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江苏省启东中学2009届高三最后一考高(数学)


江苏省启东中学 2009 届高三最后一考 数学试卷 090531
注意事项:
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1.本试题由必做题与附加题两部分组成.选修历史的考生仅需对试题中必做题部分作答, 满分 160 分,考试时间为 120 分钟;选修物理的考生需对试题中必做题和附加题这两部 分作答,满分 200 分,考试时间为 150 分钟.考试结束后,请将本试卷和答题纸一并交 回.
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2.答题前,请您务必将自己的班级、姓名、考试证号用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填 写在试卷及答题纸上规定的地方.
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3.做题时必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题纸上的指定位置,在其它位置作 答一律无效.
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必做题部分(满分 160 分)
上.

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一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,合计 70 分.请把答案直接填写在答题纸相应位置
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.1.计算 3log9 25 ? log

2 ?1

( 2 ? 1) ?

▲ .

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1 2 2.设向量 a =(2, sin a )的模为 2 ,则 cos 2a =

▲ .

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3. ?A?B ?C ? 是正△ABC 的斜二测画法的水平放置图形的直观图, 若 ?A?B ?C ? 的面积为 3 , 那么△ABC 的面积为 ▲ .
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2 4 .公差不为零的等差数列 {an } 中,有 2a3 ? a7 ? 2a11 ? 0 ,数列 {bn } 是等比数列,且

b7 ? a7 , 则b6b8 = ▲
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5.函数 f(x)=sin4x+cos2x 的最小正周期是 ▲ 6.根据如图所示的伪代码,可知输出的结果 T 为



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7.复数 z=(a-cosθ)+( 3 a-sinθ)i.若对一切 θ∈R,|z|≤3 恒成立, 则实数 a 的取值范围为 ▲ .
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T←0 I←2 While I ? 500 T←T+I I←I+2 End Whlie Print T
第 5 题 图

8 .已知函数 f ? x ? ? f ? ? 0? cos x ? sin x ,则函数 f(x) 在 x0= 是 ▲ .
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? 处的切线方程 2

9.不等式

x?5 ≥ 2 的解集是 ▲ ( x ? 1) 2



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1

10.过坐标原点 O 向圆 C : x 2 ? y 2 ? 8x ? 12 ? 0 引两条切线 l1 和 l2,那么与圆 C 及直线 l1、 l2 都相切的半径最小的圆的标准方程是 ▲ . 11.从某地区 15000 位老人中随机抽取 500 人,其生活能否自理的情况如下表所示:
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性 别 男 女 数 能 不能 178 23 人. 278 21

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生活能 否自理
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则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多 ▲ 12.若不等式
2

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t t?2 ≤a≤ 2 ,在 t ? (0,2] 上恒成立,则 a 的取值范围是. t ?2 t

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x2 y2 13.已知椭圆16+ 4 =1 的左右焦点分别为 F1 与 F2,点 P 在直线 l:x- 3y+8+2 3=0 上. |PF1| 当∠F1PF2 取最大值时, |PF |的比值为 ▲ 2 .
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14.设 a ?lnz+ln[x(yz)?1+1],b=lny+ln[(xyz)?1+1],记 a,b 中最大数为 M,则 M 的最小值为 ▲ .
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二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 向量 x=(2a+c,b),y =(cosB,cosC),若 x⊥y.
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(Ⅰ)求角 B; (Ⅱ)若 b= 3 ,求 a+c 的最大值.

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16. (本题满分 14 分)如图,正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB=2,AA1=1,D 是 BC 的中点,点 P 在平面 BCC1B1 内,PB1=PC1= 2. (I)求证:PA1⊥BC;
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(II)求证:PB1//平面 AC1D;

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2

? 17. (本题满分 14 分) 将圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 按向量 a = (1, - 1) 平移得到圆 O , 直线 l 与

圆 O 相交于 A 、 B 两点,若在圆 O 上存在点 C ,使 OA ? OB ? OC ? 0 且 OC ? 2a , 求直线 l 的方程。
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?

?

18.已知 ?ABC 的顶点分别为 A(0,0) ,B(

9 12 m, m) , C( c, 0) ,其中 c ? 0. 5 5

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(1)若 c ? 5, m=1, P 是△ ABC (含边界)内一点, P 到三边 A B 、 BC 、 A C 的距 离分别为 x,y 和 z,求 x ? y ? z 的取值范围;
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(2)若 m ? 0,BC=5,求 ?ABC 周长的最大值。

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19. (本题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? ax ?

