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2015-2016学年甘肃省民乐县第一中学高一下学期第一次月考数学试题(word)


2015-2016 学年甘肃省民乐县第一中学高一下学期第一次月考数学试 题(word)
第Ⅰ卷
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.) 1.sin 210° =( A. 1 2 ) B. 3 2 C.- 1 2 ) D.- 3 2

2.已知平面向量 a=(1,2),b=(-2,m),且 a∥b,则 2a+3b=( A.(-2,-4) C.(-4,-8) B.(-3,-6) D.(-5,-10)

3.已知点 A(1,3),B(4,-1),则与向量 AB 同方向的单位向量为( 3 4? A.? ?5,-5? 3 4? C.? ?-5,5? π π? 3 7 , ,sin 2θ= 4.若 θ∈? ,则 sin θ=( 4 2 ? ? 8 3 A. 5 4 B. 5 4 3? B.? ?5,-5? 4 3? D.? ?-5,5? ) C. 7 4 )

??? ?

)

3 D. 4

θ? θ θ 5.设 θ 是第三象限角,且? ?cos2?=-cos2,则2是( A.第一象限角 C.第三象限角 B.第二象限角 D.第四象限角

6.如图,正方形 ABCD 中,点 E 是 DC 的中点,点 F 是 BC 的一个三等分点(靠近 B),那么 EF =(

??? ?

)

? 1 ??? ? 1 ??? A. AB - AD 2 3

? 1 ??? ? 1 ??? B. AB + AD 4 2

? 1 ??? ? 1 ??? C. AB + DA 3 2
7.函数 y= π π - , ? A.? ? 3 3? π π 2kπ- ,2kπ+ ?,k∈Z C.? 3 3? ? 1 cos x- 的定义域为( 2

? 2 ??? ? 1 ??? D. AB - AD 2 3
) π π kπ- ,kπ+ ?,k∈Z B.? 3 3? ? D.R )

π x- ?(x∈R),下面结论错误的是( 8.已知函数 f(x)=sin? ? 2? A.函数 f(x)的最小正周期为 2π

π? B.函数 f(x)在区间? ?0,2?上是增函数 C.函数 f(x)的图象关于直线 x=0 对称 D.函数 f(x)是奇函数 π? 9.已知函数 f(x)=sin? ?2ωx-3?(ω>0)的最小正周期为 π,则函数 f(x)的图象的一条对称轴方程是( π A.x= 12 π B.x= 6 5π C.x= 12 π D.x= 3 ) )

π 10.函数 y=cos x(x∈R)的图象向左平移 个单位后,得到函数 y=g(x)的图象,则 g(x)的解析式应为( 2 A.-sin x B.sin x C.-cos x D.cos x )

11.函数 f(x)=Asin(2x+φ)(A>0,φ∈R)的部分图象如图所示,那么 f(0)=( 1 A.- 2 C.-1 B.- 3 2

D.- 3 )

π π? 12.已知函数 f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间? ?-3,4?上的最小值是-2,则 ω 的最小值等于( 2 A. 3 C.2 3 B. 2 D.3

第Ⅱ卷

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.已知向量 a,b 夹角为 45° ,且|a|=1,|2a-b|= 10,则|b|=________. π ? 14.函数 y=cos? ?4-2x?的单调减区间为________. 4π ? 15.如果函数 y=3cos(2x+φ)的图象关于点? ? 3 ,0?中心对称,那么|φ|的最小值为________. 16.如图,在△ABC 中,AD⊥AB, BC = 3 BD ,| AD |=1,则 AC ·AD =_______________.

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

三、解答题: (共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题共 10 分)如图所示,A,B 是单位圆 O 上的点,且 B 在第二象限,C 是圆与 x 轴正半轴的交 3 4? 点,A 点的坐标为? ?5,5?,△AOB 为正三角形. (I)求 sin∠COA; (II)求 cos∠COB.

18. (本小题共 12 分)已知 a=(1,2),b=(-2,n),a 与 b 的夹角是 45° . (I)求 b; (II)若 c 与 b 同向,且 a 与 c-a 垂直,求 c.

π α 1 2 19. (本小题共 12 分)已知 0<α< <β<π,tan = ,cos(β-α)= . 2 2 2 10 (I)求 sin α 的值; (II)求 β 的值.

x π? ?x π? 20. (本小题共 12 分)已知函数 f(x)=2 3sin? ?2+4?cos?2+4?-sin (x+π). (I)求 f(x)的最小正周期; π (II)若将 f(x)的图象向右平移 个单位,得到函数 g(x)的图象,求函数 g(x)在区间[0,π]上的最大值和最 6 小值.

1 3 21. (本小题共 12 分)设在平面上有两个向量 a=(cos α,sin α)(0° ≤α<360° ),b=?- , ?. 2 2 ? ? (I)求证:向量 a+b 与 a-b 垂直; (II)当向量 3a+b 与 a- 3b 的模相等时,求 α 的大小.

