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辽宁省大连八中2013年高考全真适应性考试数学理试题 Word版含答案


大连八中 2013 年高考全真适应性考试理科数学试题
命题、校对:大连八中高三数学备课组

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)已知全集 U ? {x ? N | x2 ? 7 x ? 0} ,集合 A ? {1, 2,3, 4} , B ? {3, 4,5,6} ,则图中阴 影部分表示的集合为( (A) {3, 4} (C) {1, 2,5, 6} )

U

(B) {0,3, 4,7} (D) {0,1, 2,5,6,7}

A

B

(2)已知 i 是虚数单位,且 z ? a ? bi(a ? 0, b ? 0) ,则复数 (A)第一象限 (B)第二象限
2 2 2

1 所对应的点位于( z
(D)第四象限



(C)第三象限

(3)在△ABC 中,已知 a ? b ? c ? bc ,则角 A 为( (A)

) (D)

? 3

(B)

? 6

(C)

2? 3

? 2? 或 3 3
)

(4)已知 a=(1,2),b=(2,-3).若向量 c 满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则 c=( 7 7 (A)( , ) 9 3 7 7 (B)(- ,- ) 3 9 7 7 7 7 (C)( , ) (D)(- ,- ) 3 9 9 3 )

(5)如图是某几何体的三视图,则该几何体体积是( (A)

3 5 3 2 3 (B ) (C) (D) 3 3 3 3 2? 2 3? ? 2 x) ? , 则 cos( ? 4 x) ? ( (6)若 cos( ) 7 3 7 1 5 7 4 (A) (B) ? (C) (D) ? 9 9 9 9 1 1 1 1 (7)如图 3 给出的是计算 ? ? ? ? ? 的值的一个 2 4 6 20
程序框图,其中判断框内应填入的条件是( (A) i ? 12 ? (B) i ? 11? (C) i ? 10 ? ) (D) i ? 9?

(8)已知定义在 R 上的函数 f (x ) 是奇函数且满足

S a 3 f ( ? x) ? f ( x) , f (?2) ? ?3 , 数列 ?an ? 满足 a1 ? ?1 , 且 n ? 2 ? n ?1, (其中 S n 2 n n
为 ?an ? 的前 n 项和) 。则 f (a5 ) ? f (a6 ) ? ( )

(A) ? 3 (9) 曲线 C :

(B) ? 2

( C)2

(D)3

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点为 F ,点 P 为曲线 C 上任意一点, P 到 点 a 2 b2
m 1 ? ,则曲线 C n 3

两条渐近线的距离之积为 m ,点 F 到渐近线的距离的平方为 n ,若 的离心率为( (A) ) (B) 3 (C) 2

2

(D) 5

(10)若直线 ax ? by ? 2 ? 0 (a>0,b>0)被圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 截得的弦长为 4, 则

1 1 ? 的最小值为( a b 3 ? 2 2
B.



A.

2

C.

1 4

D.

3 ?2 2 2

(11) 将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 个乒乓球,放入 3 个不同的筒中,若每个筒放 2 个,其中标 号为 1,2 的球放入同一筒中,则不同的放法共有( A.12 种 B.18 种 C.36 种 ) D.54 种

(12) 设函数 f ( x) ? 取值范围是( A.[-2,2]

5? sin ? 3 3 cos ? 2 x ? x ? tan ? ,其中 ? ∈ [0, ] ,则导数 f ?( 1) 的 12 3 2
) B.[ 2, 3] C.[ 3,2] D.[ 2,2]

第Ⅱ卷 (共 90 分)
二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填在答题卡相应的位置. 13 如图,E、F 分别是三棱锥 P-ABC 的棱 AP、BC 的中点,PC=10, AB=6,EF=7,则异面直线 AB 与 PC 所成的角为_________

14. 已知向量 a ? (2,1),b ? (1, k ) ,且 a 与 b 的夹角为锐角, 则实数 k 的取值范围是_________________

15 已知 a , b 是正数,且满足 2 ? a ? 2b ? 4 . 那么 a ? b 的取值区间为______________
2 2

16.下列 4 个命题: ①设 Sn 是公差不为 0 的等差数列 {an } 的前 n 项和,且 S1 , S2 , S4 成等比数列,则

a2 等于 3. a1

②已知函数 y ? f (x) 在 ?? ?,??? 上为减函数, 对任意实数 x ,f (4 ? x) ? f ( x) ? 6 恒成立, 若 x1 ? x2 ? 4 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 6 。 ③若

? ?3x
2 0

2

? t dx ? 10, 则常数 t =2.
?