(2a ? 1) x ? 2 y ? 3 ? 0
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b ? a(a ? R, a ? 0) 在 x ? 3 处的切线方程为 x ?1

(1)若 g ( x) = f ( x ? 1) ,求证:曲线 g ( x) 上的任意一点处的切线与直线 x ? 0 和直线 y ? ax 围成的三角形面积为定值; (2)若 f (3) ?3 ,是否存在实数 m, k ,使得 f ( x) ? f (m ? x) ? k 对于定义域内的任意 x 都成
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立;

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(3)若方程 f ( x) ? t ( x2 ? 2 x ? 3) x 有三个解,求实数 t 的取值范围.

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3

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20. (本题满分 16 分)已知有穷数列 {an } 共有 2 k 项(整数 k ? 2 ) ,首项 a1 ? 2 ,设该数列 的前 n 项和为 Sn ,且 S n ? ⑴求 {an } 的通项公式; ⑵若 a ? 2
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an ?1 ? 2 (n ? 1, 2,3,? , 2k ? 1). 其中常数 a ? 1. a ?1

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2 2 k ?1

, 数列 {bn } 满足 bn ?

1 log 2 (a1a2 ? an ), (n ? 1, 2,3,? , 2k ), 求证: 1 ? bn ? 2 ; n

⑶若⑵中数列 {bn } 满足不等式: b1 ? 大值。
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3 3 3 3 ? b2 ? ? ? ? b2 k ?1 ? ? b2 k ? ? 4 ,求 k 的最 2 2 2 2

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数学附加题
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21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题;每题 10 分,共 20 分;解答时应写 出文字说明,证明过程或演算步骤. A.已知:如图,在△ABC中,∠ABC=90°,O是AB上一点,以O为圆心,OB为半径的圆 与AB交于点E,与AC切于点D,连结DB、DE、OC。若AD=2,AE=1,求CD的长.
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B.运用旋转矩阵,求直线 2x+y-1=0 绕原点逆时针旋转 45°后所得 的直线方程.
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C.已知 A 是曲线 ρ=3cosθ 上任意一点,求点 A 到直线 ρcosθ =1 距离的最大值和最小值.
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高.

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D.证明不等式: ?
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1 1 1 1 ? ?? ? ?2 1 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ? ? ? n

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【必做题】 第 22 题, 23 题,每题 10 分,共 20 分;解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
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4

22. 在平面直角坐标系中,O 为坐标原点, 点 F、T、M 、P 满足 OF ? (1,0), OT ? (?1, t ) ,

??? ?

??? ?

???? ? ???? ???? ? ??? ? ??? ? ??? ? FM ? MT , PM ? FT , PT // OF .

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(1)当 t 变化时,求点 P 的轨迹 C 的方程;

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(2)若过点 F 的直线交曲线 C 于 A,B 两点,求证:直线 TA,TF,TB 的斜率依次成等差数列.
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23. (1)设函数 f ( x) ? x ln x ? (1 ? x)ln(1 ? x)(0 ? x ? 1) ,求 f ( x) 的最小值; (2)设正数 p1 , p2 , p3 ,?, p2n 满足 p1 ? p2 ? p3 ? ? ? p2n ? 1, 求证 p1 ln p1 ? p2 ln p2 ? p3 ln p3 ? ? ? p2n ln p2n ? ?n.
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5

参考答案:
一.

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填空题

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3 ? ? 1。.4;2. 2 ;3. 2 6 ;4.16; 5. ; 6.62250; 7. [-1,1] ;8. x+y―1― =0; 2 2
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? 2 ? 4 4 1 ,1? ; 9.[- ,1)∪(1,3]; 10. ( x ? ) 2 ? y 2 ? ; 11.60;12. ? 2 3 9 ? 4 ?
13. 3-1 ;14.ln2 二.解答题

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15.解 (1)由 x⊥y ,得 x· y =0,得(2a+c)cosB+bcosC=0, 由正弦定理得 2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0, 又 sinA=sin(B+C) ,得 2sinAcosB+sinA=0, 因为 sinA≠0,所以 cosB=-
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………………2 分

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………………4 分

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1 2 ,B= ? 2 3

………………6 分

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(2)由余弦定理得 3=a2+c2+ac,即 3=(a+c)2-ac, (a,c>0) . …………………8 分
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高.

(a ? c) (a ? c) 2 a?c 因为 ≥ ac 得-ac≥- ,所以 3≥(a+c)2- ,………10 分 2 4 4
2

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故 (a+c)≤4, a+c≤2, 得 a+c 的最大值为 2
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2

………………14 分

高.

