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新疆乌鲁木齐市第一中学2012--2013学年高二第二学期期中考试数学试题(理科特长班)


新疆乌鲁木齐市第一中学 2012--2013 学年高二第二学期期中考试

数学试卷(理科特长班)
一 选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分)
题号 答案 1.曲线 y=错误!未找到引用源。在点(-1,-1)处的切线方程为 A.y=2x+1 B.y=2x-1 C.y=-2x-3 D.y=-2x-2 2 2. 已知 a>0,函数 f(x)=ax +bx+c.若错误!未找到引用源。满足关于 x 的方程 2ax+b=0,则下 列选项的命题中为假命题的是( ) A.错误!未找到引用源。x∈R,f(x)≤f(错误!未找到引用源。) B.错误!未找到引用源。x∈R,f(x)≥f(错误!未找到引用源。) C.错误!未找到引用源。x∈R,f(x)≤f(错误!未找到引用源。) D.错误!未找到引用源。x∈R,f(x)≥f(错误!未找到引用源。) 3. 设 f(x)为定义在 R 上的奇函数.当 x≥0 时,f(x)=2x+2x+b(b 为常数) , 则 f(-1)等于 A.3 B.1 C.-1 D.-3
2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

4.两个变量 y 与 x 的回归模型中,分别选择了 4 个不同模型,它们的相关指数 R 如下 , 其中拟合效果最好的模型是( A.模型 1 的相关指数 R 为 0.86
2

) . B.模型 2 的相关指数 R 为 0.96
2

C.模型 3 的相关指数 R 为 0.73
2

D.模型 4 的相关指数 R 为 0.66
2

5. 已知随机变量 ? 服从二项分布, ? A.
1 16

? 1? ~ B? 4, ? ,则 P ?? ? 1? 的值为( ? 2?

) .
1 2

B.

1 8

C.
c k (1 ? k )

1 4

D.

6.随机变量ξ 的分布列为 P (? ? k ) ?

?? ? 1?? ?? ?? ,其中 c 为常数 ,k , 2 , 3, 4

则 P (? ? 2) 等于( A.
2 3

) . B. 4
5

C. 3
8

D. 5
6

7.点 P(x,y)是椭圆 2x2+3y2=12 上的一个动点,则 x+2y 的最大值为( A. 21 8.已知 A
? 5 x ?1 ?

)

B. 22
10 ? 2 x

C. 23 ,则 A 的最大值是(

D.2 6 )

第 1 页 共 7 页

A

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6

3

B

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2 10

C

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D

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2

5

9. 设集合 A={x||x-a|<1,x∈R},B={x|1<x<5,x∈R}.若 A∩B=φ ,则实数 a 的取值范围是( A.{a|0≤a≤6} B.{a|a≤2,或 a≥4} C.{a|a≤0,或 a≥6} D.{a|2≤a≤4}

)

10.已知点 P 在曲线 y=错误!未找到引用源。上,错误!未找到引用源。为曲线在点 P 处 的切线的倾斜角,则 错误!未找到引用源。的取值范围是( ) A.[0,错误!未找到引用源。] B.[错误!未找到引用源。,错误!未找到引 用源。] C.( 错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。) D. [错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。)

二、填空题: (本大题 5 小题,每小题 4 分,共 20 分)
11. 不等式错误!未找到引用源。- x ≤1 的解集是________. 12. 在极坐标系下, 是极点,已知 A ? 3 , O ?
?

??
? 3?
2

, ? 4, B? ?
?

??

则△AOB ?, 6?

的面积为___________。

13.已知随机变量 X 服从正态分布 N ?0, ? 则 P( X
? 2) ?

?且 P(?2 ≤ X ≤ 0) ? 0.4



14.若对任意 x>0,错误!未找到引用源。≤a 恒成立,则 a 的取值范围是________. 15. 若 a ? b ? 1, a , b ? R ,则 ? a ? ?
?

?

1 ? 1? ? ? ? ?b ? ? a ? b? ?

2

2

的最小值是________

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 50 分)
16. 已知 a,b,c 均为正数,证明 a2+b2+c2+(错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错 误!未找到引用源。)2≥6 错误!未找到引用源。,并确定 a,b,c 为何值时,等号成立.

?x=3- 22t, 17. 在直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为? 2 ?y= 5+ 2 t
的方程为 ρ=2 5sin θ. (1)求圆 C 的直角坐标方程;
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(t 为参数). 在极坐标系(与

直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C

(2)设圆 C 与直线 l 交于点 A,B.若点 P 的坐标为(3, 5),求|PA|+|PB|的值.

18. 已知函数 g ( x ) ?

1 4 ? 2
x

(x ? R)



(1)求: g ( x ) ? g (1 ? x ) 的值; (2)求: g (
1 m )? g( 2 m ) ? g( 3 m ) ?? ? g( m ?1 m ) ? g( m m ) 的值.