?

④已知 i , j 是 x,y 轴正方向的单位向量, a = ( x ? 3)i ? yj , b = ( x ? 3)i ? yj , 设

? ?

?

?

?

?

?

? 2 ? 且满足| a |+| b |=4.则点 P(x,y)的轨迹 C 的方程为 x ? y 2 ? 1 . 4
其中正确命题的序号为:_____________

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,解答过程书写在答题纸的对应 位置.

17. (小题满分 12 分) 己知函数 f ( x) ? 2 ? sin(2 x ?

?
6

) ? 2sin 2 x.

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期。 (2)记△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、 c,若, f ( ) ? 1 、b=1、c= 3 ,求 a 的值.

B 2

18. 某学校为了研究学情, 从高三年级中抽取了 20 名学生三次测试的数学成绩和物理成绩, 计算出了他们三次成绩的平均名次如下表: 学生序号 数平均名次 物平均名次 1 1.3 2.3 2 12.3 9.7 3 25.7 31.0 4 36.7 22.3 5 50.3 40.0 6 67.7 58.0 7 49.0 39.0 8 52.0 60.7 9 40.0 63.3 10 34.3 42.7

学生序号 数平均名次 物平均名次

11 78.3 49.7

12 50.0 46.7

13 65.7 83.3

14 66.3 59.7

15 68.0 50.0

16 95.0 101.3

17 90.7 76.7

18 87.7 86.0

19 103.7 99.7

20 86.7 99.0

学校规定:平均名次小于或等于 40.0 者为优秀,大于 40.0 者为不优秀. (1)对名次优秀赋分 2, 对名次不优秀赋分 1.从这 20 名学生中随机抽取 2 名学生, 若用

? 表示这 2 名学生两科名次赋分的和,求 ? 的分布列和数学期望;
(2)根据这次抽查数据, 列出 2×2 列联表, 能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下 认为物理成绩与数学成绩有关?

n(ad ? bc) 2 附: K ? ,其中 n ? a ? b ? c ? d (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

P(K2≥ k0) k0

0.50 0.455

0.40 0.708

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥AD,AB∥CD,CD⊥AD,AD = CD = 2AB = 2,E,F 分 别为 PC,CD 的中点,DE = EC (1)求证:平面 ABE⊥平面 BEF; (2)设 PA = a,若平面 EBD 与平面 ABCD 所成锐 二面角 ? ? [

? ?

, ] ,求 a 的取值范围。 4 3

20. (本题满分 12 分)在平面直角坐标系 xoy 中,过点 C ( p,0) 的直线与抛物线

y 2 ? 2 px( p ? 0) 相交于 A、B 两点.设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 )
(1)求证: y1 y 2 为定值 (2)是否存在平行于 y 轴的定直线被以 AC 为直径的圆截得的弦长为定值?如果存在,求 出该直线方程和弦长,如果不存在,说明理由.

21. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?

( x ? 2 m) 2 (其中 m 为常数).(Ⅰ)当 m ? 0 时,求 ln x 1 函数 f ( x) 的单调区间;(Ⅱ) 当 0 ? m ? 时,设函数 f (x) 的 3 个极值点为 a,b,c , 2 2 且 a ? b ? c . 证明: a ? c ? . e

四、选做题(本小题满分 10 分,请考生 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则 按所做的第一题记分)
22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲

如图,△ ABC 内接于⊙ O , AB ? AC ,直线 MN 切⊙ O 于点 C ,弦 BD / / MN , AC与BD 相交于点 E . (1)求证:△ ABE ≌△ ACD ; (2)若 AB ? 6, BC ? 4 ,求 AE 长.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