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16.解: (1)证明:取 B1C1 的中点 Q,连结 A1Q,PQ, △PB1C1 和△A1B1C1 是等腰三角形, ∴B1C1⊥A1Q,B1C1⊥PQ, ∴B1C1⊥平面 AP1Q,∴B1C1⊥PA1,
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∵BC∥B1C1,∴BC⊥PA1. (2)连结 BQ,在△PB1C1 中,PB1=PC1= 2 ,B1C1=2,Q 为中点, ∴PQ=1,∴BB1=PQ,∴BB1∥PQ, ∴四边形 BB1PQ 为平行四边形,
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6

∴PB1∥BQ.∴BQ∥DC1,

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∴PB1∥DC1,又∵PB1 ? 面 AC1D, ∴PB1∥平面 AC1D. 17.解:由已知圆的方程为 ( x + 1)2 + ( y - 1)2 = 2 ,
? 按 a = (1, - 1) 平移得到 ? O : x 2 + y 2 = 2 .

……(2 分)

2 2 ???? ??? ? ??? ? ∵ OC = - (OA + OB), ∴ OC ? AB ? ?(OA ? OB ) ? (OA ? OB ) ? OA ? OB ? 0 ,



OC ? AB

……(6 分)
?

又 OC ? 2a , ,且 a = (1, - 1) ,∴ kOC = - 1 .∴ k AB = 1 . 设 l AB : x - y + m = 0 , AB 的中点为 D. 由 OC = - (OA + OB) = - 2OD ,则 OC = 2 OD ,又 OC ?
2 2
???? ??? ? ??? ? ????

?

????

????

2 , | OD |?

2 2

∴ O 到 AB 的距离等于

……… (10 分)



m 2

=

2 , 2

∴ m ? ?1 ……(14 分) ……(2 分) …… (4 分)

∴直线 l 的方程为: x - y - 1 = 0 或 x ? y ? 1 ? 0 . 18.解:(1) AB=3, Ac=5, BC=4;

?ABC是直角三角形
12 1 ? (2 x ? y ) 5 5

2S△ABC ? 3x ? 4 y ? 5 z ? 12 ? x ? y ? z ?

?3 x ? 4 y ? 12, ? x ? 0, 设 t ? 2x ? y , ? ? y ? 0, ?


由线性规划得 0 ? t ? 8

12 ? x? y?z ?4 5 12 ? x? y?z ?4 5

……(8 分)

注: 3x+3y+3z≤3x+4y+5z≤5x+5y+5z 得到
w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

可得 5 分,若给出了等号成立条件可全分。

(2)当 m>0 时 由 B(

9 12 4 3 m, m) 得 tan A= ,所以cosA= ; 5 5 3 5
7

……(10 分)

△ ABC 中,由余弦定理有: 25=b2+c2-2bccosA=(b+c)2周长最大值为 5+ 5 5
16 5

bc ?

1 ( b+c) 2 ;所以 5

b+c ?

5 5
……(14 分)

当 m<0 时, ?BAC 为钝角,AB<BC,AC<BC,AB+BC+AC<15<5+ 5 5 综上所述, ?ABC 周长的最大值为 5+ 5 5 。 19.解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? a ?
'

……(16 分)

b 2a ? 1 ,b ? 2 , 所以 f ' (3) ? a ? b ? 2 4 2 ( x ? 1)
…………………………… 2 分

2 又 g ( x) ? f ( x ? 1) ? ax ? . x
设 g ( x) 图像上任意一点 P( x0 , y0 ), 因为 g ' ( x) ? a ? 所以切线方程为 y ? (ax0 ? 令 x ? 0, 得 y ? 故三角形面积 S ?

2 , x2

2 2 ) ? (a ? 2 )( x ? x0 ). ………………………………… 4 分 x0 x0

4 ; 再令 y ? ax, 得 x ? 2 x0 , x0
1 4 ? ? 2 x0 ? 4 , 即三角形面积为定值.……………………… 6 分 2 x0
2 ?1 x ?1
w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m

(Ⅱ)由 f (3) ? 3 得 a ? 1 , f ( x) ? x ? 假设存在 m, k 满足题意,则有 x ? 1 ? 化简,得

2 2 ? m ? x ?1? ? k, x ?1 m ? x ?1

2(m ? 2) ? k ? 2 ? m 对定义域内任意 x 都成立,……………… 8 分 ( x ? 1)(m ? x ? 1) ?m ? 2 ? 0, ?m ? 2, 故只有 ? 解得 ? ?k ? 2 ? m ? 0. ?k ? 0. 所以存在实数 m ? 2, k ? 0, 使得 f ( x) ? f (m ? x) ? k 对定义域内的任意 x 都成立.
……………………………………………………………………………………………11 分 (Ⅲ)由题意知, x ? 1 ? 因为 x ? 0, 且 x ? 1, 化简,得 t ?

