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创新设计必修五WORD训练2-5-2


2.5

等比数列的前 n 项和(二)

一、基础达标 1 1.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn=x· 3n-1-6,则 x 的值为 ( 1 A.3 答案 解析 1 B.-3 C 1 当 n=1 时,a1=S1=x-6, 1 C.2 1 D.-2 )

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=x· 3n-1-x· 3n-2=2x· 3n-2. 1 ∵{an}是等比数列,∴n=1 时也适合 an=2x· 3n-2,∴2x· 3-1=x-6,解得 x= 1 2. 2.设{an}是公比为 q 的等比数列,Sn 是它的前 n 项和,若{Sn}是等差数列,则 q 等于 ( A.1 B.0 C.1 或 0 D.-1 答案 解析 A ∵Sn-Sn-1=an,又{Sn}是等差数列, )

an ∴an 为定值,即数列{an}为常数列,∴q= =1. an-1 3.在等比数列{an}中,S30=13S10,S10+S30=140,则 S20 等于 ( A.90 B.70 C.40 答案 解析 C ?S30=13S10 q≠1 (否则 S30=3S10),由? , ?S10+S30=140 D.30 )

?S10=10 ∴? , ?S30=130 a1?1-q ? ? ? 1-q =10, ∴? a1?1-q30? ? ? 1-q =130,
10

∴q20+q10-12=0.

a1?1-q20? ∴q10=3,∴S20= =S10(1+q10)=10×(1+3)=40. 1-q 4.在数列{an}中,an+1=can(c 为非零常数),且前 n 项和为 Sn=3n-2+k,则实数 k 的值为 ( 1 A.3 答案 解析 1 B.-3 D 1 当 n=1 时,a1=S1=3+k, 1 C.9 1 D.-9 )

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n-2+k)-(3n-3+k)=2· 3n-3. 1 - 由题意知{an}为等比数列,所以 a1=3+k=2· 3 2, 1 ∴k=-9. 5.等比数列{an}共 2n 项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大 80,则 公比 q=________. 答案 解析 2 ?S奇+S偶=-240, 根据题意得? ?S奇-S偶=80,

?S奇=-80, S偶 -160 ∴? ∴q= = =2. S奇 -80 ?S偶=-160. S6 S9 6.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若S =3,则S =________.
3 6

答案 解析

7 3 S6 6a1 q≠1,否则S =3a =2≠3.
3 1

a1?1-q6? 1-q S6 3 3 ∴S = 3 =1+q =3,∴q =2. 3 a1?1-q ? 1-q a1?1-q9? 1-q 1-q9 1-23 7 S9 ∴S = = . 6 = 6= 1-22 3 6 a1?1-q ? 1-q 1-q 7.在等比数列{an}中,已知 Sn=189,q=2,an=96,求 a1 和 n. -2 ? ?189=a1?11- , a1?1-q ? 2 由 Sn= 及通项公式得? 1-q ?96=a1· 2n 1 .
n


n



192 所以 a1· 2n=192,所以 2n= . a1 192 所以 189=a1(2n-1)=a1( a -1). 1 96 所以 a1=3,2n-1= 3 =32,所以 n=6. 8.从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展 1 旅游产业.根据规划,本年度投入 800 万元,以后每年投入将比上年减少5, 本年度当地旅游收入估计为 400 万元,由于该项建设对旅游业的促进作用, 1 预计今后的旅游业收入每年会比上年增长4.设 n 年内(本年度为第一年)总投 入为 an 万元,旅游业总收入为 bn 万元,写出 an,bn 的表达式. 解 1? ? 第 1 年投入 800 万元,第 2 年投入 800×?1-5?万元,…,第 n 年投入 ? ?

1? ? 800×?1-5?n-1 万元, ? ? 1? ? 所以,总投入 an=800+800×?1-5?+…+800× ? ? 1? ? ? ?4? ? ?1-5?n-1=4 000×?1-?5?n?(万元). ? ? ? ? ?? 1? ? 同理,第 1 年收入 400 万元,第 2 年收入 400×?1+4?万元,…,第 n 年收入 ? ? 1? ? 400×?1+4?n-1 万元. ? ?

