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【启慧学案】高中数学必修4苏教版分层演练:1章末知识整合


若角θ 的终边与函数 y=-2|x|的图象重合, 求θ 的各三 角函数值.
? ?-2x,x≥0, 分析:由于 y=-2|x|=? ?2x,x<0 ?

的图象为三、四象限

中的两条射线,故可根据三角函数的定义来求解. 解析:∵角θ 的终边与函数 y=-2|x|的图象重合, ∴θ 是第三或第四象限的角. 若θ 为第三象限的角, 取终边上一点 P(-1, -2), r=|OP|= 5,

从而 sin θ = =-

y r

2 5 x 5 y ,cos θ = =- ,tan θ = =2. 5 r 5 x

若θ 在第四象限,可取点 P(1,-2),易得: 2 5 5 sin θ =- ,cos θ = ,tan θ =-2. 5 5 ◎规律总结:三角函数的基本概念是本单元内容的基本部分,是 研究三角公式、三角函数图象及性质的出发点,尽管大纲对本部分内 容难度的要求有所降低,但同学们仍然要注意考试中对基本概念、基 本公式、三角函数基本性质的应用和计算、推理能力的考查,解题的 关键是对有关概念的正确理解和灵活应用.

变式训练
2 ? ?sin π x ,-1<x<0, 1.函数 f(x)=? x-1 ?e ,x≥0, ?

若 f(1)+f(a)=2,

则 a 的所有可能值为( A.1 B.- 2 2

) C.1,- 2 2 D.1, 2 2

解析:此题可运用代入排除法.∵f(1)+f(a)=2,f(1)=e0=1, ∴f(a)=1,选项中提供的 a 的可能值有三个,分别为 1, 2 2 ,- , 2 2
? 2? ? ? ? 2 ?

因此把这三个数代入 f(x)中, 值为 1 的即为所求. f(1)=e0=1, f? ? =e 2 -1, 2

f? ?-
?

?

?π ? 2? ? ? ?=1. = sin 2? ?2? ?

∴a 的所有可能值为 1,- 答案:C

2 . 2

2.在平面直角坐标系中,角α 的终边在直线 3x+4y=0 上,则 tan α =________.

3 解析:角α 的终边在第二象限或第四象限,tan α =- . 4 3 答案:- 4

? π? 已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ )?A>0,ω >0,|φ |< ? 2? ?

的图象在 y 轴上的截距为 1,它在 y 轴右侧的第一个最大值点和 最小值点分别为(x0,2)和(x0+3π ,-2). (1)求 f(x)的解析式; 1 (2)将 f(x)的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不 3 π 变), 然后再将所得的图象向 x 轴正方向平移 个单位, 得到函数 g(x) 3 的图象,写出函数 g(x)的解析式,并用五点作图的方法画出 g(x)在 长度为一个周期的闭区间上的图象.

分析:由题目可以获取以下主要信息:①要求的函数的形式是

f(x)=Asin(ω x+φ )?A>0,ω >0,|φ |< ?;②图象与 y 轴交点
?

?

π? 2?

是 (0,1) .③相邻的一个最大值点和最小值点分别是 (x0,2) 和 (x0 +3 π ,-2),其中 x0>0. 解答本题可先由已知求出 A、ω 、φ ,然后再根据图象变换得到 函数 y=g(x). 解析:(1)由 f(x)=Asin(ω x+φ )在 y 轴上的臷距为 1,最大值 1 π 为 2,得 1=2sin φ ,所以 sin φ = ,φ = . 2 6 又因为两相邻的最大值点和最小值点分别为(x0,2)和(x0+3π , -2). 2π 1 所以 T=2[(x0+3π )-x0]=6π ,所以ω = = . T 3
?x π ? 所以,函数的解析式为 f(x)=2sin? + ?. ?3 6 ? ? π? (2)压缩后函数的解析式为 y=2sin?x+ ?, 6? ? ? ? π π? π? 再平移得 g(x)=2sin?x- + ?=2sin?x- ?. 3 6? 6? ? ?