2 ? t ( x 2 ? 2 x ? 3) x , x ?1

1 , ……………………………………………13 分 x ( x ? 1)
2 ? ? x ? x, x ? 0, 且x ? 1, ……………………15 分 2 ? ? x ? x , x ? 0 . ?

即 ? x ( x ? 1) ? ? 如图可知, ?

1 t

1 1 ? ? 0. 4 t

所以 t ? ?4, 即为 t 的取值范围.…………………………………………………… 16 分
8

?n ? 2时 ? ? a ?2 a ? 2, 20.解:⑴ S n ? n ?1 ,S n ?1 ? n ? a ?1 a ?1 ?

两式相减得

Sn ? Sn?1 ? ? an ? a2 a
当 n ?1时

an?1 ? an a ?a , an ? n?1 n ,? an?1 ? a ? an a ?1 a ?1

……(3 分)

n?2

a1 ? S1 ?

a2 ? 2 ? 2,? a2 ? 2a, a ?1

w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m

则,数列 {an } 的通项公式为 an ? 2 ? an?1. ⑵把数列 {an } 的通项公式代入数列 {bn } 的通项公式,可得

……(5 分)

bn ? ?

1 log 2 ( a1a2 ? an ) n

1 (log 2 a1 ? log 2 a2 ? ? ? log 2 an ) n 1? 2 4 2k ? 2 ? ? ?1 ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) n? 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 ? ? 1? n(n ? 1) 2 ? ? ?n ? n? 2 2k ? 1 ? ? n ?1 ? 1? . 2k ? 1

……(8 分)

?1 ? n ? 2k ,?1 ? bn ? 2.
⑶数列 {bn } 单调递增,且 bk ? 则原不等式左边即为

……(11 分)

3 k ?1 1 3 k 1 ? ? ? 0, bk ?1 ? ? ? ? 0, 2 2k ? 1 2 2 2k ? 1 2

3? ? 3? 3? ?3 ? ?3 ? ?3 ? ? ? ? ? b1 ? ? ? ? b2 ? ? ? ? ? ? bk ? ? ? bk ?1 ? ? ? ? bk ? 2 ? ? ? ? ? ? b2 k ? ? 2? ? 2? 2? ?2 ? ?2 ? ?2 ? ? ? 2 k ? (bk ?1 ? bk ? 2 ? ? ? b2 k ) ? (b1 ? b2 ? ? ? bk ) ? . 2k ? 1
……(14 分)

k2 ?4 由 2k ? 1

可得 k 2 ? 8k ? 4 ? 0, 4 ? 2 3 ? k ? 4 ? 2 3, ……(1.6 分)

因此整数 k 的最大值为 7。

w.w.w.k.s.5.u. c.o.m

9

数学附加题
21. 【选做题】 A.主要步骤:AD2=AE· AB,AB=4,EB=3,△ADE∽△ACO,CD=3 B.主要步骤:旋转矩阵 ?

?cos 45? ? sin 45?? 2 ?1 ?1? = ? ? ? ? sin 45? cos 45? ? 2 ?1 1 ?

直线 2x+y-1=0 上任意一点(x0,y0)旋转变换后(x0′,y0′)

? ? x0? ? ? ? ? 2 ?1 ?1? ? x0 ? x0 ? ?y ? =? ? , ? ? ? 2 ?1 1 ? ? 0 ? ? y ? ? ? ? 0? y0? ? ? ?

? 2 2 2 ? 2 ? x0 ? y0 ? x0 ? x0 ? y0 ? 2 2 2 2 ,? 2 2 2 ? 2 ? x0 ? y0 ? y0 ? ? x0 ? y0 ? 2 2 ? 2 2

直 线 2x + y - 1=0 绕 原 点 逆 时 针 旋 转 45 ° 后 所 得 的 直 线 方 程 是

2x ? 2 y ?

2 2 2 3 2 x? y ? 1 ? 0 即: x? y ?1 ? 0 2 2 2 2

C.主要步骤:将极坐标方程转化成直角坐标方程: ρ=3cosθ 即:x +y =3x,(x-
2 2

3 2 2 9 ) +y = ,ρcosθ =1 即 x=1,直线与圆相交 2 4

所求最大值为 2,最小值为 0. D.证明: ?

