 的前 n 项和为 sn , 点 ( n, sn ) ( n ? ?* ) 在函数 y ? f ( x) 的图像上. (1)球数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?
m 3 , Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求使 Tn ? 对所有 n ? ? * 都成 20 an an?1

立的最小正整数 m .

6.(2014 广东湛江模拟)已知数列 {an } 各项均为正,其前 n 项和为 sn ,且满足

4Sn ? (an ? 1)2 .
(1)求 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?
1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 及 Tn 的最小值. an ? an ?1

n ? ?* . 7. (2014 安徽, 18, 12 分) 数列 {an } 满足 a1 ? 1, nan?1 ? (n ? 1)an ? n(n ? 1) ,

?a ? (1)证明:数列 ? n ? 是等差数列; ?n?

(2)设 bn ? 3n ? an ,求数列 {bn } 的前 n 项和为 sn .

8. (2014 湖北,19,12 分)已知等差数列 {an } 满足: a1 ? 2 ,且 a1 , a2 , a5 成等 比数列. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)记 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和,是否存在正整数 n ,使得 Sn ? 60n ? 800?若 存在,求 n 的最小值;若不存在,说明理由.

9. (2014 湖南师大附中第二次月考,19)甲、乙两超市同时开业,第一年的年 销售额都为 a 万元. 由于经营方式不同,甲超市前 n ( n ? ? * )年的总销售额为
a 2 (n ? n ? 2) 万元;从第二年起,乙超市第 n 年的销售额比前一年的销售额多 2

?2? ? ? ?3?

n ?1

a 万元.

(1)设甲、乙两超市第 n 年的销售额分别是 an , bn ,求 an , bn 的表达式; (2)若在同一年中,某一超市的年销售额不足另一个超市的年销售额的 50%, 则该超市将于当年年底被另一家超市收购. 问:在今后若干年内,乙超市能否被 甲超市收购?若能,请推算出在哪一年年底被收购;若不能,请说明理由.

10. 从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展 1 旅游产业,根据规划,本年度投入 800 万元,以后每年投入比上年减少 ,本年 5 度当地旅游业收入估计为 400 万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今 1 后的旅游业收入每年会比上年增加 . 4 (1)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an 万元,旅游业总收入为 bn 万元, 写出 an , bn 的表达式; (2)至少经过几年,旅游业的总收入才能超过总投入?

11. ( 2014 四川, 19 , 12 分)设等差数列 {an } 的公差为 d ,点 (an , bn ) 在函数

f ( x) ? 2 x 的图像上( n ? ? * ).
(1)证明:数列 {bn } 为等比数列; (2)若 a1 ? 1, 函数 f ( x) 的图像在点 (a2 , b2 ) 处的切线在 x 轴上的截距为 2 ?
2 求数列 {anbn } 的前 n 项和 Sn .

1 , ln 2

12. (2014 江西上饶六校第二次联考,18)已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 且 a2 ? 2, S5 ? 15,数列 {bn } 满足 b1 ? (1)求数列 {an },{bn } 的通项公式;
2 S n (2 ? Tn ) ,试问 f (n) 否存在最大值, n?2 若存在,求出最大值,若不存在请说明理由. 1 n ?1 bn . , bn ?1 ? 2 2n

(2)记 Tn 为数列 {bn } 的前 n 项和, f (n) ?

13.(2012 四川,12,5 分)设函数 f ( x) ? ( x ? 3)3 ? x ?1 ,数列 {an } 是公差不为 0 的等差数列, f (a1 ) ? f (a2 ) ???? ? f (a7 ) ? 14 ,则 a1 ? a2 ? ??? ? a7 ? ( )

A.0 B.7 C.14 D.21 14.(2012 山东,20,12 分)已知等差数列 {an } 的前 5 项和为 105,且 a20 ? 2a5 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2) 对任意 m ? N* , 将数列 {an } 中不大于 7 2 m 的项的个数记为 bm .求数列 {bm } 的 前 m 项和 Sm .

15.(2013 课标全国Ⅱ,17,12)已知等差数列 ?an ? 的公 差不为零, a1 ? 25,且

a1 , a11 , a13 成等比数列.
(1)求 ?an ? 的通项公式; (2)求 a1 ? a4 ? a7 ? ? ? a3n?2 .

16. (2014 广东, 19,14 分)设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn
2 ? ? n 2 ? n ? 3? S n ? 3 ? n 2 ? n ? ? 0, n ? N* . 满足 Sn

(1)求 a1 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)求证:对一切正整数 n ,有

1 1 1 1 ? ??? ? . a1 ? a1 ? 1? a2 ? a2 ? 1? an ? an ? 1? 3

17.(2013 山东,20,12 分)设等差数列 , (1)求数列 (2) 设数列 的通项公式; 满足

的前 项和为

,且

,求

的前 项和

.

18. (2014 安徽,12,5 分)如图,在等腰 直角三角形 ABC 中, 斜边 BC ? 2 2 , 过点 A 作 BC 的垂线,垂足为 A1 ;过点 A1 作 AC 的垂 线,垂足为 A2 ;过点 A2 作 A1C 的垂线,垂足 为 A3 ;…,以此类推,设 BA ? a1 , AA1 ? a2 ,

A1 A2 ? a3 ,…, A5 A6 ? a7 ,则 a7 ? ________.
19. ( 2014 课 标 Ⅰ ,17,12 分 ) 已 知 是 {an } 递 增 的 等 差 数 列 , a2 , a4 是 方 程
x 2 ? 5x ? 6 ? 0 的根.

(1)求 {an } 的通项公式;
?a ? (2)求数列 ? n 的前 n 项和. n ? ?2 ?

20. (2014 湖南,21,13 分)已知函数 f ( x) ? x cos x ? sin x ? 1( x ? 0) . (1)求 f ( x) 的单调区间; (2)记 xi 为 f ( x) 的从小到大的第 i ( i ? ?* )个零点,证明:对一切 n ? ? * ,有
1 1 1 2 ? 2 ??? 2 ? . 2 x1 x2 xn 3

21. (2014 山东,19,12 分)在等差数列 ?an ? 中,已知公差 d ? 2 , a2 是 a1 与 a4 的等比中项. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? an? n?1? ,记 Tn ? ?b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? … ? ? ?1? bn ,求 Tn .
n

2

22.(2013 重庆,16,13 分)设数列 ?an ? 满足: a1 ? 1 , an?1 ? 3an , n ? N? . (1)求 ?an ? 的通项公式及前 n 项和 Sn ; (2)已知 ?bn ? 是等差数列, Tn 为前 n 项和,且 b1 ? a2 , b3 ? a1 ? a2 ? a3 ,求 T20 .

23. ( 2013 湖 南 ,19,13 分 ) 设 S n 为 数 列 { a n } 的 前 n 项 和 , 已 知 a1 ? 0 ,

a n ?a1 ? S1 ? S n ,

n ? ?*
(1)求 a1 , a 2 ,并求数列{ a n }的通项公式; (2)求数列{ na n }的前 n 项和 .

24.(2012 安徽,21,13 分)设函数 f(x) = 大排成的数列为 {xn } . (1)求数列 {xn } 的通项公式; (2)设 {xn } 的前 n 项和为 S n ,求 sin S n .

x + sin x 的所有正的极小值点从小到 2


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