列表、作图.

x- x

π 6

0 π 6 0

π 2 2π 3 2

π 7π 6 0

3π 2 5π 3 -2

2π 13π 6 0

g(x)

◎规律总结:三角函数图象是本章的重点内容,它是研究三角函 数性质的根据, 重点抓住图象的特征及变换与函数解析式中各变量之 间的内在联系.主要解决两个方面的问题:一是根据图象写函数解析 式,关键要把握图象与函数性质的关系,从而确定出相关的数值.对 于 y=Asin(ω x+φ )+b(A>0,ω >0)的解析式求解问题:ymax=M,

M-m M+m 2π ymin=m,则 A= ,b= .由 T= 求得ω 的值;φ 的值采取代
2 2 ω 入特殊点(顶点或平衡点)坐标法求得. 二是关于三角函数图象的平移 和伸缩, 此类问题关键要搞清在 x 轴方向的左右平移或伸缩是对解析 中的字母 x 而变换. 变式训练 3.函数 y=2cos x,0≤x≤2π 的图象和直线 y=2 围成的封闭图 形的面积是( A.4 C.2π ) B.8 D.4π

解析:如图,由函数 y=cos x 的图象的对称性,知:所求封闭 图形的面积即为图中矩形 OABC 的面积,即 S=2π ×2=4π .

答案:D

? π? 4.要得到函数 y=cos?2x- ?的图象,只要将函数 y=sin 2x 4? ?

的图象(

) π B.向右平移 个单位 8 π D.向右平移 个单位 4

π A.向左平移 个单位 8 π C.向左平移 个单位 4

? ? ? π? π? π? 解析: y=sin 2x=cos?2x- ?=cos 2?x- ?, 而 y=cos?2x- ? 2? 4? 4? ? ? ? ? ? π? π? π =cos 2?x- ?=cos 2?x+ ?- .故选 A. 8? 8? 2 ? ?

答案:A

π 已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ )A>0,ω >0,|φ |< 的 2
? ? 3 图象在 y 轴上的截距为 1,在相邻两最值点(x0,2)和?x0+ ,-2?(x0 2 ? ?

>0)上,f(x)分别取得最大值和最小值. (1)求 f(x)的解析式.
?21 23? (2)在区间? , ?上是否存在 f(x)的对称轴?请说明理由. 4? ?4

3? T ? 3 2π 解析:(1)∵A=2, =?x0+ ?-x0= ,∴T=3,即 =3,ω 2? 2 ? 2 |ω | 2π >0,∴ω = . 3 这时 f(x)=2sin?
?2π ? 3

x+φ ?.把点(0,1)代入, 得 2sin φ =1.而|
?

?

?2π π? π π φ |< ,∴φ = ,∴f(x)=2sin? x+ ?. 6? 2 6 ? 3

(2)∵x∈?
? 3 ? ? ? ?- 2 ,0?, ? ?

?21

23? 2π π ?11π , ?,∴ x+ ∈? ,4π 4? 3 6 ? 3 ?4

? ?2π π? ?,sin? x+ ?∈ 6? ? ? 3

故 sin? 轴.

?2π ? 3

x+ ?≠±1,即在区间? , ?上不存在 f(x)的对称
?4

π? 6?

?21

23? 4?

◎规律总结:三角函数的图象和性质密不可分,在解决三角函数 的综合问题时,应借助于图象特征,充分利用三角函数的有关性质进 行求解.如单调区间、最值、周期性、对称性等问题.

变式训练
? 3 π? 5.求函数 y=sin?- x+ ?的单调递增区间. 4? ? 2

3 π 解析:方法一 令 t=- x+ ,则 y=sin t,因为 t 是 x 的一 2 4 次递减函数,故应取 y=sin t 的减区间才符合要求.由已知得 2kπ π 3π + ≤t≤2kπ + ,k∈Z. 2 2 π 3x π 3π 即 2kπ + ≤- + ≤2kπ + ,k∈Z. 2 2 4 2 4k 5 4k 1 ∴- π - π ≤x≤- π - π ,k∈Z. 3 6 3 6
? 3 π? ∴y=sin?- x+ ?的单调递增区间是 4? ? 2 ? 4k 5 4k 1 ? ?- π - π ,- π - π ?,k∈Z. 6 3 6 ? ? 3 ?3 ?3 π? π? 方法二 y=-sin? x- ?,令 u=sin? x- ?,则 y=-u,故 4? 4? ?2 ?2 ?3 π? π 3 π 应取 u=sin? x- ?的减区间才符合要求, 故有 2kπ + ≤ x- ≤ 4? 2 2 4 ?2