1? ? 所以,总收入 bn=400+400×?1+4?+…+400× ? ? 1? ? ??5? ? ?1+4?n-1=1 600×??4?n-1?. ? ? ?? ? ? 二、能力提升 9.设{an}是由正数组成的等比数列,Sn 为其前 n 项和,已知 a2a4=1,S3=7,则 S5 等于 ( 15 A. 2 答案 解析 31 B. 4 B ∵{an}是由正数组成的等比数列,且 a2a4=1, 33 C. 4 17 D. 2 )

2 ∴设{an}的公比为 q,则 q>0,且 a3 =1,即 a3=1.

1 1 ∵S3=7,∴a1+a2+a3=q2+q+1=7, 即 6q2-q-1=0. 1 1 1 故 q=2或 q=-3(舍去),∴a1=q2=4. 1 4?1-25? 1 31 ∴S5= = 8(1 - 5)= . 1 2 4 1-2 10.数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则 a6 等于 ( A.3×44 C.45 答案 解析 A 当 n≥1 时,an+1=3Sn,则 an+2=3Sn+1, B.3×44+1 D.45+1 )

∴an+2-an+1=3Sn+1-3Sn=3an+1,即 an+2=4an+1, ∴该数列从第 2 项开始是以 4 为公比的等比数列. 又 a2=3S1=3a1=3, ?n=1?, ?1 ∴an=? n-2 ?n≥2?. ?3×4

∴当 n=6 时,a6=3×46-2=3×44. 11.等比数列{an}中,前 n 项和为 Sn,S3=2,S6=6,则 a10+a11+a12=________. 答案 解析 16 ∵S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9 成等比数列,

∴(S6-S3)2=S3· (S9-S6). 又∵S3=2,S6=6,∴S9=14. 再由 S6-S3,S9-S6,S12-S9 成等比数列, 即(S9-S6)2=(S6-S3)· (S12-S9), 求出 S12-S9=16,即 a10+a11+a12=16. 也可以由 S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9 成等比数列,此数列首项为 S3=2, S6-S3 6-2 公比 q′= S = 2 =2,得 S12-S9=2×23=16. 3 12.已知{an}是以 a 为首项,q 为公比的等比数列,Sn 为它的前 n 项和. (1)当 S1,S3,S4 成等差数列时,求 q 的值; (2)当 Sm,Sn,Sl 成等差数列时,求证:对任意自然数 k,am+k,an+k,al+k 也 成等差数列. (1)解 由已知,得 an=aqn 1,因此


S1=a,S3=a(1+q+q2),S4=a(1+q+q2+q3). 当 S1,S3,S4 成等差数列时,S4-S3=S3-S1, 可得 aq3=aq+aq2,化简得 q2-q-1=0. 1± 5 解得 q= 2 . (2)证明 列. 若 q≠1,由 Sm,Sn,Sl 成等差数列可得 Sm+Sl=2Sn, 即 a?qm-1? a?ql-1? 2a?qn-1? + = ,整理得 qm+ql=2qn. q-1 q-1 q-1 若 q=1,则{an}的各项均为 a,此时 am+k,an+k,al+k 显然成等差数

因此,am+k+al+k=aqk-1(qm+ql)=2aqn+k-1=2an+k. 所以 am+k,an+k,al+k 成等差数列. 三、探究与创新 13.n2(n≥4)个正数排成 n 行 n 列:

a11 a21 a31 … an1

a12 a22 a32 … an2

a13 a23 a33 … an3

a14 a24 a34 … an4

… a1n … a2n … a3n … …

… an n

其中第一行的数成等差数列,每一列中的数成等比数列,并且所有公比相等, 1 3 已知 a24=1,a42=8,a43=16,求 a11+a22+a33+…+an n. 解 设第 1 行的公差为 d,各列公比为 q,则得 ① ② ③

a1k=a11+(k-1)d,a24=a14q=(a11+3d)q=1 1 a42=a12q3=(a11+d)q3=8 3 a43=a13q3=(a11+2d)q3=16 1 由①②③,解得 a11=d=q=2. k ∴akk=a1kqk-1=[a11+(k-1)d]qk-1=2k. 设 Sn=a11+a22+a33+…+an n,则 1 2 3 n Sn=2+22+23+…2n 1 1 2 3 n S n= 2+ 3+ 4+…+ n+1 2 2 2 2 2 ④-⑤得, n+2 1 1 1 1 1 n S n= + 2+ 3+…+ n- n+1=1- n+1 . 2 2 2 2 2 2 2 n+2 ∴Sn=2- n . 2 n+2 即 a11+a22+a33+…+an n=2- 2n .

④ ⑤


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