平面直角坐标系中,已知曲线 C1 : x2 ? y 2 ? 1 ,将曲线 C1 上所有点横坐标,纵坐标分别伸长 为原来的 2 倍和 3 倍后,得到曲线 C2 (1)试写出曲线 C2 的参数方程; (2)在曲线 C2 上求点 P ,使得点 P 到直线 l : x ? y ? 4 5 ? 0 的距离最大,并求距离最大值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

已知函数 f ( x) ? x ? 1 ? 2 x ? 2 (1)解不等式 f ( x ) ? 3 ; (2)若不等式 f ( x ) ? a 的解集为空集,求实数 a 的取值范围.

2013 大连八中全真模拟考试理科数学试卷 答案
一. CACDB ACDBA BD 二.13. 60
?

.14. ( ?2, ) ? ( , ?? ) . 15. ( ,16)

1 2

1 2

三.解 17.(1) f ( x) ? 2 ? sin(2 x ?

?

4 5

16. ①、④

? 2 ? (sin 2 x cos

?
6

? cos 2 x sin ) ? (1 ? cos 2 x) 6

?

6

) ? 2sin 2 x

? 1 ? cos 2 x ? (

3 1 1 3 ? sin 2 x ? cos 2 x) ? cos 2 x ? sin 2 x ? 1 ? cos(2 x ? ) ? 1, 2 2 2 2 3
……6 分

所以函数 f ( x ) 的最小正周期为 ? . (2)由 f ( ) ? 1 ,得 cos( B ?

) ? 1 ? 1 ,即 cos( B ? ) ? 0 . 3 3 ? ? ? ? ? 4? 又因为 0 ? B ? ? ,所以 ? B ? ? .所以 B ? ? ,即 B ? . ……8 分 3 2 6 3 3 3
因为 b ? 1, c ? 3 ,所以由正弦定理 又0 ? C ? 当C ?

B 2

?

?

b c 3 ? ,得 sin C ? . sin B sin C 2

……9 分 ……10 分

?

5? 6

故C ?

?
3



3 2 2? ? ? 当C ? 时, A ? ,又 B ? ,从而 a ? b ? 1 . 3 6 6 1或 2 . 故 a 的值为
解 18.: (1) ? 的取值为:4,5,6,7,8

时, A ?

?

2? . 3
2 2

,从而 a ? b ? c ? 2 ;

……11 分 ……12 分

P(? ? 4) ?

2 C12 33 C 1C 1 24 , P(? ? 5) ? 4 2 12 ? , ? 2 95 C 20 95 C20

2 1 1 1 1 2 C4 ? C4 C12 27 C4C4 C4 8 3 , P(? ? 7) ? , P(? ? 8) ? 2 ? P(? ? 6) ? ? ? 2 2 95 95 C20 C 20 C20 95

故 ? 分布列为:

?
P

4

5

6

7

8

33 95

24 95

27 95

8 95

3 95

所以: E? ?

26 ; ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6 分; 5

(2) 2 ? 2 列联表为: 数学优秀 物理优秀 物理不优秀 合计 4 2 6
2

数学不优秀 2 12 14

合计 6 14 20

假设物理成绩与数学成绩无关,计算: k ? 5.488 ? 5.024 因此在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为物理成绩与数学成绩有关。 ??12 分; 解 19.(Ⅰ)? AB // CD, CD ? AD, AD ? CD ? 2 AB ? 2 , F 分别为 CD 的中点,

? ABFD 为矩形, AB ? BF

·········2 分 ········

? DE ? EC,? DC ? EF ,又 AB // CD,? AB ? EF ? BF ? EF ? E,? AE ? 面 BEF , AE ? 面 ABE ,

? 平面 ABE ⊥平面 BEF

··········· 4 分 ··········

(Ⅱ) ? DE ? EC,? DC ? EF ,又 PD // EF , AB // CD,? AB ? PD 又 AB ? PD ,所以 AB ? 面 PAD , AB ? PA 法一:建系 AB 为 x 轴, AD 为 y 轴, AP 为 z 轴, ·········6 分 ·········

a B(1,0,0), D(0,2,0) P(0,0, a) , C (2,2,0) , E (1,1, ) 2
····· 平面 BCD 法向量 n1 ? (0, 0,1) ,平面 EBD 法向量 n2 ? (2a, a,?2) ·····9 分

??

cos? ?