3π 2kπ + ,k∈Z. 2 ∴ 4kπ π 4kπ 7π + ≤x ≤ + ,k∈Z, 3 2 3 6

?3 π? ∴y=-sin? x- ?的单调递增区间是 4? ?2 ?4kπ π 4kπ 7π ? ? ?,k∈Z. + , + 2 3 6 ? ? 3

注:两种形式,结果一致.

6. 已知函数 f(x)=cos ω x(ω >0), 其图象关于点 M?

? 3π ? 4

,0?对
?

?

? π? 称,且在区间?0, ?上是单调函数,求ω . 2? ?

解析:∵f(x)关于? ∴f?
?3π ? 4 ?3π ? 4

?3π ? 4

,0?对称.
? ? ?

?

+x?=-f?
?

?

?3π ? 4

-x?,
? ?

即 f?

+x?+f?
?

?

?3π ? 4

-x?=0,

令 x=0 得 f?

?3π ? 3ω π 3ω π ?=0.∴cos =0. π =kπ + ,k∈Z. 4 4 2 ? 4 ?

2 ∴ω = (2k+1),k=0,1,2,… 3
? π? 2 2 当 k=0 时,ω = ,f(x)=cos x 在?0, ?上是单调减函数. 2? 3 3 ? ? π? 当 k=1 时,ω =2,f(x)=cos 2x 在?0, ?上是单调减函数. 2? ? ? π? 10 当 k≥2 时,ω ≥ ,f(x)在?0, ?上不再是单调函数. 2? 3 ?

2 ∴ω = 或ω =2. 3

一、数形结合的思想和方法
? π? 已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ )?A>0,ω >0,|φ |< ? 2? ?

在一个周期内的简图如右图所示,则函数的解析式为________, 方程 f(x)-lg x=0 的实根个数为______.

解析:根据图中的特殊点,可确定 f(x)解析式中的特定系数 A、 ω 、φ .研究方程 f(x)-lg x=0 的实数根即是研究函数 y=f(x)与 y =lg x 图象的交点个数. 显然 A=2. 由图象过(0,1)点则 f(0)=1, 1 π π 即 sin φ = ,又|φ |< ,则φ = . 2 2 6 又?
?11π ? 12

,0?是图象上的点,则 f?
?

?

?11π ? ?=0,即 ? 12 ?

sin?

?11π

?11π ? π? ω + ?=0,由图象可知,? ,0?是图象在 y 轴右侧 6? ? 12 ? 12 ?

部分与 x 轴的第二个交点. ∴ 11π π ω + =2 π . 12 6

? π? ∴ω =2,因此所求函数的解析式为 f(x)=2sin?2x+ ?. 6? ? ? π? 如图, 在同一坐标系中作函数 f(x)=2sin?2x+ ?和函数 y=lg x 6? ?

的示意图.

11 因为 f(x)的最大值为 2,令 lg x=2,得 x=100,令 π +kπ 12 <100(k∈Z),得 k≤30(k∈Z),而 (0,100]内有 31 个形如?
?11

11 π +31π >100 ,所以在区间 12

? 17 π +kπ , π +kπ ?(k∈Z,0≤k≤30)的 12 ?12 ?

区间,在每个区间上 y=f(x)与 y=lg x 的图象都有 2 个交点,故这 两个函数图象在?
?11π ? ? 11 ? ,100?上有 2×31=62 个交点, 另外在?0, π ? 12 ? ? 12 ? ?