(3)设函数 f ( x ) ? ? g ( ? lo g 1 6 x ) , a 、 b 为常数且 0 ? a ? b ,在下列四个不等关系中选 出一个你认为正确的关系式,并加以说明. ① f (a ) ? f (
a ?b 2 ) ? f (ab )
) ? f (a )

② f ( a ) ? f (b ) ? f ( a b ) ④ f (b ) ? f (
a?b 2 )? f( ab )

③ f ( ab ) ? f (

a?b 2

19.袋中装有大小相同的黑球、白球和红球共 10 个。已知从袋中任意摸出 1 个球,得到 黑球的概率是
2 5

;从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个白球的概率是 .
9

7

(1)求袋中各色球的个数; (2)从袋中任意摸出 3 个球,记得到白球的个数为ξ ,求随机变量ξ 的分布列及数学 期望 Eξ 和方差 Dξ ; (3)若 ? ? a? ? b, E? ? 11, D? ? 21, 试求a, b 的值。
第 3 页 共 7 页

20.已知函数 f(x)=错误!未找到引用源。, g(x)=alnx, a∈R. (1)若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)相交,且在交点处有共同的切线,求 a 的值和该切线方程; (2)设函数 h(x)=f(x)-g(x), h(x)是否存在最小值,如果有最小值, 求其最小值错误! 未找到 引用源。(a)的解析式;如果没有,说明理由。

数学试题答案
一 选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分)
题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 B 5 C 6 C 7 B 8 A 9 C 10 D

二、填空题: (本大题 5 小题,每小题 4 分,共 20 分)
11. {x|0≤x≤2} 12. 6 13.0.1 14.答案: [1,+∞)15.
25 2

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 50 分)
16.证明:因为 a,b,c 均为正数,由平均值不等式得? a2+b2+c2≥3 错误!未找到引用源。,①?错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。 +错误!未找到引用源。≥3 错误!未找到引用源。,? 所以(错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。)2≥9 错 误!未找到引用源。.②? 故 a2+b2+c2+(错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。)2 ?≥3 错误!未找到引用源。+9 错误!未找到引用源。.? 又 3 错误!未找到引用源。+9 错误!未找到引用源。≥2 错误!未找到引用源。=6 错误!未找到引用源。,③? 所以原不等式成立.? 当且仅当 a=b=c 时,①式和②式等号成立.? 当且仅当 3 错误!未找到引用源。=9 错误!未找到引用源。时,③式等号成立.? 即当且仅当 a=b=c=错误!未找到引用源。时,原式等号成立. 17. 解: (1)由 ρ=2 5sin θ,得 x2+y2-2 5y=0,
第 4 页 共 7 页

即 x2+(y- 5)2=5. (2)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,得

?3- 2t?2+? 2t?2=5,即 t2-3 2t+4=0. 2 ? ?2 ? ? ?t1+t2=3 2, 由于 Δ=(3 2)2-4×4=2>0, 故可设 t1,2 是上述方程的两实根, t 所以? t2 ?t1· =4.
又直线 l 过点 P(3, 5), 故由上式及 t 的几何意义得 |PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3 2. 18. 解:(1) g ( x ) ? g (1 ? x ) ? (2) g (
1 m )? g( 2 m )? g( 3 m 1 2 ) ?? ? g( m ?1 m ) ? g( m m ) ? 3m ? 1 12

, ,
)? f( ab )

(3) f ( x ) ? ?
2

x x ?1

f (b ) ? f (

a?b 2

( x ? 0 ) 为减函数,故④
2 5

正确。

19.解: (1)因为从袋中任意摸出 1 球得到黑球的概率是 则
x 10 ? 2 5 , 所以x ? 4.

,故设黑球个数为 x,

设白球的个数为 y,又从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个白球的概率是
C y ? C y C10 ? y
2 1 1

7 9

,则

C10

2

?

7 9

, 解得y ? 5 ,故袋中白球 5 个,黑球 4 个,红球 1 个。

(2)由题设知ξ 的所有取值是 0,1,2,3,则随机变量ξ 的分布列为 ξ 0
1 12

1
5 12

2
5 12

3
1 12

P

所以 E? ?

3 2

, D? ?

7 12
2

(3)?? ? a? ? b ? E? ? E (a? ? b) ? aE? ? b , D? ? D (a? ? b) ? a D? .

第 5 页 共 7 页

又E? ? 11, D? ? 21

?3 a ? b ? 11 ?2 ? ,? a ? 6 , b ? 2 或 a ? ? 6 , b ? 2 0 ?? ? 7 a 2 ? 21 ?12 ?

20.解:(1)f′(x)=错误!未找到引用源。, g′(x)=错误!未找到引用源。(x>0), 由已知得错误!未找到引用源。解得 a=错误!未找到引用源。, x=e2, ∴两条曲线交点的坐标为(e2,e),切线的斜率为 k=f′(e2)=错误!未找到引用源。. ∴切线的方程为 y-e=错误!未找到引用源。(x-e2). (2)由条件知 h(x)=错误!未找到引用源。- alnx 源。. ①当 a>0 时,令 h′(x)=0,解得 x=4a2,∴当 0<x<4a2 时,h′(x)<0,h(x)在(0,4a2)上递减; 当 x>4a2 时,h′(x)>0,h(x)在(4a2,+∞)上递增. ∴x=4a2 是 h(x)在(0,+∞)上的唯一极值点,且是极小值点,从而也是 h(x)的最小值点. ∴最小值φ (a)=h(4a2)=2a-aln4a2=2a(1-ln2a). ②当 a≤0 时,h′(x)=错误!未找到引用源。>0,h(x)在(0,+∞)上递增,无最小值. 故 h(x) 的 最 小 值 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 (a)的 解 析 式 为 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 (a)=2a(1-ln2a)(a>0). ( x>0) ,∴h′(x)=错误!未找到引用

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