1 2 ?[ , ] ,可得 a ? [ 2 5 , 2 15 ] . ······· 分 ······12 5 5 5a 2 ? 4 2 2

2

法二:连 AC 交 BF 于点 K ,四边形 ABCF 为平行四边形,所以 K 为 AC 的中点,连 EK , 则 EK // PA , EK ? 面 ABCD , BD ? EK ,

作 KH ? BD 于 H 点,所以 BD ? 面 EKH , 连 EH ,则 BD ? EH , ? EHK 即为所求 ··· ··· ····9 分 ···

a 1 2 1 2 ? 5a ? [1, 3 ] ? , tan? ? 在 Rt?EHK 中, HK ? ? 1 2 2 5 5 5
a ?[
解得

2 5 2 15 , ] 5 5

--------

······· 分 ······12

解 20: (1) (解法 1)当直线 AB 垂直于 x 轴时, y1 ? 2分 当直线 AB 不垂直于 x 轴时,设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? p)

2 p, y2 ? ? 2 p ,因此 y1 y2 ? ?2 p 2 (定值)

由?

? y ? k ( x ? p) 得 ky 2 ? 2 py ? 2 p 2 k ? 0 2 ? y ? 2 px
4分

? y1 y2 ? ?2 p 2 因此有 y1 y2 ? ?2 p 2 为定值
(解法 2)设直线 AB 的方程为 my ? x ? p 由?

?m y ? x ? p 得 y 2 ? 2 pmy? 2 p 2 ? 0 y 2 ? 2 px ?
2

? y1 y2 ? ?2 p 2

因此有 y1 y2 ? ?2 p 为定值 (2)设存在直线 l : x ? a 满足条件,则 AC 的中点 E (

x1 ? p y1 2 , ) , AC ? ( x1 ? p) 2 ? y1 2 2
1 1 1 2 2 AC ? ( x1 ? p) 2 ? y1 ? x1 ? p 2 2 2 2
7分

因此以 AC 为直径的圆的半径 r ? E 点到直线 x ? a 的距离 d ?|

x1 ? p ?a| 2

所以所截弦长为 2 r ? d
2

2

?2

x ?p 1 2 ( x1 ? p 2 ) ? ( 1 ? a) 2 4 2
2

? x1 ? p 2 ? ( x1 ? p ? 2a) 2
? ? 2 x1 ( p ? 2a ) ? 4ap ? 4a 2
10 分

p p p2 当 p ? 2a ? 0 即 a ? 时,弦长 4 p ? ? 4 ? ? p 为定值, 2 2 4

p ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12分 2 x(2 ln x ? 1) 解 21.:(Ⅰ) f ' ( x) ? ln 2 x 令 f ' ( x) ? 0 可得 x ? e .列表如下: x ?0,1? 1, e
这时直线方程为 x ?