上还有 1 个交点,所以方程 f(x)-lg x=0 共有实根 63 个.
? π? 答案:f(x)=2sin?2x+ ? 6? ?

63 个

◎规律总结: 自觉应用数形结合思想是处理三角函数有关问题的 重要思想方法.本章中的数形结合通常有两种形式:一是利用单位圆 解决角的范围或三角不等式问题; 二是利用三角函数图象求方程解的 个数问题,或已知方程解的个数,求方程中的字母参数的范围问题.

变式训练 7.已知函数 y=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π ]的图象与直线 y

=k 有且仅有四个不同的交点,求实数 k 的取值范围.

解析:y=sin x+2|sin x|
?3sin x,x∈[0,π ], ? =? ? ?-sin x,x∈[π ,2π ].

观察图象可知,0<k<1,所以 k 的取值范围是(0,1).

二、分类讨论的思想 π π 已知- ≤β < , 3sin2α -2sin2β =2sin α , 试求 sin2 6 4 1 β - sin α 的最小值. 2 分析:本题注意隐含条件对结果的制约作用. π π 解析:∵- ≤β < , 6 4 1 2 1 ∴- ≤sin β < ,0≤sin2β < , 2 2 2 ∴0≤2sin2β <1. ∵2sin2β =3sin2α -2sin α ,

∴0≤3sin2α -2sin α <1,
2 ? ?3sin α -2sin α ≥0, 即? 2 ?3sin α -2sin α -1<0. ?

2 1 解得 ≤sin α <1 或- <sin α ≤0. 3 3 1 ∴y=sin2β - sin α 2 1 1 = (3sin2α -2sin α )- sin α 2 2 1? 3 3? = ?sin α - ?2- . 2? 8 2?
?2 ? 当 sin α ∈? ,1?时,y 是增函数. ?3 ?

2 1 ∴当 sin α = 时,ymin=- ; 3 3
? 1 ? 当 sin α ∈?- ,0?时,y 是减函数, ? 3 ?

∴当 sin α =0 时,ymin=0. 1 1 综上,函数 y=sin2β - sin α 的最小值为- . 2 3 ◎规律总结: 在三角运算中, 有关三角函数所在象限符号的选取、 三角函数与二次函数综合问题以及三角函数最值等问题要注意分类 讨论. 变式训练 8. 函数 f(x)=1-2a-2acos x-2sin2x 的最小值为 g(a)(a∈R). (1)求 g(a)的值. 1 (2)若 g(a)= ,求 a 的值及此时 f(x)的最大值. 2

解析:(1)由 f(x)=1-2a-2acos x-2sin2x =1-2a-2acos x-2(1-cos2x) =2cos2x-2acos x-(2a+1) =2(cos x- ) - -2a-1. 2 2 ①若-1≤ ≤1,则当 cos x= 时,f(x)min=- -2a-1; 2 2 2 ②若 >1,则当 cos x=1 时,f(x)min=1-4a; 2 ③若 <-1,则当 cos x=-1 时,f(x)min=1, 2 1,a<-2, ? ? a 因此 g(a)=?- -2a-1,-2≤a≤2, 2 ? ?1-4a,a>2.
2

a

2

a2

a

a

a2

a a

1 (2)∵g(a)= . 2 1 1 a2 ∴若 a>2,则有 1-4a= ? a= ,矛盾;若-2≤a≤2,则有- 2 8 2 1 -2a-1= ? a=-1 或 a=-3(舍). 2
? 1? 1 1 ∴当 g(a)= 时, a=-1, 此时 f(x)=2?cos x+ ?+ , 故当 cos 2? 2 2 ?

x=1 时,f(x)max=5.

三、函数与方程的思想
? π π? 是否存在α ∈?- , ?,β ∈(0,π ),使等式 sin(3π 2? ? 2 ?π ? - α ) = 2cos ? -β ? , 3cos( - α ) =- 2cos( π + β ) 同时成 ?2 ?

