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2015年全国理科数学一卷纯word含答案


2015 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ 卷 3 至 5 页。 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。 4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 1,设复数 Z 满足 A,1

1? z ? i ,则 | i | = 1? z

B,

2

C,

3

D,2

-cos160。sin10。= 2, sin 20。cos10。

A, ?

3 2

B,

3 2

C, ?

1 2

D,

1 2

3 设命题 P : ?n ? N , n2 ? 2n , 则?p为

A, ?n ? N , n2 ? 2n ,

B, ?n ? N , n2 ? 2n , C, ?n ? N , n2 ? 2n

D, ?n ? N , n2 ? 2n

4 投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中 的概率为 0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为 (A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312

(x0 ,y0)是双曲线 5已知M

???? ? ???? ? x2 2 -y =1上一点,F1 , F2是C上两个焦点若MF1.MF2 ? 0 则 2

y0 的取值范围是
A, (? 3 3 , ) 3 3 B, ( ? 3 3 , ) 6 6 C , (? 2 2 2 2 , ) 3 3 D, (? 2 3 2 3 , ) 3 3

6《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问:“今有委米依

垣内角,下周八尺,高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如 图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧度为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放斛的米约有

A,14 斛

B, 22 斛

C,36 斛

D,66 斛

7, D为? ABCA所在平面内一点BC ? 3CD则

??? ?

??? ?

???? ? 4 ???? ???? 1 ??? ? 4 ???? ???? 4 ??? ? 1 ???? 1 ??? (A) AD ? ? AB ? AC , (B ) AD ? AB ? AC , (C ) AD ? AB ? AC , 3 3 3 3 3 3 ???? 4 ??? ? 1 ???? (D ) AD ? AB ? AC 3 3
8 函数 f ( x) ? cos(? x ? ? ) 的部分图像如图所示,则 f ( x) 的单调递减区间为

1 3 1 3 1 3 A, (k? ? , k? ? ), k ? Z , B, (2k? ? , 2k? ? ), k ? Z , C , (k ? , k ? ), k ? Z , 4 4 4 4 4 4 1 3 D, (2k ? , 2k ? ), k ? Z 4 4
9 执行右面的程序框图,如果输入的 t=0.01,则输出的 n=(此题原图看不清,抱歉) A 5 B 6 C 7 D8

10 ( x2 ? x ? y)5 的展开式中 x5 y 2 的系数为 A 10 B 20 C30 D60

11 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体,该几何体三视图中 的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积 16 + 20 ? ,则 r= A 1 B 2 C4 D 8

正视图

俯视图

12 设函数 f ( x) ? ex (2x ?1) ? ax ? a 其中 a ? 1 若存在唯一的整数 x0 使得 f ( x0 ) ? 0 则 a 的取值范围为

A,[?

3 ,1) 2e

B,[ ?

3 3 , ) 2e 4

C ,[

3 3 , ) 2e 4

D,[

3 ,1) 2e

第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生 都必须作答。第(22)题~第(24)题未选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 13 若函数 f ( x) ? x ln( x ? a ? 2x ) 为偶函数则 a = 14 一个圆经过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的三个顶点,则圆心在 x 轴上则该圆的标准方程为 16 4

?x ?1 ? 0 x ? 15 若 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 则 最大值为 ?x ? y ? 4 ? 0 y ?
16 在平面四边形 ABCD 中,A=B=C=750,BC=2,则 AB 的取值范围为 三解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
2 17, Sn 为数列{ an }的前 n 项和已知 an ? 0 , an ? 2an ? 4Sn ? 3

(1)求{ an }的通项公式 (2)设 bn ?

1 求{ bn }的前 n 项和 an an?1

18, 如图,,四边形 ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面 ABCD 同一侧的两点,BE ⊥平面 ABCD,DF⊥平面 ABCD,BE=2DF,AE⊥EC。 (1)证明:平面 AEC⊥平面 AFC (2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值 19, 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x(单位:千元) 对年销售量 y(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响,对近 8 年的年宣传费 x1 和年销售量 y1(i=1,2…8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的 值。

x

y

w

? ( x1 ? x)2
x ?1

1

? (w1 ? w)2
x ?1

1

? ( x ? x)( y1 ? y)
x ?1

1

? (w ? w)( y
x ?1 1

1

1

? y)

46.6 56.3 6.8 289.8 表中 w1 ?

1.6

1469

108.8

x1 , w ?

1 1 ? w1 8 x ?1

(I)

根据散点图判断, y ? a ? bx与y=c+d x 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传 费 x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)

(II) 根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (III) 以知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x。根据(Ⅱ)的结

果回答下列问题: 1,年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值是多少? 2,年宣传费 x 为何值时,年利率的预报值最大? 附:对于一组数据(u1 v1),(u2 v2)…….. (un 的斜率和截距的最小二乘估计分别为: vn),其回归线 v= ? ? ? u

(20)(本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xoy 中,曲线 C:y=
x2 与直线 y ? kx ? a(a ? o) 交与 M,N 两点, 4

(Ⅰ)当 k=0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程; (Ⅱ)y 轴上是否存在点 P,使得当 K 变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由。

(21)(本小题满分 12 分)
1 已知函数 f(x)= x 3 ? ax ? , g ( x) ? ? ln x 4

(Ⅰ)当 a 为何值时,x 轴为曲线 y ? f ( x) 的切线; (Ⅱ)用 min

?m, n?

表示 m,n 中的最小值,设函数

h( x) ? min ? f ( x), g( x)

? (x ? 0)

,讨论 h(x)零点的个数

请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定 的题目。如果多做,则按所做第一个题目计分,做答时,请用 2B 铅笔在答题卡 上将所选题号后的方框涂黑。 (22)(本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 是☉O 的直径,AC 是☉C 的 Q 切线,BC 交☉O 于 E

(I) (II)

若 D 为 AC 的中点,证明:DE 是圆 O 的切线; 若 OA ? 3CE ,求∠ACB 的大小.

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中。直线 C1 : x = ? 2,圆 C2 : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 ,以坐标原
2 2

点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。 (I) (II) 求 C1 , C2 的极坐标方程; 若直线 C3 的极坐标方程为 ? ? 求 ?C2 MN 的面积

?
4

? ? ? R ? ,设 C2 与 C3 的交点为 M

,N ,

(24)(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 =|x+1|-2|x-a|,a>0. (Ⅰ)当 a=1 时,求不等式 f(x)>1 的解集; (Ⅱ)若 f(x)的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围


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