e ,?? .------------4 分 2m ( x ? 2m)(2 ln x ? ? 1) x (Ⅱ)由题, f '( x) ? ln 2 x 2m 2 x ? 2m 对于函数 h( x) ? 2 ln x ? ? 1 ,有 h '( x) ? x x2 ∴函数 h(x) 在 (0, m) 上单调递减,在 (m, ??) 上单调递增 ∵函数 f (x) 有 3 个极值点 a ? b ? c , 1 从而 hmin ( x) ? h(m) ? 2 ln m ? 1 ? 0 ,所以 m ? , e 1 当 0 ? m ? 时, h(2m) ? 2 ln 2m ? 0 , h(1) ? m ? 1 ? 0 , 2 ∴ 函数 f (x) 的递增区间有 (a, 2m) 和 (c, ??) ,递减区间有 (0, a ) , (2m,1) , (1, c) , 此时,函数 f (x) 有 3 个极值点,且 b ? 2m ; 1 2m ∴当 0 ? m ? 时, a, c 是函数 h( x) ? 2 ln x ? ? 1 的两个零点,————8 分 2 x 2m ? ?2 ln a ? a ? 1 ? 0 ? 即有 ? ,消去 m 有 2a ln a ? a ? 2c ln c ? c ? 2 ln c ? 2m ? 1 ? 0 ? c ? 1 1 令 g ( x) ? 2 x ln x ? x , g ' ( x) ? 2 ln x ? 1 有零点 x ? ,且 a ? ?c e e 1 1 ∴函数 g ( x) ? 2 x ln x ? x 在 (0, ) 上递减,在 ( ,??) 上递增 e e 2 2 2 ? c? 要证明 a?c ? ? a ? g (c ) ? g ( ? a) e e e 2 2 ? g ? a ? ? g ? c ? ? 即证 g (a ) ? g ( ? a) ? g (a) ? g ( ? a) ? 0 e e ? 1 ? 2 ? =0————10 分 构造函数 F ? x ? ? g ( x) ? g ( ? x) ,? F ? ? ? e ? e?

单调减区间为 ?0,1? , 1, e ;增区间为

f ?? x ? f ?x ?

?

?

e
0 极小值

?


e ,??
+

?



-

?

?



?

?

只需要证明 x ? (0,

1 e

] 单调递减即可.而 F ?? x ? ? 2 ln x ? 2 ln(

2 e

? x) ? 2 ,

F ' ' ?x ? ?

2( x(

2 e 2 e

? 2 x) ? x)

? 0 ? F ?? x ? 在 (0,

1

? 1 ? ? ? 0 —12 分 ] 上单调递增, ? F ?? x ? ? F ? ? ? e ? e?

? AB ? AC ?ABE ? ?ACD ?BAE ? ?EDC 解 22.(1)在 △ ABE 和△ ACD 中 ??EDC ? ?DCN ?直线是圆的切线 ??DCN ? ?CAD ? BD ∥ MN ??BAE ? ?CAD ……………5 分 ?△ ABE ≌△ ACD ?BCM ? ?BDC (2)? ?EBC ? ?BCM BC ? CD ? 4 ? ?EBC ? ?BDC ? ?BAC

又 ?BEC ? ?BAC ? ?ABE ? ?EBC ? ?ABE ? ?ABC ? ?ACB 设 AE ? x,易证 △ ABE ∽△ DEC 又 AE ? EC ? BE ? ED

? BC ? BE ? 4

?

EC ? 6 ? x

DE DC 4 2 ? ? ? DE ? x x AB 6 3 2 10 ?4 ? x ? x ? 6 ? x ? x? 3 3

………10 分

? x ? cos? 解 23.(1)曲线 C1 的参数方程为 ? ………1 分 (? 为参数) ? y ? sin ?
? x? ? 2 x ? 由? ? y? ? 3 y ? ? x? ? 2 cos ? ? 得? ………3 分 ? y ? ? 3 sin ? ?

? x ? 2 cos ? ? (? 为参数) ……5 分 ? C2 的参数方程为 ? ? y ? 3 sin ? ?
(2)由(1)得点 P

?

2 cos ? , 3 sin ?

?
2 ? 5 cos ?? ? ? ? ? 4 5 2

点 P 到直线 l 的距离 d ?

2 cos ? ? 3 sin ? ? 4 5

tan ? ?

2 3

………7 分

d max ?

5 5 2

?

5 10 2

………9 分

此时 P点的坐标为? ?

? 2 5 3 5? ? 5 ,? 5 ? ? ? ?

…………10 分

? ?3x ? 1, x ? ?1 ? 解 24.(1) f ? x ? ? ? x ? 3, ?1 ? x ? 1 ? 3x ? 1, x ? 1 ?
(2)由 f ? x ? 的图像可得 f ? x ? ? 2

f ? x? ? 3

解得 ? ? x ? 0

4 3

……………5 分

?a ? 2

……………10 分


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