立?若存在,求出α 、β 的值;若不存在,则请说明理由. 分析:本题属探索性问题,应将α 、β 满足的关系当作条件,从 而去求α 、β ;因条件式较繁琐,故先化简,再求出α 与β 的一个三 角函数值和其范围,进而求角.
? ?sin α = 2sin β , 解析:由条件得? ? ? 3cos α = 2cos β .

① ②

①2+②2,得 sin2α +3cos2α =2, 1 ∴sin2α = . 2
? π π? 又∵α ∈?- , ?, 2? ? 2

π π ∴α = 或α =- . 4 4 π 将α = 代入②, 4 得 cos β = 3 ,又β ∈(0,π ), 2

π ∴β = ,代入①可知符合. 6 π 将α =- 代入②, 4 得 cos β = 3 ,又β ∈(0,π ), 2

π ∴β = ,代入①可知不符合. 6 综上可知,存在α = π π ,β = 满足条件. 4 6

◎规律总结:函数、方程、不等式三者密不可分.在三角中,已 知条件等式,求一个三角函数值的问题,常采用方程的思想,把某一 三角函数看做未知数,解三角方程.在求角的问题时要注意两点:一 是求一个三角函数值,二是求该角的范围.

变式训练
? ? π? π? 9.设有函数 f(x)=asin?kx+ ?和 g(x)=btan?kx- ?(a>0, 3? 3? ? ?

b>0,k>0).若它们的最小周期之和为 π ,且 f? ?=g? ?,f? ?
?2? ?2? ?4? ?π ? =- 3g? ?+1.求两函数解析式. ?4?

3 2

?π ?

?π ?

?π ?

分析:欲求两个函数解析式,只需利用两个函数的周期和两个函 数对应两个值的关系,用特定系数法求解. 2π π 3π 解析:由题意 + = ,得 k=2. k k 2 π π π π a sin?2× + ?=btan?2× - ?, ? ? ? 2 3? 2 3? ? 由? ? ? π π? π π? a sin?2× + ?=- 3btan?2× - ?+1, ? ? ? 4 3? 4 3? ? 解得?
?a=2b, ? ? ?a=-2b+2, ? ? ? ?

1 得 a=1,b= . 2

? π? π? 1 ? 因此 f(x)=sin?2x+ ?,g(x)= tan?2x- ?. 3? 3? 2 ? ?

四、转化与化归的思想 sin xcos x 求函数 f(x)= 的最大值和最小值. 1+sin x+cos x 解析:设 sin x+cos x=t,则 sin xcos x=

t2-1
2

,t∈[- 2,

t2-1 ?(t+1)??t-1? 2]且 t≠-1,则 f(x)= = = 2?(1+t)? 2?(1+t)? t-1
2 ,t∈[- 2, 2]. π 2-1 解得 x=2kπ + (k∈Z)时,f(x)的最大值为 . 4 2 3 2+1 当 x=2kπ - π (k∈Z)时,f(x)的最小值为- . 4 2 ◎规律总结:在三角函数式中,若同时含有 sin α ±cos α 与 sin α cos α ,可利用换元的思想,将三角问题转化为代数问题来解 决. 变式训练 10.定义运算 a ? b=?
?a,a≤b, ? ? ?b,a>b,

? ? π? π? 5 令 f(x)=(cos2x+sin x)? ,且 x∈?0, ?,求函数 f?x- ?的最 2? 2? 4 ? ?

大值.

解析:设 y=cos2x+sin x=-sin2x+sin x+1=

? 1? 5 -?sin x- ?2+ , 2? 4 ? ? π? 5 ∵x∈?0, ?,∴0≤sin x≤1,∴1≤y≤ ,即 1≤cos2x+sin x 2? 4 ?

5 ≤ . 4
? π? 根据新定义的运算,可知 f(x)=cos2x+sin x,x∈?0, ?, 2? ? ? ? π? π 1? 5 ∴f ?x- ?=-?sin?(x- )?- ?2+ = 2? 2 2? 4 ? ? ? ?π ? 1? 5 -?cos x+ ?2+ ,x∈? ,π ?, 2? 4 ? ?2 ? ? π? 5 ∴函数 f ?x- ?的最大值为 . 2? 4 ?


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