22. (本小题共 12 分)在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知向量 a=(-1,2),又点 A(8,0),B(n,t), π? C(ksin θ,t)? ?0≤θ≤2?.
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (I)若 AB ⊥a,且| AB |= 5| OA |,求向量 OB ; ???? ??? ? ???? OC . (II)若向量 AC 与向量 a 共线,当 k>4,且 tsin θ 取最大值 4 时,求 OA ·

高一年级第一次月考数学试题参考答案
一、 1 C 选择题: (每小题 5 分,共 60 分) 2 C 3 A 4 D 5 B 6 D 7 C 8 D 9 C 10 A 11 C 12 B

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. 3 2 15. π 6 π 5π? 14. ? ?kπ+8,kπ+ 8 ?(k∈Z) 16. 3

三、解答题: (共 70 分) 4 17.解:(1)根据三角函数定义可知 sin∠COA= …………………………………4 分 5 (2)∵△AOB 为正三角形,∴∠AOB=60° , 4 3 又 sin∠COA= ,cos∠COA= , 5 5 ∴cos∠COB=cos(∠COA+60° ) =cos∠COAcos 60° -sin∠COAsin 60° 3 1 4 3 3-4 3 = ·- · = ………………………………………………………….10 分 52 5 2 10 18.解:(1)∵a· b=2n-2,|a|= 5,|b|= n2+4, ∴cos 45° = 2n-2 5· n +4
2



2 , 2

∴3n2-16n-12=0(n>1). 2 ∴n=6 或 n=- (舍).∴b=(-2,6).............................................................6 分 3 (2)由(1)知,a· b=10,|a|2=5. 又∵c 与 b 同向,故可设 c=λb(λ>0). ∵(c-a)· a=0, ∴λb· a-|a|2=0.∴λ= |a|2 5 1 = = . b· a 10 2

1 ∴c= b=(-1,3).…………………………………………………………....12 分 2 α 1 19.解:(1)∵tan = , 2 2 1 2× 2 4 ∴tan α= = = , 1 2α ? ?2 3 1-tan 2 1-?2? α 2tan 2

sin α 4 ? ?cos α=3, 由? ?sin2α+cos2α=1, ? 4 4 sin α=- 舍去?………………………………………………6 分 解得 sin α= ? 5 ? 5? (2)由(1)知 cos α= 1-sin2α = 4?2 3 1-? ?5? =5,

π 又 0<α< <β<π,∴β-α∈(0,π), 2 而 cos(β-α)= 2 , 10 1-? 2?2 7 2 = , 10 ? ? 10

∴sin(β-α)= 1-cos2?β-α?= 于是 sin β=sin[α+(β-α)] =sin αcos(β-α)+cos αsin(β-α)

π ? 4 2 3 7 2 2 3π = × + × = .又 β∈? ?2,π?,∴β= 4 …………………………12 分 5 10 5 10 2 π? 1 ? 3 ? ? π? 20.解:(1)因为 f(x)= 3sin? ?x+2?+sin x= 3cos x+sin x=2? 2 cos x+2sin x?=2sin?x+3?, 所以 f(x)的最小正周期为 2π……………………………………………….…….5 分 π (2)∵将 f(x)的图象向右平移 个单位,得到函数 g(x)的图象, 6 π? ?? π? π? ? π? ∴g(x)=f? ?x-6?=2sin ?x-6?+3 =2sin?x+6?.

?

?

π π 7π? , , ∵x∈[0,π],∴x+ ∈? 6 ?6 6 ? π? π π π ∴当 x+ = ,即 x= 时,sin? ?x+6?=1,g(x)取得最大值 2. 6 2 3 π? π 7π 1 当 x+ = ,即 x=π 时,sin? ?x+6?=-2,g(x)取得最小值-1.....................12 分 6 6 1 3? 21.解:(1)证明:因为(a+b)· (a-b)=|a|2-|b|2=(cos2α+sin2α)-? ?4+4?=0, 所以 a+b 与 a-b 垂直.......................................................................5 分 (2)由| 3a+b|=|a- 3b|,两边平方得 3|a|2+2 3a· b+|b|2=|a|2-2 3a· b+3|b|2, 所以 2(|a|2-|b|2)+4 3a· b=0. 而|a|=|b|,所以 a· b=0, 1? 3 则? )=0, ?-2?×cos α+ 2 ×sin α=0,即 cos(α+60° 所以 α+60° =k· 180° +90° ,

即 α=k· 180° +30° ,k∈Z. 又 0° ≤α<360° ,则 α=30° 或 α=210°………………………………12 分 ??? ? 22.解:(1)由题设知 AB =(n-8,t), ??? ? ∵ AB ⊥a,∴8-n+2t=0. ??? ? ??? ? 又∵ 5| OA |=| AB |, ∴5×64=(n-8)2+t2=5t2,得 t=± 8. 当 t=8 时,n=24;t=-8 时,n=-8, ??? ? ??? ? ∴ OB =(24,8)或 OB =(-8,-8).………………………………….5 分 ???? (2)由题设知 AC =(ksin θ-8,t), ???? ∵ AC 与 a 共线,∴t=-2ksin θ+16, tsin θ=(-2ksin θ+16)sin θ 4?2 32 =-2k? ?sin θ-k? + k . 4 ∵k>4,∴0< <1, k 4 32 ∴当 sin θ= 时,tsin θ 取得最大值 . k k 32 π ???? =4,得 k=8,此时 θ= , OC =(4,8). k 6 ??? ? ???? ∴ OA · OC =(8,0)·(4,8)=32…………………………………………………………………..12 分 由


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