1 1 1 1 1 1 1 ? ?? ? < 1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 1 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ? ? ? n 2 2 2 1 =2- n ?1 <2 2
22. .解: (Ⅰ)设点 P 的坐标为 ( x, y ) , 由 FM ? MT ,得点 M 是线段 FT 的中点,则 M (0, ) , PM ? (? x, 又 FT ? OT ? OF ? (?2, t ), PT ? (?1 ? x, t ? y) ,

???? ?

????

t 2

???? ?

t ? y) , 2

??? ?

??? ? ??? ?
??? ?

??? ?

w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

由 PM ? FT ,得 2 x ? t ( ? y ) ? 0 ,―――――――――――① 由 PT // OF ,得 (?1 ? x) ? 0 ? (t ? y) ?1 ? 0, ∴t=y ――――② 由①②消去 t ,得 y ? 4 x 即为所求点 P 的轨迹 C 的方程
2

???? ?

t 2

??? ? ??? ?

(Ⅱ)证明:设直线 TA, TF , TB 的斜率依次为 k1 , k , k2 ,并记 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 则k ? ?

t 2
10

设直线 AB 方程为 x ? my ? 1

? y2 ? 4x ? y1 ? y2 ? 4m ,得 y 2 ? 4my ? 4 ? 0 ,∴ ? , ? ? x ? my ? 1 ? y1 ? y2 ? ?4
2 2 ∴ y1 ? y2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 2 y1 y2 ? 16m2 ? 8 ,∴ k1 ? k2 ?

y1 ? t y2 ? t ? x1 ? 1 x2 ? 1

2 y2 y2 ? 1) ? ( y2 ? t )( 1 ? 1) 4 4 ? 2 2 y y ( 1 ? 1)( 2 ? 1) 4 4 2 4 y y ( y ? y ) ? 4t ( y12 ? y2 ) ? 16( y1 ? y2 ) ? 32t ? 1 2 1 22 2 2 2 y1 y2 ? 4( y1 ? y2 ) ? 16

( y1 ? t )(

? ?t ? 2k
∴ k1 , k , k2 成等差数列 23. (Ⅰ)解:对函数 f ( x) 求导数: f ?( x) ? ( x ln x)? ? [(1 ? x) ln(1 ? x)]?
? ln x ? ln(1 ? x).

于是 f ?( ) ? 0.

1 2

w.w.w.k. s.5.u.c. o.m

1 1 当 x ? , f ?( x) ? ln x ? ln(1 ? x) ? 0, f ( x) 在区间 (0, ) 是减函数, 2 2 1 1 当 x ? , f ?( x) ? ln x ? ln(1 ? x) ? 0, f ( x) 在区间 ( ,1) 是增函数. 2 2
所以 f ( x)在x ?

1 1 时取得最小值, f ( ) ? ?1 , 2 2

(Ⅱ)证法一:用数学归纳法证明. (i)当 n=1 时,由(Ⅰ)知命题成立. (ii)假定当 n ? k 时命题成立,即若正数 p1 , p2 ,?, p2k 满足p1 ? p2 ? ? ? p2k ? 1 , 则 p1 log2 p1 ? p2 log2 p2 ? ? ? p2k log2 p2k ? ?k. 当 n ? k ? 1 时,若正数 p1 , p2 ,?, p2k ?1 满足p1 ? p2 ? ? ? p2k ?1 ? 1, 令 x ? p1 ? p 2 ? ? ? p 2k , q1 ?

pk p1 p , q 2 ? 2 , ?, q 2 k ? 2 . x x x

则 q1 , q2 ,?, q2k 为正数,且 q1 ? q2 ? ? ? q2k ? 1. 由归纳假定知 q1 ln p1 ? p2 ln p2 ? ? ? q2k ln q2k ? ?k.
w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m

p1 ln p1 ? p2 ln p2 ? ? ? p2k ln p2k ? x(q1 ln q1 ? q2 ln q2 ? ? ? q2k ln q2k
11

? ln x) ? x(?k ) ? x ln x,



同理,由 p2k ?1 ? p2k ?2 ? ? ? p2k ?1 ? 1 ? x 可得 p2k ?1 ln p2k ?1 ? ? ? p2k ?1 ln p2k ?1
? (1 ? x)(?k ) ? (1 ? x)n(1 ? x).



综合①、②两式 p1 ln p1 ? p2 ln p2 ? ? ? p2k ?1 ln p2k ?1
? [ x ? (1 ? x)](?k ) ? x ln x ? (1 ? x)ln(1 ? x) ? ?(k ? 1).

即当 n ? k ? 1 时命题也成立. 根据(i) 、 (ii)可知对一切正整数 n 命题成立.
w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m

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